第九章 相关系数和简单回归

第九章相关系数和简单回归

一、单项选择题(在各题的备选答案中，只有1项是正确的，请将正确答案的序号，填写在题中的括号内。每小题2分，共20分)

1. 判断下列哪一个不可能是相关系数( )。

A. -0.9

B. 0

C. 0.5

D. 1.2

2. 用于说明回归方程中拟合优度的统计量主要是( )。

A. 相关系数

B.离散系数

C. 回归系数

D. 判定系数

3. 如果物价与销售量之间的线性相关系数为-0.87，而且二者之间具有统计显著性，那么二者之间存在着( )。

A. 高度相关

B. 中度相关

C. 低度相关

D. 极弱相关

4. 回归平方和(SSR) 反映了y 的总变差中( )。

A. 由于x 与y 之间的线性关系引起的y 的变化部分

B. 除了x 对y 的现有影响之外的其他因素对y 变差的影响

C. 由于x 与y 之间的非线性关系引起的y 的变化部分

D. 由于x 与y 之间的函数关系引起的y 的变化部分

5. 对于线性回归，在因变量的总离差平方和中，如果回归平方和所占比例越大，那么两个变量之间( )。

A.相关程度越大

B. 相关程度越小

C. 完全相关

D. 完全不相关

6. 在因变量的总离差平方和中，如果回归平方和所占的比例越大，则两变量之间( )。

A. 相关程度越高

B. 相关程度越低

C. 完全相关

D. 没有任何关系

7. 在回归方程中，若回归系数等于0，这表明( )。

A. 因变量y 对自变量x 的影响是不显著的

B. 自变量x 对因变量y 的影响是不显著的

C. 因变量y 对自变量x 的影响是显著的

D. 自变量x 对因变量y 的影响是显著的

8.残差平方和(SSE) 反映了y 的总变差中( )

A. 由于x 与y 之间的线性关系引起的y 的变化部分

B. 除了x 对y 的现有影响之外的其他因素对y 变差的影响

C. 由于x 与y 之间的非线性关系引起的y 的变化部分

D. 由于x 与y 之间的函数关系引起的y 的变化部分

9.用于说明回归方程中拟合优度的统计量主要是( )

A. 相关系数

B. 离散系数

C. 回归系数

D. 判定系数

二、名词解释(每题4分，共20分)

10. 散点图

11. 最小二乘法

12. 相关系数

三、简答题(每题10分，共30分)

13. 什么是简单(一元线性) 回归分析? 其作用是什么?

14. 一元线性回归模型中有哪些基本假定?

四、计算题(每题 1 5分，共30分)

15.某调查公司研究出租司机每天收入(元) 与行驶里程(公里) 之间的关系。对30 位出租车司机进行调查，并根据每天的收入y、行驶里程x进行回归，得到: 方程的截距为162，回归系数为0. 6，回归平方和SSR=2600，残差平方和SSE=513 。要求:

(1) 写出每天的收入y 与行驶里程x之间的线性回归方程。

(2) 假如某司机某天行驶了300 公里，根据回归方程估计他该天的收入。

(3) 计算判定系数R2，并解释它的意义。

16. 某公司欲了解广告费用x 对销售量y 的影响，收集了20 个地区的数据，并对x、y 进行线性回归分析，得到: 方程的截距为364，回归系数为1.42，回归平方和SSR= 1602708. 6，残差平方和SSE= 40158. 07。要求:

(1) 写出广告费用x与销售量y之间的线性回归方程。

(2) 假如广告费用投入50000 元，根据回归方程估计商品销售量。

(3) 计算判定系数配，并解释它的意义。

答案：

1.D

2.D

3. A

4. A

5. A

6. A

7. B

8. B

9. D

10. 散点图

散点图是在坐标系中，用X轴表示自变量x，用Y轴表示因变量y，而变量组( x，y)则用坐标系中的点表示，不同的变量组在坐标系中形成不同的散点，用坐标系及其坐标系中的散点形成的二维图就是散点图。(2分)

散点图是描述变量关系的一种直观方法，我们可以从散点图中直观的看出两个变量之间是否存在相关关系、是正线性相关还是负线性相关，也可以大致看出变量之间关系强度如何。

(2 分)

11. 最小二乘法

对于存在线性关系的变量x和y的观察值，我们可以用很多直线去描述，但我们需要选用距离各观测值最近的一条直线，用它来描述x与y之间的关系使实际的误差最小，根据这一思想来确定回归方程中参数的方法就是最小二乘法。(2分)

最小二乘法是使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求参数的方法。(2分)

12. 相关系数

相关系数是对变量之间线性相关关系的程度和方向的度量。当研究两个变量之间的相关关系时我们称之为简单相关系数。(2分)

相关系数r的取值在-1 ~ 1之间。

当r= l 时，说明两变量之间存在完全正相关;

当r= - l 时，两变量之间完全负相关；

当0

当-l

相关系数r= 0 时，只能说变量之间不存在线性相关，而不能说它们之间一定不相关。( 2分)

13. 什么是简单(一元线性) 回归分析? 其作用是什么?

简单回归分析是通过一定的数学表达式将两个变量间的线性关系进行描述，确定自变量的变化对因变量的影响，是进行估计或预测的一种方法，侧重于考察变量之间的数量伴随关系。( 或者简单回归分析是对具有线性相关关系的两个变量之间(其中一个为自变量，另一个为因变量)数量变化的一般关系进行分析，确定相应的数学关系式，以便进行估计或预测。) (4 分)

其作用包括:

(1) 从已知数据出发，确定变量之间的数学关系式; (2 分)

(2) 对变量间的关系式进行统计检验，考察自变量是否对因变量具有显著影响; (2 分)

(3) 利用所求出的关系式，根据自变量的取值估计或预测因变量的取值。(2 分)

14. 一元线性回归模型中有哪些基本假定?

一元线性回归模型的三个基本假定为：

(1) 误差项是一个期望值为 0 的随机变量; (3分)

(2) 对于所有的 x 值 ，误差项的方差都是相等的; (3分)

(3) 误差项是一个服从正态分布的随机变量，相互独立，其余自变量 x 不相关。 (4分)

15. (l) 回归方程为: y = 162 + o. 6x (4分)

(2) 当x=300 时，y = 162 + 0.6 × 300 = 342 (元) (4分)

(3) 判定系数: SSE

SSR SSR SST SSR R +==2 = 2600 ÷ (2600 + 513)

= 0.8352 (4分)

表明在每天收入的总变差中，有83. 52 % 可以由回归方程解释，说明回归方程的拟合程度很高。(3分)

16. (1) y = 364 + 1. 42x (3分)

(2) 当x=50000 时，y = 364 + 1. 42 × 50000 = 71364 (4分)

(3) 判定系数: SSE

SSR SSR SST SSR R +==2 = 1602708.6 ÷ (1602708. 6 + 40158. 07)

= 1602708.6 ÷ 1642866.67

= 0.97556 (5分)

表明在商品销售量的总变差中，有97. 6%可以由回归方程解释，说明回归方程的拟合程 度很高。(3分)

应用回归分析含定性变量的回归模型第九章课后答案

第9章 含定性变量的回归模型 思考与练习参考答案 9.1 一个学生使用含有季节定性自变量的回归模型，对春夏秋冬四个季节引入4个0-1型自变量，用SPSS 软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个自变量，他为此感到困惑不解。出现这种情况的原因是什么？ 答：假如这个含有季节定性自变量的回归模型为： 其中含有k 个定量变量，记为x i 。对春夏秋冬四个季节引入4个0-1型自变量，记为D i ，只取了6个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、冬各取到一次观测值，则样本设计矩阵为： 显然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的线性组合，从而(X,D)不满秩，参数无法唯一求出。这就是所谓的“虚拟变量陷井”，应避免。 当某自变量x j 对其余p-1个自变量的复判定系数2 j R 超过一定界限时，SPSS 软件将拒绝这个自变量x j 进入回归模型。称Tol j =1-2 j R 为自变量x j 的容忍度（Tolerance ），SPSS 软件的默认容忍度为0.0001。也就是说，当2j R ＞0.9999时，自变量x j 将被自动拒绝在回归方程之外，除非我们修改容忍度的默认值。 而在这个模型中出现了完全共线性，所以SPSS 软件计算的结果中总是自动删除了其中的一个定性自变量。 9.2对自变量中含有定性变量的问题，为什么不对同一属性分别建立回归模型，而采取设虚拟变量的方法建立回归模型？ 答：原因有两个，以例9.1说明。一是因为模型假设对每类家庭具有相同的斜率和误差方差，把两类家庭放在一起可以对公共斜率做出最佳估计；二是对于其他 t t t t kt k t t D D D X X Y μαααβββ++++++=332211110 ????? ? ?? ? ? ? ?=00011001011000101001 0010100011 )(6 16515414313212111k k k k k k X X X X X X X X X X X X D X,??? ??? ? ??=k βββ 10β??? ??? ? ??=4321ααααα

应用技术回归分析第九章部分完整答案

第9章 非线性回归 9.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？ 答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。如： (1) 乘性误差项，模型形式为 e y AK L αβε =， (2) 加性误差项，模型形式为 y AK L αβε=+。 对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。 9.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表9.14所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。 表9.14 生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%） 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13.0 解：先画出散点图如下图： 5000.00 4000.003000.002000.001000.00x 12.00 10.00 8.006.00 y 从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此

采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。 （1）二次曲线 SPSS 输出结果如下： Mode l Sum mary .981 .962 .942 .651 R R Square Adjusted R Square Std. E rror of the E stim ate The independent variable is x. ANOVA 42.571221.28650.160.001 1.6974.424 44.269 6 Regression Residual Total Sum of Squares df Mean Square F Sig.The independent variable is x. Coe fficients -.001.001-.449-.891.4234.47E -007.000 1.417 2.812.0485.843 1.324 4.414.012 x x ** 2 (Constant) B Std. E rror Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. 从上表可以得到回归方程为：72? 5.8430.087 4.4710y x x -=-+? 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。 由x 2的系数检验P 值小于0.05，得到x 2的系数通过了显著性检验。 （2）指数曲线 Mode l Sum mary .970 .941 .929 .085 R R Square Adjusted R Square Std. E rror of the E stim ate The independent variable is x.

第九章 相关与简单线性回归分析

第九章相关与简单线性回归分析 第一节相关与回归的基本概念 一、变量间的相互关系 现象之间存在的依存关系包括两种：确定性的函数关系和不确定性的统计关系，即相关关系。 二、相关关系的类型 1、从相关关系涉及的变量数量来看：简单相关关系；多重相关或复相关。 2、从变量相关关系变化的方向看：正相关；负相关。 3、从变量相关的程度看：完全相关；不相关；不完全相关。 二、相关分析与回归分析概述 相关分析就是用一个指标（相关系数）来表明现象间相互依存关系的性质和密切程度；回归分析是在相关关系的基础上进一步说明变量间相关关系的具体形式，可以从一个变量的变化去推测另一个变量的变化。 相关分析与回归分析的区别： 目的不同：相关分析是用一定的数量指标度量变量间相互联系的方向和程度；回归分析是要寻求变量间联系的具体数学形式，要根据自变量的固定值去估计和预测因变量的值。 对变量的处理不同：相关分析不区分自变量和因变量，变量均视为随机变量；回归区分自变量和因变量，只有因变量是随机变量。 注意：相关和回归分析都是就现象的宏观规律/平均水平而言的。 第二节简单线性回归 一、基本概念 如果要研究两个数值型／定距变量之间的关系，以收入x与存款额y为例，对n个人进行独立观测得到散点图，如果可以拟合一条穿过这一散点图的直线来描述收入如何影响存款，即简单线形回归。 二、回归方程 在散点图中，对于每一个确定的x值，y的值不是唯一的，而是符合一定概率分布的随机变量。如何判断两个变量之间存在相关关系？要看对应不同的x，y的概率分布是否相同/y的总体均值是否相等。 在x=xi的条件下，yi的均值记作E(yi)，如果它是x的函数，E(yi) =f(xi)，即回归方程，就表示y和x之间存在相关关系，回归方程就是研究自变量不同取值时，因变量y的平均值的变化。当y的平均值和x呈现线性关系时，称作线性回归方程，只有一个自变量就是一元线性回归方程。 一元线性回归方程表达式：E(y i )= α+βx i ，其中α称为常数，β称为回

相关性平均值标准差相关系数回归线及最小二乘法概念

平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法相关性 线性相关 数据在一条直线附近波动，则变量间是线性相关 非线性相关 数据在一条曲线附近波动，则变量间是非线性相关 不相关 数据在图中没有显示任何关系，则不相关 平均值 N个数据的平均值计算公式： 标准差 标准差表示了所有数据与平均值的平均距离，表示了数据的散度，如果标准差小，表示数据集中在平均值附近，如果标准差大则表示数据离标准差比较远，比较分散。标准差计算公式： x、y两个变量组成了笛卡尔坐标系中的一 坐标(x,y)，这个坐标标识了一个点的位置。 个 各包含n个常量的X,Y两组数据在笛卡尔坐标系中以n个点来进行表示。 相关系数 相关系数用字母r来表示，表示两组数据线性相关的程度（同时增大或减小的程度），从另一方面度量了点相对于标准差的散布情况，它没有单位。包含n个数值的X、Y两组数据的相关系数r的计算方法： 简单的说，就是r=[(以标准单位表示的x )X(以标准单位表示的y )]的平均数 根据上面点的定义，将X、Y两组数据的关系以点的形式在笛卡尔坐标系中画出，SD线表示了经过中心点（以数据组X、Y平均值为坐标的点），当r>0时，斜率=X的标准

差/Y的标准差；当r<0时，斜率=-X的标准差/Y的标准差；的直线。通常用SD线来直观的表示数据的走向： 1、当r<0时,SD线的斜率小于0时，则说明数据负相关，即当x增大时y减少。 2、当r>0时，SD线的斜率大于0时，则说明数据正相关，此时当x增大时y增大。 3、相关系数r的范围在[-1,1]之间，当r=0时表示数据相关系数为0(不相关)。当r=正负1时，表示数据负相关，此(x,y)点数据都在SD线上。 4、r的值越接近正负1说明(x,y)越靠拢SD线，说明数据相关性越强，r的值越接近0说明(x,y)点到SD线的散度越大（越分散），数据相关性越小。 回归方法主要描述一个变量如何依赖于另一个变量。y对应于x的回归线描述了在不同的x值下y的平均值情况，它是这些平均值的光滑形式，如果这些平均值刚好在一条直线上，则这些平均值刚好和回归线重合。通过回归线，我们可以通过x值来预测y值（已知x值下y值的平均值）。下面是y对应于x的回归线方程： 简单的说，就是当x每增加1个SD，平均而言，相应的y增加r个SD。 从方程可以看出： 1、回归线是一条经过点，斜率为的直线。 2、回归线的斜率比SD线小，当r=1或-1时，回归线和SD线重合。 当用回归线从x预测y时，实际值与预测值之间的差异叫预测误差。而均方根误差就是预测误差的均方根。它度量回归预测的精确程度。y关于x的回归线的均方根误差用下面的公式进行计算: 由公式可以看出，当r越接近1或-1时，点越聚集在回归线附近，均方根误差越小； 反之r越接近0时，点越分散，均方根误差越大。 最小二乘法寻找一条直线来拟合所有的点，使得这条直线到所有的点之间的均方根误差最小。可以看到，当求两个变量之间的关系时，最小二乘法求出的直线实际上就是回归线。只不过表述的侧重点不同：

第九章相关与回归分析答案如下

第九章相关与回归分析答案如下 *9-1 在相关分析中，对两个变量的要求是（Ａ）。（单选题） A. 都是随机变量 B. 都不是随机变量 C. 其中一个是随机变量，一个是常数。 D. 都是常数。 *9-2 在建立与评价了一个回归模型以后，我们可以（D ）。（单选题） A. 估计未来所需要样本的容量。 B. 计算相关系数与判定系数。 C. 以给定因变量的值估计自变量的值。 D. 以给定自变量的值估计因变量的值。 9-3 对两变量的散点图拟合最好的回归线必须满足一个基本条件是（D ）。（单选题） 最小 y2 最小 yii y i 最大B. y i 最大D. y2 yi?i A. C. y yi?i *9-4 如果某地区工人的日工资收入（元）随劳动生产率（千元/人时）的变动符合简单线性方程Y=60+90X，请说明下列的判断中正确的有（ＡＣ）（多选） A．当劳动生产率为1千元/人时，估计日工资为150元；B．劳动生产率每提高1千元/人时，则日工资一定提高90元；C．劳动生产率每降低0.5千元/人时，则日工资平均减少45元；D．当日工资为240元时，劳动生产率可能达到2千元/人。 *9-5 变量之间的关系按相关程度可分为（B ＣD ）（多选） A．正相关B．不相关C．完全相关D．不完全相关 *9-6 简单线性回归分析的特点是：（ＡB ）。（多选题） A. 两个变量之间不是对等关系 B. 回归系数有正负号 C. 两个变量都是随机的 D. 利用一个方程两个变量可以互相推算E．有可能求出两个回归方程 *9-7 一元线性回归方程中的回归系数b可以表示为（ＢＣ）。（多选题） A. 两个变量之间相关关系的密切程度 B. 两个变量之间相关关系的方向 C. 当自变量增减一个单位时，因变量平均增减的量 D. 当因变量增减一个单位时，自变量平均增减的量E．回归方程的拟合优度 *9-8 回归分析和相关分析的关系是（AＢE ）。（多选题） A. 回归分析可用于估计和预测 B. 相关分析是研究变量之间的相关关系的密切程度 C. 回归分析中自变量和因变量可以互相推导并进行预测 D. 相关分析需要区分自变量和因变量E．相关分析是回归分析的基础

应用回归分析_第3章课后习题参考答案

第3章 多元线性回归 思考与练习参考答案 见教材P64-65 讨论样本容量n 与自变量个数p 的关系，它们对模型的参数估计有何影响？ 答：在多元线性回归模型中，样本容量n 与自变量个数p 的关系是：n>>p 。如果n<=p 对模型的参数估计会带来很严重的影响。因为： 1. 在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数β，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。 2. 解释变量X 是确定性变量，要求()1rank p n =+

一般来说，R2越接近1，即R2取值越大，说明回归拟合的效果越好。但由于R2的大小与样本容量n和自变量个数p有关，当n与p的值接近时，R2容易接近1，说明R2中隐含着一些虚假成分。而当样本容量n较小，自变量个数p较大时，尽管R2很大，但参数估计效果很不稳定。所以该题中不能仅仅因为R2很大而断定回归方程很理想。如何正确理解回归方程显著性检验拒绝H0，接受H0？ 答：一般来说，当接受假设H0时，认为在给定的显著性水平α之下，自变量x1,x2,…,x p对因变量y无显著性影响，则通过x1,x2,…,x p 去推断y就无多大意义。此时，一方面可能该问题本应该用非线性模型描述，我们误用线性模型描述了，使得自变量对因变量无显著影响；另一方面可能是在考虑自变量时，由于认识上的局限性把一些影响因变量y的自变量漏掉了，这就从两个方面提醒我们去重新考虑建模问题。 当拒绝H0时，也不能过于相信该检验，认为该模型已经很完美。其实当拒绝H时，我们只能认为该回归模型在一定程度上说明了自变量x1,x2,…,x p与因变量y的线性关系。因为这时仍不能排除我们漏掉了一些重要自变量。此检验只能用于辅助性的，事后验证性的目的。（详细内容可参考课本P95～P96评注。） 数据中心化和标准化在回归分析中的意义是什么？ 答：原始数据由于自变量的单位往往不同，会给分析带来一定的困难；又由于设计的数据量较大，可能会以为舍入误差而使得计算结果并不理想。中心化和标准化回归系数有利于消除由于量纲不同、数量级不

统计学原理第九章(相关与回归)习题答案

第九章相关与回归 一．判断题部分 题目1：负相关指的是因素标志与结果标志的数量变动方向是下降的。（） 答案：× 题目2：相关系数为+1时，说明两变量完全相关；相关系数为-1时，说明两个变量不相关。（） 答案：√ 题目3：只有当相关系数接近+1时，才能说明两变量之间存在高度相关关系。（） 答案：× 题目4：若变量x的值增加时，变量y的值也增加，说明x与y之间存在正相关关系；若变量x的值减少时，y变量的值也减少，说明x与y之间存在负相关关系。（） 答案：× 题目5：回归系数和相关系数都可以用来判断现象之间相关的密切程度。（） 答案：× 题目6：根据建立的直线回归方程，不能判断出两个变量之间相关的密切程度。（） 答案：√ 题目7：回归系数既可以用来判断两个变量相关的方向，也可以用来说明两个变量相关的密切程度。（） 答案：×

题目8：在任何相关条件下，都可以用相关系数说明变量之间相关的密切程度。（） 答案：× 题目9：产品产量随生产用固定资产价值的减少而减少，说明两个变量之间存在正相关关系。（） 答案：√ 题目10：计算相关系数的两个变量，要求一个是随机变量，另一个是可控制的量。（） 答案：× 题目11：完全相关即是函数关系，其相关系数为±1。（） 答案：√ 题目12：估计标准误是说明回归方程代表性大小的统计分析指标，指标数值越大，说明回归方程的代表性越高。（） 答案× 二．单项选择题部分 题目1：当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（）。 A.相关关系 B.函数关系 C.回归关系 D.随机关系 答案：B 题目2：现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（）。 A.相关关系和函数关系 B.相关关系和因果关系

第九章---spss的回归分析

第九章spss的回归分析 1、利用习题二第4题的数据，任意选择两门课程成绩作为解释变量和被解释变量，利用SPSS 提供的绘制散点图功能进行一元线性回归分析。请绘制全部样本以及不同性别下两门课程成绩的散点图，并在图上绘制三条回归直线，其中，第一条针对全体样本，第二和第三条分别针对男生样本和女生样本，并对各回归直线的拟和效果进行评价。 选择fore和phy两门成绩做散点图 步骤：图形→旧对话框→散点图→简单散点图→定义→将phy导入X轴、将fore导入Y 轴，将sex导入设置标记→确定 图标剪辑器内点击元素菜单→选择总计拟合线→选择线性→确定→再次选择元素菜单→点击子组拟合线→选择线性→确定 分析：如上图所示，通过散点图，被解释变量y与fore有一定的线性相关关系。 2、线性回归分析与相关性回归分析的关系是怎样的？ 线性回归分析是相关性回归分析的一种，研究的是一个变量的增加或减少会不会引起另一个变量的增加或者减少。

3、为什么需要对线性回归方程进行统计检验？一般需要对哪些方面进行检验？ 线性回归方程能够较好地反映被解释变量和解释变量之间的统计关系的前提是被解释变量和解释变量之间确实存在显著的线性关系。 回归方程的显著性检验正是要检验被解释变量和解释变量之间的线性关系是否显著，用线性模型来描述他们之间的关系是否恰当。一般包括回归系数的检验，残差分析等。 4、SPSS多元线性回归分析中提供了哪几种解释变量筛选策略？ 包括向前筛选策略、向后筛选策略和逐步筛选策略。 5、先收集到若干年粮食总产量以及播种面积、使用化肥量、农业劳动人数等数据，请利用建立多元线性回归方程，分析影响粮食总产量的主要因素。数据文件名为“粮食总产量.sav”。 步骤：分析→回归→线性→粮食总产量导入因变量、其余变量导入自变量→确定 结果如图： Variables Entered/Removed b Model Variables Entered Variables Removed Method 1 农业劳动者人数(百万人), 总播种面积(万公顷), 风灾 面积比例(%), 粮食播种面 积(万公顷), 施用化肥量 (kg/公顷), 年份a . Enter a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: 粮食总产量(y万吨) ANOVA b Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. 1 Regression 2.025E9 6 3.375E8 414.944 .000a Residual 2.278E7 28 813478.405 Total 2.048E9 34 a. Predictors: (Constant), 农业劳动者人数(百万人), 总播种面积(万公顷), 风灾面积比例(%), 粮食播种面积(万公顷), 施用化肥量(kg/公顷), 年份 b. Dependent Variable: 粮食总产量(y万吨) Coefficients a Model Unstandardized Coefficients Standardized Coefficients t Sig. B Std. Error Beta

应用回归分析,第7章课后习题参考答案

第7章岭回归 思考与练习参考答案 7.1 岭回归估计是在什么情况下提出的？ 答：当自变量间存在复共线性时，｜X’X｜≈0，回归系数估计的方差就很大，估计值就很不稳定，为解决多重共线性，并使回归得到合理的结果，70年代提出了岭回归(Ridge Regression,简记为RR)。 7.2岭回归的定义及统计思想是什么？ 答：岭回归法就是以引入偏误为代价减小参数估计量的方差的一种回归方法，其统计思想是对于（X’X）-1为奇异时，给X’X加上一个正常数矩阵 D, 那么X’X+D接近奇异的程度就会比X′X接近奇异的程度小得多，从而完成回归。但是这样的回归必定丢失了信息，不满足blue。但这样的代价有时是值得的，因为这样可以获得与专业知识相一致的结果。 7.3 选择岭参数k有哪几种方法？ 答：最优 是依赖于未知参数 和 的，几种常见的选择方法是： 岭迹法：选择 的点能使各岭估计基本稳定，岭估计符号合理，回归系数没有不合乎经济意义的绝对值，且残差平方和增大不太多；

方差扩大因子法： ，其对角线元 是岭估计的方差扩大因子。要让 ； 残差平方和：满足 成立的最大的 值。 7.4 用岭回归方法选择自变量应遵循哪些基本原则？ 答：岭回归选择变量通常的原则是： 1. 在岭回归的计算中，我们通常假定涉及矩阵已经中心化和标准化了，这样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。我们可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小的自变量； 2. 当k值较小时，标准化岭回归系数的绝对值并不很小，但是不稳定，随着k的增加迅速趋近于零。像这样岭回归系数不稳定、震动趋于零的自变量，我们也可以予以剔除； 3. 去掉标准化岭回归系数很不稳定的自变量。如果有若干个岭回归系数不稳定，究竟去掉几个，去掉那几个，要根据去掉某个变量后重新进行岭回归分析的效果来确定。

应用回归分析第三章课后习题整理

y1 1 x11 x12 x1p 0 1 3.1 y2 1 x21 x22 x2p 1 + 2 即y=x + yn 1 xn1 xn2 xnp p n 基本假定 (1) 解释变量x1,x2…,xp 是确定性变量，不是随机变量，且要求 rank(X)=p+1

n 注 tr(H) h 1 3.4不能断定这个方程一定很理想，因为样本决定系数与回归方程中 自变量的数目以及样本量n 有关，当样本量个数n 太小，而自变量又较 多，使样本量与自变量的个数接近时， R 2易接近1,其中隐藏一些虚 假成分。 3.5当接受H o 时，认定在给定的显著性水平 下，自变量x1,x2, xp 对因变量y 无显著影响，于是通过x1,x2, xp 去推断y 也就无多大意 义，在这种情况下，一方面可能这个问题本来应该用非线性模型去描 述，而误用了线性模型，使得自变量对因变量无显著影响；另一方面 可能是在考虑自变量时，把影响因变量y 的自变量漏掉了，可以重新 考虑建模问题。 当拒绝H o 时，我们也不能过于相信这个检验，认为这个回归模型 已经完美了，当拒绝H o 时，我们只能认为这个模型在一定程度上说明 了自变量x1,x2, xp 与自变量y 的线性关系，这时仍不能排除排除我 们漏掉了一些重要的自变量。 3.6中心化经验回归方程的常数项为0,回归方程只包含p 个参数估计 值1, 2, p 比一般的经验回归方程减少了一个未知参数，在变量较 SSE (y y)2 e12 e22 1 2 1 E( ) E( - SSE* - n p 1 n p n 2 [D(e) (E(e ))2 ] 1 n (1 1 n 2 en n E( e 1 1 n p 1 1 n p 1 1 "1 1 n p 1 J (n D(e) 1 (p 1)) 1_ p 1 1 1 n p 1 2 2 n E(e 2 ) (1 h ) 2 1

线性回归中的相关系数

线性回归中的相关系数 山东 胡大波 线性回归问题在生活中应用广泛,求解回归直线方程时,应该先判断两个变量就是否就是线性相关,若相关再求其直线方程,判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法就是绘制散点图;另外一种方法就是量化的检验法,即相关系数法.下面为同学们介绍相关系数法. 一、关于相关系数法 统计中常用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱,当i x 不全为零,y i 也不全为零时,则两个变量的相关系数的计算公式就是: ()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---= = ∑∑r 就叫做变量y 与x 的相关系数(简称相关系数). 说明:(1)对于相关系数r ,首先值得注意的就是它的符号,当r 为正数时,表示变量x ,y 正相关;当r 为负数时,表示两个变量x ,y 负相关; (2)另外注意r 的大小,如果[]0.751r ∈，,那么正相关很强;如果[]10.75r ∈--，,那么负相关很强;如果(]0.750.30r ∈--， 或[)0.300.75r ∈，,那么相关性一般;如果[]0.250.25r ∈-，,那么相关性较弱. 下面我们就用相关系数法来分析身边的问题,确定两个变量就是否相关,并且求出两个变量间的回归直线. 二、典型例题剖析 (1)对变量y 与x 进行相关性检验; (2)如果y 与x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程; (3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子身高. 解:(1)66.8x =,67y =,10 2 1 44794i i x ==∑,10 21 44929.22i i y ==∑,4475.6x y =,2 4462.24x =, 2 4489y =,10 1 44836.4i i i x y ==∑,

第一章课后习题解答(应用回归分析)

1、 变量间统计关系和函数关系的区别是什么 答：函数关系是一种确定性的关系，一个变量的变化能完全决定另一个变量的变化；统计关系是非确定的，尽管变量间的关系密切，但是变量不能由另一个或另一些变量唯一确定。 2、 回归分析与相关分析的区别和联系是什么 答：联系：刻画变量间的密切联系； 区别：一、回归分析中，变量y 称为因变量，处在被解释的地位，而在相关分析中，变量y 与x 处于平等地位；二、相关分析中y 与x 都是随机变量，而回归分析中y 是随机的，x 是非随机变量。三、回归分析不仅可以刻画线性关系的密切程度，还可以由回归方程进行预测和控制。 3、 回归模型中随机误差项ε的意义是什么主要包括哪些因素 答：随机误差项ε的引入，才能将变量间的关系描述为一个随机方程。主要包括：时间、费用、数据质量等的制约；数据采集过程中变量观测值的观测误差；理论模型设定的误差；其他随机误差。 4、 线性回归模型的基本假设是什么 答：1、解释变量非随机；2、样本量个数要多于解释变量(自变量)个数；3、高斯-马尔科夫条件；4、随机误差项相互独立，同分布于2(0,)N σ。 5、 回归变量设置的理论根据在设置回归变量时应注意哪些问题 答：因变量与自变量之间的因果关系。需注意问题：一、对所研究的问题背景要有足够了解；二、解释变量之间要求不相关；三、若某个重要的变量在实际中没有相应的统计数据，应考虑用相近的变量代替，或者由其他几个指标复合成一个新的指标；四、解释变量并非越多越好。 6、 收集、整理数据包括哪些内容 答：一、收集数据的类型（时间序列、截面数据）；二、数据应注意可比性和数据统计口径问题（统计范围）；三、整理数据时要注意出现“序列相关”和“异

应用回归分析,第4章课后习题参考答案.

第4章违背基本假设的情况 思考与练习参考答案 4.1 试举例说明产生异方差的原因。 答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Y i=β0+β1X i+εi 其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。 由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。 例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Y i=A iβ1K iβ2L iβ3eεi 被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 4.2 异方差带来的后果有哪些？ 答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 2、变量的显著性检验失去意义 3、回归方程的应用效果极不理想 总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差

的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。 加权最小二乘法的方法： 4.4简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：运用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与一元线性回归的类似。多元线性回归加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i i p w x x y w Q 1211010)( ),,,(ββββββ （2） 加权最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值pw w w βββ?,,?,?10 使式（2）的离差平方和w Q 达极小。所得加权最小二乘经验回归方程记做 22011 1 ???()()N N w i i i i i i i i Q w y y w y x ββ===-=--∑∑22 __ 1 _ 2 _ _ 02 222 ()() ?()?1 11 1 ,i i N w i i i w i w i w w w w w kx i i i i m i i i m i w x x y y x x y x w kx x kx w x σβββσσ==---=-= = ===∑∑1N i =1 1表示=或

统计学课后习题答案第七章 相关分析与回归分析

第七章相关分析与回归分析 一、单项选择题 1.相关分析是研究变量之间的 A.数量关系 B.变动关系 C.因果关系 D.相互关系的密切程度 2.在相关分析中要求相关的两个变量 A.都是随机变量 B.自变量是随机变量 C.都不是随机变量 D.因变量是随机变量 3.下列现象之间的关系哪一个属于相关关系？ A.播种量与粮食收获量之间关系 B.圆半径与圆周长之间关系 C.圆半径与圆面积之间关系 D.单位产品成本与总成本之间关系 4.正相关的特点是 A.两个变量之间的变化方向相反 B.两个变量一增一减 C.两个变量之间的变化方向一致 D.两个变量一减一增 5.相关关系的主要特点是两个变量之间 A.存在着确定的依存关系 B.存在着不完全确定的关系 C.存在着严重的依存关系 D.存在着严格的对应关系 6.当自变量变化时, 因变量也相应地随之等量变化,则两个变量 之间存在着 A.直线相关关系 B.负相关关系 C.曲线相关关系 D.正相关关系 7.当变量X值增加时,变量Y值都随之下降,则变量X和Y之间存 在着 A.正相关关系 B.直线相关关系 C.负相关关系 D.曲线相关关系 8.当变量X值增加时,变量Y值都随之增加,则变量X和Y之间存 在着 A.直线相关关系 B.负相关关系 C.曲线相关关系 D.正相关关系 9.判定现象之间相关关系密切程度的最主要方法是 A.对现象进行定性分析 B.计算相关系数 C.编制相关表 D.绘制相关图 10.相关分析对资料的要求是 A.自变量不是随机的，因变量是随机的 B.两个变量均不是随机的 C.自变量是随机的，因变量不是随机的 D.两个变量均为随机的 11.相关系数 A.既适用于直线相关，又适用于曲线相关 B.只适用于直线相关 C.既不适用于直线相关，又不适用于曲线相关 D.只适用于曲线相关 12.两个变量之间的相关关系称为

相关系数与回归分析

第八章相关与回归分析 114、什么叫相关分析？ 研究两个或两个以上变量之间相关程度大小以及用一定涵数来表达现象相互关系的方法。 115、什么叫相关关系？ 相关关系是一种不完全确定的依存关系，即因素标志的每一个数值都可能有若干结果标志的数值与之对应。 116、判定现象之间有无相关关系的方法有哪些？ 判断现象之间有无相关关系，首先要对其作定性分析，否则很可能把虚假相关现象拿来作相关分析。相关表和相关图都是判定现象之间有无相关关系的重要方法。而相关系数主要是用来测定现象之间相关的密切程度的指标，估计标准误差是判定回归方程式代表性大小的指标。所以判断方法有客观现象作定性分析、编制相关表、绘制相关图。 117、什么叫相关系数？ 测定变量之间相关密切程度和相关方向的指标。 118、相关系数有何特点？ 参与相关分析的两个变量是对等的，不分自变量与因变量，因此相关系数只有一个。相关系数有正负号反映相关关系的方向中，正负瓜果正相关，负号反映负相关。计算相关系数的两个变量都是随机变量。 119、某产品产量与单位成本的相关系数是-0.8；（乙）产品单位成本与利润率的相关系数是-0.95；（乙）比（甲）的相关程度高吗？ 相关系数是说明相关程度大小的指标，相关系数的取值范围在±1之间，相关系数越接近±1，说明两变量相关程度越高，越接近于0，说明相关程度越低。因此，（乙）比（甲）的相关程度高。 120、什么叫回归分析？ 对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相应的数学表达式，已从一个已知量推算另一个未知量，为估计预测提供一个重要方法。 121、与相关分析相比，回归分析有什么特点？ 两个变量是不对等的，必须区自变量与因变量；因变量是随机的，自变量是可以控制的；对于一个没有因果关系的两个变量，可以求得两个回归方程，一个是Y倚X的回归方程，另一个是X倚Y的回归方程。 122、回归方程中回归系数的涵义是什么？ 回归系数表示：当自变量X每增减一个单位时，因变量Y的平均增减值。 123、当所有的观测值都落在直线y c=a+bx上时，则x与y之间的相关系数为多少？

第9章方差分析与回归分析习题答案

第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显著影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9) 8.02F =） 34 2 11 1310ij i j x ===∑∑ 【 解 ： r=3, 12 444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 3 4 2 21113101200110(1)1110110T ij T i j SS x C S n s ===-=-==-=?=∑∑或S 322.1112721200724(31)429724A i A A i SS T C S s ==-=-==-=??=∑或S 38 72110=-=-=A T e SS SS SS 计算统计值 722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 方差来源 、 平方和 自由度 均方 F 值 临界值 显著性 品种A ~ 36 0.050.01(2,9) 4.26(2,9)8.02 F F == ** 误差 ] 总 计 结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显著影响. 品种 试验结果 行和??=i x T i 行均值.i x A 1 10 7 、 13 10 40 10 A 2 12 13 15 12 52 ? 13 A 3 8 4 7 9 28 7

2. ^ ..180x = 43 2 11 2804ij i j x ===∑∑ 解：22..4,3,12,180122700l m n lm C x n ======= 4 3 2 211 28042700104(1)119.45 T ij T i j S x C S n s ===-=-==-=?∑∑或 : 422 .1 12790270090(1)331090 3A i A A i S x C S m l s ==-=-==-≈??=∑或322 .1 12710.5270010.5(1)8 1.312510.5 4B j B B j S x C S l m s ==-=-==-≈?=∑或1049010.5 3.5 e T A B S S S S =--=--= 计算统计值 90310.52 51.43,93.56 3.56 A A B B A B e e e e S f S f F F S f S f = =≈==≈ 方差来源 平方和 自由度 F 值 临界值 显著性 推进器A 【 0.050.01(3,6) 4.76(3,6)9.78F F == 燃料B 0.050.01(2,6) 5.14 (2,6)10.92 F F == · 误差 总 计 结论: 由以上方差分析知，进器对火箭的射程有特别显著影响；燃料对火箭的射程有显著影响. 3．为了研究某商品的需求量Y 与价格x 之间的关系，收集到下列10对数据： . 价格x i 1 2 3 4 4 ] 5 需求量y i 10 8 8 7 6 4 ^ 2 1 31,58,147,112,410.5,i i i i i i x y x y x y =====（1）求需求量Y 与价格x 之间 试验 结果 》 燃料B B 1 B 2 B 3 .i x .i x 推进器 A 《 A 1 14 13 12 39 13 A 2 18 16 ^ 14 48 16 A 3 13 12 11 36 12 A 4 20 18 19 57 19 .j x 65 59 % 56 180 .j x 14 15

线性回归方程中的相关系数r教学文案

线性回归方程中的相 关系数r

线性回归方程中的相关系数r r=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]

R2就是相关系数的平方， R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数 判定系数R^2 也叫拟合优度、可决系数。表达式是: R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS 该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。 问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量， R2往往增大 这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。 ——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。 这就有了调整的拟合优度: R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1)) 在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响: 其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。 总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。 R = R接近于1表明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度密切； R接近于0表明Y与X1， X2 ，…， Xk之间的线性关系程度不密切 相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关 相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。 如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。 分为一元线性回归和多元线性回归 线性回归方程中,回归系数的含义 一元： Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元： Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动

应用回归分析 课后习题参考答案

第二章 一元线性回归分析 思考与练习参考答案 一元线性回归有哪些基本假定? 答： 假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量； 假设2、随机误差项ε具有零均值、同方差和不序列相关性： E(εi )=0 i=1,2, …,n Var (εi )=?2 i=1,2, …,n Cov(εi, εj )=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 假设3、随机误差项ε与解释变量X 之间不相关： Cov(X i , εi )=0 i=1,2, …,n 假设4、ε服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 εi ~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n 考虑过原点的线性回归模型 Y i =β1X i +εi i=1,2, …,n 误差εi （i=1,2, …,n ）仍满足基本假定。求 β1的最小二乘估计 解： 得： 证明（式），?e i =0 ，?e i X i =0 。 证明：∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 2102 1 ))??(()?(ββ 其中： 即： ?e i =0 ，?e i X i =0 211 1 2)?()?(i n i i n i i i e X Y Y Y Q β∑∑==-=-=0)?(2?11 1 =--=??∑=i i n i i e X X Y Q ββ) () (?1 2 1 1 ∑∑===n i i n i i i X Y X β01????i i i i i Y X e Y Y ββ=+=-0 1 00??Q Q β β ??==??

回归方程E （Y ）=β0+β1X 的参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计在什么条件下等价?给出证明。 答：由于εi ~N(0, ?2 ) i=1,2, …,n 所以Y i =β0 + β1X i + εi ~N （β0+β1X i , ?2 ) 最大似然函数： 使得Ln （L ）最大的0 ?β，1?β就是β0，β1的最大似然估计值。 同时发现使得Ln （L ）最大就是使得下式最小， ∑∑+-=-=n i i i n i X Y Y Y Q 1 21021 ))??(()?(ββ 上式恰好就是最小二乘估计的目标函数相同。值得注意的是：最大似然估计是在εi ~N (0, ?2 )的假设下求得，最小二乘估计则不要求分布假设。 所以在εi ~N(0, ?2 ) 的条件下， 参数β0，β1的最小二乘估计与最大似然估计等价。 证明0 ?β是β0的无偏估计。 证明：)1[)?()?(1 110∑∑==--=-=n i i xx i n i i Y L X X X Y n E X Y E E ββ )] )(1 ([])1([1011i i xx i n i i xx i n i X L X X X n E Y L X X X n E εββ++--=--=∑∑== 1010)()1 (])1([βεβεβ=--+=--+=∑∑==i xx i n i i xx i n i E L X X X n L X X X n E 证明 证明： )] ()1([])1([)?(102110i i xx i n i i xx i n i X Var L X X X n Y L X X X n Var Var εβββ++--=--=∑∑== () ) 1()1()?(2 2 2 1 2 2 xx n i i L X n X X X n Var +=-+=∑=σσβ