必修2_第一章__空间几何体

必修2第一章空间几何体

〖1.1〗空间几何体的结构

(1)空间几何体的概念

我们只考虑物体的形状和大小，不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.我们高中学习的空间几何体主要有多面体与旋转体两大类. (2)多面体的概念

一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体?高中学习的多面体主要有棱柱、棱锥、棱台?

①棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边

形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

②棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这

些面所围成的多面体叫做棱锥.

③棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多

面体叫做棱台?

(3)旋转体的概念

我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做

旋转体?这条定直线叫做旋转体的轴?

①圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体

叫做圆柱?

②圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围

成的旋转体叫做圆锥?

③圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台

④球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简

称球?

棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体

（4）简单组合体的构成

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成?

〖1.2〗空间几何体的三视图与直观图

（1）中心投影与平行投影

我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；我们把在一束平行光线照射

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下形成的投影，叫做平.行投影.._.在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.我们可以用平行投影的方法，画出空间几何体的三视图和直观图.（2）空间几何体的三视图

三视图分为从前往后看得到的正视图（主视图）、从左往右看得到的侧视图（左视图）、从上往下看得到的俯视图.

（3）空间几何体的直观图

我们常用斜二测画法画几何体的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.画直观图时掌握原有图形中横向长度不变，纵向长度变成一半，竖向长度不变，横向与纵向的直角变成45°.

〖1.3〗空间几何体的表面积与体积

（1）柱体、锥体、台体的表面积

柱体、锥体、台体的表面积是由底面积与侧面积两部分组成.

①棱柱表面积：是由两个全等多边形的底面积与多个平行四边形的侧面积组成.

②棱锥表面积：是由一个多边形的底面积与多个三角形的侧面积组成.

③棱台表面积：是由两个相似多边形的底面积与多个梯形的侧面积组成.

④圆柱表面积：是由两个全等圆的底面积与侧面展开图为矩形的侧面积组成. S表2 r2 2 rl （其中r为底面圆半径，I为母线长）.

⑤

圆锥表面积：是由一个圆的底面积与侧面展开图为扇形的侧面积组成

.

S表r2 rl （其中r为底面圆半径，I为母线长），且侧面展开图扇形的中心角

⑥圆台表面积：是由两个相似圆的底面积与侧面展开图为扇环的侧面积组成.

S表r2r2（r r）l （其中r为上底面圆半径，r为下底面圆半径，I为母

线长）.

⑦球表面积：S表4 R2（其中R为球半径）.

（2）柱体、锥体、台体的体积

①柱体: 包括棱柱与圆柱. V柱体Sh （S为底面积，h为柱体高）

②锥体: 包括棱锥与圆锥. V

锥体

gh

3（

S为底面积，

.SS S）h

h为锥体高）

③台体: 包括棱台与圆台. V台体-(S

3

（S , S分别为上、下底面面积，h为台体高）

④球体:

4 3

V

球 4 R.

第二章点、直线、平面之间的位置关系

〖2.1〗空间点、直线、平面之间的位置关系

（1）平面的基本性质：公理1，公理2,公理3及其推论1, 2, 3

①公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

②公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线.

③公理3 :经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.

(2)

公理的运用 ① 证明共面问题

证明共面问题，一般有两种证法

，一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在

这个平面内.二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面

重合.

通常证明这些点都在两个平面的交线上， 即先确定出某两点 再证明第

三点是两个平面的公共点， 那它当然必在两个平面

先证两条直线交于一点， 再证明第三条直线经过这点， 把问

题转化为证明点在直线上的问题. (3)

空间两条直线的位置关系

① 空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面. ② 公理4 :平行于同一条直线的两条直线平行. ③ 等角定理：对应边平行且方向相同的两个角相等. (4)

异面直线

① 定义：不同在任何 一个平面内的两条直线是异面直线. ② 证明异面直线的方法 依据定义采用反证法，假设共面. ③ 求异面直线所成角的方法

平移法：通过平移直线，把异面问题转化为共面问题来解决(主要通过中位线、平行 四边形来平移直线).

(5) 直线与平面的位置关系

①直线在平面内

②直线与平面相交

③直线与平面平行

注意：直线和平面相交、直线和平面平行统称为直线在平面外，记作 |

(6) 平面与平面的位置关系

①两个平面平行 ②两个平面相交.

公理

1

公理2 推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面. 公理3

推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.

推论1 推论2 推论3

② 证明三点共线问题 证明空间三点共线问题, 在某两个平面的交线上, 的交线上.

③ 证明三线共点问题 证明空间三线共点问题,

『

2.2

〗直线、平面平行的判定及其性质

判定：①

b

a②a性质：①a a b

a

a b b

门//

性质：① a a b ②a

c a

判定：①a , b

ap|b A

(1直线与平面平行的判定与性质定理

(2)平面与平面平行的判定与性质定理

a//

下鱼制造b

下鱼制造

『2.3

〗直线、平面垂直的判定及其性质

,a b fl

b,a

（2）三垂线定理及其逆定理（不必掌握）

定理: PO

PA^ A

a

A a OA a OA a PA

（1）直线与平面垂直的判定与性质定理

m , n

b a

④b a b

b

b

②a

PA逆定理:

PAp|

下鱼制造

② A a, A a

a

实际是以该直线为轴的一个旋转，

通过对翻折

问题的研究，可以进一步发展空间想象能力. ②

求翻折问题的基本方法是： 先比较翻折前后的图形， 弄清哪些量

和位置关系在翻折

过程中不变，哪些已发生变化，然后将不变的条件集中到立体几何中， 将问题归结为

一个条件与结论均明朗化的立几问题.

③ 把平面图形翻折成空间图形后的有关计算问题，

必须抓住在翻折过程中点、 线、面

之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些不变，特别要抓住不变量. 一般地， 在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的， 涉及到两个半平面内的几何元素

之间的关系是变的.

④ 另外，在解题中还须注意：因折叠所形成的是一个二面角图形， 而大多数问题都与 这个二面角有关，所以必须以折叠前后的一些不变垂直关系为依据， 找出或作出二面

角的平面角.

⑤ 在处理几何体(翻折后)中线面之间的关系时，要充分利用折叠前平面图形，在平 面图形中，各元素的数量关系和位置关系易于观察和计算.

(5) 几何体的展开 几何体的展开，是平面图形翻折的逆过程，常用此法求两点间的最短距离.

(3) 平面与平面垂直的判定与性质定理

②依定义，二面角的平面角

90

性质：①

, b

a ,a b

(4)处理翻折的基本方法

①将平面图形沿直线翻折成立体图形,