常微分期末考试试题和答案a

《常微分方程》期终考试试卷（A ）

（适用班级： 班 ）

下属学院_________________班级_________姓名____________成绩_______

一、填空（每小题3分，共30分）

1、形如)()(y g x f y ?='的方程当0)(≠x g 的通解为_______________。

2、一阶方程0=+Ndy Mdx ，若存在可微函数)0)(,(≠μy x 使_____________ _________________________时，称),(y x μ为这个方程的积分因子。

3、____________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换____________________，可化为伯努利方程。

4、对R y x y x ∈?),(),,(21，存在常数)0(>N ，使____________________则称),(y x f 在R 上关于y 满足李普希兹条件。

5、若)(x ?为毕卡逼近序列)}({x n ?的极限，则有≤?-?|)()(|x x n _________。

6、方程

2

2

y x dx

dy +=定义在矩形域R ：22≤≤-x ，22≤≤-y 上，

则经过点)0,0(解的存在区间是__________________。

7、若),,3,2,1)((n i t x i =是n 阶齐线性方程01)

1(1)(=+'+++--y p y p y

p y n n n n 的n 个解，)(t w 为其伏朗基斯行列式，则)(t w 满足一阶线性方程__________________。

8、设0)(1≠t x 是二阶齐线性方程0)()(21=+'+'x t a x t a x 的一个解，则该方程的通解为

____________________________________________。

9、若),,3,2,1)((n i t x i

=为齐线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的通解为_____________________________。

10、驻定方程组??+='-='y x t y y

x t x 2的奇点类型为_________________。

二、求下列方程的解（每题8分，共24分）

1、

2

2y

x y dx

dy -=

2、0)(22=++dy y x xydx

3、)1ln(2

y y '+=

三、计算题（每题8分，共24分）

1、求02)

4(=+''+y y y x

x

的通解。

2、求t

t t e x x x 5142510-=+'+''的特解。

3、求x y y y 2

cos 252=+'-''的通解。

四、求下列方程组的基解矩阵（8分）

??

?

??+-='-+='+-='z y x z z y x y z y x x 222

五、1、若函数)(x y 具有连续的二阶导数，且0)0(=y ，试由方程?

+''-

=x

x ds s y s y x y 0

)](4)([5

11)(确定此函数。（8分）

2、一质量为m 千克的物体以初速度0v （秒/米）向前滑动，已知它所受的阻力为km -牛顿。试问该物体何时才能停下来，此时滑过了多少路程？（6分）

《常微分方程》期终考试试卷（A ）参考答案

一、1、??

+=

c dx x f y g dy )()

(.

2、

x

N y

M ?μ?=

?μ?)()(.

3、)()()(2

x R y x Q y x P dx

dy ++=，y z y +=.

4、2121),(),(y y N y x f y x f -≤-.

5、

1

)!

1(++n n

h

n ML

，其中),(max ),(y x f M R

y x ∈=，L 为李普希兹常数，min =h ),

(M

b a ，

],[b a R =.

6、]4

1,41[-

. 7、01=+'w p w .

8、dt e

x t x c t x c t x t

t ds

s a ?-?

+=0

1)(2

1

12111)()()(.

9、∑=+=

n

i i i

t x t x c

t x 0

)()()(.

10、稳定结点。 二、1、解：方程可化为

y x y

dy

dx -=2，

……4分

由一阶线性方程的求解公式得：

))((22c dy e

y e

x dy

y

dy

y +-=?-

??

2

2

ln cy y y +-=

……7分 另外，0=y 也是方程的解。

……8分 2、解：方程可化为0)2(2

=++ydy dy x xydx ， ……3分 即0)2

1(

)(2

2

=+y d y x d ，

……6分

故方程的通解为c y

y x =+

2

22

1. ……8分

（注：用公式或用其它方法均可） 3、解：这是),(y x f y '=型 令p y ='，则有)1ln(2p y +=. ……2分

两边对x 求导：dx

dp p p p 2

12+=.

故有0=p 或dp p

dx 212+=

.

……4分

由0=p 得0=y 为方程的特解.

……5分 由dx

dp p

dx 2

12+=

得c p x +=arctan 2.

……6分

故含参数p 的方程的通解为 ?

??+=+=).1ln(,

arctan 22

p y c p x ……8分

三、1、解：特征方程01224=+λ+λ的根为

i =λ=λ21，i -=λ=λ43.

……4分

故方程的通解为x x c x c x x c x c x y sin sin cos cos )(4321+++=.……8分 2、解：齐次方程的特征方程025102

=+λ+λ的根为 521-=λ=λ

……2分 因为5-=λ是方程的特征根，故可设方程的一个特解为 t

e

At t x 52

)(-=

……5分

将)(t x 代入原方程可得7=A

……7分

故原方程的一个特解为：

t

e

t t x 52

7)(-=

……8分 3、解：齐次方程的特征方程0522

=+λ-λ的特征根为 i 211+=λ，i 212-=λ.

……2分

又因为12cos cos 22

+=t t ，且i 2±=λ或0不是方程的特征根，故可设方程的一个

特解为

c x B x A x y ++=2sin 2cos )(.

……5分 将)(x y 代入原方程可得：9

1=

A ，9

4-=B ，5

1=

C ……7分

故方程的通解为

5

12sin 9

42cos 9

1)2sin 2cos ()(21+

-

+

+=x x x c x c e x y x

.……8分

四、解：???

?

?

???

??---=21

1

121

112A ， ……1分

由0)3)(2)(1()det()(=-λ-λ-λ=-λ=λA E p 得： 11=λ，22=λ，33=λ.

……2分

设1λ对应的特征向量为???

?

?

?????=z y x v 1，则由

0)(11=-λv A E 得

0=x ，z y =.

取1=y ，得???

?

?

?????=1101v .

故原方程组对应于11=λ的一个特解为????

?

?????==?λt t t

e e v e t 0)(111……4分

同理可得22=λ，33=λ对应的解分别为：

?

?

??

??????t t t e e e 222，???

??

?????t t e e 330. ……6分

又因为01

1

1

011

1

10)0(≠=w ， ……7分

所以原方程的基解矩阵为

????

?????

?=Φt t

t t t

t t e e

e e e

e e t 3223200)(. ……8分

五、1、解：方程?

+''-

=x

x ds s y s y x y 0

)](4)([5

11)(两边对x 求导：

)4(5

1y y y +''-

='

……3分

即045=+'+''y y y 解之得x x e c e c y 421--+=.

……5分

又由0)0(=y ，1)(0=x y 得：0

411x x e

e

c ----=，0

421x x e

e

c ----

=，…7分

所以所求的函数为：

)(1)(440

x

x

x x e

e

e

e

x y ------=

. ……8分

2、解：设物体在t 时刻路程的函数为)(t s ， 由牛顿第二定律：ma F =. 即s m km ''=- ……2分

或k s -='' 解之得212

2

c t c t k s ++-

=.

……3分

又0)0(=s ，0)0(v s ='， 所以有t v t k s 02

2

+-

=.

……4分

令0='=s v 得：k

v t 0=

.

……5分

此时k

v k v v k v k s 2)(22

0002

0=?+-=.

即物体共行了k

v 0秒，当物体停止时共行了

k

v 22

米。 ……6分

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案

?复变函数与积分变换?期末试题（A） 正文： 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i- 的幅角是（）；2.) 1 (i Ln+ -的主值是 （）；3. 2 1 1 ) ( z z f + =，= )0()5(f（）； 4．0 = z是4 sin z z z- 的（）极点；5． z z f 1 ) (=，= ∞] ), ( [ Re z f s（）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数) , ( ) , ( ) (y x iv y x u z f+ =的导函数为（）； （A）y x iu u z f+ = ') (；（B） y x iu u z f- = ') (； （C）y x iv u z f+ = ') (；（D） x y iv u z f+ = ') (. 2．C是正向圆周3 = z，如果函数= ) (z f（），则0 d) (= ?C z z f． （A） 2 3 - z ；（B） 2 )1 (3 - - z z ；（C） 2 )2 ( )1 (3 - - z z ；（D） 2 )2 ( 3 - z . 3．如果级数∑ ∞ =1 n n n z c在2 = z点收敛，则级数在 （A）2 - = z点条件收敛；（B）i z2 =点绝对收敛； （C）i z+ =1点绝对收敛；（D）i z2 1+ =点一定发散．

４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则 0)(=?C dz z f （C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1的孤立奇点为z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ?-C z z z z e d ) 1(2其中C 是正向圆周：2=z ；

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈． 得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

常微分方程期中考试题

常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 ) (2 2= + - +x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 2 若 ) , (y x M和) , (y x N在矩形区域R内是) , (y x的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程 ) , ( ) , (= +dy y x N dx y x M有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程. 4 如果 ) , (y x f___________________________________________ ,则 ) , (y x f dx dy = 存在唯 一的解 ) (x y? =,定义于区间h x x≤ - 0上,连续且满足初始条件 ) ( x y? = ,其中 = h_______________________ . 5 对于任意的 ) , ( 1 y x,) , ( 2 y x R ∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0 (> N N使 ______________________ ,则称 ) , (y x f在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程 2 2y x dx dy + = 定义在矩形区域R:2 2 ,2 2≤ ≤ - ≤ ≤ -y x上 ,则经过点)0,0(的解 的存在区间是 ___________________ 7 若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 是齐次线性方程的n个解,)(t w为其伏朗斯基行列式,则)(t w满足 一阶线性方程 ___________________________________ 8若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 为齐次线性方程的一个基本解组, )(t x为非齐次线性方程的 一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________ 9若 ) (x ?为毕卡逼近序列{})(x n?的极限，则有≤ -) ( ) (x x n ? ? __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ) (x y，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程． 二求下列方程的解 １ 3 y x y dx dy + = ２求方程 2 y x dx dy + = 经过 )0,0(的第三次近似解 ３讨论方程 2 y dx dy = ， 1 )1(= y的解的存在区间 4 求方程 1 ) (2 2= - +y dx dy 的奇解

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

常微分方程期末考试题大全东北师大

证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

常微分方程期末复习提要(1)

常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，

常微分方程期末历年考试(B)

广西师范大学漓江学院试卷 课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系 任课教师： 年级、专业：07数学考试时间：120分钟 考核方式：闭卷 ■ 开卷 □试卷类型：A 卷□B 卷■ 一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) (请在每小题地空格中填上正确答案，错填、不填均无分). 1、当_______________时，方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为恰当方程. 2、求(,)dy f x y dx =满足00()y x y =地解等价于求积分方程地连续解． 3、函数组t t t e e e 2,,-地朗斯基行列式值为． 4、二阶齐次线性微分方程地两个解)(),(21x y x y 为方程地基本解组充分必要条件是． 5、若矩阵A 具有n 个线性无关地特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应地特征值分别为n λλλΛ,,21，那么常系数线性方程组Ax x ='地一个基解矩阵)(t Φ=. 6、方程tan dy x y dx =地所有常数解是． 7、如果存在常数0L >,使得不等式对于所有12,),(,)x y x y R ∈（都成立，称函数),(y x f 在R 上关于y 满足利普希茨条件，其中L 为利普希茨常数． 8、)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ?-dx x P e )( ，其通解为 _________ . 9、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R:-222,2≤≤-≤≤y x 上，则经过点（0，0）地解地存在区间是． 10、若(),()t t Φψ是齐次线性方程组()X A t X '=地基解矩阵，则()t Φ与()t ψ具有关系． 年 级 ： 专 业： 装订密封线 考 生 答 题 不 得 出 现 红 色字 迹 ， 除 画 图 外 ， 不 能 使用 铅笔答 题；答题 留 空 不 足 时 ， 可 写到 试卷 背面 ；请 注意 保 持试 卷完 整.

常微分方程期末考试试卷

常微分方程期末考试试卷 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （30分） 1．)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ? -dx x P e )( ，其通解为 _________ 。 2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。 3． 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有)()(x x n ??-≤ ______ 。 4．方程22y x dx dy +=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。 5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。 6．若),,2,1)((n i t x i =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x - 为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。 7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______是 )()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= _____ 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。 8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21 ，它们对应的特征值分别为n λλλ ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组 Ax x ='的一个基解矩阵。 9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。

常微分方程期中考试试卷(2015)

13级常微分方程期中考试试卷 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、填空题（102?'） 1、微分方程0)( 22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是________________________。 2、微分方程x dx dy 2=与直线32+=x y 相切的解是_____________________。 3、x e y dx dy +=的通解为___________________________________________。 4、若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是__________________________________________。 5、对于任意的),(1y x ，R y x ∈),(2（R 为某一矩形区域），若存在常数 )0(>N N 使_________________， 则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件。 6、如果),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy =的通过G 内任一点),(00y x 的解)(x y ?=可以向左右延拓，直到__________________________________________。 7、方程3 1-++-=y x y x dx dy 经过代换__________________后，可化为齐次方程。 8、若),(y x f 在矩形区域R 上___________________且________________则方程),(y x f dx dy =存在唯一解。 9、微分方程dy dx dx dy x y +=的奇解为_______________________________。 10、若函数组),,2,1)((n i t x i =在],[b a 上线性相关，则=)(t w ___________。

常微分期末考试试题和答案1

《 常微分方程 》期末考试试卷（1） 班级 学号 姓名 成绩 一、填空（每格3分，共30分） 1、方程(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只与x 有关的积分因子的充要条件 是 。 2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件 是 。 3、若()t Φ和()t ψ都是' ()x A t x =的基解矩阵，则()t Φ和()t ψ具有的关系是 _____________________________。 4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如 果 。 5、当 时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程， 或称全微分方程。 6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解 。 7、若()(1,2,,)i x t i n = 为n 阶齐线性方程()() 1()()0n n n x a t x a t x +++= 的n 个线性无关解， 则这一齐线性方程的通解可表为 。 8、求 dx dy =f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程 的解。 9、如果),(y x f 在R 上 且关于y 满足李普希兹条件，则方程 ),(y x f dx dy =存在唯一 的解)(x y ?=，定义于区间h x x ≤-0上 ，连续且满足初始条件00)(y x =?，其中 h = ，),(max ),(y x f M R y x ∈=。

二、计算题(每题10分,共50分) 10、求方程 22 1dy y dx xy x y += + 的解。 11、求方程 2 dy x y dx =-通过点(1,0)的第二次近似解。 12、求非齐线性方程sin x x t ''+=的特解。 13、求解恰当方程 0)4()3(2=---dy x y dx x y 。 14、求伯努利方程 的通解。2 6 xy x y dx dy -= 三、证明.（20分） 15、1)试验证初值问题2 11 4x x ??'=? ?-??，12(0)η?ηη?? ==???? 的解为: 1123212()()()t t t e t ηηη?ηηη+-+?? =??+-+?? ; 2）求该微分方程组的expAt 。 试卷（1）答案 一、填空（每格3分，共30分） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只与x 有关的积分因子的充要条件 是 )(x N x N y M ?=??-??。 2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件 是12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠ 。

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，

常微分方程期末试题答案

2005——2006学年第二学期 数学专业 常微分方程课程试卷（A ） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1、方程 22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y ' 连续是保证方程 ),(d d y x f x y =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(2 1y y x y '+ '=的通解是221 C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 ()() x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e --

二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）? =x x p d )(e μ （B ）? =x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）． (A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-= 'x y y （ D ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 解：令u x y =，则 dx dy x u dx dy +=，于是，Cx u u x u u dx du =--=1,2 所以原方程的通解为 x y x Cx C y =+=,12 15．求方程 0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 解：取()()x y y x N x y y x M ln ,,,3 +== 则()()x y x N y x M x y 1 ,,==，于是原方程为全微分方程 所以原方程的通解为 ??=+y x C dy y dx x y 1 3 1

福建师范大学2020年8月《常微分方程》期末试卷A附标准答案

《常微分方程》期末考试A 卷 姓名： 专业：标准答案在后面 学号： 学习中心： 一、 填空题（每个空格4分，共40分） 1、 2 230dy dy x y dx dx ?? +-= ??? 是 阶微分方程， 是 方程（填“线性”或“非线性” ）。 2、 给定微分方程2'=y x ，它的通解是 ，通过点（2，3）的特解是 。 3、 微分方程(,)(,)0+=M x y dx N x y dy 为恰当微分方程的充要条件是 。 4、方程 ''2 1=-y x 的通解为 ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 。 5、微分方程22250+=d y y dx 的通解为 。 6、微分方程22680-+=d y dy y dx dx 的通解为 ， 该方程可化为一阶线性微分方程组 。 二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。 1、 -=x y dy e dx ； 2、24+=dy xy x dx ； 3、22265t d x dx x e dt dt ++=； 4、2453dx x y dt dy x y dt ?=-????=-+?? . 三、（8分）考虑方程 2(9)(,),=-dy y f x y dx 假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及0||3

微生物学期末考试试题

微生物学教程试卷A 一、名词解释（每小题4分，共5小题20分） 1.无菌技术在分离、转接及培养纯培养物时防止其被其他微生物污染，自身也不污染操作环境的技术称为无菌技术。 2.菌落固体培养基中，单个或少数细菌细胞生长繁殖后，会形成以母细胞为中心的一堆肉眼可见、有一定形态构造的子细胞集团是菌落 3.平板是被用于获得微生物纯培养的最常用的固体培养基形式，是冷却凝固后固体培养基在无菌培养皿中形成的培养基固体平面称作平板。 4.发酵发酵是指在无氧条件下，底物脱氢后产生的还原力[H]不经过呼吸链传递而直接交给某一内源氧化性中间代谢产物的一类低效产能反应。 5.培养基人工配制的、适合微生物生长、繁殖和产生代谢产物用的混合营养基质。 二、填空题（每空0.5分，共6小题12分）

4.根据营养物质在机体中生理功能的不同，可以将它们分 机盐，生长因子，水 三、选择题（每小题1分，共10小题10分） 1. 产生假根是（）的形态特征。 A.根霉 B.酵母菌 C.青霉 D.曲霉 2.革兰氏阳性菌细胞壁特有成分是（）。 A.蛋白质 B.肽聚糖 C.脂多糖 D.磷壁酸 3.微生物从糖酵解途径获得（）ATP分子。 A.2个 B.4个 C.36个 D.38个 4.处于对数生长期的细菌其特点是（）。

A.生长缓慢 B.生长迅速 C.大多数死亡 D.繁殖代时长 5.深层穿刺接种细菌到试管半固体培养基中（）。 A.可以观察细菌是否能运动 B.除去代谢废物的一个机会 C.增加氧气 D.增加钾和钠离子的数目 6.加压蒸汽灭菌锅灭菌参数是（）。 A.100℃,30min B. 180℃,10min C. 121℃,20～30min D. 160℃,60min 7.霉菌适宜生长的pH范围为（）。 A.＜4.0 B.4.0-6.0 C.6.5-8.0 D.8.0 8.str R是（）的一种菌株。 A.丙氨酸营养缺陷型菌株 B. 抗链霉素突变株 C.异亮氨酸营养缺陷型菌株 D. 抗庆大霉素突变株 9.微生物是生产以下食品时的一个重要因素，除了（）之外。 A.酸菜 B. 朝鲜泡菜 C.纯牛奶 D.酸奶 10.苏云金孢杆菌作为（）广泛用于现代生物学中。 A.乳酸菌 B.干酪和干酪产品的生产者 C.水系统的净化者 D. 生物杀虫剂 四、判断题（每小题1分，共10小题10分）

《常微分方程》期末考试试卷

▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 《常微分方程》期末考试A 卷 姓名： 专业： 学号： 学习中心： 一、 填空题（每个空格4分，共40分） 1、 2 230dy dy x y dx dx ?? +-= ??? 是 阶微分方程， 是 方程（填“线性”或“非线性” ）。 2、 给定微分方程2'=y x ，它的通解是 ，通过点（2，3）的特解是 。 3、 微分方程(,)(,)0+=M x y dx N x y dy 为恰当微分方程的充要条件是 。 4、方程 ''2 1=-y x 的通解为 ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 。 5、微分方程22250+=d y y dx 的通解为 。 6、微分方程22680-+=d y dy y dx dx 的通解为 ， 该方程可化为一阶线性微分方程组 。 二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。 1、 -=x y dy e dx ； 2、24+=dy xy x dx ； 3、22265t d x dx x e dt dt ++=； 4、2453dx x y dt dy x y dt ?=-????=-+?? . 三、（8分）考虑方程 2(9)(,),=-dy y f x y dx 假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及0||3

《常微分方程》期末模拟试题教学提纲

《常微分方程》期末 模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的 解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程 过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的 特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35 323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 21d d y x y -=)1,2 (π x x y x y +-=d d y x y =d d

12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方 程组 45?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ??==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。 14、设1342A ??=????，则线性微分方程组dX AX dt =有基解矩阵 25253()4φ--?? =??-?? t t t t e e t e e 。 二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、 答案：方程化为 令，则，代入上式，得 分离变量，积分，通解为 ∴ 原方程通解为 2、 答案：特征方程为 即。 特征根为 ， 对应特征向量应满足 可确定出 同样可算出对应的特征向量为 ∴ 原方程组的通解为 。 0d d )2(=-+y x x y x x y x y 21d d +=xu y =x u x u x y d d d d +=u x u x +=1d d 1-=Cx u x Cx y -=2 ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 014 11=--= -λ λλE A 0322=--λλ31=λ12-=λ? ?? ???=????????????--0031413111b a ??????=??????2111b a 12-=λ??? ???-=??????2122b a ?? ????-+??????=??? ???--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331

常微分方程期末考试练习题及答案.

常微分方程期末考试练 习题及答案. https://www.wendangku.net/doc/a57558858.html,work Information Technology Company.2020YEAR

一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y， +3xy=sinx为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程

A.变量分离方程 1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法?? +=c dx x f y dy )() (?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得：