二次函数知识点总结大全一
二次函数知识点:
1.二次函数的概念:一般地,形如2
y ax bx c
=++(a b c
,,是常数,0
a≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0
,可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
a≠,而b c
2. 二次函数2
=++的结构特征:
y ax bx c
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
⑵a b c
,,是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:2
=的性质:
y ax
结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
总结:
2. 2
y ax c
=+的性质:
结论:上加下减。
总结:
3. ()2
y a x h
=-的性质:
结论:左加右减。
总结:Array
4. ()2
y a x h k
=-+的性质:
总结:
二次函数图象的平移 1. 平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下:
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
三、二次函数()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较
请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成
()2
y a x h k =-+。
总结:
从解析式上看,()2
y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者
通过配方可以得到前者,即2
2424b ac b y a x a a -?
?=++ ??
?,其中2424b ac b h k a a -=-=
,.
四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c
=++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ,、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,
()20x ,
(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y
轴的交点.
五、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b
x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,. 当2b x a <-
时,y 随x 的增大而减小;当2b
x a
>-时,y 随x 的增大而增大;当2b
x a
=-时,y 有最小值
244ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b
x a
=-
,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b
x a
=-时,y 有最大值244ac b a -.
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠);
2. 顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);
3. 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函
数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠.
⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大;
⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大.
总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,
当0b >时,02b
a
-<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
>,即抛物线对称轴在y 轴的右侧.
⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即 当0b >时,02b
a
->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧; 当0b =时,02b
a
-=,即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02b
a
-
<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧. 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置. 总结: 3. 常数项c
⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0;
⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.
总之,只要a b c ,,都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;
()2
y a x h k =-+关于x 轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =---;
2. 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+;
()2
y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =++;
3. 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2
y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =-+-; 4. 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-;
()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2
y a x h k =--+.
5. 关于点()m n ,
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ,对称后,得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况):
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.
图象与x 轴的交点个数: ①
当240b ac ?=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ,
,,12()x x ≠,其中的12x x ,是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离
21AB x x =-=② 当0?=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0?<时,图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >;
2'
当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <.
2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ;
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; ⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的
点坐标,或已知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
二次函数知识点归纳及提高训练 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2ax y =)(0≠a 的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴.(2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点;②当0a 时,开口向上;当0a b (即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧; ③0c ,与y 轴交于正半轴;③0 圆的知识点总结 (一)圆的有关性质 [知识归纳] 1. 圆的有关概念: 圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆; 弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高; 圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。 2. 圆的对称性 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴; 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形; 圆具有旋转不变性。 3. 圆的确定 不在同一条直线上的三点确定一个圆。 4. 垂直于弦的直径 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就 可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径); ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。 推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。 推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或 两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 6. 圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半; 推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径; 推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 7. 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角。 ※8. 轨迹 轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。 (1)平面内,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆; (2)平面内,和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线;(3)平面内,到已知角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。 [例题分析] 例1. 已知:如图1,在⊙O中,半径OM⊥弦AB于点N。 图1 ①若AB=,ON=1,求MN的长; ②若半径OM=R,∠AOB=120°,求MN的长。 解:①∵AB=,半径OM⊥AB,∴AN=BN= ∵ON=1,由勾股定理得OA=2 ∴MN=OM-ON=OA-ON=1 ②∵半径OM⊥AB,且∠AOB=120°∴∠AOM=60° 圆的认识知识点总结 圆的认识知识点总结? 圆的定义:圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时,它的另一个端点的轨迹叫做圆。在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。相关定义: 1 在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度,就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径,字母表示为r。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。 5 圆上任意两点间的部分 叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧,劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧,也不是劣弧。优弧是大于180度的弧,劣弧是小于180度的弧。 6 两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。7 弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。9 顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数,通常用π表示,π=……在实际应用中,一般取π≈。11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。 12 圆是一个正n边形,边长无限接近0但不等于0。圆的集合定义:圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,其中定点是圆心,定长是半径。? 圆的字母表示:以点O 为圆心的圆记作“⊙O”,读作O”。圆—⊙;半径—r或R;弧—⌒; 二次函数知识点总结 二次函数知识点: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项 系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2 =+的性质: y ax c 结论:上加下减。 总结: 3. ()2 =-的性质: y a x h 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 =-+的性质: y a x h k 总结: 1. 平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法 如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结: 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c , 关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 二次函数知识点整理: 1.二次函数的图象特征与a ,b ,c 及判别式ac b 42-的符号之间的关系 (1)字母a 决定抛物线的形状. 即开口方向和开口大小;决定二次函数有最大值或最小值. a >0时开口向上,函数有最小值; a <0时开口向下,函数有最大值; a 相同,抛物线形状相同,可通过平移、对称相互得到; a 越大,开口越小. (2)字母b 、a 的符号一起决定抛物线对称轴的位置. ab=0 (a ≠0,b=0), 对称轴为y 轴; ab >0(a 与b 同号),对称轴在y 轴左侧; ab <0(a 与b 异号),对称轴在y 轴右侧. (3)字母c 决定抛物线与y 轴交点的位置. c=0, 抛物线经过原点; c >0,抛物线与y 轴正半轴相交; c <0,抛物线与y 轴负半轴相交. (4)ac b 42-决定抛物线与x 轴交点的个数. ac b 42-=0,抛物线与x 轴有唯一交点(顶点); ac b 42->0抛物线与x 轴有两个不同的交点; ac b 42-<0抛物线与x 轴无交点. 2.任意抛物线()k h x a y +-=2 都可以由抛物线2ax y =经过平移得到,具体平移方法如 下: 【注意】 二次函数图象间的平移,可看作是顶点间的平移,因此只要掌握了顶点是如何平移的,就掌握了二次函数间的平移. 二次函数图象间对称变换也是同样的道理. 3.用待定系数法求二次函数的解析式 确定二次函数的解析式一般需要三个独立条件,根据不同条件选不同的设法 (1)设一般式:c bx ax y ++=2 (a ,b ,c 为常数、a ≠0) 若已知条件是图象上的三点,将已知条件代入所设一般式,求出a,b,c 的值 (2)设顶点式:()k h x a y +-=2 (a,h,k 为常数,a ≠0) 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),将已知条件代入所设顶点式,求出待定系数,最后将解析式化为一般形式. (3)设两点式:()()21x x x x a y --=(a ≠0,a 、1x 、2x 为常数) 若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为()()0,0,21x x ,将第三点(m,n ) 的坐标(其中m ,n 为已知数)或其他已知条件代入所设交点式,求出待定系数a ,最后将解析式化为一般形式. 4. 二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)与一元二次方程02=++c bx ax 的关系 (1)二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)中,当y=0时,就变成了一元二次方程02=++c bx ax (2)一元二次方程02=++c bx ax 的根就是二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的横坐标. (3)二次函数的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程根的个数一致. (4)在它俩的关系中,判别式△=ac b 42-起着重要作用. 二次函数的图象与x 轴有两个交点?对应方程的△>0 二次函数的图象与x 轴有一个交点?对应方程的△=0 二次函数的图象与x 轴无交点 ?对应方程的△<0 5.二次函数应用 包括两方面 (1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系; (2)用二次函数解决最大化问题即最值问题. A 图4 图5 圆的总结 集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 点与圆的位置关系: 点在圆内 d 圆 1.圆的认识 (1)当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时,它的另一个端点A的轨迹叫做圆。或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”,记为“⊙O”。 (2)线段OA、OB、OC都是圆的半径,线段AC为直径。 (3)连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。 (4)圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BC、BAC都是圆中的弧,分别记作BC、BAC其中像弧BC这样小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧BAC,这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 (3)圆心角:顶点在圆心,两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。 2.圆的对称性 (1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 在同圆或等圆中,如果弦相等,那么所对的圆心角、所对的弧相等。 在同圆或等圆中,如果弧相等,那么所对的圆心角,所对的弦相等。 (2)圆是轴对称图形,它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 3.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。 推论:平分弦的直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的弧;平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。4.圆周角 (1)圆周角:顶点在圆上,两边与圆相交的角叫做圆周角。 (2)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°(直角)。 90°的圆周角所对的弦是圆的直径。 (3)同圆或等圆中,一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。 (4)同弧(或等弧)所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧相等。 5.点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r,点圆心O的距离为d,则 > (1)点在圆外?d r = (2)点在圆上?d r < (3)点在圆内?d r 6.(1)过一点可以画无数个圆; 过两点可以画无数个圆,圆心在两点连线的垂直平分线上; 过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。 (2)三角形的外接圆:经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。 (3)一个三角形的外接圆是唯一的。 7.直线与圆的位置关系 (1)如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离。 (2)如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点. (3)如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线. 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: o o 结论:a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 总结: 2. 2y ax c =+的性质: 结论:上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. 总结: 3. ()2 y a x h =-的性质: 结论:左加右减。 总结: 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 总结: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 人教版六年级数学知识归纳 第五单元圆 丁嘴学校吴长岭 一、圆的认识 圆是由曲线围成的封闭的平面图形 (一)圆的各部分名称 1、圆心:用圆规画出圆以后,针尖固定的一点就是圆心,通常用字母O表 示,圆心决定圆的位置 2、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。 把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。 3、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。 直径是一个圆内最长的线段 (二)圆心和半径的作用:圆心O确定圆的位置半径r 确定圆的大小(三)圆规画圆的方法:(1)把圆规的两脚分开,定好两脚间的距离;(2)把有针尖的一只脚固定在一点上;(3)把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周,就可以画出一个圆。 (四)圆的主要特征 1、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等, 所有的直径都相等。 2、在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的1/2。 d 用字母表示为:d=2r或 2 3、圆的轴对称性:圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴,圆是 轴对称图形且有无数条对称轴 二、圆的周长 1、围成圆的曲线的长叫做圆的周长 2、圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示,计算时通常取3.14. 3、圆的周长的意义:圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 4、圆的周长的计算公式:如果用C表示圆的周长,那么C=πd或C=2πr。 5、圆的周长计算公式的应用: (1)已知圆的半径,求圆的周长:C=2πr。 (2)已知圆的直径,求圆的周长:C=πd。圆的知识点总结
圆的认识知识点总结
初三.二次函数知识点总结
二次函数知识点整理
圆的知识点总结史上最全的
华师大版数学九年级下册《圆》知识点总结
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人教版 六年级数学 第五单元 圆 知识归纳
二次函数知识点总结及典型题目