解绝对值不等式的方法总结
解绝对值不等式的方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
解绝对值不等式题根探讨
题根四 解不等式2|55|1x x -+<．
［题根4］解不等式2
|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 组21551x x -<-+<即22551(1) 551(2)x x x x ?-+-??求解。 ［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<， 即22551(1)551(2)x x x x ?-+-?? 由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<． ［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。 2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。 第1变 右边的常数变代数式 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) 解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12 } (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x 即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<-- 或 2 所以原不等式的解集是{x |2 ［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式 这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ?－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ?()f x >()g x 或()f x <－()g x 1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234 x x -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3x-4 ① 或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2 解②得：x>-3 故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-14)2+74 >0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3 ∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234 x x -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解. 原不等式等价于2 234 x x -≤1 ?9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ?x 4-17x 2+16≥0 ?x 2≤1或x 2≥16 ?-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜?f 2(x)〈g 2 (x)两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有： |x －1|2<|x +a |2 即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >12 (1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解； 当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <1(1)2 a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5?-2x>6?x<-3. 当-3 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5?2x>4?x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x<-3｝. ［收获］1）形如|()f x |<|()g x |型不等式 此类不等式的简捷解法是利用平方法，即： |()f x |<|()g x |?22()()f x g x 2）所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化 1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 解析：易知－1 |||lg lg x x a a -+> ∴22|lg(1)||lg(1)|x x ->+ 于是22lg (1)lg (1)0x x --+> ∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+> ∴21lg(1)lg 01x x x -->+ ∵－1 ∴0<1－2x <1 ∴lg (1－2x )<0 ∴1lg 1x x -+<0 ∴1011x x -<<+ 解得0 2．不等式|x+3|-|2x-1|<2 x +1的解集为 。 解： |x+3|-|2x-1|=?????????-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x ∴当21≥ x 时12 4+<-x x ∴x>2 当-3 23-<<-x 当3-≤x 时12 4+<-x x ∴3-≤x 综上7 2- 31log log 13x x +≥-的解集. 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 0103x x >???>?-? ，解得03x << 又原不等式可化为()33log log 31x x +-≥ (1)当01x <≤时，不等式化为()33log log 31x x -+-≥即()33log 3log 3x x -≥ ∴ 33x x -≥ ∴ 34x ≤ 综合前提得：304 x <≤。 (2)当1 (1)当23x <<时，()333log log 3log 3x x --≥ (2)∴()33x x ≥- ∴94x ≥，结合前提得：934 x ≤<。 综合得原不等式的解集为390,,344???? ??????? 第3变 解含参绝对值不等式 ［变题3］解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x ［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。 ［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x 当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或 ∴333-<+>m x m x 或 当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴x ≠-6 当03<+m 即3- ［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。 2）形如|()f x |a (a R ∈)型不等式 此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当a >0时，|()f x |a ?()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |a ?()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |a ?()f x 有意义。 第4变 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题 ［变题4］若不等式|x －4|+|3－x | ［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。 ［解题］解法一 (1)当a ≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当a >0时，先求不等式|x －4|+|3－x | 令x －4=0得x =4，令3－x =0得x =3