沪科版八年级上学期数学全等三角形

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沪科版八年级上学期数学全等三角形

全等三角形

要点提示

1.全等三角形的有关概念

（1）能够完全重合的两个图形叫做__________.

（2）能够完全重合的两个三角形叫做__________.

2.全等三角形的性质

（1）全等三角形的对应边、对应角_________.

（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高线_________. （3）全等三角形的周长________、面积_________.

3.“全等”用符号’≌”表示，读作“全等于”.当两个三角形全等时，通常把 表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

4.全等三角形主要是指形状、大小相同的两个三角形，与位置无关系，将一个 三角形经过平移、翻折、旋转后，得到的三角形与原三角形全等.

典例分析

1.如右图中△ABC 和△DEF 全等，记作

其中点A 和点 ,点B 和点 点 和点D 是对应点， 边AB 和 ， 和ED ，AC 和 是对应边；

2.如图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果AD=7cm,DM=5cm,

∠DAM=39°,则AN=___cm,NM=___cm,∠NAB=___.

3.如图，111ABC A BC △≌△且11040A B ∠=∠=°

，°，则1C ∠= ．

基础强化

1.如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则

A

B

C

D

E

F

A D

C

B

N

M A

B

C C 1

A 1

B 1

C

A

B

A '

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ACA '∠的度数为（ ）

A 20° B．30° C ．35° D ．40°

2.下列说法正确的是（ ）

A.全等三角形是指形状相同的两个三角形 C.全等三角形的周长和面积分别相等 C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形 3.已知下图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ） A.72°

B.60°

C.58°

D.50°

4.如下图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠等于（ ）

A ．60

B ．50

C ．45

D ．30

5.如图1，ΔABD ≌ΔCDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是： A.ΔABD 和ΔCDB 的面积相等 B.ΔABD 和ΔCDB 的周长相等 C.∠A+∠ABD =∠C+∠CBD D.AD//BC ，且AD = BC

6.如下图，△ACE ≌△DBF ，若∠E =∠F ，AD = 8，BC = 2，则AB 等于( ) A.6 B.5 C.3 D.不能确定

7.如下图，ΔABC ≌ΔADE ，∠B = 70o，∠C = 26o，∠DAC = 30o，则∠EAC = ( ) A ．27o B ．54o C ．30o

O

E

A B

D

C

D．55o

8.如图2，已知ΔABE≌ΔACD、∠ADE =∠AED，∠B =∠C，指出

其他对应边和对应角.

9.已知：如下图，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．

（1）求∠F的度数与DH的长；

（2）求证：AB∥DE．

10.如下图，△ABD绕着点B沿顺时针方向旋转90°到△EBC，且∠ABD=90°.

（1）△ABD和△EBC是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角.

（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE的长吗？

（3）直线AD和直线CE有怎样的位置关系？请说明理由.

能力提高

1.如下图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF＝（）

A.150°

B.40°

C.80°

D.90°

2.如下图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，那么BC等于（）

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3.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ， 求∠C 的度数.

4.如图, 在ABCD 中, 将△ABE 沿BE 翻折, 点A 落在CD 边上, 成为点F, 如果△DEF 和△BCF 的周长分别是8cm 和22cm, 求FC 的长度.

5.如图，已知△ABC ≌△ADE ，∠CAD=15°，∠DFB=90°，∠B=25°， 求∠E 和∠DGB 的度数.

真题演练

1.如下图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD =4，则线段DF 的长度为（ ）

A.22

B.4

C.32

D.42

2.如图（1），Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ， （1）求证：CE ＝CF ．

（2）将图（1）中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E ′的位置，使点E ′落在

BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示，试猜：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．

F

E D

C

B

A F E

C

B

A

G

三角形全等的判定

要点提示

1.全等三角形的判定定理

（1）(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等；

（2）(SAS)：两边和它们的_____对应相等的两个三角形全等；

（3）(ASA)：两角和它们的____对应相等的两个三角形全等；

(4) (AAS)：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；

（5）(HL)：斜边和__________对应相等的两个直角三角形全等.

2．SSA、AAA 不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

典例分析

1.如图，,,,

A F E B四点共线，AC CE

=.求证：

⊥，BD DF

=，AC BD

⊥，AE BF

???.

ACF BDE

2.如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是条件（）

A. ∠B=∠C，BD=DC

B.∠ADB=∠ADC，BD=DC

C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD

D. BD=DC，AB=AC

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3.已知：如图△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于O 点，且BD=CE 求证：OB=OC.

基础强化

1.对于下列各组条件，不能判定△ABC ≌△C B A '''的一组是 （ ） A.∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，AB=A ′B ′ B.∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，AC=A ′C ′ C.∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，BC=B ′C ′ D.AB=A ′B ′，AC=A ′C ′，BC=B

′C ′

2.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）

A. SSS

B. SAS

C. AAS

D. ASA

3.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，则CBD ∠的度数为（ ）

A.60°

B.75°

C.90°

D.95°

4.如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判断△ABE ≌△ACD 的是（ ）

A.AD=AE

B.∠AEB=∠ADC

C.BE=CD

D.AB=AC

第2题

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5.如图，已知12∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D ∠=∠；④B E ∠=∠。其中能使ABC AED ???的条件有( ) A. 4个 B. 3个

C. 2个

D. 1个

6.如图，12∠=∠，C D ∠=∠，,AC BD 交于E 点，下列不正确的是( ) A. DAE CBE ∠=∠ B. CE DE =

C. DEA ?不全等于CBE ?

D.EAB ?是等腰三角形

7.△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB =3，EF =4，则AC = 8.已知，如图，M 、N 在AB 上，AC=MP ，AM=BN ，BC=PN 。求证：AC ∥MP

9.已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝D C ，AB ＝DE ，BC

＝EF ，

求证：△ABC ≌△DEF ．

10.如下图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ．求证：BC ∥EF ．

P C

A

B

N

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能力提高

1.如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上一动点（点G 与C 、D 不重合）， 以

CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于H. 求证：① △BCG ≌△DCE

② BH ⊥DE

2.如图所示，己知AB ∥DE ，AB=DE ，AF=DC ，请问图中有哪几对全等三角形，并选其

中一对给出证明.

3.己知，△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，P 是BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥

AC 垂足分别为E 、F ，

求证：① PE+PF=CD. ② PE –PF=CD.

4.

如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.

B

A

F C

D

E

F

E

D

A B

G H

F E D C A B

F E

D A

B G P F

E

D C A

B G P

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求证：DE =DF ．

5.如图，给出五个等量关系：①AD BC = ②AC BD = ③CE DE = ④D C ∠=∠

⑤DAB CBA ∠=∠．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知： 求证： 证明：

真题演练

1.已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC.

（1）如图1，若点O 在BC 上，求证：AB ＝AC ；

（2）如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB ＝AC ；

（3）若点O 在△ABC 的外部，AB ＝AC 成立吗？请画图表示.

2.如图 AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ． （1）求证AD=AE ；

（2）连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．

B

O O B C

A A C

B 图2

图1

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3.如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，BE ∥DF ，∠A=∠F ，

AB=FD ．求证：

AE=FC ．

4.如下图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，AE 交BD 于点C ，且BC =DC ．求证：AB

=ED ．

角的平分线的性质

要点提示

1.角平分线的定义:_________________________________________叫做这个角的平分线.

2.角平分线性质定理：______________________________________.

3.角平分线性质定理的逆定理：_______________________________.

4.关于三角形三条角平分线的定理： ①关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

②三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

典例分析

1.如下图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件可以是（）

A.BB′⊥AC

B.BC=B′C

C.∠ACB=∠ACB′

D.∠ABC=∠AB′C

2.如下图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；

③DO=EO；④∠OFD=∠OFE.其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

3.如下图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的度数是

4.在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，则∠DBC的度数是

5.已知：如下图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且BO=CO．

求证：O在∠BAC的角平分线上.

基础强化

1.如图1，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK

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的关系是

2.如图2，在△ABC 中，∠B=300，∠C=900，AD 平分∠CAB ，交CB 于D ，DE ⊥AB 于E ，则∠BDE= =

3.如图3，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF=PG=PE ，则∠BPD=

4.如图4，已知AB ∥CD ，0为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点．OE ⊥AC ，且OE=2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于

5.已知Rt △ABC 中，∠C=900

，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD:CD=9:7，

则D 到AB 边的距离为( )

A.18

B.16

C.14

D.12

6.如下图，MP ⊥NP ，MQ 为∠NMP 的角平分线，MT=MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是( )

A.TQ=PQ

B.∠MQT=∠MQP

C.∠QTN=900

D.∠NQT=∠MQT

7.如下图，已知点C 是∠AOB 的平分线上一点，点P 、P ’分别在边OA 、OB 上。如果要得到OP=OP ’，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为____________： ①∠OCP=∠OCP ； ②∠OPC=∠OP ′C ； ③PC=P ′C ； ④PP ′⊥OC

8.如下图，在ΔABC 中，BC =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则ΔPDE 的周长是__________cm

9.如下图△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D 。若DC=7，则D 到AB 的距离是

A B C

P

P ’ A

P

B D E

C E

B

A

C

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10.如图，AD ⊥DC ，

BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB 。 (1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点； (2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC.

能力提高

1．如图1，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ．若AQ=PQ ，PR=PS ，下列结论：①AS=AR ；②PQ∥AR；③△BRP ≌△CSP ．其中正确的是( )

A.①③

B.②③

C.①②

D.①②③

2．如图2，△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD⊥BC 且BD=CD ； ④∠BDE=∠CDF ．其中正确的是( ) A.②④ B. ②④ C.②③④ D.①②③④

3．如图3，在Rt△ABC 中，∠ACB=900，∠CAB=300，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB=( )

A.500

B.450

C.400

D.350

第1题 第2题 第3题

4．如下图，已知相交直线AB 和CD 及另一直线MN ．如果要在MN 上找出与AB 、CD 距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个.

5．如下图，在直线MN 上找一点P ，使点P 到直线AB 和射线OC 的距离相等.

真题演练

1.如图1，△ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，若CD=4，则点D

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到AB 的距离是

第1题 第2题

2.如图2，∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB ，EC ⊥OB ，若EC=1，则EF=

3.如下图，P 是∠BAC 内的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ，AE=AF ．求证：

（1）PE=PF ；

（2）点P 在∠BAC 的角平分线上.

4.如下图，在△ABC 中，AB ≠AC ，∠BAC 的外角平分线交直线BC 于D ，过D 作 DE ⊥AB ，DF ⊥AC 分别交直线AB ，AC 于E ，F ，连接EF. （1）求证：EF ⊥AD ； （2）若DE ∥AC ，且DE=1，求AD 的长.