第十一章 三角形
与三角形有关的线段
11.1.1 三角形的边
.
. . .
. . 打“×”.
( ) ( ) ( ) ( ) _____相连所组成的图形.
____、______、______; A 、B 、C 为三角形的三个顶点;
A 、∠
B 、∠ C.∠A,∠B,∠
C 是相邻两边组成
的三角形记作: △ ,读作: .
________三角形,_____三角形和______三角形.
_______________________________________.
A B
C
:如果以三角形边的元素的不同,三角形该如何分类呢?观察图形作答.
答:理由是______________________________.
5.一根木棒长为7,另一根木棒长为2,那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗?长度为11的木棒呢?若不能拼成,则第三条边应在什么范围呢?
二、课堂小结
1.图中锐角三角形的个数有( )
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2.用木棒钉成一个三角架,两根小棒分别是7cm和10cm,第三根小棒可取( )
A.20cm
B.3cm
C.11cm
D.2cm
3.如图,在△ACE中,∠CEA的对边是.
4.已知等腰三角形的两边长分别为8cm,3cm,则这个三角形的周长为_______.
5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.
拓展提升
6.已知:a、b、c为三角形的三边长,化简:|b+c-a|+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|.
(2)自主归纳
①_x0001_三角形角平分线定义:____________________________________________.
C
三角形的高或其延长线相交于一点,锐角三角形的三条高的交点在三角形直角三角形的三条高的交点在直角三角形的顶点上,
点在三角形的外部.
方法总结:面积法的应用:若涉及两条高求长度,一般需结合面积(但不求出面积),利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 探究点2:三角形的中线
问题1
:任意作一个三角形,画出它的三条中线,观察,有什么结论?
问题2:如图,AD 为△ABC 的中线,猜想△ABD 与△ACD 的面积关系,并证明.
【归纳总结】1.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 例2:如图,在△ABC 中,E 是BC 上的一点,EC =2BE ,点D 是AC 的中点,设△ABC ,△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ,S △ADF 和S △BEF ,且S △ABC =12,求S △ADF -S △BEF 的值.
方法总结:三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分;高相等时,面积的比等于底边的比;底相等时,面积的比等于高的比.
探究点3:三角形的角平分线
例3:如图,DC 平分∠ACB ,DE ∥BC,∠AED=80°,求∠ECD 的度数.
二、课堂小结
三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足间的线段.
三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段.三角形的中 线把三角形分为面积相等的两个三角形. 三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连接这个 角的顶点与交点的线段.
三角形的有关线段
1
.下列说法正确的是
( ) A .三角形三条高都在三角形内 B .三角形三条中线相交于一点 C .三角形的三条角平分线可能在三角形内,也可能在三角形外 D .三角形的角平分线是射线
2.在△ABC 中,AD 为中线,BE 为角平分线,则在以下等式中:①∠BAD =∠CAD ;
②∠ABE =∠CBE ;③BD =DC ;④AE =EC .其中正确的是 ( ) A .①② B .③④ C .①④ D .②③
3.如图,△ABC 中∠C =90°,CD ⊥AB ,图中线段中可以作为△ABC 的高的有 ( ) A .2条 B .3条 C .4条 D .5条
4.画△ABC 中AB 边上的高,下列画法中正确的是 ( )
A B C D 5.(1) ∵BE 是△ABC 的角平分线,
∴____ = _____= 2
1 _____.
(2)∵CF 是△ABC 的角平分线, ∴∠ACB= 2______= 2______. 第5题图 第6题图
6.如图,AD 是△ABC 的中线,CE 是△ACD 的中线,S △AEC=3cm 2
,则S △ABC =____.
7.在△ABC 中,CD 是中线,已知BC -AC =5cm, △DB C 的周长为25cm,求△ADC 的周长.
C
三角形木架形状______改变,四边形木架形状_____改变(填“会”或“不会”)
4.结论:
三角形具有稳定性,四边形没有稳定性。
5.举出生活中利用三角形稳定性的实例:
针对训练
1. 不是利用三角形稳定性的是()
A. 自行车的三角形车架
B. 三角形房架
C. 照相机的三脚架
D. 矩形门框的斜拉条
2.下列图形中哪些具有稳定性.
探究点2:四边形不稳定性的应用
1.想一想:四边形的不稳定性是我们常常需要克服的,那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢?如果有,你能举出实例吗?
2.动手操作
将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗?
例1:要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边形木架保持稳定该怎么办呢
?
【方法总结】为了使多边形具有稳定性,一般需要用木条将多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式.
例2:1.牧民阿其木家用于圈羊的木栅门,由于年久失修已经变成如图甲,为什么会变形?
2.为了恢复成原样图乙,而且要保持形状不变,他该怎么做呢?
【针对练习】
1.盖房子时,在窗框未安装好之前,工人师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢
?
2.钉子架容易转动,怎样做可以使它稳定?在图中画一画
.
二、课堂小结:
三角形具有稳定性,四边形没有稳定性。它们都有一定的实用价值。
1.下列图形中具有稳定性有
( )
A. 2个
B. 3个
C.4个
D.5个
2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说法正确的是 ( ) A.稳定性总是有益的,而不稳定性总是有害的 B.
稳定性有利用价值,而不稳定性没有利用价值 C.稳定性和不稳定性均有利用价值 D.以上说法都不对
3.如图,工人师傅砌门时,常用木条EF 固定门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据 是( )
A.两点之间线段最
B.三角形两边之和大于第三边
C.长方形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
第3题图 第4题图 第5题图
4.如图,桥梁的斜拉钢索是三角形的结构,主要是为了 ( ) A.节省材料,节约成本 B.保持对称 C.利用三角形的稳定性 D.美观漂亮
5.用六条钢管连接成的钢架,为使这一钢架稳固,用三条钢管连接使它不变
(1)(2)(3)(4)(5)(6)
形,你能想出办法解决这个问题吗?多多益善
.
2. _____(
三、自学自测
在△ABC 中,若∠A =35°,∠B
四、我的疑惑
三、要点探究
探究点1活动: 问题1:发现证明的思路吗?
已知:如图,△ABC ,
求证:∠A+∠B+∠C=180°。
证明1:延长BC 到D ,过点C
已知:如图,△ABC , 求证:∠A+∠B+∠C=180°。 证明2:过点A 作l ∥BC ,
问题2:将自己剪下来的内角拼合在一起,除了上面两种拼接方式,你还能想到其
他的拼法吗?用这种拼法你能证明三角形的内角和定理吗?
要点归纳:借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角. 三角形的内角和为_______。 探究点2:三角形内角和定理的应用
例1 (教材例1变式题)如图,CD 是∠ACB 的平分线,DE ∥BC ,∠A =
50°,∠B =70°,求∠EDC ,∠BDC 的度数.
方法总结:平行线、角平分线与三角形的内角和定理相结合时,找到相等的角是关键.
例2 在△ABC 中, ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍,∠C 比∠B 大15°,求∠A ,∠B ,∠C 的度数.
方法总结:在题中出现了角度的倍分、和差、比例关系时,通常会运用到方程思想,先设未知数,再运用三角形的内角和定理列方程求解.
例3 (教材例2变式题)如图,B 岛在A 岛的南偏西40°方向,C 岛在A 岛的南偏东15°方向,C 岛在B 岛的北偏东80°方向,求从C 岛看A ,B 两岛的视角∠ACB 的度数.
1.求出下列各图中的x值.
2.如图,则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
3.如图,四边形ABCD中,点E在BC上,∠A+∠ADE=180°,∠B=78°,∠C=60°,求∠EDC的度数.
4.如图,在△ABC中,∠B=42°,∠C=78°,AD平分∠BAC.求∠ADC的度数.
拓展提升
5.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.
(1)若∠BAC=60°,求∠BPC的度数.
(2)你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗?
图②
°,则∠C=_______
结论:有两个角_______的三角形是直角三角形.
三、自学自测
在任意Rt△ABC中,∠C=90°,两锐角的和等于多少呢?
ACB=90°,D是AB
第12章 数的开方 导学方案 第一课时 一、自主学习: 【导学提纲】 1.我们已学过哪些数的运算? 2.加法与减法这两种运算之间有什么关系?乘法与除法之间呢? 3.什么是平方根?一个数的平方根如何表示呢?什么是算术平方根?什么叫开平方? 4、一个数的平方根有什么特点? 5、要剪出一块面积为25 cm 2 的正方形纸片,纸片的边长应是多少? 【预习填空】 ★1、如果一个数的 等于a ,那么这个数叫做a 的 。 ★2、一个正数必定有 ,它们互为 ,其中正数a 的 叫做a 的算术平方根;0的平方根 (有且只有 个);负数 ; 3、一个正数a 的平方根记作 (符号表示),其中 是算术平方根, 称为被开方数; 4、求一个 ,叫做开平方,将一个正数开平方,关键是找出它的一个 ; 5、练习: (1)∵( )2 =25 ∴正数25的平方根是 ,可表示为± =±5; (2)∵( )2=0.09 ∴正数0.09的平方根是 ,可表示为 = ; (3)∵( )2=16/25 ∴16/25的平方根是 ,可表示为 = ; (4)∵( )2=0 ∴0的平方根是 ,可表示为 = ; (5) ∵负数 ,∴ -4 。 6、已知一个数的平方等于10000,那么这个数是 . 【学贵有疑】 组长或学科导生检查情况(等级): 组长或导生(签字): 二 ·展示提升 1、填空(1) 144的平方根是 ; (2) 0的平方根是 ; (3) 25 4 的平方根是 ; (4) -4有没有平方根?为什么? 2、求下列各数的算术平方根。 (1)121 (2)2 14 (3)64 (4)102 ;(5)0;
3、求下列各数的平方根:(1)81;(2)0.09;(3)1600;(4)49/25;(5)0.0256; 4、下列各数有平方根吗?如果有,写出它的平方根;如果没有,请说明理由. (1)-64; (2)0; (3)(-4)2 三、合作交流:如果我们知道了两个平方根中的一个,那么是否可以得到它的另一个平方根呢?为什么? 知识回顾与小结 1、平方根的性质:一个正数有个平方根,它们互为;0有一个平方根,它是;负数没有. 2.一个非负数a的平方根的表示法:当a>0时,a的正的平方根用符号“2a”表示,a的负的平方根用符号“-2a”表示,这两个平方根合起来可以记作“2a ”;其中a叫做被开方数,2叫做根指数;根指数为2时,一般略去不写. 3.求一个数的平方根,可以通过平方运算来解决 四、达标检测: 1、、下列说法正确的个数是() ①0.25的平方根是0.5;②-2是4的平方根;③只有正数才有平方根;④负数没有平方根. A.1 B.2 C.3 D.4 2.求下列各数的平方根.0,1 9 ,17, 25 64 ,(-2)2,2 1 4 ,-16. 3). A.±4 B.4 C.±2 D.2 4.求下列各数的算术平方根. (1)0.0025;(2)(-6)2;(3)0;(4)(-2)×(-8). 5.下列说法中错误的是() A是5的平方根 B.-16是256的平方根 C.-15是(-15)2的算术平方根 D.±2 7 是 4 49 的平方根 五、课外作业: 六、学后反思:你都学到了些什么?有哪些地方还是让你感到疑惑的?…… 数的开方导学方案第二课时
新人教版八年级下册数学导学案(全册) 第十六章 分式 16.1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1. 了解分式、有理式的概念. 2.理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件;能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1.重点:理解分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 2.难点:能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1.让学生填写P4[思考],学生自己依次填出:7 10,a s ,33 200,s v . 2.学生看P3的问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少? 请同学们跟着教师一起设未知数,列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时,逆流航行60千米所用时间v -2060小时, 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100,v -2060,a s ,s v ,有什么共同点?它们与分数有什么相同点和不 同点? 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时,分式有意义. [分析]已知分式有意义,就可以知道分式的分母不为零,进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为:当x 为何值时,分式无意义.你知道怎么解题吗?这样可以使学生一题二用,也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时,分式的值为0? (1) (2) (3) [分析] 分式的值为0时,必须同时.. 满足两个条件:○1分母不能为零;○2分子为零,这样求出的m 的解集中的公共部分,就是这类题目的解. [答案] (1)m=0 (2)m=2 (3)m=1 六、随堂练习 1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式? 1-m m 3 2+-m m 112 +-m m
第一课时三角形的边 一、新课导入 1、三角形是我们早已熟悉的图形,你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗? 2、对于三角形,你了解了哪些方面的知识?你能画一个三角形吗? 二、学习目标 1、三角形的三边关系。 2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。 三、研读课本 认真阅读课本的内容,完成以下练习。 (一)划出你认为重点的语句。 (二)完成下面练习,并体验知识点的形成过程。 研读一、认真阅读课本(P63至P64“探究”前,时间:5分钟) 要求:知道三角形的定义;会用符号表示三角形,了解按边角关系对三角形进行分类。一边阅读一边完成检测一。 研读二、认真阅读课本( P64“探究”,时间:3分钟) 要求:思考“探究”中的问题,理解三角形两边的和大于第三边; 游戏:用棍子摆三角形。 检测练习二、6、在三角形ABC中, AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC 7、假设一只小虫从点B出发,沿三角形的边爬到点C, 有路线。路线最近,根据是:,于是有: (得出的结论)。 8、下列下列长度的三条线段能否构成三角形,为什么? (1)3、4、8 (2)5、6、11 (3)5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本( P64例题,时间:5分钟) 要求:(1)、注意例题的格式和步骤,思考(2)中为什么要分情况讨论。 (2)、对这例题的解法你还有哪些不理解的? (3)、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习三、 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍,求各边的长; ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.(要有完整的过程啊!) 解: (三)在研读的过程中,你认为有哪些不懂的问题? 四、归纳小结 (一)这节课我们学到了什么?(二)你认为应该注意什么问题? 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 (1)等边三角形是等腰三角形 (2)三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 (3)三角形的两边之差大于第三边 (4)三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
b a c A B C 八年级数学 SX-14-B-001 《11.1与三角形有关的线段导学案》导学案 编写人:王海香 审核人: 【学习目标】 1.三角形的定义及三角形的边、顶点、角的概念; 2.三角形的分类; 【学习重点、难点】 1.三角形的分类;2.三角形第三边的关系; 一、基础梳理 1.三角形定义:由不在 的三条线段,首尾 所组成的图形叫做三角形; 练习:根据你的理解,下列的图形是三角形有哪些? 2.三角形的表示:如图1所示,顶点是A 、B 、C 的三角形记作 ,三角形的三边 分别是 ,三个顶点是 ,三个内角是 ; 3.三角形的分类: ????? 三角形,每一个内角都 90 ○ ; 按角分 三角形,有一个内角 90○ ; 三角形,有一个内角 90○ ; 注:等腰三角形是 条边相等的三角形;等边三角形是 条边相等的三角形。 那么等边三角形是否属于等腰三角形呢? 。 三角形,三边 ; 按边分 三角形 两 边 ; 三边 ;( 三角形) 二、练一练 1、图中有 个三角形?分别是: 。 2、图中以E 为顶点的三角形是: 。 3、 图中以∠D 为角的三角形是: 。 4、图中以AB 为边的三角形是: 。 三、议一议 右图中由A 点至B 点,有 条路线。那条路线最近? 根据是:_________ 这样三角形的三边之间存在着这样的不等关系:_____________________________________. 于是有:(得出的结论) 。 新知运用:下列长度的三条线段能否组成三角形? ① 3,4,11 ( ) ② 2,5,6 ( ) ③ 3,5,8 ( ) 四、(学习教材P3例子,仿照例子再完成下面的习题。)
11.1 与三角形有关线段 11.1.1 三角形边 1.通过具体实例,认识三角形概念及其基本要素. 2.学会三角形表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类. 3.掌握三角形三边关系. 阅读教材P2~4,完成预习内容. 知识探究 (一)三角形 1.定义:由不在____________三条线段首尾________所组成图形叫做三角形. 2.有关概念 如图,线段AB,BC,CA是三角形________,点A,B,C是三角形________,∠A,∠B,∠C是相邻两边组成角,叫做三角形________,简称三角形角. 3.表示方法:顶点是A,B,C三角形,记作“________”,读作“____________”. (1)三角形表示方法中“△”代表“三角形”,后边字母为三角形三个顶点,字母顺序可以自由安排,即△ABC,△ACB,△BAC,△BCA,△CAB,△CBA为同一个三角形. (二)三角形分类 1.等边三角形:三条边都________三角形.