电磁场与电磁波课后习题及答案--第四章习题解答
习题解答
4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为
0U ，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位(,)x y ?满足的边界条件为
① (0,)(,)0y a y ??== ② (,0)0x ?=
③
0(,)x b U ?=
根据条件①和②，电位(,)x y ?的通解应取为
1
(,)sinh(
)sin()n n n y n x
x y A a a ππ?∞
==∑
由条件③，有
01
sinh(
)sin()n n n b n x U A a a ππ∞
==∑
两边同乘以
sin(
)
n x a π，并从0到a 对x 积分，得到
00
2sin()d sinh()a
n U n x
A x a n b a a ππ==
?
02(1cos )sinh()U n n n b a πππ-=04,1,3,5,sinh()02,4,6,U n n n b a n ππ?
=?
?
?
=
?，
故得到槽内的电位分布
1,3,5,41
(,)s i n h ()s i n ()
s i n h ()n U n y
n x
x y n n b a a
a ππ?ππ==
∑
4.2 两平行无限大导体平面，距离为b ，其间有一极薄的导体片由d y =到b y =)(∞<<-∞x 。上板和薄片保持电位
0U ，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从0=y 到
d y =，电位线性变化，0(0,)y U y d ?=。
a
题4.1图
解 应用叠加原理，设板间的电位为
(,)x y ?=12(,)(,)x y x y ??+
其中，
1(,)x y ?为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为
0U ）的电位，即10(,)x y U y b ?=；2(,)x y ?是两个电位为零
的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为： ①
22(,0)(,)0x x b ??==
②
2(,)0()
x y x ?=→∞
③
002100(0)(0,)(0,)(0,)()
U U y y d b
y y y U U y y d y b d b ????
-≤≤??=-=?
?-≤≤??
根据条件①和②，可设2(,)x y ?的通解为 21(,)sin()e
n x b
n n n y x y A b π
π?∞
-==∑
由条件③有
00100(0)sin()()
n n U U y y d n y b A U U b y y
d y b d b π∞
=?
-≤≤??=??-≤≤??∑
两边同乘以
sin(
)
n y
b π，并从0到b 对y 积分，得到
0002211(1)sin()d ()sin()d d
b
n d U U y n y n y A y y y b b b b d b b ππ=-+-=??022sin()
()U b n d n d b ππ
故得到 (,)x y ?=0022
121sin()sin()e n x b
n U bU n d n y y b d n b b π
πππ∞-=+∑
4.3 求在上题的解中，除开0U y b 一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按
2
02U W C e
f =
定出边缘电容。
解 在导体板（0=y ）上，相应于
2(,)x y ?的电荷面密度
题 4.2图
002
200
121sin()e n x b
y n U n d y
d n b πε?
πσεπ∞-==?=-=-?∑
则导体板上（沿z 方向单位长）相应的总电荷
2220
d 2d q x x σσ∞
∞
-∞===??001022sin()e d n x b n U n d x n d b πεππ∞∞
-=-=∑?0022141sin()
n U b n d d n b εππ∞=-∑
相应的电场储能为
2002022
1211sin()2e n bU n d
W q U d n b εππ∞
===-∑ 其边缘电容为
022210241sin()
e f n W b n d
C U d n b εππ∞===∑
4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位
0U ，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解 根据题意，电位(,)x y ?满足的边界条件为
① (0,
)(,)0y a y ??== ② (,)
0()x y y ?→→∞ ③
0(,0)x U ?=
根据条件①和②，电位(,)x y ?的通解应取为
1
(,)sin(
)n n n y a n x
x y A e a ππ?∞
-==∑
由条件③，有
01
sin(
)n n n x
U A a π∞
==∑
两边同乘以
sin(
)
n x
a π，并从0到a 对x 积分，得到
00
2sin()d a
n U n x A x a a π==?0
2(1cos )U n n ππ-=0
4,1,3,5,02,4,6,
U n n n π?=???=
?，
故得到槽内的电位分布为
1,3,5,41(,)s i n ()n y a
n U n x x y e n
a π
π?π-==
∑
题4.4图 0
a
4.5 一长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为
()sin(
)sin(
)
x
z
y y b a
c ππρ=-
的电荷。求体积内的电位?。 解 在体积内，电位?满足泊松方程
22222201()sin()sin()x z
y y b x y z a c ???ππε???++=--??? （1）
长方体表面S 上，电位?满足边界条件
S ?=。由此设电位?的通解为
111
1
(,,)sin(
)sin()sin()mnp m n p m x n y p z
x y z A a b c πππ?ε∞∞∞
====
∑∑∑
代入泊松方程（1），可得
222111
[(
)()()]mnp m n p m n p A a b c πππ
∞∞∞
===++?∑∑∑
sin(
)sin()sin()m x n y p z a b c πππ=()sin()sin()x z y y b a c ππ-
由此可得
mnp A = (1m ≠或1)p ≠
22211
1
[()()()]sin()n p n n y A a b c b ππππ∞
=++=∑()y y b - （2） 由式（2），可得
2
221102[()()()]()sin()d b
n n n y
A y y b y a b c b b π
πππ++=-=?34()(cos 1)b n b n ππ-=
2
381,3,5,()02,4,6,
b n n n π?-=???=
?
故
2
5
3
2221,3,5,081(,,)sin()sin()sin()11[()()()]n b x n y z
x y z n a b c n a b c πππ?πε∞
==-
++∑
4.6 如题4.6图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z 轴平行的线电荷
l q ，
其位置为
),0(d 。求板间的电位函数。
解 由于在(0,)d 处有一与z 轴平行的线电荷l q ，以0x =为界将场空间分割为0x >和0x <两
个区域，则这两个区域中的电位1(,)x y ?和2(,)x y ?都满足拉普拉斯方程。而在0x =的分界面
上，可利用δ函数将线电荷l q 表示成电荷面密度0()()l y q y y σδ=-。
电位的边界条件为
①
11(,0)(,)0x x a ??==
22(,0)(,)0x x a ??==
②
1(,)0x y ?→()x →∞
2(,)0x y ?→()x →-∞
③
12(0,)(0,)y y ??=
21
(
)()
l
x q y d x x
??δε=??-=-
-??
由条件①和②，可设电位函数的通解为
11(,)sin(
)
n n n x a n y
x y A e a ππ?∞
=-=∑ (0)x >
21
(,)sin(
)
n n n x a n y
x y B e a ππ?∞
==∑ (0)x <
由条件③，有
1
sin()n n n y A a π∞==∑1
sin(
)
n
n n y
B
a π∞
=∑ （1） 1
sin()n n n n y A a a ππ∞
=--
∑1
sin()n
n n n y
B a a ππ∞
=∑ 0
()l q y d δε=- （2）
由式（1），可得
n n A B = （3）
将式（2）两边同乘以
sin(
)
m y
a π，并从0到a 对y 积分，有
题 4.6图
n n
A B +0
2()sin(
)d a l q n y y d y n a πδπε=
-=?
02sin()l q n d n a ππε （4） 由式（3）和（4）解得
sin(
)l n n q n d
A B n a ππε==
故
1101(,)sin()sin()l
n n x a q n d n y x y e n a a πππ?πε∞
=-=
∑ (0)x > 2101(,)sin()sin()l
n n x a q n d n y
x y e n a a πππ?πε∞
==
∑ (0)x < 4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷
l q 。求槽内的电位函数。
解 由于在
),(00y x 处有一与z 轴平行的线电荷l q ，以
0x x =为界将
场空间分割为
00x x <<和0x x a <<两个区域，则这两个区)
,(00y x 域中的电位1
(,)x y ?和2(,)x y ?都满足拉普拉斯方程。而在0x x =的
分界面上，可利用δ函数将线电荷l q 表示成电荷面密度
0()()l y q y y σδ=-，电位的边界条件为
① 1(0,)0y =?，2(,)0a y ?=
② 11(,0)(,)0x x b =??= 22(,0)(,)0x x b =??=
③
1020(,)(,)
x y x y ??= 0
21
00
(
)()
l
x x q y y x x
??δε=??-=-
-??
由条件①和②，可设电位函数的通解为
11
(,)sin(
)sinh()n n n y n x
x y A b b ππ?∞
==∑ )0(0x x <<
题4.7图
2
(,)x y ?=1
sin(
)sinh[()]
n n n y n B
a x
b b ππ
∞
=-∑
)(0
a x x << 由条件③，有
0011sin()sinh()sin()sinh[()]n n
n n n x n y n y n A B a x b b b b ππππ
∞∞
===-∑∑ （1） 01
sin()cosh()n
n n x n n y A b b b πππ∞
=-∑
01sin()cosh[()]n n n n y n B a x b b b πππ
∞
=-∑ )(00y y q l -δε= （2）
由式（1），可得
00sinh(
)sinh[()]0n n n x n A B a x b b ππ
--= （3）
将式（2）两边同乘以
sin(
)
m y
b π，并从0到b 对y 积分，有
)]
(cosh[)cosh(00x a b n B b x n A n n -π+π00
02()sin(
)d b l q n y
y y y n b πδπε=-=?
02sin()l q n y n b ππε （4）
由式（3）和（4）解得
00021sinh[()]sin()
sinh()l n q n y n A a x n a b n b b ππ
ππε=
-
00021
sinh()sin()
sinh()l n q n x n y B n a b n b b ππππε=
故
101021(,)sinh[()]sinh()l
n q n x y a x n n a b b π
?πεπ∞
==
-∑ 0sin(
)sinh()sin()n y n x n y
b b b πππ? )0(0x x <<
021021
(,)sinh()sinh()l
n q n x x y n n a b π?πεπ∞
==
∑
0sin(
)sinh[()]sin()n y n n y
a x
b b b πππ?- )(0a x x <<
若以
0y y =为界将场空间分割为00y y <<和0y y b <<两个区域，则可类似地得到
101021(,)sinh[()]sinh()l
n q n x y b y n n b a a π
?πεπ∞
==
-∑ 0sin(
)sinh()sin()n x n y n x
a a a πππ? 0(0)y y <<
021021
(,)sinh()sinh()l
n q n y x y n n b a a π?πεπ∞
==
∑ 0sin(
)sinh[()]sin()n x n n x
b y a a a πππ?- 0()y y b <<
4.8 如题4.8图所示，在均匀电场
00x E E e =中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱
的半径为a 。求导体圆柱外的电位?和电场E 以及导体表面的感应电荷密度σ。 解 在外电场0E 作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场0E 的电位0?与感应
电荷的电位
in ?的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z 无关。在圆柱面坐标系中，
外电场的电位为000(,)cos r E x C E r C ?φφ=-+=-+（常数C 的值由参考点确定）
，而感应电
荷的电位
(,)in r ?φ应与0(,)r ?φ一样按cos φ变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，
所以(,)r ?φ满足的边界条件为
① (,
)a C ?φ= ②
0(,)c o s ()r E r C r ?φφ
→-+→∞
由此可设
101(,)cos cos r E r Ar C ?φφφ-=-++ 由条件①，有
1
01cos cos E a Aa C C φφ--++= 于是得到
021E a A = 故圆柱外的电位为
210(,)()cos r r a r E C ?φφ-=-++
0E
题4.8图
若选择导体圆柱表面为电位参考点，即(,)0a ?φ=，则0=C 。 导体圆柱外的电场则为
1(,)r r r r E e e φ???φφ??=-?=--=??220022(1)cos (1)sin r a a E E r r e e φφφ
-++-+
导体圆柱表面的电荷面密度为
0(,)
2c o s r a r E r ?φσεεφ=?=-=?
4.9 在介电常数为ε的无限大的介质中，沿z 轴方向开一个半径为a 的圆柱形空腔。沿x 轴方向外加一均匀电场00x E E e =，求空腔内和空腔外的电位函数。
解 在电场0E 的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E 为外加
电场
0E 与极化电荷的电场p E 的叠加。外电场的电位为000(,)cos r E x E r ?φφ=-=-而感应电
荷的电位
(,)in r ?φ应与0(,)r ?φ一样按cos φ变化，则空腔内、外的电位分别为1(,)r ?φ和
2(,)r ?φ的边界条件为
①
∞→r 时，20(,)cos r E r ?φφ→-；
② 0=r 时，1
(,)r ?φ为有限值；
③
a r =时， 12(,)(,)a a ?φ?φ=，
120
r r ??
εε??=??
由条件①和②，可设
101(,)cos cos r E r Ar ?φφφ=-+ ()r a ≤ 1202(,)cos cos r E r A r ?φφφ-=-+ ()r a ≥
带入条件③，有 112Aa A a -=，2
00
0102E A E a A εεεε--+=-- 由此解得
0100A E εεεε-=-
+， 2
020
A a E εεεε-=-+
所以
1002(,)cos r E r ε
?φφεε=-
+
()r a ≤
2
0200(,)[1()]cos a r E r r εε?φφεε-=-+
+ ()r a ≥
4.10 一个半径为b 、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题4.10图所示。
第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象
限分别保持电位
0U 和0U -。求圆柱面内部的电位函数。
解 由题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为
① (0,)?φ为有限值；
②
0002
02(,)320
322U b U φππφπ
?φπφππφπ
<
=?
-<
由条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为
1
(,)(sin cos )
n n n n r r A n B n ?φφφ∞
==+∑ ()r b ≤
代入条件②，有 1
(s i n c o s )(,)
n n
n
n b A
B n b φφ?φ∞
=+=∑
由此得到
20
1
(,)sin d n n
A b n b π
?φφφπ
==
?232
000
1[sin d sin d ]n
U n U n b πππ
φφφφπ
-
=??
0(1cos )n U n b n ππ
-=
2,1,3,5,02,4,6,
n
U n n b n π?=???=
?，
20
1(,)cos d n n
B b n b π
?φφφπ
==?32
1
[cos d cos d ]n
U
n U n b πππ
φφφφπ-
=
??
03(sin sin )22
n U n n b n ππ
π-=3
2
2(1),1,3,5,02,4,6,
n n U n n b n π+?-=???=
?，
故
3
21,3,5,
21(,)()[sin (1)cos ]n n
n U r r n n n b ?φφφπ
+∞
==
+-∑
()r b ≤
-题4.10图
4.11 如题4.11图所示，一无限长介质圆柱的半径为a 、介电常数为ε，在距离轴线)(00a r r >处，
有一与圆柱平行的线电荷l q ，计算空间各部分的电位。
解 在线电荷
l q 作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位(,)r ?φ均为线电荷l q 的电位
(,)l r ?φ与极化电荷的电位(,)p r ?φ的叠加，即(,)(,)(,)l p r r r ?φ?φ?φ=+。线电荷l q 的电位
为
(,)ln 22l l l q q r R ?φπεπε=-
=-
（1）
而极化电荷的电位
(,)
p r ?φ满足拉普拉斯方程，且是φ的偶函数。
介质圆柱内外的电位
1(,)r ?φ和2(,)r ?φ满足的边界条件为分别为
① 1(0,)?φ为有限值；
②
2(,)(,)()l r r
r ?φ?φ→→∞ ③ a r =时，
12120,r r ??
??ε
ε??==??
由条件①和②可知，
1(,)r ?φ和2(,)r ?φ的通解为
11(,)(,)cos n l n n r r A r n ?φ?φφ
∞
==+∑ (0)r a ≤≤ （2）
21
(,)(,)cos n l n n r r B r n ?φ?φφ
∞
-==+∑ ()a r ≤<∞ （3）
将式（1）～（3）带入条件③，可得到
1
1
cos cos n
n n n n n A a
n B a n φφ
∞
∞
-===∑∑ （4）
11001
0ln ()cos ()
2n n l n n r a
n q R
A na
B na n r
εεφεεπε∞
---==?+=-?∑ （5）
当
0r r <时，将R ln 展开为级数，有
010
1l n l n ()c o s
n
n r
R r n n r φ∞
==-∑
（6）
题4.11图
带入式（5），得
1
1
1001
100
0()()cos ()cos 2n n n l
n n n n q a A na
B na
n n r r εεεεφφπε∞
∞
----==-+=-
∑∑ （7）
由式（4）和（7），有 n
n n n a B a A -=
111
00000
()()
2n n n l n n q a A na B na r r εεεεπε-----+=-
由此解得 0000()12()l n n q A nr εεπεεε-=-+， 20000()2()n
l n n
q a B nr εεπεεε-=-+
故得到圆柱内、外的电位分别为
10(,)2l
q r ?φπε=-01000
()1()cos 2()n
l n q r n n r εεφ
πεεε∞=-+∑ （8）
20(,)ln 2l
q r ?φπε=-201000()1()cos 2()n
l n q a n n r r εεφπεεε∞=-+∑ （9）
讨论：利用式（6），可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为
000100000()()1()cos (ln ln )2()2()n l l n q q r n R r n r εεεεφπεεεπεεε∞=---=-++∑ 200100000()()1()cos (ln ln )2()2()n l l n q q a n R r n r r εεεεφπεεεπεεε∞=--'-=-++∑
其中
R '=。因此可将
1(,)r ?φ和2(,)r ?φ分别写成为
0010
00002()
1(,)ln ln 22()l l q q r R r εεε?φπεεεπεεε-=-
-++ 0020
0000
()()11(,)ln ln ln 222l l l
q q q r R R r
εεεε?φπεπεεεπεεε---'=-
-
-++
由所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于（,0r 0）的线电荷0
02l
q εεε+的电位相同，而介质圆
柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（,0r 0）的线电荷l q ；位于)
0,(02
r a 的
线电荷00l q εεεε--
+；位于0=r 的线电荷0
0l
q εεεε-+。
4.12 将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。
解 导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位(,)r ?φ均为线电荷l q 的电位(,)l r ?φ与感应
电荷的电位
(,)in r ?φ的叠加，即(,)(,)(,)l in r r r ?φ?φ?φ=+。线电荷l q 的电位为
(,)ln 22l l l q q r R ?φπεπε=-
=-
（1）
而感应电荷的电位
(,)in r ?φ满足拉普拉斯方程，且是φ的偶函数。
(,)r ?φ满足的边界条件为
① (,)(,)l r r ?φ?φ→()r →∞；
②
(,)a C ?φ=。
由于电位分布是φ的偶函数，并由条件①可知，(,)r ?φ的通解为
(,)(,)cos n l n n r r A r n ?φ?φφ
∞
-==+∑ （2）
将式（1）和（2）带入条件②，可得到
cos 2n
l n
n q A a
n C φπε∞
-==+
∑ （3）
将
0101ln ()cos n n a
r n n r φ
∞
==-∑ （4）
带入式（3），得
00
1001cos [ln ()cos ]2n
n l
n n n q a
A a n C r n n r φφπε∞
∞
-===+
-∑∑ （5）
由此可得 000ln 2l
q A C r πε=+，
200()
2n
l
n q a A n r πε=- 故导体圆柱外的电为
(,)2l q r ?φπε=-
00(ln )2l
q C r πε+-21001()cos 2n
l
n q a n n r r φ
πε∞
=∑ （6）
讨论：利用式（4），可将式（6）中的第二项写成为
21000
1()cos (ln ln )22n l
l n q q a n R r n r r φπεπε∞
='-=-∑
其中
R '=。因此可将(,)r ?φ写成为
(,)ln ln ln 222l l l q q q r R R r ?φπεπεπε'=-
+
-
ln 2l q C r πε++
由此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：位于（
,0r 0）的线电荷l q ；
位于)
0,(02
r a 的线电荷l q -；位于0=r 的线电荷l q 。
4.13 在均匀外电场
00z E E e =中放入半径为a 的导体球，设（1）导体充电至0U ；
（2）导体上
充有电荷Q 。试分别计算两种情况下球外的电位分布。 解 （1）这里导体充电至0U 应理解为未加外电场0E 时导体球相对于无限远处的电位为0U ，此
时导体球面上的电荷密度00U a σε=，总电荷004q aU πε=。将导体球放入均匀外电场0E 中后，
在
0E 的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q 仍保持不变，导体
球仍为等位体。 设
0(,)(,)(,)in r r r ?θ?θ?θ=+，其中
000(,)cos r E z E r ?θθ=-=-
是均匀外电场
0E 的电位，(,)in r ?θ是导体球上的电荷产生的电位。
电位(,)r ?θ满足的边界条件为 ①
∞→r 时，0(,)cos r E r ?θθ→-；
② a r =时，
0(,)a C ?θ=，
0d S
S q r
?
ε?-=??
题4.14图
其中
0C 为常数，若适当选择(,)r ?θ的参考点，可使00U C =。
由条件①，可设
21
0111(,)cos cos r E r Ar B r C ?θθθ--=-+++ 代入条件②，可得到
03
1E a A =，01aU B =，001U C C -= 若使00U C =，可得到 321
000(,)cos cos r E r a E r aU r ?θθθ--=-++
（2）导体上充电荷Q 时，令
004Q aU πε=，有
004Q U a πε=
利用（1）的结果，得到
32000(,)cos cos 4Q r E r a E r r ?θθθπε-=-++
4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场
00z E =E e ，在介质中有一个半径为
a 的球形空腔。求空腔内、外的电场E 和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为ε）。
解 在电场0E 的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E 为外加
电场
0E 与极化电荷的电场p E 的叠加。设空腔内、外的电位分别为1(,)r ?θ和2(,)r ?θ，则边界
条件为 ①
∞→r 时，20(,)cos r E r ?θθ→-；
② 0=r 时，1
(,)r ?θ为有限值； ③
a r =时， 12(,)(,)a a ?θ?θ=，
120
r r ??
εε??=??
由条件①和②，可设
101(,)cos cos r E r Ar ?θθθ=-+ 2202(,)cos cos r E r A r ?θθθ-=-+
带入条件③，有
221-=a A a A ，3
0001022E A E a A εεεε--+=--
由此解得 01002A E εεεε-=-+，3
020
02A a E εεεε-=-+
题 4.15图
所以
100
3(,)cos 2r E r ε
?θθεε=-
+
3
0200(,)[1()]cos 2a r E r r εε?θθεε-=-+
+
空腔内、外的电场为
110
3(,)2r E E ε
?θεε=-?=
+ 22(,)r E ?θ=-?=
3
0000()([2cos sin ]
2r E a r E e e θεεθθεε--
++
空腔表面的极化电荷面密度为
2
02
()p r a
r r a
n P e E σεε===-?=--?=
0000
3()
cos 2E εεεθ
εε--
+
4.15 如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为1r 和2r ，球的中心放置一个电偶极子
p ，球壳上的电荷量为Q 。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。
解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子
p 在球壳内表面上引起感应电荷分布，但
内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q ，且均匀分布在外表面上。 球壳外的场可由高斯定理求得为
220()4r
Q r r E e πε=
20()4Q r r ?πε=
外表面上的电荷面密度为 2224Q r σπ=
设球内的电位为
1(,)(,)(,)
p in r r r ?θ?θ?θ=+，其中
1
2200cos (,)(cos )44p p p
r P r r θ?θθπεπε=
=
是电偶极子
p 的电位，(,)in r ?θ是球壳内表面上的感应电荷的电位。
(,)in r ?θ满足的边界条件为
① (0,)in ?θ为有限值；
②
1122(,)()r r ?θ?=，即1122(,)(,)()in p r r r ?θ?θ?+=，所以
11202
01
(,)(cos )
44in Q p r P r r
?θθπεπε=-
由条件①可知
(,)in r ?θ的通解为
0(,)(c o s )
n
i n n n n r A r P ?θθ∞
==∑
由条件②，有 112
02
01(cos )(cos )
44n n n n Q p A r P P r r θθπεπε∞
==
-
∑
比较两端
(cos )n P θ的系数，得到
0024Q A r πε=
，
13014p A r πε=-
，
0n A =(2)n ≥
最后得到
12302
1
1(,)(
)cos 44Q p r
r r r r ?θθπεπε=
+
-
球壳内表面上的感应电荷面密度为
111110
3
13cos 4r r r r p
n
r
r ??σεεθπ==??=-==-
??
感应电荷的总量为
2
1113103d cos 2sin d 04S
p q S r r π
σθπθθπ==-?=??
4.16 欲在一个半径为a 的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线的密度）？ 解 设球内的均匀场为
10z H =H e ()r a <，球外的场为2H ()r a >，如
题4.16图所示。根据边界条件，球面上的电流面密度为
2120()()S r a r z r a H ===?-=?-=J n H H e H e
2
0sin r r a
H φθ
=?+e H e
题 4.16图
2
r
题 4.17图
若令
2
r r a
=?=e H ，则得到球面上的电流面密度为
0s i n S H φθ
=J e
这表明球面上的绕线密度正比于sin θ，则将在球内产生均匀场。 4.17 一个半径为R 的介质球带有均匀极化强度P 。
（1）证明：球内的电场是均匀的，等于
0ε-
P
；
（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子τP 产生的电场相同，
3
43R πτ=
。 解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生
的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。
建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为
cos p r P P n P e σθ
=?=?=
介质球内、外的电位
1?和2?满足的边界条件为
① 1
(0,)?θ为有限值； ② 2(,)0()r r ?θ→→∞； ③
12(,)(,)R R ?θ?θ=
12
0(
)cos r R
P r r
??εθ
=??-=??
因此，可设球内、外电位的通解为
11(,)cos r Ar ?θθ=
1
22(,)cos B r r ?θθ=
由条件③，有
112B A R R =
，1
01
32()B A P R ε+=
解得
103P A ε=， 3
103PR B ε=
于是得到球内的电位
100(,)cos 33P P r r z ?θθεε=
=
故球内的电场为 110033z
P P
E e ?εε=-?=-=-
（2）介质球外的电位为
332220014(,)cos cos 343PR R P r r r π?θθθεπε==20cos 4P r τ
θ
πε= 其中
3
43R πτ=
为介质球的体积。故介质球外的电场为 22
221(,)r r r r r E e e θ???θ??=-?=--=??3
0(2cos sin )4r P r e e θτθθπε+
可见介质球外的电场与一个位于球心的偶极子τP 产生的电场相同。
4.18 半径为a 的接地导体球，离球心)(11a r r >处放置一个点电荷q ，如题4.18图所示。用分离变量法求电位分布。
解 球外的电位是点电荷的电位与球面上感应电荷产生的电位的叠加，感应电荷的电位满足拉普拉斯方程。用分离变量法求解电位分布时，将点电荷的电位在球面上按勒让德多项式展开，即可由边界条件确定通解中的系数。 设
0(,)(,)(,)in r r r ?θ?θ?θ=+，其中
00(,)4q r R
?θπε=
=
是点电荷q 的电位，
(,)in r ?θ是导体球上感应电荷产生的电位。
电位(,)r ?θ满足的边界条件为 ① ∞→r 时，(,)0r ?θ→； ② a r =时， (,)0a ?θ=。
由条件①，可得(,)in
r ?θ的通解为
题4.18图
10
(,)(cos )
n in n n n r A r P ?θθ∞
--==∑
为了确定系数
n A ，利用R 1的球坐标展开式
1101
1110(cos )()1(cos )()n
n n n n
n n n r P r r r R r P r r r θθ∞+=∞+=?≤??=?
?≥??∑∑
将0(,)r ?θ在球面上展开为 01001(,)(cos )4n
n
n n q
a a P r ?θθπε∞
+==∑
代入条件②，有
1
10
001
(cos ) (cos )04n
n n n n
n n n q
a A a
P P r θθπε∞
∞
--+==+=∑∑
比较)(cos θn P 的系数，得到 21
1
014n n n qa A r πε++=-
故得到球外的电位为 21
10001(,)(cos )44()n n
n n q
q
a r P R rr ?θθπεπε+∞
+==-∑
讨论：将(,)r ?θ的第二项与R 1的球坐标展开式比较，可得到
21
101
(cos )()n n
n n a P r r θ+∞
+==∑
由此可见，(,)r ?θ的第二项是位于
12
r a r ='的一个点电荷1r a q q -='所产生的电位，此电荷正是球面上感应电荷的等效电荷，即像电荷。
4.19 一根密度为l q 、长为2a 的线电荷沿z 轴放置，中心在原点上。
证明：对于a r
>的点，有
35
24350(,)P (cos )P (cos )235l q a a a r r r r
?θθθπε??
=+
++ ???
解 线电荷产生的电位为
00
1
(,)44a a
l
l a q q r dz R ?θπεπε-
-''
==??
对于a r
>的点，有
- )θ
题4.19图
第四章 练习题及参考答案
第四章 静态场的解 练习题 1、设点电荷q 位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置 （2） 直角劈内任意一点),,(z y x 处的电位表达式 （3） 解：（1）镜像电荷所在的位置如图1所示。 （2）如图2所示任一点),,(z y x 处的电位为 ??? ? ??-+-= 4321011114r r r r q πεφ 其中， ()()()()()()()()2 22422 232 2222 22121212121z y x r z y x r z y x r z y x r +-++= ++++=+++-=+-+-= 2、 两个点电荷Q +和Q -位于半径为a 的接地导体球的直径延长线上，距球心均为 d 。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为232d Q a 。 证明：由点电荷的球面镜像法知，＋Q 和－Q 的镜像电荷Q Q ''',分别位于球内＋Q 和－ Q 连线上大小分别为Q D a μ，且分别距球心为D a 2（分别位于球心两侧）。可见Q Q ''',构 成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为： 图1 图2 q - q +q -
2 322D Q a D a Q D a ql p =?==。结论得证。 3、已知一个半径为a 的接地导体球，球外一个点电荷q 位于距球心O 为d 处。利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。 解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷q '必定位于球内，且在q 与球心0连线上，位置在距离球心设为f 处。建立直角坐标系，由边界条件(?球）=0可取球面上两个特殊点B A ,讨论。B A ,是q 与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得： 0)(4)(4)(00=+' ++= f a q a d q A πεπε?， 0) (4)(4)(00=-' +-= f a q a d q B πεπε?。 解此方程组得：d a f q d a q 2 ,=-='。 所以任意场点),(y x P 处的电位为： r q r q ' '+ = 0044πεπε?。 其中r r ',分别是点电荷q 和q ' 到场点P 的距离。 值分别为21 2221 22])[(,])[(y f x r y d x r +-='+-=。 4、半径为a 的不接地导体球附近距球心O 为d （?d a ）处有一点电荷q ，用镜像法计算 球外任一点的电位。 解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷除了有q '（即导体球接地时对应的结果， q d a q -='，其位置为d a f 2=），还在球心处有另外一个镜像电荷q ''，以保证导体球面电 势不为零的边界条件成立，且可知q q '-=''。 所以任意场点P 处的电位为： r q r q r q ' '''+ ' '+ = 000444πεπεπε?
第四章课后习题与答案
第四章课后习题与答案 1．媒体包含媒质和媒介两个方面的含义。媒质是指存储信息的实体；媒介是指表示和传递信息的载体，即信息的表现形式。 媒体可分为五种类型：感觉媒体、表示媒体、显示媒体、存储媒体、传输媒体。 2．多媒体是上述各种感觉媒体的综合体，即将多媒体定义为文字、图象、声音等多种不同形式的信息表达方式。 主要特征是：多样性、集成性和交互性。多样性是相对于传统计算机而言的，指信息载体的多样化，即计算机中信息表达方式的多样化，这一特征使计算机能处理的信息空间范围更加广阔，使人机交互界面更加人性化。集成性包括媒体信息的集成和处理媒体信息的设备或工具的集成，它是多媒体信息和多媒体设备的高速统一，是一次系统级的飞跃。交互性是多媒体技术的关键特征，这一特性将更加有效地为用户提供控制和使用信息的手段，没有交互性的多媒体作品是没有生命力的，有了交互性，使用者才能有效地获取信息。 3．音、视频信号往往都是模拟信号，必须将其进行数字化处理转换成数字视频信号。数字音频是对模拟声音信号每秒上千次的采样，然后把每个样值按一定的比特数量化，最后得到标准的数字音频的码流。对CD音质的信号来讲，每秒要44100次的采样，每个样值是16比特的量化，而立体声CD 音质信号，它每秒的码流是44.1K×16×2≈ 1.4Mbit/S。这样高的码流和容量，对于数字音频的存储、处理和传输提出了很高的要求。视频图像经过变换成为数字图像后产生了一系列问题。数字化后的视频信号的数据量十分巨大，需要大量的磁盘空间。对于PAL制电视来说，我国PAL/D.K制电视的视频带宽fc=6.0MHz，根据奈奎斯特定理，取样频率fs≥2fc。CCIR601建议书规定：亮度信号的取样频率为13.5MHz，色度信号的取样频率为6.75MHz，每个取样8bit，每有效行的取样数，亮度信号为720个，每个色差信号为360个。亮度信号和每个色差信号都采用线性PCM，那么传输PAL制彩色电视所需要的传输速率为：13.5×8+2×6.75×8=216Mb/s，要以25帧/秒的速率来播放数字视频信号，数据传输速率要达到216Mbit/s，即216Mbps左右，而现在各种传输技术的速度都远远达不到这个水平。现在最快的传输介质光纤，也只有100Mbps。以正常的速度传输、播放不压缩的数字视频信号是不可能的。 4．媒体素材包括文本、声音、图形、图象、视频和动画。 特点：（1）文本指各种字体、尺寸、格式及色彩的文本。文本数据可以使用文本编辑软件制作，应用于多媒体系统中可以使显示的信息更易于理解，是多媒体应用系统的基础。常见的文件格式有：TXT，DOC，WRI等。 （2）图形和图象 图形是指从点、线、面到三维空间的黑白或彩色几何图形，也称为矢量图。图形文件只记录生成图形的算法和图形上的某些特征点（如几何图形的大小、形状及其位置、颜色等），因此，图形文件的格式就是一组描述点、线、面等几何元素特征的指令集合，绘图程序通过读取这些指令，将其转换为屏幕上可显示的形状和颜色，从而生成图形。图形常用在网络和工程计算中。图象是由称为像素的点构成的矩阵，也称为位图。图象可以用图象处理软件制作，也可以通过扫描仪、数码相机等输入设备获得。常见的文件格式有：BMP，JPG、PCX等。（3）视频是指一组静态图象的连续播放，这里的连续既指时间上的连续，也指图象内容上的连续。计算机视频是数字化的，通常来自于录象带、摄象机等模拟视频信号源，经过数字化处理后成为数字视频文件。常见的文件格式有：A VI、MOV，MPG等。 （4）动画是活动的画面，是借助计算机生成的一系列连续运动的画面。用计算机实现的动
第四章课后习题答案
4-8 一个半径为r ＝1m ，转速为1500r/min 的飞轮，受到制动，均匀减速，经时间t ＝50s 后静止，求：（1）飞轮的角加速度和飞轮的角速度随时间的关系；（2）飞轮到静止这段时间内转过的转数；（3）t ＝25s 时飞轮边缘上一点的线速率和加速度的大小。 解 （1）由于均匀减速，所以角加速度不变为 2015000.5/6050r r s s s β-= =-? 由角速度和角加速度的关系得 25/0 t r s d dt ω ωβ=? ? 得 250.5(/)t r s ω=- （2） d d d d dt dt d d ωωθωω βθθ = == 25/r s d d θβθωω=? ? 解得 625r θ= 所以转数为625 （3）由于250.5(/)t r s ω=- 所以t=25s 时 12.5/25(/)r s rad s ωπ== 所以线速率为 25(/)v r m s ωπ== 角加速度大小不变 4-9 某电机的转速随时间的关系为ω＝ω0（1－e -t/τ ），式中，ω0＝s ，τ＝，求：（1） t ＝时的转速；（2）角加速度随时间变化的规律；（3）启动6s 后转过的圈数。 解 （1）t=60s 代入得 39(1)(/)8.6/e rad s rad s ω-=-= （2）由d dt ω β= 得 2 4.5t e β- = （3）由6 d dt θθω=?? 33618e θ-=+ [/2][5.87]5n θπ===
4-10 一个圆盘绕穿过质心的轴转动，其角坐标随时间的关系为θ（t ）＝γt+βt 3 ，其初始转速为零，求其转速随时间变化的规律。 解 由d dt θ ω= 得 23t ωγβ=+ 由于初始时刻转速为零，γ=0 23t ωβ= 4-11 求半径为R ，高为h ，质量为m 的圆柱体绕其对称轴转动时的转动惯量。 解 建立柱坐标，取圆柱体上的一个体元，其对转轴的转动惯量为 2 222 m m dJ dV d d dz R h R h ρρρρθππ== 积分求得 23220001 2 R h m J d d dz mR R h πρρθπ= =??? 4-12一个半径为R ，密度为ρ的薄板圆盘上开了一个半径为R/2的圆孔，圆孔与盘边缘相切。求该圆盘对通过圆盘中心而与圆盘垂直的轴的转动惯量。 解：把圆孔补上，取圆盘上一面元dS ，到转轴的距离为r ，则其转动惯量为 22dJ r dS r rdrd ρρθ== 积分得绕轴转动惯量为 23410 1 2 R J r drd R π ρθπρ==? ? 圆孔部分的绕轴转动惯量可由平行轴定理得 4 422213()()()222232 R R R R J πρπρρπ=+= 总的转动惯量为 4 121332 R J J J πρ=-= 4-13电风扇在开启电源后，经过t 1时间达到额定转速ω，当关闭电源后，经过t 2时间后停止转动，已知风扇转子的转动惯量为J ，并假定摩擦力矩和电动机的电磁力矩均为常量，求电动机的电磁力矩。 解：由转动定理得
单片机原理及应用第四章课后题答案
第四章作业答案 16. MCS-51单片机系统中，片外程序存储器和片外数据存储器共用 16位地址线和8位数 据线，为何不会产生冲突？ 解： 数据存储器的读和写由 RD 和WR 信号控制，而程序存储器由读选通信号 PSEN 控制, 这些信号在逻辑上时序上不会产生冲突；程序存储器访问指令为 MOVC ，数据存储器访问 指令为MOVX 。程序存储器和数据存储器虽然共用 16位地址线和8位数据线，但由于二者 访问指令不同，控制信号不同 ，所以两者虽然共处于同一地址空间，不会发生总线冲突。 18.某单片机应用系统，需扩展 2片8KB 的EPROM 和2片8KB 的RAM ，采用地址译码 法，画出硬件连接图，并指出各芯片的地址范围。 解: 硬件连接电路图如图 4.18所示。各芯片的地址范围为: 图4.18 4.18题硬件连接电路图 21. 8255A 的端口地址为 7F00H ?7F03H ,试编程对 8255A 初始化，使A 口按方式0输入, B 口按方式1输出。 解: 程序如下: ORG 0000H LJMP START ORG 0030H START : MOV SP, #60H MOV DPTR , #7F03H MOV A , #10010100B MOVX @DPTR , A SJMP $ END 25.使用8255A 或者8155的B 端口驱动红色和绿色发光二极管各 4只，且红、绿发光二极 管轮流发光各1S 不断循环，试画出包括地址译码器、 8255A 或8155与发光管部分的接口 2764 (1#): 0000H~1FFFH 6264 (1#): 4000H~5FFFH 2764 (2#): 2000H~3FFFH 6264 (2#): 6000H~7FFFH 8031 ALE Q7-QQ G 74LS373 □7-DO OE 1_ —. AO-A?A8-A1?CE 2764 1# D7-D0 QE Al f A12 CE 6264 1# D7-0B WE OE A0-A7Aa-Al2CE 6264 2# D7~D(? W E OE P2.4-P2.0 1 2764 2# D7-D0 OE RESET P0.7^P0.0 PSEN WR RD
数据库应用基础第4章习题参考答案
习题 1．选择题 （1）设A、B两个数据表的记录数分别为3和4，对两个表执行交叉联接查询，查询结果中最多可获得（C ）条记录。 A．3 B. 4 C. 12 D. 81 （2）如果查询的SELECT子句为SELECT A, B, C * D，则不能使用的GROUP B子句是（ A ）。 A．GROUP BY A B．GROUP BY A,B C．GROUP BY A,B,C*D D．GROUP BY A,B,C,D （3）关于查询语句中ORDER BY子句使用正确的是（ C ）。 A．如果未指定排序字段，则默认按递增排序 B．数据表的字段都可用于排序 C．如果在SELECT子句中使用了DISTINCT关键字，则排序字段必须出现在查询结果中 D．联合查询不允许使用ORDER BY子句 （4）在查询设计器中，不能与其他窗格保持同步的是（D ）。 A．关系图窗格 B. 网格窗格 C．SQL窗格 D. 结果窗格 （5）下列函数中，返回值数据类型为int的是（B）。 A．LEFT B. LEN C．LTRIM D. SUNSTRING 2．填空题 (1) 在启动查询分析器时，在登录对话框中可使用（Local）作为本地服务器名称。 (2) 查询分析器窗口主要由对象浏览器和（查询）窗口组成。 (3) 从Windows“开始”菜单启动查询分析器后，默认数据库为（master）。 (4) 以表格方式显示的查询结果保存为（导出）文件，其文件扩展名为（csv）；以文本方式显示的查询结果保存为（报表）文件，其文件扩展名为（rpt）。 (5) 可使用（PRINT）或（SELECT）语句来显示函数结果。 (6) 在查询语句中，应在（SELECT）子句中指定输出字段。 (7) 如果要使用SELECT语句返回指定条数的记录，则应使用（TOP）关键字来限定输出字段。 (8) 联合查询指使用（UNION）运算将多个（查询结果）合并到一起。 (9) 当一个子SELECT的结果作为查询的条件，即在一个SELECT语句的WHERE子句中出现另一个SELECT语句，这种查询称为（嵌套）查询。 (10) 连接查询可分为3种类型：（内连接）、（外连接）和交叉连接。 3．问答题 (1) 在SELECT语句中，根据列的数据对查询结果进行排序的子句是什么？能消除重复行的关键字是什么? (2) 写出与表达式“仓库号NOT IN('wh1','wh2')”功能相同的表达式。用BETWEEN、AND形式改写条件子句WHERE mark> 550 AND mark<650。 (3) 在一个包含集合函数的SELECT语句中，GROUP BY子句有哪些用途?
第四章课后思考题及参考答案
第四章课后思考题及参考答案 1、为什么说资本来到世间，从头到脚，每个毛孔都滴着血和肮脏的东西？ [答案要点]资本来到世间，从头到脚，每个毛孔都滴着血和肮脏的东西。资本主义的发展史，就是资本剥削劳动、列强掠夺弱国的历史，这种剥夺的历史是用血和火的文字载入人类编年史的。在自由竞争时代，西方列强用坚船利炮在世界范围开辟殖民地，贩卖奴隶，贩卖鸦片，依靠殖民战争和殖民地贸易进行资本积累和扩张。发展到垄断阶段后，统一的、无所不包的世界市场和世界资本主义经济体系逐步形成，资本家垄断同盟为瓜分世界而引发了两次世界大战，给人类带来巨大浩劫。二战后，由于社会主义的胜利和民族解放运动的兴起，西方列强被迫放弃了旧的殖民主义政策，转而利用赢得独立和解放的广大发展中国家大规模工业化的机会，扩大资本的世界市场，深化资本的国际大循环，通过不平等交换、资本输出、技术垄断以及债务盘剥等，更加巧妙地剥削和掠夺发展中国家的资源和财富。在当今经济全球化进程中，西方发达国家通过它们控制的国际经济、金融等组织，通过它们制定的国际“游戏规则”，推行以所谓新自由主义为旗号的经济全球化战略，继续主导国际经济秩序，保持和发展它们在经济结构和贸易、科技、金融等领域的全球优势地位，攫取着经济全球化的最大好处。资本惟利是图的本性、资本主义生产无限扩大的趋势和整个社会生产的无政府状态，还造成日益严重的资源、环境问题，威胁着人类的可持续发展和生存。我们今天看到的西方发达资本主义国家的繁荣稳定，是依靠不平等、不合理的国际分工和交换体系，依靠发展中国家提供的广大市场、廉价资源和廉价劳动力，通过向发展中国家转嫁经济社会危机和难题、转移高耗能高污染产业等方式实现的。资本主义没有也不可能给世界带来普遍繁荣和共同富裕。 2、如何理解商品二因素的矛盾来自劳动二重性的矛盾，归根结底来源于私人劳动和社会劳的矛盾？[答案要点]商品是用来交换的劳动产品，具有使用价值和价值两个因素或两种属性。在私有制条件下，商品所包含使用价值和价值的矛盾是由私有制为基础的商品生产的基本矛盾即私人劳动和社会劳动的矛盾所决定的。以私有制为基础的商品经济是以生产资料的私有制和社会分工为存在条件的。一方面，在私有制条件下，生产资料和劳动力都属于私人所有，他们生产的产品的数量以及品种等，完全由自己决定，劳动产品也归生产者自己占有和支配，或者说，商品生产者都是独立的生产者，他们要生产什么，怎样进行生产，生产多少，完全是他们个人的私事。因此，生产商品的劳动具有私人性质，是私人劳动。另一方面，由于社会分工，商品生产者之间又互相联系、互相依存，各个商品生产者客观上都要为满足他人和社会的需要而进行生产。因此，他们的劳动又都是社会劳动的组成部分。这样，生产商品的劳动具有社会的性质，是社会劳动。对此，马克思指出，当劳动产品转化为商品后，“从那时起，生产者的私人劳动真正取得了二重的社会性质。一方面，生产者的私人劳动必须作为一定的有用劳动来满足一定的社会需要，从而证明它们是总劳动的一部分，是自然形成的社会分工体系的一部分。另一方面，只有在每一种特殊的有用的私人劳动可以同任何另一种有用的私人劳动相交换从而相等时，生产者的私人劳动才能满足生产者本人的多种需要。完全不同的劳动所以能够相等，只是因为它们的实际差别已被抽去，它们已被化成它们作为人类劳动力的耗费、作为抽象的人类劳动所具有的共同性质。”私有制条件下，商品生产者私人劳动所具有的这二重性质，表现为生产商品的劳动具有私人劳动和社会劳动的二重性。 生产商品的私人劳动和社会劳动是统一的，同时也是对立的。其矛盾性表现在：作为私人劳动，一切生产活动都属于生产者个人的私事，但作为社会劳动，他的产品必须能够满足一定的社会需要，他的私人劳动才能转化为社会劳动。而商品生产者的劳动直接表现出来的是它的私人性，并不是它的社会性，他的私人劳动能否为社会所承认，即能否转化为社会劳动，他自己并不能决定，于是就形成了私人劳动和社会劳动的矛盾。这一矛盾的解决，只有通过商品的交换才能实现。当他的产品在市场上顺利地实现了交换之后，他的私人劳动也就成了社会劳动的一部分，他的具体劳动所创造的使用价值才是社会需要的，他的抽象劳动所形成的价值才能实现。如果他的劳动产品在市场上没有卖出去，那就表明，尽管他是为社会生产的，但事实上，社会并不需要他的产品，那么他的产品
公司金融 李心愉 第四章课后习题答案
第四章作业 1、下列说法是否正确 （1）同等风险的所有股票的定价对应着同样的期望收益率。 A 股标准差=%， B 股标准差=% E （R A ）=20%，E （R B ）=30% （2）股票的价值等于该股票未来红利的现值。 错，股票的价值还需考虑留存收益的影响。 2、假如有两家银行向你提供贷款。一家银行的利率为12%，按月计息；另一家银行的利率为12%，按半年计息。请问哪家银行的利率条件更有吸引力 第一家实际利率=%68.121)12 %121(12=-+ 第二家实际利率=%57.121)2%2.121(2=-+ 选择第二家 3、王先生打算将手头闲置的10万元投资出去，而他有两个投资机会可以选择；（1）购买零票面利率债券，这种债券目前的售价为420元，7年后到期时可以得到1000元，（2）用1000元的价格购买每年付息100元的7年期债券，到期同样可以得到1000元的本金。市场平均利率是10%，如何选择 （1） 6.1221412385132.0100042010000010007%,10=??=?? ?????PVIF （2） 1000045132.01000001008684.41001000001000 1000001007%,107%,10=?+??=+?PVIF PVIFA 选第一个投资 4、 12岁开始存钱到17岁上大学一共是5年，每年年初存入A 元（先付年金，增长年金） ①四年学费在17岁时的价值=()??? ???????? ??++-?-+?4%101%611%6%10%10110000 ②12岁开始每年年初存入A 元，17岁时的价值=）（%1015%,10+? ?FVIFA A 由①=②，得出A=
第四章课后习题参考答案
1 数据链路（即逻辑链路）与链路（即物理链路）有何区别？“电路接通了”与“数据 链路接通了”的区别何在？ 答：（1）数据链路与链路的区别在于数据链路除链路外，还必须有一些必要的通信协议来控制数据的传输。因此，数据链路比链路多了实现通信协议所需要的硬件和软件。 （2）“电路接通了”表示链路两端的结点交换机已经开机，物理连接已经能够传送比特流了。但是，数据传输并不可靠。在物理连接基础上，再建立数据链路连接，才是“数据链路接通了”。此后，由于数据链路连接具有检测、确认和重传等功能，才使不太可靠的物理链路变成可靠的数据链路，进行可靠的数据传输。当数据链路断开连接时，物理电路连接不一定跟着断开连接。 2 数据链路层中的链路控制包括哪些功能？ 答：数据链路层中的链路控制包括链路管理；帧同步；流量控制；差错控制；将数据和控制信息分开；透明传输；寻址等功能。 数据链路层做成可靠的链路层的优点和缺点取决于所应用的环境：对于干扰严重的信道，可靠的链路层可以将重传范围约束在局部链路，防止全网络的传输效率受损；对于优质信道，采用可靠的链路层会增大资源开销，影响传输效率。 3数据链路层的三个基本问题(帧定界，透明传输和差错检测)为什么都必须加以解决? 答：帧定界是分组交换的必然要求；透明传输是避免二进制比特流中出现与帧定界符号相同的模式，使节点错误识别帧；差错检测是为了避免接收到错误信息和防止信道中出现的无效数据帧浪费后续路由上的传输和处理资源。 4 如果在数据链路层不进行帧定界，会发生什么问题? 答：在数据传输过程中的传输网中的结点及接收方将无法区分分组（帧），也将不能确定分组的控制域和数据域，也不能实现差错控制。 5 PPP协议的主要特点是什么?为什么PPP不使用帧的编号?PPP适用于什么情况?为什么PPP协议不能使数据链路层实现可靠传输? 答：1，PPP是面向字节的点对点通信协议，适用于线路质量不太差的情况，其主要特点：(1)协议简单，不使用序号和确认机制，也不需要流量控制；具有检错能力，但无纠错功能；只支持点到点的链路通信和和全双工链路(2)PPP规定特殊的字符为帧界定符，且在同步传输链路时，采用比特填充法，当用在异步传输时，使用字符填充法来保证数据传输的透明性； (3)PPP可同时支持链路所连接的LAN或ROUTER上运行的多种网络层协议；(4)可在多种点到点的链路上运行(串行，并行，高速，低速，电的，光的，交换的或非交换的)，并可自动检测链路的工作状态，同时对不同的链路设置最大传输单元MTU(帧的有效载荷)的标准默认值；(5)提供了网络地址协议和数据压缩功能. 2，在TCP/IP协议簇中，可靠的传输由TCP协议负责，而PPP只进行检错，它是一个不可靠的传输协议，因此不需要帧的编号。 3，PPP适用于质量不太差的点对点全双工通信链路，且上层协议要保证数据传输的可靠性，如用户通过ISP连接Internet. 4，(1)PPP只提供了检错功能，当发现帧出现错误时，只是将其丢弃；(2)PPP帧没有使用序号，接收端不能通过序号确认帧的顺序和是否完全到达。 6 要发送的数据为1101011011。采用CRC的生成多项式是P(x)=x4+x+1 。试求应添加在数 据后面的余数。 数据在传输过程中最后一个1变成了0，问接收端能否发现？ 若数据在传输过程中最后两个1都变成了0，问接收端能否发现？ 答：添加的检验序列（冗余码）为1110 （11010110110000除以数P=10011）
通信原理第4章课后习题答案
第四章 模拟调制 学习指导 4.1.1 要点 模拟调制的要点主要包括幅度调制、频率调制和相位调制的工作原理。 1. 幅度调制 幅度调制是用调制信号去控制载波信号的幅度，使之随调制信号作线性变化的过程。在时域上，已调信号的振幅随基带信号的规律成正比变化；在频谱结构上，它的频谱是基带信号频谱在频域内的简单平移。由于这种平移是线性的，因此，振幅调制通常又被称为线性调制。但是，这里的“线性”并不是已调信号与调制信号之间符合线性变换关系。事实上，任何调制过程都是一种非线性的变换过程。 幅度调制包括标准调幅（简称调幅）、双边带调幅、单边带调幅和残留边带调幅。 如果调制信号m (t )的直流分量为0，则将其与一个直流量A 0相叠加后，再与载波信号相乘，就得到了调幅信号，其时域表达式为 []()()()AM 0c 0c c ()()cos cos ()cos (4 - 1)s t A m t t A t m t t ωωω=+=+ 如果调制信号m (t )的频谱为M (ω)，则调幅信号的频谱为 [][]AM 0c c c c 1 ()π()()()() (4 - 2)2 S A M M ωδωωδωωωωωω=++-+ ++- 调幅信号的频谱包括载波份量和上下两个边带。上边带的频谱结构与原调制信号的频谱结构相同，下边带是上边带的镜像。由波形可以看出，当满足条件 |m (t )| A 0 (4-3) 时，其包络与调制信号波形相同，因此可以用包络检波法很容易恢复出原始调制信号。否则，出现“过调幅”现象。这时用包络检波将发生失真，可以采用其他的解调方法，如同步检波。 调幅信号的一个重要参数是调幅度m ，其定义为 [][][][]00max min 00max min ()() (4 - 4)()()A m t A m t m A m t A m t +-+=+++ AM 信号带宽B AM 是基带信号最高频率分量f H 的两倍。 AM 信号可以采用相干解调方法实现解调。当调幅度不大于1时，也可以采用非相干解调方法，即包络检波，实现解调。 双边带信号的时域表达式为 ()DSB c ()()cos (4 - 5)s t m t t ω= 其中，调制信号m (t )中没有直流分量。 如果调制信号m (t )的频谱为M (ω)，双边带信号的频谱为 []DSB c c 1 ()()() (4 - 6)2 S M M ωωωωω= ++-
继电保护第四章课后习题参考答案.doc
纵联保护依据的最基本原理是什么？ 答：纵联保护包括纵联比较式保护和纵联差动保护两大类，它是利用线路两端电气量在故障与非故障时、区内故障与区外故障时的特征差异构成保护的。纵联保护的基本原理是通过通信设施将两侧的保护装置联系起来，使每一侧的保护装置不仅反应其安装点的电气量，而且哈反应线路对侧另一保护安装处的电气量。通过对线路两侧电气量的比较和判断，可以快速、可靠地区分本线路内部任意点的短路与外部短路，达到有选择、快速切除全线路短路的目的。 纵联比较式保护通过比较线路两端故障功率方向或故障距离来区分区内故障与区外故 障，当线路两侧的正方向元件或距离元件都动作时，判断为区内故障，保护立即动作跳闸；当 任意一侧的正方向元件或距离元件不动作时，就判断为区外故障，两侧的保护都不跳闸。 纵联差动保护通过直接比较线路两端的电流或电流相位来判断是区内故障还是区外故 障，在线路两侧均选定电流参考方向由母线指向被保护线路的情况下，区外故障时线路两侧电流大小相等，相位相反，其相量和或瞬时值之和都等于零；而在区内故障时，两侧电流相 位基本一致，其相量和或瞬时值之和都等于故障点的故障电流，量值很大。所以通过检测两 侧的电流的相量和或瞬时值之和，就可以区分区内故障与区外故障，区内故障时无需任何延时，立即跳闸；区外故障，可靠闭锁两侧保护，使之均不动作跳闸。 图4— 30 所示系统，线路全部配置闭锁式方向比较纵联保护，分析在 K 点短路时 各端保护方向元件的动作情况，各线路保护的工作过程及结果。 E1 A B k C 5 D E 2 1 2 3 4 6 答：当短路发生在 B—C 线路的 K 处时，保护 2、5 的功率方向为负，闭锁信号持续存在，线路 A—B 上保护 1、 2 被保护 2 的闭锁信号闭锁，线路 A—B 两侧均不跳闸；保护 5 的闭锁信号将 C—D线路上保护 5、6 闭锁，非故障线路保护不跳闸。故障线路 B—C 上保护 3、4 功率方向全为正，均停发闭锁信号，它们判定有正方向故障且没有收到闭锁信号，所以会立即动作跳闸，线路B—C 被切除。 答：根据闭锁式方向纵联保护，功率方向为负的一侧发闭锁信号，跳闸条件是本端保护元件动作，同时无闭锁信号。 1 保护本端元件动作，但有闭锁信号，故不动作； 2 保护本端元件不动作，收到本端闭锁信号，故不动作； 3 保护本端元件 动作，无闭锁信号，故动作； 4 保护本端元件动作，无闭锁信号，故动作； 5 保护本端元件不动作，收到本端闭锁信号，故不动作； 6 保护本端元件动作，但有闭锁信号，故不动作。 图4— 30 所示系统，线路全部配置闭锁式方向比较纵联保护，在K 点短路时， 若A—B 和 B—C 线路通道同时故障，保护将会出现何种情况？靠什么保护动作 切除故障？ E1 A B k C 5 D E 2 1 2 3 4 6 答：在图 4—30 所示系统中 K 点短路时，保护 2、5 的功率方向为负，其余保护的功率方向全为正。 3、4 之间停发闭锁信号， 5 处保护向 6 处发闭锁信号， 2 处保护向 1 处发闭锁信号。由于 3、 4 停发闭锁信号且功率方向为正，满足跳闸条件，因此 B— C通道的故障将不会阻止保护 3、4 的跳闸，这正是采用闭锁式保护
第四章课后习题参考答案
第4章网络基础知识与Internet应用一、单项选择题 二、填空题 1．局域网、城域网、广域网或LAN、MAN、WAN 2. C、A、C 3. 127.0.0.1（本机）、255.255.255.255（限制广播）、0.0.0.0（广播） 4. Electronic Commerce, EC 5.B2B、B2C 6. Instrumented：物联化 Interconnected：互联化 Intelligent：智能化 7.感知层、网络层、应用层 8.接入（网络层）、应用（业务层） 9.硬件系统、软件系统 10.不可否任性
三、简答题 1. 计算机网络发展包括四个阶段：第一，面向终端的计算机网络；第二，计算机-计算机网络；第三，开放标准网络阶段；第四，因特网与高速计算机网络阶段。各阶段的特点：第一，面向终端的计算机网络：以单个计算机为中心的远程联机系统，构成面向终端的计算机网络。第二，计算机-计算机网络：由若干个计算机互联的系统，组成了“计算机-计算机”的通信时代，呈现出多处理中心的特点。第三，开放标准网络阶段：由于第二阶段出现的计算机网络都各自独立，不相互兼容。为了使不同体系结构的计算机网络都能互联，国际标准化组织ISO提出了一个能使各种计算机在世界范围内互联成网的标准框架―开放系统互连基本参考模型OSI。第四，因特网与高速计算机网络阶段：采用高速网络技术，综合业务数字网的实现，多媒体和智能型网络的兴起。 2.TCP/IP网络使用32位长度的地址以标识一台计算机和同它相连的网络，它的格式为：IP 地址=网络地址+ 主机地址。标准IP地址是通过它的格式分类的，它有四种格式：A类、B类、C类、D类。 3. 电子商务所涵盖的业务范围包括：信息传递与交流；售前及售后服务；网上交易；网上支付或电子支付；运输；组建虚拟企业。 4. 包括banner(网幅广告)、button广告、文字链接广告、弹出式广告(pop up window)及其它形式(如移动logo、网上分类广告等)。其中banner广告是主流形式，也被认为是最有效的。 5. 国际电信联盟( ITU)对物联网做了如下定义：通过二维码识读设备、射频识别(RFID) 装置、红外感应器、全球定位系统和激光扫描器等信息传感设备，按约定的协议，把任何物品与互联网相连接，进行信息交换和通信，以实现智能化识别、定位、跟踪、监控和管理的一种网络。
通信原理(陈启兴版)第4章课后习题答案
第四章 模拟调制 4.1 学习指导 4.1.1 要点 模拟调制的要点主要包括幅度调制、频率调制和相位调制的工作原理。 1. 幅度调制 幅度调制是用调制信号去控制载波信号的幅度，使之随调制信号作线性变化的过程。在时域上，已调信号的振幅随基带信号的规律成正比变化；在频谱结构上，它的频谱是基带信号频谱在频域内的简单平移。由于这种平移是线性的，因此，振幅调制通常又被称为线性调制。但是，这里的“线性”并不是已调信号与调制信号之间符合线性变换关系。事实上，任何调制过程都是一种非线性的变换过程。 幅度调制包括标准调幅（简称调幅）、双边带调幅、单边带调幅和残留边带调幅。 如果调制信号m (t )的直流分量为0，则将其与一个直流量A 0相叠加后，再与载波信号相乘，就得到了调幅信号，其时域表达式为 []()()()AM 0c 0c c ()()cos cos ()cos (4 - 1)s t A m t t A t m t t ωωω=+=+ 如果调制信号m (t )的频谱为M (ω)，则调幅信号的频谱为 [][]AM 0c c c c 1 ()π()()()() (4 - 2)2 S A M M ωδωωδωωωωωω=++-+ ++- 调幅信号的频谱包括载波份量和上下两个边带。上边带的频谱结构与原调制信号的频谱结构相同，下边带是上边带的镜像。由波形可以看出，当满足条件 |m (t )| ≤ A 0 (4-3) 时，其包络与调制信号波形相同，因此可以用包络检波法很容易恢复出原始调制信号。否则，出现“过调幅”现象。这时用包络检波将发生失真，可以采用其他的解调方法，如同步检波。 调幅信号的一个重要参数是调幅度m ，其定义为 [][][][]00max min 00max min ()() (4 - 4)()()A m t A m t m A m t A m t +-+=+++ AM 信号带宽B AM 是基带信号最高频率分量f H 的两倍。 AM 信号可以采用相干解调方法实现解调。当调幅度不大于1时，也可以采用非相干解调方法，即包络检波，实现解调。 双边带信号的时域表达式为 ()DSB c ()()cos (4 - 5)s t m t t ω= 其中，调制信号m (t )中没有直流分量。 如果调制信号m (t )的频谱为M (ω)，双边带信号的频谱为 []DSB c c 1 ()()() (4 - 6)2 S M M ωωωωω= ++-
第四章习题答案
教材习题答案 分析图电路的逻辑功能 解：（1）推导输出表达式 Y2=X2；Y1=X 1X2；Y0=(MY1+X 1M)X0 X2X1X0Y2Y1Y0 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111000 001 011 010 110 111 101 100 000 001 011 010 111 110 100 101 （3）逻辑功能：当M=0时，实现3位自然二进制码转换成3位循环码。 当M=1时，实现3位循环码转换成3位自然二进制码。分析图电路的逻辑功能。 图 解：(1)从输入端开始，逐级推导出函数表达式。 F1 = A⊕B⊕C
F2 = A(B⊕C) + BC= A BC + AB C +ABC + ABC (2)列真值表 表4.3.2 A B C F1F2 000 001 010 011 100 101 110 11100 11 11 01 10 00 00 11 (3)确定逻辑功能。由真值表可知，该电路实现了一位全减器的功能。 A、B、C、F1、F2分别表示被减数、减数、来自低位的借位、本位差、本位向高位的借位。分析图电路的逻辑功能 解：（1）F1=A B C；F2=(A B)C+AB (2)真值表： A B C F2F1 000 001 010 011 100 101 110 11100 01 01 10 01 10 10 11
(3)逻辑功能：实现1位全加器。 设ABCD是一个8421BCD码，试用最少与非门设计一个能判断该8421BCD码是否大于等于5的电路，该数大于等于5，F= 1；否则为0。 解：(1)列真值表 表4.3.4 (2)写最简表达式
统计学课后第四章习题答案
第4章练习题 1、一组数据中岀现频数最多的变量值称为（） A. 众数 B.中位数 C.四分位数 D.平均数 2、下列关于众数的叙述，不正确的是（） A. —组数据可能存在多个众数 B.众数主要适用于分类数据 C. 一组数据的众数是唯一的 D. 众数不受极端值的影响 3、一组数据排序后处于中间位置上的变量值称为（） A.众数 B.,中位数 C.四分位数 D.平均数 4、一组数据排序后处于25%和75%位置上的值称为（） A.众数 B.中位数 C.四分位数 D.平均数 5、非众数组的频数占总频数的比例称为（） A.异众比率 B.离散系数 C.平均差 D.标准差 6、四分位差是（） A. 上四分位数减下四分位数的结果| B. 下四分位数减上四分位数的结果 C.下四分位数加上四分位数 D. 下四分位数与上四分位数的中间值 7、一组数据的最大值与最小值之差称为（） A.平均差 B.标准差 C.极差 D.四分位差 8、各变量值与其平均数离差平方的平均数称为（） A.极差 B. 平均差 C.,方差 D.标准差 9、变量值与其平均数的离差除以标准差后的值称为（） A.标准分数 B.离散系数 C.方差 D.标准差 10、如果一个数据的标准分数-2，表明该数据（） A.比平均数高出2个标准差 B. ■比平均数低2个标准差 C.等于2倍的平均数 D. 等于2倍的标准差 11、经验法则表明，当一组数据对称分布时，在平均数加减2个标准差的范围之内大约有（） A.68%的数据 B.95% 的数据 C.99% 的数据 D.100%勺数据 12、如果一组数据不是对称分布的，根据切比雪夫不等式，对于k=4，其意义是（） A. 至少有75%勺数据落在平均数加减4个标准差的范围之内 B. 至少有89%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内 C. 至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内 D. 至少有99%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内 13、离散系数的主要用途是（） A.反映一组数据的离散程度 B.反映一组数据的平均水平 C.比较多组数据的离散程度 D.比较多组数据的平均水平 14、比较两组数据离散程度最适合的统计量是（） A.极差 B.平均差 C.标准差 D.离散系数 15、偏态系数测度了数据分布的非对称性程度。如果一组数据的分布是对称的，则偏态系数（） A.等于0 B.等于1 C.大于0 D. 大于1 16、如果一组数据分布的偏态系数在0.5~1或-1?-0.5之间，则表明该组数据属于（） A.对称分布 B.中等偏态分布 C.高度偏态分布 D.轻微偏态分布 17、峰态通常是与标准正态分布相比较而言的。如果一组数据服从标准正态分布，则峰态系数的值是（） A.等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 等于1 18、如果峰态系数k>0，表明该组数据是（） A.尖峰分布 B.扁平分布 C.左偏分布 D.右偏分布
第四章课后答案
第4章https://www.wendangku.net/doc/a68584105.html,服务器控件 4.5.1 作业题 1.请编程遍历页面上所有TextBox控件并给它赋值为string.Empty。如图13、14所示。 图13 在TextBox中输入信息图14 一键清空所有TextBox 2. 改写作业题3-2，要求页面传值采用POST请求 3. 在主页上添加一个RadioButtonList，添加“少林派”、“丐帮”、“古墓派”三个列表项。添加一个CheckBox，控制RadioButtonList的表项横排或竖排显示。添加一个ListBox，当选择“少林派”时，添加列表项“达摩”、“扫地僧”、“方世玉”。当选择“丐帮”时，添加列表项“洪七公”、“黄蓉”、“乔峰”。当选择古墓派时，添加列表项“林朝英”、“小龙女”、“杨过”。再添加两个CheckBox，分别控制ListBox控件中的内容加粗或倾斜显示。添加一个Label控件，当选中ListBox中的某个表项时，自动在Label中显示：“您将要拜入某某帮谁谁门下”。如图15——图16所示。 图15 运行结果图16 选择了某师傅之后的运行结果
4. 新建一个网站，在解决方案资源管理器中，右击项目名称选择“添加现有项”，然后将本章前3个作业题的页面全部添加进来，修改页面名称为homework4_1.aspx的形式。再添加一个默认主页Default.aspx，添加一个HyperLink控件、一个LinkButton控件和一个HTML元素，分别链接到homework4_1.aspx、homework4_2.aspx、homework4_3.aspx。 如图17——图18所示。 图17 解决方案资源管理器图18 运行结果 见“课后习题源代码”文件夹下的“homework4-1——homework4-4”
应用回归分析,第4章课后习题参考答案
第4章违背基本假设的情况 思考与练习参考答案 4.1 试举例说明产生异方差的原因。 答：例4.1：截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Y i=β0+β1X i+εi 其中：Y i表示第i个家庭的储蓄额，X i表示第i个家庭的可支配收入。 由于高收入家庭储蓄额的差异较大，低收入家庭的储蓄额则更有规律性，差异较小，所以εi的方差呈现单调递增型变化。 例4.2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Y i=A iβ1K iβ2L iβ3eεi 被解释变量：产出量Y，解释变量：资本K、劳动L、技术A，那么每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。由于每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。这时，随机误差项ε的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 4.2 异方差带来的后果有哪些？ 答：回归模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果： 1、参数估计量非有效 2、变量的显著性检验失去意义 3、回归方程的应用效果极不理想 总的来说，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 4.3 简述用加权最小二乘法消除一元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：普通最小二乘估计就是寻找参数的估计值使离差平方和达极小。其中每个平方项的权数相同，是普通最小二乘回归参数估计方法。在误差项等方差不相关的条件下，普通最小二乘估计是回归参数的最小方差线性无偏估计。然而在异方差
的条件下，平方和中的每一项的地位是不相同的，误差项的方差大的项，在残差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估计的回归线就被拉向方差大的项，方差大的项的拟合程度就好，而方差小的项的拟合程度就差。由OLS 求出的仍然是的无偏估计，但不再是最小方差线性无偏估计。所以就是：对较大的残差平方赋予较小的权数，对较小的残差平方赋予较大的权数。这样对残差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高参数估计的精度。 加权最小二乘法的方法： 4.4简述用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与方法。 答：运用加权最小二乘法消除多元线性回归中异方差性的思想与一元线性回归的类似。多元线性回归加权最小二乘法是在平方和中加入一个适当的权数i w ，以调整各项在平方和中的作用，加权最小二乘的离差平方和为： ∑=----=n i ip p i i i p w x x y w Q 1211010)( ),,,(ββββββ （2） 加权最小二乘估计就是寻找参数p βββ,,,10 的估计值pw w w βββ?,,?,?10 使式（2）的离差平方和w Q 达极小。所得加权最小二乘经验回归方程记做 22011 1 ???()()N N w i i i i i i i i Q w y y w y x ββ===-=--∑∑22 __ 1 _ 2 _ _ 02 222 ()() ?()?1 11 1 ,i i N w i i i w i w i w w w w w kx i i i i m i i i m i w x x y y x x y x w kx x kx w x σβββσσ==---=-= = ===∑∑1N i =1 1表示=或