安徽省六校教育研究会2021届高三下学期2月第二次联考理数试题
安徽省六校教育研究会2021届高三联考
数学能力测试（理）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为实数集R,集合P={x|2,x∈R},集合Q={1,2,3,4},则
图中阴影部分表示的集合为
A.{4}
B.{3,4}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
2.已知复数z与（z+2)2-8i均是纯虚数，则z的虚部为（）
A.-2
B.2
C.-2i
D.-2i
3.实数x,y满足不等式组
240
220
330
x y
x y
x y
-+≥
?
?
+-≥
?
?--≤
?
,则x2+y2的最小值为（）
A.254
5
D.2
4.不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图。请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知x2020+y2=2y,(x∈Z,y ∈Z)则该方程的整数解有（）组。
5.已知向量b=(1,3).向量a在向量b方向上的投影为－6,若（λa+b)⊥b,则实数入的值为（）
A.1
3
B. -
1
3
C.
2
3
D.3
6.直线1:2x+y+3=0倾斜角为α,则sin2α+cos2α的值为（）
A.4
5
B. -
4
5
C.
3
5
D.-
3
5
7.已知点M(2,y0)为抛物线y2=2px,(p>0)上－点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若8|MF|=7|MO|..则p的值为（）
A.1或5
4
B.
5
2
或3 C.3或
5
4
D.1或
5
2
8.函数f(x)=sinx+x3+x,则a>-1是f(a+1)+f(2a)>0的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,将数列{a n}依原顺序按照第n组有2”项的要求分组，则2021在第几组
A.8
B.9
C.10
D.11
10.已知三棱锥A-BCD满足：AB=AC=AD,ΔBCD是边长为2的等边三角形。其外接球的球心O满足：0
OB OC OD
++=,则该三棱谁的体积为（）
A. 16
B. 13
C.
2
3
D.1 11.圆O 半径为1,PA,PB 为圆O 的两条切线，A,B 为切点，设∠APO=α,则2tan 2PAB
S α
?最小值为（）
2 22 212.已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且首项a 1>0,给出下列命题：p 1:若34
12a a a e
a e =,则
（a 3-1)(q-1)≤0;p 2:若a 1+a 2=34a a e e +,则22(,0)(0,).33
q ∈-?则下列说法正确的是（
A.p 1为真命题，p 2为假命题
B.p 1,p2都为真命题
C.p 1为假命题，p 2为真命题
D.p 1,p 2都为假命题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
13.从编号为1,2,3,..,88的88个网站中采用系统抽样抽取容量为8的样本，若所抽样本中有编号为53的网站，则样本中网站最小编号为 . 14.若3
()n x x x
+
的展开式常数项为84,则n= .
15.双曲线mx 2-ny 2=1左右焦点分别为F 1,F 2,左右顶点分别为A,B, P 为双曲线渐近线上一点，若
以F 1F 2为直径的圆经过P 点，且∠APB=3
π
.则该双曲线的渐近线方程为 . 16.A,B,C,D.四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是1
3
（个人不投自己的票），
则仅A 一人是最高得票者的概率为 .
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分．
17.在ΔABC 中，D 是BC 的中点，3（I)求ΔABC 的面积；
（II)若E 为BC 上一点，且(
)||||
AB AC
AE AB AC λ=+,求λ的值。 18.如图，在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，AA 1=A 1B 1=1
2
AB, ∠ABC=60°.AA 1⊥平面ABCD.
（I)若点M 是AD 的中点，求证：C 1M ⊥A 1C;
（II)棱BC 上是否存在一点E,使得二面角E-AD 1-D 的余弦值为13
?
若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由。
19.农业是国民经济的基础，农业防害是科技工作者时时关注的事情，棉铃虫是棉花的主要害虫之一，夏季尤甚，据农业专家调查统计知道每只棉铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关。现截取7组统计数据，并计算部分统计量值和作散点图如下：
（I)根据散点图判断，y=bx+a 与y=ce dx (e 为自然对数的底数）哪一一个更适宜作为平均产卵款y 关于平均温度x 的回归方程类型？据判断结果和所给数据求出相应的回归方程（计算结果精确到小数产后第三位）
（II)根据以往数据统计，该地区每年平均温度达28°
C 以上时棉铃虫会造成严重危害，需人工防治，其他情况可以自然生长，记该地区每年平均温度达28°
C 以上的概率为p(0 （ii)当f (p)取最大值时，记今后5年中需要人工防治的次数为X,求X 的数学期望和方差。 附：对于一组数据（x 1,z 1),(x 2,z 2), …,(x 7,z 7),其回归直线z=a+bx 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： 20.已知圆O::x 2+y 2=5,椭圆τ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2,过F 1且垂直于x 轴 的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2 （I)求椭圆的标准方程； （II 如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两点． （i)若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率； （ii)作PQ ⊥AB 于点Q,求证：｜QF 1|+|QF 2|是定值． 21.已知函数f(x)= 21 (),.x x kx f x k R e ++=∈ （1)讨论f (x)的单调性； （11)若k ∈(-1,0),证明：对任意的x 1,x 2∈[1,1-k],有4f (x 1)+x 2<5. （二）选考题：共10分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.[选修4-4:坐标系与参数方程］（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1:x+y=1与曲线C 2: 22cos 2sin x t y t =+??=? (t 为参数）以坐 标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 （I)写出曲线C 1,C 2的极坐标方程； （II)在极坐标系中，已知l : θ=α(ρ>0)与C 1,C 2的公共点分别为A,B,α∈(0， 2 π). 当|| || OB OA ＝4时，求α的值． 22.[选修4-5:不等式选讲］（10分） 已知f(x)=|ax+1|+|x-1| （I)当a=2时，求不等式f(x)<2的解集： （I1)若x∈(1,2)时不等式f(x)