难点3力矩平衡条件及应用
难点3 力矩平衡条件及应用
力矩平衡以其广泛的实用性，再次被考纲列为考查的内容，且以此知识点为素材的高考命题屡次再现于近几年高考上海卷及全国理综卷中.其难点分布于：（1）从实际背景中构建有固定转动轴的物理模型.（2）灵活恰当地选取固定转动轴.（3）将转动模型从相关系统（连结体）中隔离分析等.
●难点磁场
1.（★★★★）如图3-1所示，一根长为L 的轻杆OA ，可绕水平轴O 在竖直平面内自由转动，左端A 挂一质量为m 的物体，从杆上一点B 系一不可伸长的细绳，将绳跨过光滑的钉子C 与弹簧K 连接，弹簧右端固定，这时轻杆在水平位置保持平衡，弹簧处于伸长状态，已知OB =OC =
3
2
L ，弹簧伸长量恰等于BC ，由此可知，弹簧的劲度系数等于______. 2.（★★★★★）（1997年上海，6）如图3-2所示是一种手控制动器，a 是一个转动着的轮子，b 是摩擦制动片，c 是杠杆，O 是其固定转动轴.手在A 点施加一个作用力F 时，b 将压紧轮子，使轮子制动.若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说
法正确的是
A.轮a 逆时针转动时，所需的力F 较小
B.轮a 顺时针转动时，所需的力F 较小
C.无论逆时针还是顺时针转动，所需的力F 相同
D.无法比较F 的大小
●案例探究 ［例1］（★★★★★）如图3-3所示，长为L 质量为m 的均匀木棒，上端用绞链固定在物体上，另一端放在动摩擦因数为μ的小车平台上，小车置于光滑平面上，棒与平台的夹角为θ，当：
（1）小车静止时，求棒的下端受小车的支持力；
（2）小车向左运动时，求棒的下端受小车的支持力； （3）小车向右运动时，求棒的下端受小车的支持力.
命题意图：题目出示的物理情境，来考查考生受力分析能力及力矩平衡条件
的应用能力.B 级要求.
错解分析：对“车的不同运动状态使棒所受摩擦力大小方向的变化”理解分析不透，从而错列力矩平衡方程. 解题方法与技巧：（1）取棒为研究对象.选绞链处为固定转动轴，除转动轴对棒的作用力外，棒的受力情况如图3-4所示，由力矩平衡条件知：
F N 1Lc os θ=mg
2
L
c os θF N 1=21mg
图3—4 图3—5
（2）小车向左运动，棒另外受到一个水平向左的摩擦力F 1作用，受力如图3-5所示，则有2N F Lc os θ=mg 2
L
cos θ+μ2N F L sin θ
所以2N F =
)
tan 1(2θμ-mg
,则2N F ＞1N F
（3）小车向右运动时，棒受到向右的摩擦力F 2作用，
受力如图3-6所示，有
3N F L cos θ+μ3N F L sin θ=mg
2
L
cos θ 解得3N F =
)
tan 1(2θμ+mg
所以3N F ＜1N F
图3-1
图3-2
图3-3 图3—6
本题的关键点是取棒作为研究对象，由于车有不同的运动方向，故棒所受摩擦力的方向也不同，从而导致弹力的不同.
［例2］（★★★★★）（2002年上海卷）如图3-7所示，一自行车上连接脚踏板的连杆长R 1，由脚踏板带动半径为r 1的大齿盘，通过链条与半径为r 2的后轮齿盘连接，带动半径为R 2的后轮转动
.
图3—7
（1）设自行车在水平路面上匀速行进时，受到的平均阻力为f ，人蹬脚踏板的平均作用力为F ，链条中的张力为T ，地面对后轮的静摩擦力为f s .通过观察，写出传动系统中有几个转动轴，分别写出对应的力矩平衡表达式；
（2）设R 1=20 cm ，R 2=33 cm ，脚踏大齿盘与后轮齿盘的齿数分别为48和24，计算人蹬脚踏板的平均作用力与平均阻力之比；
（3）自行车传动系统可简化为一个等效杠杆.以R 1为一力臂，在框中画出这一杠杆示意图，标出支点，力臂尺寸和作用力方向.
命题意图：以生活中的自行车为背景，设立情景，考查运用力矩、力矩平衡条件解决实际问题的能力，尤其是构建物理模型的抽象、概括能力.B 级要求.
错解分析：（1）尽管自行车是一种常见的交通工具，但多数考生缺少抽象概括的能力，无法构建传动系统简化的杠杆模型.（2）不能再现自行车的工作过程，无法将r 1/r 2之比与两个齿盘的齿数之比加以联系，导致中途解题受阻.
解题方法与技巧：（1）自行车传动系统中的转动轴个数为2，设脚踏齿轮、后轮齿轮半径分别为r 1、r 2，链条中拉力为T .
对脚踏齿盘中心的转动轴可列出：FR 1=Tr 1 对后轮的转动轴可列出：Tr 2=f s R 2 （2）由FR 1=Tr 1,Tr 2=f s R 2 及f s =f （平均阻力）
可得
24
48
2121=
=r r R f FR s 所以
10
33202433481221=??==R r R r f F =3.3 （3）如图3-8所示
图3-8
●锦囊妙计 一、高考走势
随着中学新课程方案推广与实施，
“有固定转动轴物体的平衡”以其在现实生活中应用的广泛性，再次被列为高
考命题考查的重要内容之一.近几年高考上海卷及2002年全国综合卷的命题实践充分证明了这一点.可以预言：以本知识点为背景的高考命题仍将再现.
二、物体平衡条件
实际上一个物体的平衡，应同时满足F 合=0和M 合=0.共点力作用下的物体如果满足 F 合=0，同时也就满足了M 合=0，达到了平衡状态；而转动的物体只满足M 合=0就不一定能达到平衡状态，还应同时满足F 合=0方可.
三、有固定转动轴物体平衡问题解题步骤
1.明确研究对象，即明确绕固定转动轴转动的是哪一个物体.
2.分析研究对象所受力的大小和方向，并画出力的示意图.
3.依题意选取转动轴，并找出各个力对转动轴的力臂，力矩的大小和方向.
4.根据平衡条件（使物体顺时针方向转动的力矩之和等于使物体逆时针方向转动的力矩之和）列方程，并求解. ●歼灭难点训练 1.（★★★）（1992年全国，25）如图3-9所示 ，AO 是质量为m 的均匀细杆，可绕O 轴在竖直平面内自由转动.细杆上的P 点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡.已知杆的倾角为θ，AP 长度是杆长的
4
1
，各处的摩擦都不计，则挡板对圆柱体的作用力等于____________.
2.（★★★★）一根木料长5.65 m ，把它左端支在地上，竖直向上抬起它的右端时，用力480 N ，用相似的方法抬起它的左端时，用力650 N ，该木料重___________N.
3.（★★★★）如图3-10所示，两个等重等长质料均匀直棒AC 和BC ，其各自一端分别通过转轴与墙壁绞结，其另一端相连于C 点，AC 棒与竖直墙夹角为45°，BC 棒水平放置，当两棒均处于平衡状态时，则BC 棒对AC 棒作用力方向
可能处于哪一区域
A.甲区域
B.乙区域
C.丙区域
D.丁区域
4.（★★★★）如图3-11所示，长为l 的均匀横杆BC 重为100 N ，B 端用铰链与竖直的板MN 连接，在离B 点
5
4l
处悬吊一重为50 N 的重物测出细绳AC 上的拉力为150 N ，现将板MN 在△ABC 所在平面内沿顺时针方向倾斜30°，这时AC 绳对MN 板的拉力是多少？
5.（★★★★★）如图3-12所示，均匀木板AB 长12 m ，重200 N ，在距A 端3 m 处有一固定转动轴O ，B 端被绳拴住，绳与AB 的夹角为30°，板AB 水平.已知绳能承受的最大拉力为200 N ，那么重为600 N 的人在该板上安全行走，离A 端的距离应在什么范围？
6.（★★★★★）如图3-13所示，梯与墙之间的摩擦因数为μ1，梯与地之间的摩擦因数为μ2，梯子重心在中央，梯长为L .当梯子靠在墙上而不倾倒时，梯与地面的最
小夹角θ由下式决定：tan θ=
2
2
121μμμ-，试证之
.
图13—3
参考答案： ［难点磁场］ 1.9mg /4L 2.A ［歼灭难点训练］
图
3-9
图3-10
图3-11
图3-12
1.
3
1
mg sin2θ 2.1130 3.D 4.130 N 5.作出AB 板的受力图3′-1
G 人×x -G ×CO =0
人在O 轴左端x 处，绳子拉直拉力为零.由力矩平衡可得： x =
人
G CO G ?=6003
200?=1 m.即离A 端2 m 处.
人在O 轴右端y 处，绳子的拉力T =200 N ，由力矩平衡得：T sin30°×BO -G 人y -G ×CO =0.
y =600
3
200921
200sin30人?-??=?-?G CO G BO T
=0.5 m
即离A 端3.5 m.
所以人在板上安全行走距A 端的距离范围为 2 m ≤x ≤3.5 m 6.略
图3′—1