光学第2章习题及答案
第二章习题答案
2—1 铯的逸出功为，试求： （1）铯的光电效应阈频率及阈值波长； （2）如果要得到能
量为的光电子，必须使用多少波长的光照射 解：光电效应方程
2
12
m mv h =ν-Φ （1） 由题意知 0m v = 即 0h ν-Φ=
14
15
1.9 4.59104.13610ev Hz h ev s -Φν=
==??? 1.24652.61.9c hc nm Kev nm ev
λ?====νΦ
（2） ∵ 2
1 1.52
m mv ev =
∴ 1.5c
ev h h λ
=ν-Φ=-Φ 1.24364.71.5 1.5 1.9hc nm Kev
nm ev ev ev
λ?=
==+Φ+
2-2 对于氢原子、一次电离的氢离子He ＋
和两次电离的锂离子Li ＋＋
，分别计算它们的： （1）第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；（2）电子在基态的结合能； （3）由基态带第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基态所放光子的波长。 解：（1）由波尔理论及电子的轨道半径公式
r 1为氢原子第一波尔半径
222
01122204()(197.3)0.0530.511e e c r a nm nm m e m c e 6πε====≈/4πε?10?1.44
氢原子第二波尔半径
可知：He +
(Z=2)
Li + + (Z=3)
电子在波尔轨道上的速率为 于是有 H :
6116121
2.1910137
1.1102
v c m s m s c
v m s 8--=α=
?3?10/=??α=
=??
2
1
n n r r z
=221140.212r n r r nm
===112
210.0265220.1062a
r nm
r a nm
====112
210.0176320.07053
a
r nm
r a nm
====n
z
v c n
=α
He +
:
61
161
22 4.3810102
v c m s c v m s
--=α=??2α==2.19?? Li
+ +
:
61
161
23 6.5710102
v c m s c v m s
--=α=??3α==3.28?? (2) 电子在基态的结合能E k 在数值上等于原子的基态能量 由波尔理论的能量公式 可得
故有 H : 13.6k E ev =
He +
: 2
13.6254.4k E ev =?=
Li ++
: 2
13.63122.4k E ev =?=
（3）以电压加速电子，使之于原子碰撞，把原子从基态激发到较高能态，用来加速电子的电势差称为激发电势，从基态激发到第一激发态得相应的电势差称为第一激发电势。
2121221
13.6(1)2
E V z e ?=
=- 对 H : 121
13.6(1)10.24
V v =?-=
He + : 2
12113.62(1)40.84V v =??-=
Li ++ : 2
12113.63(1)91.84
V v =??-=
共振线（即赖曼系第一条）的波长： 1
21212E E hc
E hc -=?=
λ H : 12 1.24121.610.2nm kev
nm ev λ?=
=
He +
: 12 1.2430.440.8nm kev nm ev λ?==
Li ++
: 12 1.2413.591.8nm kev nm ev
λ?=
=
2—3 欲使电子与处于基态的锂离子Li ＋＋
发生非弹性散射，试问电子至少具有多大的动能 解：Li + +
基态能量为 211
()122.42
e E m cz ev α=-
=- 从基态到第一激发态所需能量为
ev Z E 8.91434.122)2
11(6.132
212=?=-
??=?，故电子必须具有的动能. 2
1()2n e z E m c n
=-α221
()13.62
k e E m cz z ev 1
=∣E∣=α=
2—4 运动质子与一个处于静止的基态氢原子作完全非弹性的对心碰撞，欲使锂原子发射出
光子，质子至少应多大的速度运动 解： 方法一：欲使基态氢原子发射光子，至少应使氢原子以基态激发到第一激发态
122110.2E E E ev ?=-=V
根据第一章的推导，入射粒子m 与靶M 组成系统的实验室系能量E L 与E C 之间的关系为：
c L M
E E M m
=
+
∴所求质子的动能为：
212121(1)220.42k c M m m
E mv E E E ev
M M
+===+?=?=V 所求质子的速度为： )(1026.610
673.1106.14.20221
427
19---??=????==s m m E v k 方法二： 质子与基态氢原子碰撞过程动量守恒，则
()v m m v m H P P +=10 ? 10v m m m v H
P P
+=
1021022102
121)(2121E m m m v m v m m v m E H P H P H P P =+?=+-=
? eV E E E v m E P 4.20)(222
1122
1010=-=?==
)/(1026.624
2
1010s m c c
m E v P ?=?=
MeV c m P 9382=其中 （1）原子在热平衡条件下处于不同能量状态的数目是按波尔兹曼分布的，即处于能量为E n 的激发态的原子数为：
1()11
n E E kT
n n g N N e g --/=
式中N 1是能量为E 1状态的原子数，k 为玻尔兹曼常量，g n 和g 1为相应能量状态的统计权重。试问：原子态的氢在一个大气压、20℃温度的条件下，容器必须多大才能有一个原子处在第 一激发态已知氢原子处于基态和第一激发态的统计权重分别为g 1=2和g 2=8。
（2）电子与室温下的氢原子气体相碰撞，要观察到H α线，试问电子的最小动能为多大
2—6 在波长从95nm 到125nm 的光带范围内，氢原子的吸收光谱中包含哪些谱线 解：对于min 95nm λ=，有
22min
1
1
11()1R n λ=-
1 4.8n === ∵ min 95nm λ=的波长的光子不足以将氢原子激发到n=5的激发态，则在min 95nm λ=以内有一光子可将氢原子激发到n=4的激发态
∴ n 1=4
同理有：2 1.9n =
== ∵ 对应于n=1的辐射光子的波长应比125nm 更长，在波段以外
∴ n 2=2
又∵ 氢原子的吸收谱对应于赖曼系
∴ 在（95∽125nm ）波段内只能观察到3条 即
(1,2)(1,3)(1,4)m n m n m n ν==ν==ν==123
2—7 试问哪种类氢离子的巴耳末系和赖曼系主线的波长差等于
解：赖曼系主线：22213(1)24RZ RZ ν=-=赖 巴耳末主线：2222115
()2336
RZ RZ ν=-=巴
二主线波长差：
nm RZ RZ RZ RZ 7.1331588)20108(151345362
222==-?=-=
-=?赖巴λλλ 278888
415133.715109737.3110133.7
Z R nm -===?????
2Z ∴=即He 原子的离子。
2—8 一次电离的氢原子He +
从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能量处于基态的氢
原子电离，从而放出电子，试求该电子的速度。 解：He +
从E 2→E 1跃迁辐射的光子的能量为
2212
1
(
1)32h E E RcZ Rhc ν=-=--= 氢原子的电离能为 10()E E E Rhc Rhc ∞=-=--=
∴ 电离的电子的能量为 32k E Rhc Rhc Rhc =-=
该电子的速度为
63.0910v m s =
===?/ 2—9 电子偶素是由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统，试求出：（1）基态时两电子之间的距离；（2）基态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能；（3）由第一激发态退激到基态所放光子的波长。
解：电子偶素可看作类氢体系，波尔理论同样适用，但有关公式中的电子质量必须采用体系的折合质量代替，对电子偶素，其折合质量为：
2
e e e m M m
m M μ=
=+
（1）2
20
0112
2
442220.0530.106e r a nm nm e m e
πεπε=
===?=μ （2）电离能为 1i A E E E R hc ∞=-=
式中 11
21A e R R R m
M
∞∞==+ 于是 76
11 1.097373110 1.2410 6.8022
i E R hc ev ev -∞==????=
则电离电势为 6.80i i E
V v e
==
第一激发电势为 222121211
()
312 5.102A R hcZ E R hc V v e e e
∞-??==== （3）共振线波长为
31212 1.2410243.15.10hc nm ev
nm E ev
λ??===?
2—10 μ-
子是一种基本粒子，除静止质量为电子质量为电子质量的207倍外，其余性质与
电子都一样。当它运动速度较慢时，被质子俘获形成μ子原子，试计算：（1）μ子原子的第一波尔轨道半径；（2）μ子原子的最低能量；（3）μ子原子赖曼线系中的最短波长。 解：（1）μ子原子可看作类氢体系，应用波尔理论，其轨道半径为
22024n n r e Z πε=μ 式中
2072071836186.020********
e e e e m M m m m M ?μ===++ 其第一波尔半径为24
0112
40.053 2.8510186.0186.0186.0
e a nm r nm m e πε-====?
（2）μ子原子的能量公式为 2
2
11()186.0()22n e z z E c m c n
n
αα=-μ=-? 最低能量 1n =，23
11186.0()186.013.6 2.53102e E m c ev ev α=-?=-?=-?
（3）由波长公式 hc
E
λ=?
3min
3max 1 1.24100.490( 2.5310)
hc hc nm ev nm E E E ev λ∞??====?---? 2—11 已知氢和重氢的里德伯常量之比为 728，而它们的核质量之比为m H /m D = 20，试计
算质子质量与电子质量之比。
解：由 1A e A
R R m M ∞
=+
，可知 10.9997281e
H D e D H m R M m R M +
=
=+ 又∵ 0.50020
H
D M M =
，∴
0.5002010.9997281e
H
e H
m M m M +
=+
则
30.499528
1836.5 1.8100.000272
H e M m ==≈? 2—12 当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一个光子时，（1）试求这个氢原子所获得的反冲速率为多大（2）试估计氢原子的反冲能量与所发光子的能量之比。 解：（1）所发光子的能量
ev ev Rhc E E h 2.106.1343
)2
111(2212=?=-=-=ν
光子的动量 c
ev
c h h P 2.10=
==νλ 氢原子的反冲动量等于光子动量的大小，即c
h P M v H
ν
=
=反 s m s m
c m h H v 26.31031067.110602.12.1082719=?????==--ν反
（3） 氢原子的反冲能量为
J J v m E H k 2722721087.8)26.3(1067.12
121--?=???==
反 91927104.510
602.12.101087.8---?=???=νh E k
2—13 钠原子的基态为3s ，试问钠原子从4P 激发态向低能级跃迁时，可产生几条谱线（不考虑精细结构）
解：不考虑能级的精细结构，钠原子的能级图如下：
根据辐射的选择定则1±=?l ，可知，当钠原子从4P 态向低能级跃迁时可产生6条光谱。
2—14 钠原子光谱的共振线（主线系第一条）的波长等于λ=，辅线系线限的波长等于λ∞=，试求（1）3S 、3P 对应的光谱项和能量；（2）钠原子基态电子的电离能和由基态到第一激发态的激发能。
解：（1）由Na 的能级图可知，3P 能级的光谱项和能级分别为：
162
210447.26.40811~-∞
?====m nm T λν；ev nm
Kev
nm hcT E 03.36.40824.122-=?-=-=
3S 能级的光谱项和能级可通过下式求出：
1
1
211~λν==-T T ， ev
m ev nm hcT E m T T 14.510144.41024.110144.410
3.5891
10447.21
16311169
61
21-=????-=-=?=?+
?=+
=---λ（2）Na 原子的电离能为
ev ev E E E i 14.5)14.5(01=--=-=∞
故电离电势为 v e
E V i
i 14.5==
第一激发电势为 v e
ev ev e E E e E V 11.2)
14.5(03.3121212=---=-=?=