哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：凸函数与极值
院（系）理学院
专业数学与应用数学
年级2009级
姓名哦哦学号09031432
指导教师啊啊啊职称副教授
2013年月日
毕业论文（设计）评语及成绩
承诺书
本人哦哦，哈尔滨学院理学院数学与应用数学
专业 09—4 班学生，学号： 09031432 。
本人郑重承诺：本人撰写的毕业论文《凸函数与极值》，是个人的研究成果，数据来源真实可靠，无剽窃行为。
承诺人：董春
年月日
目录
摘要 (1)
Abstract (2)
前言 (3)
第一章凸函数的定义与性质 (4)
1.1 一元凸函数的定义与性质 (4)
1.1.1一元凸函数的定义 (4)
1.1.2一元凸函数的性质 (4)
1.1.3一元凸函数的判定 (7)
1.2 多元凸函数的定义与性质 (9)
1.2.1多元凸函数的定义 (9)
1.2.2多元凸函数的性质 (10)
1.2.3多元凸函数的判定 (10)
第二章极值的定义与判别法 (14)
2.1一元函数极值 (14)
2.1.1一元函数极值的定义 (14)
2.1.2一元函数极值的判定 (14)
2.1.3可导凸函数极值问题 (15)
2.1.4一般凸函数极值问题 (17)
2.2 多元函数极值 (18)
2.1.1多元函数极值的定义 (18)
2.1.2多元函数极值的判定 (19)
第三章凸函数与极值相关理论 (22)
第四章利用凸函数求解极值问题 (24)
4.1将极值问题转化为凸函数问题求解 (24)
4.2弓形面积的最值 (26)
参考文献 (30)
后记 (31)
摘要
本文第一章对凸函数的定义及性质问题作了简单的阐述。研究一元凸函数和多元凸函数的定义，性质及其判定；刻画了凸函数极值点的分布规律，并将所得的结果推广到可导严格凸函数和一般凸函数中。第二章介绍了极值的定义与判别法，从一元极值的定义与判别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。第三章介绍了凸函数与极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。
关键词：凸函数；严格凸函数；极值；最值
Abstract
The extremum problems and it`s corresponding maximum and minimum Value Problems of differentiable convex function are studied in this paper ，and the distribution law of extreme value point of convex function is depicted. The obtained result can be extended to the differentiable strictly convex function and the general convex function
Key words: convex function; strictly convex function; extreme value; maximum and minimum value
前言
函数的极值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数性态的重要特征。在现有文献中，对一般可导函数的极值问题的研究已接近完善，得到了许多极值的充分条件，为求解函数的极值与最值问题带来了极大的便利。但是对于凸函数的极值问题的讨论却鲜见报道。为此，本文从凸函数的基本定义和性质出发，研究可导凸函数极值问题，探讨凸函数极值的充分条件，并讨论相应的最值问题，以期揭示可导凸函数的极值点和最值点的分布规律。
凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen著作中，它在纯粹数学和应用数学的众多领域具有广泛的应用，现已成为数学规划，对策论数理经济学，变分学和最优控制学的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强他们在实践中的应用，产生了广义凸函数。本文由凸函数的定义出发，研究了凸函数的判定及其应用，总结了凸函数的许多重要性质，应用到实际问题中，结合正定矩阵在最优化的图规划和函数极值点问题的应用，拓宽了凸函数极值问题的新领域。
凸函数是一类有着广泛应用的特殊函数，具有许多特殊的性质，它的最大值与最小值有着一些特殊的性质，因此，探讨和总结凸函数的性质及应用能深刻理解和牢固掌握函数的概念和性质，培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用。
本文共分四章，包括了凸函数定义及性质与极值的定义与判别法，凸函数与极值相关理论和利用凸函数求解极值问题。
第一章 凸函数的定义与性质
1.1 一元凸函数的定义与性质
1.1.1一元凸函数的定义
定义1]1[ 设函数()x f 在I 上有定义，若()1,0,2,1∈?∈?λI x x ，总有
()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+ ()1
或
()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≥-+ ()2
称()x f 为I 上的凸函数（凹函数）。
定义2]1[ 在定义1中，若12x x ≠，且不等式（1）（2）严格成立，则称()x f 为I 上严格凸函数（严格凹函数）。
我们给出了凸函数的定义，要证明它是严格凸函数唯一的条件是12x x ≠，只要12x x ≠那么不等式（1）（2）就严格成立。
由定义1，定义2，容易证明：若函数()x f 为I 上的凸函数，则()1,0,2,1∈?∈?λI x x ，有
()()()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≤-+
若0,21≤x x ，则有0,21≥--x x 那么()()()1,0,21∈?∈--?λI x x ，
()()()[]()()()212111x f x f x x f --+-≤--+-λλλλ
则
()()()[]()()()212111x f x f x x f λλλλ-+-≤-+-
有
()()()[]()()()212111x f x f x x f λλλλ-+≥-+
则函数()-f x 为I 上的凹函数。由凸函数的定义我们很容易证明凹函数，由凸函数性质及其相关问题，自然而然的就能推到凹函数中去。
1.1.2一元凸函数的性质
1.凸函数的运算性质
性质1 设函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，则函数)(x f +)(x g 在区间I 也为凸函数。 我们在证明凸函数的运算性质时，知道函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，根据定义
写出它的运算公式，函数)(x f +)(x g 的和就是两个运算公式的和，在区间I 上也是成立的，证明过程如下：
证明： I x x ∈?21,,)1,0(∈?λ , 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数， 从而
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
且
)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+
从而
)]()()[1()]()([)])1(())1(([22112121x g x f x g x f x x g x x f +-++≤-++-+λλλλλλ
因此)(x f +)(x g 在区间I 也为凸函数。
推论 1 设函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，21,k k 为非负实数,则)()(21x g k x f k +也为区间I 上的凸函数。
根据性质1的证明：我们同样可以证明出推论1的结论。证明如下：
I x x ∈?21,,)1,0(∈?λ , 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数， 从而
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
且
)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+
又因为21,k k 为非负实数，所以有
)()(21x g k x f k +=()()2111x x f k λλ-++()()2121x x g k λλ-+
≤()()()[]2111x f x f k λλ-++()()()[]2121x g x g k λλ-+
因此)()(21x g k x f k +在区间I 也为凸函数。
性质2 设函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，则)}(),(max {x g x f 在区间I 也为凸函数。 分析：利用凸函数的定义和两个函数最大值的性质可以证明)}(),(max {x g x f 在区间I 也为凸函数。
证明： I x x ∈?21,,)1,0(∈?λ, 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，从而
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
且
)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+
令)(x F =)}(),(max {x g x f ,则
)})1((),)1((max {))1((212121x x g x x f x x F λλλλλλ-+-+=-+
1212112212max{()(1)(),()(1)()}
max{(),()}(1)max{(),()}()(1)()
f x f x
g x g x f x g x f x g x F x F x λλλλλλλλ≤+-+-≤+-=+-
因此)}(),(max {x g x f 在区间I 也为凸函数。
性质3 设函数)(x f ,)(x g 在区间),(b a 为递增的非负凸函数，则)()(x g x f 在区间
),(b a 也为凸函数。
分析：利用凸函数的定义和函数在区间的单调性可以证明)()(x g x f 在区间),(b a 也为凸函数。
证明：I x x ∈?21,,)1,0(∈?λ, 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，从而
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
且
)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+
从而
121222*********
2
11221122((1))((1))
()()(1)[()()()()](1)()()()()(1)()()()()(1)()()
f x x
g x x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλλλλλ+-+-≤+-++-≤+-≤+-
可得，)()(x g x f 在区间),(b a 也为凸函数。
推论2 )(x f 为区间I 上的凸函数，k 为非负实数，则)(x kf 也为区间I 上的凸函数。 性质4 设函数)(x f 在),(b a 区间为非负凸函数，则)(x f n 在区间),(b a 上也为凸函数。 利用不等式的性质和函数的连续可以证明)(x f n 在区间),(b a 上也为凸函数。 证明： ),(,21b a x x ∈?，因函数)(x f 为非负凸函数，可知)(x f 在x 连续，且
0≤)2(
21x x f +≤
12()()
2
f x f x + 从而)(x f n 在区间),(b a 连续， 因N n ∈?,0,≥?b a 有
()2
n
a b +≤()2n n a b +， 因此
)2(21x x f n
+≤ [
12()()2
f x f x +]n ≤12()()
2n n f x f x + 可知)(x f n 在区间),(b a 上也为凸函数。
性质 5 设函数)(x f 在区间),(b a 为凸函数，设函数)(x g 在区间),(d c 为单调增加凸函数，且)(x f 的值域A=),()},()({d c b a x x f ?∈，则)]([x f g 在),(b a 为凸函数。
证明：I x x ∈?21,,)1,0(∈?λ, 因函数)(x f ,)(x g 在区间I 为凸函数，从而
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+
且
)()1()())1((2121x g x g x x g λλλλ-+≤-+
因此
121212[((1))][()(1)()][()](1)[()]g f x x g f x f x g f x g f x λλλλλλ+-≤+-≤+-
可知)]([x f g 在),(b a 为凸函数。
性质6 设)(x f y =在区间I 为严格减少的凸函数，则反函数)(1
y f
x -=也为凸函数。
分析:根据凸函数的性质和反比例函数的性质，利用函数)(x f y =在区间I 上的单调性可以证明反函数)(1
y f
x -=也为凸函数。
证明：因)(x f y =在区间I 上严格减少，从而存在反函数)(1
y f x -=，设
A=})({I x x f y y ∈=，)1,0(∈?λ.A y y ∈?21,, 则I x x ∈?21,，使
)(),(2211x f y x f y ==
即
)(),(21
211
1y f
x y f
x --==
则)(x f y =为凸函数，从而
)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+=)]}()1()([{211x f x f f f λλ-+-
因为)(x f y =严格减少。因此，
21211)1()]()1()([x x x f x f f λλλλ-+≤-+-
即
)()1()(])1([21
11
211y f
y f
y y f ----+≤-+λλλλ
因此，由定义知)(1
y f
x -=在A=})({I x x f y y ∈=也为凸函数。
2.凸函数的积分性质
将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以
得到许多好的结论。
性质7 设()f x 是[0,)+∞上的凸函数,则0
1()()x
F x f t dt x =?为(0,)+∞上的凸函数.
分析：利用凸函数的定义和求导公式可以证明 01()()x
F x f t dt x
=?为(0,)+∞上的凸函数。
证明：()f x 为[0,)+∞上的凸函数,因此它在(0,)+∞内连续,()f x 在[0,]x 上有界.由此知
1()()x F x f t dt x =?有意义. 0x ?>,令 t
u x = 时
10
00
1()()()x
x t t
F x f t dt f x d f xu du x x x ??=== ?????? 12(0,1),,0x x λ?∈?>，恒有
1
12120
[(1)]{[(1)]}F x x f x x u du λλλλ+-=+-?
=1
120
[(1)]f x u x u du λλ+-?
1
120
[()(1)()]f x u f x u du λλ≤+-? （因f 的凸性）
12()(1)()F x F x λλ=+-
所以F 是(0,)+∞上的凸函数.
性质8 设函数()g x 在[,]a b 上递增,则(,),c a b ?∈函数()()x
c f x g x =?为凸函数.
分析：利用函数的增减性不等式的性质可以证明函数()()x
c
f x
g x =?为凸函数。
证明： 因()g x 递增,积分有意义.且?123x x x <<。
21
2122121()()1
()()x x f x f x g x dx g x x x x x -=≤--?
3
2
3232
32
()()
1()x x f x f x g x dx x x x x -≤
=
--?
故()f x 为凸函数.
1.1.3一元凸函数的判定
定理1]1[ 设函数()x f 为I 上可导，则()x f 为I 凸函数的充要条件是：12,,x x I ?∈总有
()()()()12112x x x f x f x f -'+≥ ()3
且当()x f 为I 上的严格凸函数时，不等式（3）严格成立。
定理[]
22 函数()x f 为I 上的凸函数的充要条件是：总有,,,2121x x x I x x <<∈?
()()()()x
x x f x f x x x f x f --≤--2211 ()4 且当()x f 为I 上的严格凸函数时，不等式（4）严格成立。
定理[]23 函数()x f 为I 上的凸函数的充要条件是：总有,,,2121x x x I x x <<∈? ()()()21
21
1122x f x x x x x f x x x x x f --+--≤
()5 且当()x f 为I 上的严格凸函数时，不等式（5）严格成立。
定理4[11] 设函数)(x f 在开区间I 可导，函数)(x f 在区间I 是凸函数（凹函数）
?I x x ∈?21,，且21x x <,有
)()(2'1'x f x f ≤（)()(2'1'x f x f ≥）.
证明： 只给出凸函数情况的证明，同法可证凹函数的情况。
必要性)(?若函数)(x f 在区间I 是下凸函数，I x x ∈?21,，且21x x <，21:x x x x <
1
1)
()(x x x f x f --≤
22()()
f x f x x x
-- （6）
有
11)()(x x x f x f --≤
2
2)
()(x x x f x f -- 已知函数在1x 与2x 都可导（当然也连续）。根据极限保号性定理分别有
lim
1
x x →11)()(x x x f x f --≤lim 1
x x →22)
()(x x x f x f -- 即
'1()f x ≤
2
121)
()(x x x f x f --
与
11)()(lim
2
x x x f x f x x --→≤2
2)
()(lim
2x x x f x f x x --→ 即
1
212)
()(x x x f x f --≤)(2'x f
于是
)(1'x f ≤
2121)()(x x x f x f --= 1
212)
()(x x x f x f --)(2'x f ≤
充分性)(?I x x x ∈?21,,,且21x x x <<. 根据微分中值定理,221121:,x x x <<<
1
1)
()(x x x f x f --=)(1'ξf
与
2
2)
()(x x x f x f --= )(2'ξf
已知)(1'ξf ≤)(2'ξf ，即
11)()(x x x f x f --≤
22
()()
f x f x x x -- 由（6）式知，函数在区间I 是凸函数。
定理5[11] 若函数)(x f 在开区间I 存在二阶导数，且
（1）I x ∈?,有0)(''>x f ,则函数)(x f 在区间I 严格凸函数。 （2）I x ∈?,有0)(''
1.2 多元凸函数的定义及性质
凸函数的概念可以从一元函数推广到多元函数，但是，这需要多元函数的定义域是凸的。
1.2.1多元凸函数的定义
定义3[12] 设集合n S R ?，若对于任意的12,x x S ∈以及任意的(0,1)α∈，有
12(1)a x x x S αα=+-∈
则称集合S 是凸集。
由定义易知，S 是凸集，当且仅当连接S 中任意两点的线段在S 中。 性质9[12] 集合n S R ?是凸集的充要条件是对于任意自然数2n ≥，若点
12,,,n x x x S ∈ ，则其非负线性组合
1
n
k k k x S α=∈∑
其中0,k α≥且1
1n
k k α==∑.
性质10[12] 任意两个凸集的交集是凸集。 注1 两个凸集的并集未必是凸集。 定义4[12] 设,n A B R ?，定义
},,{B b A a b a c c B A ∈∈+==+μλμλ
性质11[12] 设,()n A B R ?是凸集，,λμ是实数，则A B λμ+是凸集。
定义5[12] 设n S R ?是一非空凸集，:f S R →，若对于任意的12,x x S ∈及任意的
(0,1)α∈，有
1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+-≤+- 则称)(x f 在集合S 上是凸函数；若
1212((1))()(1)()f x x f x f x αααα+-≥+- 则称)(x f 在集合S 上是凹函数。
1.2.2多元凸函数的性质
定理6[12] 设n S R ?是凸集，:f S R →，则)(x f 是凸函数当且仅当对于任意的自然数
2,,1,2,,,k n x S k n ≥∈= 有
1
1
()()n
n
k k k k k k f x f x αα==≤∑∑
其中1
0,1n
k k k αα=≥=∑.
定理7[12] 设()i f x 是凸集S 上的凸函数，1,2,,,i n = 又0,1,2,,i i n α≥= ，则
1()()n
i i i f x f x α==∑是凸函数。
定理8[12] 设:n f R R →是凸函数，:R R ?→是非减凸函数，则复合函数[()]f x ?是n
R 上的凸函数。
1.2.3多元凸函数的判定
如果可行域是凸集，目标函数是凸函数，则所论的最优化问题是一个凸规划问题。那么哪些函数是凸函数呢? 最常见也是最简单的凸函数是变量)(1'???=n x x x 的线性函数，例
如线性规划中的目标函数n n x c x c x c x c x c x c +???+++='44332211，其中)......(,1'=n c c c 。需要指出的是线性函数既是凸函数也是凹函数。
另一类常见的二次函数c x b Gx x x q T T
++=
2
1)( c x b x g x j n
i i n
j i j ij i ++=∑∑==1
1,21 其中
???
?
???
???????=nn n n n n g g g g g g g g g G 2122221
11211
是 n × n 阶 对 称 阵 ， 即)(j i g g ji ij ≠?=，),,(1'=n x x x 。R c b b b n ∈'=,),,(1 。G 为
()x q 的 H e s s e 矩阵。x x T '= 表示向量x 的转置。
当矩阵G 半正定时()x q 是凸函数；当G 正定()x q 是严格凸函数；当G 半负定时()x q 是凹函数；当G 是不定矩阵时，()x q 即不是凸函数也不是凹函数。
定理9 设()x f 是定义在凸函数集D 上的一阶可微连续函数，则()x f 是D 上严格凸函数的充分必要条件是：
)()()()(x y x f x f y f T -?>-，y x D y x ≠∈?,,。
利用凸函数的定义和泰勒展开式即可证明。
证明 必要性： 设()x f 是凸集 D 上的严格凸函数，则对任意的 D y x ∈,和任意的
)1,0(∈λ，有
)()1()()1((x f y f x y f λλλλ-+<-+
由此得
)()()
())((x f y f x f x y x f -<--+λ
λ （7）
由泰勒展开式有
)()()()())((x y o x y x f x f x y x f T -+-?+=-+λλλ
代入 （7）式得
)()()
()()(x f y f x y o x y x f T -<-+
-?λ
λ
两边也关于0→λ取极限即
)()()()(x y x f x f y f T -?>-
充分性：设()x f 满足条件
)()()()(x y x f x f y f T -?>-，
对任意的D y x ∈,， 取y x x )1(λλ-+=，)1,0(∈λ由D 是凸集知D x ∈，由条件得到：
D x x f x x x f x f T ∈?<-?+),()()()( （8）
D x x f x y x f x f T ∈?<-?+),()()()( (9)
用λ乘以( 7 ) 式， 用λ-1乘以( 8) 式后两式相加,得
)()1()())1(()()(y f x f x y x x f x f T λλλλ-+<--+?+.
由于y x x )1(λλ-+=，由上式即可得对D y x ∈?,以及()1,0∈?λ有
)()1()())1((y f x f y x f λλλλ-+<-+
由严格凸函数是定义知，()x f 是凸集D 上的严格凸函数。
定理10 设()x f 是非空凸集n R D ?上的二阶连续可微函数，则若()x f 的He s s e 矩阵)(2x f ?在 D 上正定，则()x f 是 D 上的严格凸函数。
证明： 设()x f 的 H e s s e 矩阵)(2x f ?在 D 上正定，任取两不同点x , y ∈D ，将()x f 在点 x 处展开，有
()()))(()(2
1)()(2x y f x y x y x f x f y f T T
-?-+-?+=ξ （10）
其中()D x y x ∈-+=θξ，)1,0(∈θ，
由)(2x f ?在 D 上的正定性以及x x ≠，y x x )1(λλ-+=，)1,0(∈λ有
0))(()(2>-?-x x f x x T ξ
代入( 9 ) 式即可得到：
()())()(x y x f x f y f T -?>-
对任意不同的D y x ∈,成立，知()x f 是 D 上的严格凸函数。
根据这个定理就可以明白为什么前面所述的二次函数()x q 在 n x n 阶对称矩阵 G 正定时是严格凸的，在G 半正定时是凸的，在G 负定时是严格凹的，在G 半负定时是凹的。
例 1 判断122)(1212
2
21++-+=x x x x x x f 是否为凸函数。 解： 方法一 由条件知 ，
()1),()0,1(,2224),(21
)(212121++???
? ??--=x x x x x x x f T T 从而得到 ：在该二次函数()x f 中，???
?
??--=2224G 是正定的。所以()x f 是严格凸函数。
方法二
由条件得()x f 的H e s s e 矩阵()???
?
??--=?22242x f 是正定的，由定理，知()x f 是严格凸
函数。
第二章 极值的定义及判别法
2.1 一元函数极值
2.1.1一元函数极值的定义
定义1[2] 一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有
)()(0x f x f <
就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0m ax x f y =，0x 是极大值点。
定义2[2] 一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点，都有
)()(0x f x f >
就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作m in y =)(0x f ，0x 是极小值点。 极大点和极小点统称为极值点; 极大值与极小值统称为极值。
注1
（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值。 （4）若)(x f 在某区间内有极值,那么)(x f 在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值。
（5）函数)(x f 在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点。一般地,当函数
)(x f 在某区间上连续且有有限极值点时,函数)(x f 在该区间内的极大值点与极小值点是
交替出现的。
（6）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
2.1.2一元函数极值的判定
定理1[2]（必要条件） 设函数)(0x f y =在点0x 处可导，且在点0x 处取得极值，则函数)(x f 在点0x 的导数)(0'x f =0.
使导数为零的点（即方程0)('=x f 的实根），叫做)(x f 的驻点。
注2
（1）可导函数的极值点必定是它的驻点，但是反过来，函数的驻点并不一定是它的极值点。
例如，3x y =, 0
'
=x y =0,但0x =不是极值点。
（2）如果一个可导函数在所论区间上没有驻点则此函数没有极值，此时导数不改变符号。
（3）不可导点也可能是极值点。
当我们求得函数的驻点后，还需要判定求得的驻点是不是极值。如果是，就要判定函数在该点取得极大值还是极小值。
定理2[2]（第一判别法）设函数)(0x f y =在点0x 的近旁可导且)(0'x f =0.
（1）如果当0x x <时，0)('>x f ；当0x x >时，0)('（2）如果当0x x <时，0)('时，0)('>x f ；则)(x f 在点0x 取得极小值。
定理3[2]（第二判别法）设函数)(x f 在a 存在n 阶导数，且
0)()()()1('''====-a f a f a f n ,0)()(≠a f n
（1）n 是奇数，则a 不是函数)(x f 的极值点； （2）n 是偶数，则a 是函数)(x f 的极值点； 当0)()(>a f n 时，a 是函数)(x f 极小点，)(a f 是极小值； 当0)()(2.1.3可导凸函数的极值问题
定理4]1[设函数()x f 为开区间()b a ,上可导的凸函数，则()b a x ,0∈为()x f 的极小值的充要条件是()00='x f
利用函数的最值得定义和费马定理可以得出此结论。
证明：必要性.设()b a x ,0∈是()x f 的极小值点，又因为()x f 在点()b a x ,0∈上是处处可导的，可以根据费马定理知，()00='x f
充分性.因为()00='x f ，则()b a x ,∈?，又因为0x x ≠，根据定理1，知
()()()()()0000x f x x x f x f x f =-'+≥
函数的零点、极值点、驻点与拐点的关系
在日常生活和高中数学学习中有些相近的概念容易混为一谈，例如： 有的经济学家或股评专家分析预测股市（或房市）的发展，根据......，当前股市形势大好，预期股市成交量或指数会出现“拐点”......，意思说成交量或指数会有从下降到上升的反转。但是，这里引用的“拐点”并非数学意义上的“拐点”。还曾经有一位文科教师在讲课中想说明“一个量随着另一个量的增加而增加“的数量关系，就引用了数学中的“正比例关系“，例如： “知识与阅读量成正比例关系。”显然是不准确，甚至错误的。 人们有时为了使自己的论点可信度高，常常会引用一些数学概念或结论作“马甲“，特别是当今“大数据”时代。但是，数学中许多概念相近，不仅是不熟悉数学的人们搞不清楚，就是从教和学习数学的老师与学生也常常搞混。例如： 函数的零点、极值点、驻点和拐点等，下面针对这几个概念，简单地说说它们的定义、几何意义、联系和区别。 函数的零点是使得函数值为零的自变量的值。例如： f(x)=x-1，x=1就是函数f(x)的零点。 函数的极值点是函数的单调性发生变化的点，或是函数的局部极大值或极小值点。当函数存在导数时，函数的极值点是其导函数的变号零点（2014山东高考数学21题的考点）。例如： f(x)=x^2-1，x=0就是函数的f(x)的极小值点。或者说函数在x=0附近的函数值都比x=0时的函数值大。 且x=1和x=-1是函数f(x)的零点。再如： g(x)=|x|，x=0是函数的极小值点，但不是函数的驻点。函数的驻点是函数一阶导数为零的点，即函数的驻点是函数的导函数的零点。但函数的驻点不一定是函数的极值点。当函数存在导数时，极值点一定是驻点，反之不一定正确。例如：
高等数学第九章多元函数极值典型问题
1 设函数2 2(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常 数a ，并确定极值的类型． 2 求函数2 2 z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小 值． 3（04研） 设(,)z z x y =是由2 226102180x xy y yz z -+--+=确定的函 数，求(,)z z x y =的极值点和极值． 4 求函数23 u xy z =在条件x y z a ++=（其中,,,a x y z R + ∈）下的条 件极值．
1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型． 分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题． 解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点， 则有 2(1,1) (1,1) (1,1)(1,1) 40220f x a y x f xy y ----??=++=??????=+=???， 因此有410a ++=，即5a =-． 因为 22 (1,1) 4f A x -?==?，2(1,1) (1,1) 22f B y x y --?= ==-??， 22 (1,1)(1,1) 22f C x y --?===?， 2242(2)40AC B ?=-=?--=>，40A =>， 所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值． 2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值． 分析 这是多元函数求最值的问题．只需要求出函数在区域内可能的极值点及在区域边界上的最大值和最小值点，比较其函数值即可． 解 由 20z x y x ?=-=?，20z y x y ?=-=?解得0x =，0y =，且(0,0)0z =． 在边界1,0,0x y x y +=≥≥上， 22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+， 它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和 1 4 ； 同理，在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果． 在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上， 22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++，
函数极值的几种求法
函数极值的几种求法 ──针对高中生所学知识 摘要：函数是数学教学中一个重要的组成部分，从小学六年级的一元一次方程继而延伸到初中的一次函数，二次函数的初步介绍，再到高中的函数的单调性、周期性、最值、极值，以及指数函数、对数函数、三角函数的学习，这些足以说明函数在数学教学中的地位。极值作为函数的一个重要性质，无论是在历年高考试题中，还是在实际生活运用中都占有不可或缺的地位。本文主要阐述了初高中常见的几种函数，通过函数极值的相关理论给出每种函数极值的求解方法。 关键词：函数；单调性；导数；图像；极值 Abstract: Function is an important part of mathematics teaching. First the learning of linear equation in six grade, secondly the preliminary introduction of linear functions and quadratic functions in junior high school, then the monotonicity, the periodicity, the most value and the extreme value of function, finally the learning of the logarithmic function, exponential function and trigonometric function in high school. These are enough to show the important statue of the function in mathematics teaching. As an important properties of function, extreme value has an indispensable status whether in the calendar year test, or in daily life. This article will mainly expound the methods of solving the extreme value of sever functions in middle school. Key words: function; monotonicity; derivative; image; extreme value “函数”一词最先是由德国的数学家莱布尼茨在17世纪采用的，当时莱布尼茨用“函数”这一词来表示变量x的幂，也就是x的平方x的立方。之后莱布尼茨又将“函数”这一词用来表示曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等与曲线上的点有关的变量[]1。就这样“函数”这词逐渐盛行。在中国，清代著名数学家、天文学家、翻译家和教育家，近代科学的先驱者善兰给出的定义是：
函数极值点偏移问题
函数极值点偏移问题 在近年的高考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大，往往使得考生望而生畏，不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助．先看一道试题： 【例1】（2015年蚌埠市高三一质检试题）已知函数f（x）=xe－x． （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）若x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证x1+x2＞2．该题意在考查学生运用导数处理有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想． 解析1．e 第（2）问： 构造函数F（x）=f（1+x）－f（1－x）=（1+x）e－（1+x）－（1－x）ex－1，则F'（x）=x［ex－1－e－（1+x）］， 当x＞0时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）单调递增， 又F（0）=0，∴F（x）＞0，即f（1+x）＞f（1－x）． ∵x1≠x2，不妨设x1＜x2，由（1）知x1＜1，x2＞1，所以f（x1）=f（x2）=f［1+（x2－1）］＞f［1－（x2－1）］=f（2－x2），∵x2＞1，∴2－x2＜1，又f（x）在（－∞，1）上单调递增，∴x1＞2－x2，∴x1+x2＞2． 上述解答，通过构造差函数F（x）=f（1+x）－f（1－x），紧接着对F（x）进行求导，判断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作．其解题本质是x1与2－x2的大小关系不易直接比较时，通过化归转化为比较函数值f（x1）与f（2－x2）的大小关系，再结合f（x）的单调性获得解决．这里的1显然是f（x）的极值点，就是直线y=f（x1）=f（x2）=h被函数y=f（x）图象所截线段中点的横坐标，要证x1+x2＞2，只需证f（x1）＞f（2－x2），因此，问题本质是证极值点偏移问题． 若设f（x）的极值点为x0，则可将上述的解题策略程序化如下： ①构造差函数F（x）=f（x0+x）－f（x0－x） ②对F（x）求导，判断F'（x）的符号，确定F（x）的单调性， ③结合F（0）=0，判断F（x）的符号，确定f（x0+x）与f（x0－x）的大小关系
论文函数的极值问题在实际中的应用.
函数的极值问题在实际中的应用 一、函数求极值方法的介绍 利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。 1、一元函数极值的判定及求法 定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。 使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。 定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。 （1）若当时，当时，则在点取得最小值。 （2）若当时，当时，则在点取得最大值。 定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在 处二阶可导，在处二阶可导，且，。 （1）若，则在取得极大值。 （2）若，则在取得极小值。 由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，
在这些点的导数为0，即为驻点。因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。
函数的极值与导数教学设计一等奖
函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
求函数极值的几种方法
求解函数极值的几种方法 1.1函数极值的定义法 说明：函数极值的定义，适用于任何函数极值的求解，但是在用起来时却比较的烦琐. 1.2导数方法 定理（充分条件）设函数()f x 在0x 处可导且0()0f x '=，如果x 取0x 的左侧的值时，()0f x '>，x 取0x 的右侧的值时，()0f x '<，那么()f x 在0x 处取得极大值，类似的我们可以给出取极小值的充分条件. 例1 求函数23()(1)f x x x =-的单调区间和极值 解 23()(1)f x x x =- ()x -∞<<+∞， 3222()2(1)3(1)(1)(52)f x x x x x x x x '=-+-=--. 令 ()0f x '=，得到驻点为10x =，22 5 x = ，31x =.列表讨论如下： 表一：23()(1)f x x x =-单调性列表 说明：导数方法适用于函数()f x 在某处是可导的，但是如果函数()f x 在某处不可导，则就不能用这样的方法来求函数的极值了.用导数方法求极值的条件是：函数()f x 在某点0x 可导. 1.3 Lagrange 乘法数方法 对于问题： Min (,)z f x y = s.t (,)0x y =
如果**(,)x y 是该问题的极小值点，则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 利用这一性质求极值的方法称为Lagrange 乘法数 例2 在曲线3 1(0)y x x = >上求与原点距离最近的点. 解 我们将约束等式的左端乘以一个常数加到目标函数中作为新的目标函 数2231 ()w x y y x λ=++- 然后，令此函数对x 的导数和对y 的导数分别为零，再与原等式约束合并得 43 320201x x y y x λλ?+=?? +=???=? 解得 x y ?=? ?= ?? 这是唯一可能取得最值的点 因此 x y ==为原问题的最小值点. 说明：Lagrange 乘法数方法对于秋多元函数是比较方便的，方法也是比较简单的 :如果**(,)x y 是该问题的极小值点则存在一个数λ，使得 ****(,)(,)0x x f x y g x y λ+= ****(,)(,)0y y f x y g x y λ+= 这相当于一个代换数，主要是要求偏导注意，这是高等代数的内容. 1.4多元函数的极值问题 由极值存在条件的必要条件和充分条件可知，在定义域内求n 元函数()f p 的极值可按下述步骤进行：①求出驻点，即满足grad 0()0f p =的点0p ；②在0 p
二次函数的最值问题(典型例题)
二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面：当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式； (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：3333 y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK AD l K ：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.
练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值． 【拓展练习】 题面：已知：y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点． (1)求k的取值范围； (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2． ①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值． 练习二 金题精讲 题面：已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值． 【拓展练习】 题面：当k分别取1，1，2时，函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
高中数学极值点偏移问题
极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解 分别为 且 <2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 ,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性
二元函数的极值与最值
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
6【题组六】函数极值点问题
例1、已知函数()d cx bx x x f +++=23（d c b 、、为常数），当()1,0∈x 时取极大值， 当()2,1∈x 时取极小值，则()2 2132b c ? ?++- ?? ?的取值范围是（ ） A 、2?? ? ??? B 、 ) C 、37,254?? ??? D 、()5,25 【巩固练习】 设函数cx bx x x f 33)(2 3 ++=有两个极值点21,x x ,且[]0,11-∈x ,[]2,12∈x ,则（ ） A.21)(101- ≤≤-x f B.0)(2 1 1≤≤-x f C.27)(01≤≤x f D.10)(2 7 1≤≤x f 例2、已知函数())1ln(2 ++=x a x x f 有两个极值点21,x x ，21x x <。 （1）求a 的取值范围； （2）求证：()4 2 ln 212->x f
【巩固练习】已知函数()x e mx x f 22 -=有两个极值点21x x <，21,x x 。 （1）求m 的取值范围；（2）求证：()21-<<-x f e 例3、已知函数()()R a ax x x f x x g ∈-==,,ln 2 。 （1） 若()()x g x f ≥对于定义域内的x 恒成立，求a 的取值范围； （2） 设()()()x g x f x h +=函数有两个极值点21,x x ，且?? ? ?? ∈21,01x ，求证： ()()2ln 4 3 21-> -x h x h 【巩固练习】已知. （1）若对于公共定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围; （2）设有两个极值点,且,若恒成立,求实数的最大值. )()()(,ln )(,)(2 x g x f x h x x g ax x x f +==-=)()(x g x f ≥x a )(x h 21,x x )2 1,0(1∈x m x h x h >-)()(21m
导数与函数极值、最值问题(解析版)
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】
试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
高中数知识讲解_函数的极值与最值提高
导数的应用二------函数的极值与最值 【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。 2. 会用导数求函数的极大值、极小值。 3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。 4. 掌握函数极值与最值的简单应用。 【要点梳理】 要点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；
关于极值点的几个题目
关于极值点与零点的几个题 一．解答题（共7小题） 1．已知函数． （1）若y=f（x）在（0，+∞）恒单调递减，求a的取值围； （2）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求a的取值围并证明x1+x2＞2． 2．已知函数f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在定义域有两个不同的极值点 （1）求a的取值围； （2）记两个极值点x1，x2，且x1＜x2，已知λ＞0，若不等式x1?x2λ＞e1+λ恒成立，求λ的取值围． 3．已知函数f（x）=ln﹣ax2+x， （1）讨论函数f（x）的极值点的个数； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣4ln2． 4．已知函数f（x）=（e为自然对数的底数）． （1）若a=，求函数f（x）的单调区间； （2）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）有解，数a的取值围． 5．已知函数f（x）=lnx﹣ax． （Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，数a的取值围；
（Ⅱ）当a=1时，函数有两个零点x1，x2，且x1＜x2．求证：x1+x2＞1． 6．已知f（x）=ln（mx+1）﹣2（m≠0）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若m＞0，g（x）=f（x）+存在两个极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＜0，求m的取值围． 7．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R），g（x）=f′（x）． （1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，数a 的值； （2）若函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣1＜f（x1）
函数的极值和最值(讲解)
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；
【高考数学】函数极值点高考压轴题
题目：已知函数()sin 1x f x e x =--，()1sin x g x e x x x =---. （1）证明：不等式()0f x >对(1,0)x ∈-恒成立；（2）证明：函数()g x 在1, 2π??- ???存在两个极值点.附：10.367e ≈，sin10.841≈，cos10.540≈这是武汉市2020届高中毕业生五月质量检测文科数学第21题。该题文字表述精练简洁，紧扣全国Ι卷命题特点，深入考查数学核心素养与关键能力。试题出现后，便引发一片热烈讨论：这道试题的命题背景是怎样的，它是如何打磨形成的，其潜在的教学价值如何发掘？本文和诸位同仁分享我们命制此题过程中的磨砺过程。 1.分析试题背景 近几年全国Ι卷导数压轴试题以师生熟悉的初等函数模型为载体，有效进行深度整合，试题平易近人，虽然简约但不简单，突出考查数学的核心素养与关键能力。为此，我们决定要充分尊重全国Ι卷的命题风格，积极地贯彻与落实导数内容的考查要求，从而有利于引导师生进行有效的针对性复习。 命制试题之前，我们主要参考了如下试题： 参考题1（2019年全国Ι卷文科第20题）已知函数' ()2sin cos ,()f x x x x x f x =--为()f x 的导数。 （1）证明：'()f x 在区间(0,)π存在唯一零点；（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，求a 的取值范围。 参考题2（2019年全国Ι卷理科第20题）已知函数' ()sin ln(1),()f x x x f x =-+为()f x 的导数，证明： （1）'()f x 在区间1,2π? ?- ??? 存在唯一极大值点；
(三次)函数的极值问题
(三次)函数的极值问题 【例题】 求函数在上的极大极小值。 1.【就题讲题】 ●分析题干 求函数的极值问题。 ●思路 Q:什么是极值，极值的定义。（极值与f’(x)=0、f’(x)无意义点的关系。） A: 如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），则函数在该点处的值就是一个极大（小）值。 Q:怎么根据定义求极值点？ A:简单说，求极值点就是找出那些满足f’(x)=0的点，检查f'(x)在方程的左右的值的符号，符号不同则为极值点，相同则不是。（如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。）值得一提是，f'(x)无意义的点也要讨论。
过程讲解 解： 由可求得。由于不存在点使得无意义，不用讨论。 求解，解得。 易得f’(x)的图像（或简单判断也行）： 列图表： 可知在取得原函数的极大值，在处取得原函数的极小值。 将带入原函数即可求出极大极小值。
2.【内容拓展】 将题目变为求函数在例如区间内的最大最小值。 解题步骤 1.按照之前讲过的方法，求出原函数的极大极小值点。 2.根据导数性质与原函数性质大致判断函数图象。（例如此题f(0)=0） 3.判断极值点横坐标是否落在所求区间之内。（一般都会落在所求之内。） 4.求出落在所求区间内的极值与区间两端点值，结合图象判断最大最小值。
3．【拔高】 要注意函数的不可导点或导函数无意义点有的是极值点，有的不是极值点，要结合图象或者列表进行判断，不能随意说其不是极值点。例如： 在处不可导，其极小值点也是在处取得。 在处不可导又时，；时 处不是极值点，即函数不存在极值点
判定一类函数极值点的简单方法
第38卷 第4期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 38 No.4 2018年 4月 Journal of Science of Teachers′College and University Apr. 2018 文章编号：1007-9831（2018）04-0010-03 判定一类函数极值点的简单方法 黄伟 （太原城市职业技术学院 信息工程系，山西 太原 030027） 摘要：对于一阶导数可分解为()1 i i q m p i i k x a =-?类型的函数，给出了判断函数极值点的简单方法．给 出判定此类型函数极大值点和极小值点的一种简单方法，并给出相关例题加以说明． 关键词：函数；极值点；极大值点；极小值点 中图分类号：O171 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2018.04.004 The simple method for determining the extreme point of a type of function HUANG Wei （Department of Information Technology，Taiyuan City Vocational College，Taiyuan 030027，China） Abstract：For a type of function which first derivative can be decomposed into ()1 i i q m p i i k x a =-?，ａsimple method of determining the extreme point of a type of function is given．A simple method to determine the relative maximum point and relative minimum point of the type of function is given，and gives some related examples to illustrate. Key words：function；extreme point；relative maximum point；relative minimum 一般地，要求函数的极值点，首先要求出函数的一阶导数，得出可能的极值点，再利用极值点的充分 条件，逐一对这些可能的极值点进行判断，当这些可能的极值点较多时，判断起来较为繁琐．此外，在判定极大值点或极小值点时，无论利用极值第一充分条件还是第二充分条件，判定起来都不够方便．本文对一阶导数可分解为()1i i q m p i i k x a =-?类型的函数的极值点判断提供了一种简单便捷的方法，同时在确定极值点 的条件下，给出了判定此类型函数极大值点和极小值点的一种简单的规律性方法，并举例加以说明． 定理1 设()f x 在其定义域D 内可导，且其导数可分解为()1 ()i i q m p i i f x k x a =￠=-?的形式，即 () () ()() 121 2 12()i m i m q q q q p p p p i m f x k x a x a x a x a ￠=----L L （1） 其中：12, , , m a a a L 为互不相等的实数；k 为常数；1 1, , m m q q p p L 均为最简分数，那么 （1）i p 为偶数时，i x a =不是()f x 的极值点； （2）i p 为奇数，i q 为偶数时，i x a =不是()f x 的极值点； （3）i p 为奇数，i q 为奇数时，i x a =一定是()f x 的极值点． 证明 不妨假设12m a a a <<高等数学(上册)教案15 函数的极值与最值
第3章 导数的应用 函数的极值与最值 【教学目的】： 1. 理解函数的极值的概念； 2. 掌握求函数的极值的方法； 3. 了解最大值和最小值的定义； 4. 掌握求函数的最值的方法； 5. 会求简单实际问题中的最值。 【教学重点】： 1. 函数极值的第一充分条件，第二充分条件； 2. 导数不存在情况下极值的判定； 3. 函数最值的求解方法； 4. 函数的最值的应用。 【教学难点】： 1. 导数不存在情况下极值的判定； 2. 区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点； 3. 区分极值点与极值，最值点与最值； 4. 函数的最值的应用。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 3.3.1函数的极值 从图3-7可以看出，函数)(x f y =在点2x 、5x 处的函数值2y 、5y 比它们近旁各点的函数值都大；在点1x 、4x 、6x 处的函数值1y 、4y 、6y 比它们近旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义： 一般地， 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对 于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大值，0x 称为极大值点；若对于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有 )()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极小值，0x 称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意 可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 极值的第一充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内可导且0)(0='x f ，则 （1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，0)(0>'x f ；当x 取0x 右侧邻近的值时， 图3-7 y O x a 1 x 2 x 3x 4x 5 x b
