数据结构期末复习章节试题(附答案)
第一章概论 自测题答案
一、填空题
1. 数据结构是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机的 操作对象 以及它们之间的 关系 和运算等的学科。
2. 数据结构被形式地定义为（D, R ），其中D 是 数据元素 的有限集合，R 是D 上的 关系 有限集合。
3. 数据结构包括数据的 逻辑结构 、数据的 存储结构 和数据的 运算 这三个方面的内容。
4. 数据结构按逻辑结构可分为两大类，它们分别是 线性结构 和 非线性结构 。
5. 线性结构中元素之间存在一对一关系，树形结构中元素之间存在一对多关系，图形结构中元素之间存在多对多关系。
6． 在线性结构中，第一个结点 没有 前驱结点，其余每个结点有且只有 1个前驱结点；最后一个结点 没有 后续结点，其余每个结点有且只有1个后续结点。
7. 在树形结构中，树根结点没有 前驱 结点，其余每个结点有且只有 1 个前驱结点；叶子结点没有 后续 结点，其余每个结点的后续结点数可以任意多个 。
8. 在图形结构中，每个结点的前驱结点数和后续结点数可以 任意多个 。
9．数据的存储结构可用四种基本的存储方法表示，它们分别是顺序 、 链式 、 索引 和 散列 。 10. 数据的运算最常用的有5种，它们分别是插入 、 删除、修改、 查找 、排序。 11. 一个算法的效率可分为 时间 效率和 空间 效率。 二、单项选择题
（ B ）1. 非线性结构是数据元素之间存在一种：
A ）一对多关系
B ）多对多关系
C ）多对一关系
D ）一对一关系
（ C ）2. 数据结构中，与所使用的计算机无关的是数据的 结构；
A) 存储 B) 物理 C) 逻辑 D) 物理和存储
（ C ）3. 算法分析的目的是：
A) 找出数据结构的合理性 B) 研究算法中的输入和输出的关系 C) 分析算法的效率以求改进 D) 分析算法的易懂性和文档性
（ A ）4. 算法分析的两个主要方面是：
A) 空间复杂性和时间复杂性 B) 正确性和简明性
C) 可读性和文档性 D) 数据复杂性和程序复杂性
（ C ）5. 计算机算法指的是：
A) 计算方法 B) 排序方法 C) 解决问题的有限运算序列 D) 调度方法
（ B ）6. 计算机算法必须具备输入、输出和 等5个特性。
A) 可行性、可移植性和可扩充性 B) 可行性、确定性和有穷性 C) 确定性、有穷性和稳定性 D) 易读性、稳定性和安全性
三、简答题
1. 简述线性结构与非线性结构的不同点。
答：线性结构反映结点间的逻辑关系是 一对一的，非线性结构反映结点间的逻辑关系是多对多的。 2．数据结构的常见的四种存储方式。
答：顺序 、 链式 、 索引 和 散列 。
3. 数据结构的逻辑结构主要有哪两大类，具体是什么？
答：主要分为线性结构和非线性结构，其中线性结构反映结点间的逻辑关系是 一对一的，非线性结构反映结点间的逻辑关系是多对多的。非线性结构又包含树结构和图结构 四、分析下面各程序段的时间复杂度
2. s=0; for i=0; i 答：O （n 2）s 1. for (i=0; i for (j=0; j A[i][j]=0; 答：O （m*n ） 3. x=0; for(i=1; i head 五、设有数据逻辑结构S=（D,R ），试按各小题所给条件画出这些逻辑结构的图示，并确定相对于关系R ，哪些结点是开始结点，哪些结点是终端结点？ 1. D={d1,d2,d3,d4} R={(d1,d2),(d2,d3),(d3,d4) } 答： d1→d2→d3→d4 d1—无直接前驱，是首结点 d4—无直接后继是尾结点 2。D={d1,d2,…,d9} R={(d1,d2),(d1,d3),(d3,d4),(d3,d6),(d6,d8),(d4,d5), (d6,d7),(d8,d9) } 答： 此图为树形结构 d1—无直接前驱，是根结点 d2,d5,d7,d9—无直接后继是叶子结点 3．D={d1,d2,…,d9} R={(d1,d3),(d1,d8),(d2,d3),(d2,d4),(d2,d5),(d3,d9), (d5,d6),(d8,d9),(d9,d7), (d4,d7), (d4,d6)} 答： 此图为图形结构 d1，d2—无直接前驱，是开始结点 d6,d7—无直接后继是终端结点 (2) (3) 第3章 栈和队列 自测卷答案 一、填空题（每空1分，共15分） 1. 【李春葆】向量、栈和队列都是 线性 结构，可以在向量的 任何 位置插入和删除元素；对于栈只能在 栈顶 插入和删除元素；对于队列只能在 队尾 插入和 队首 删除元素。 2. 栈是一种特殊的线性表，允许插入和删除运算的一端称为 栈顶 。不允许插入和删除运算的一端称为 栈底 。 3. 队列 是被限定为只能在表的一端进行插入运算，在表的另一端进行删除运算的线性表。 4. 在一个循环队列中，队首指针指向队首元素的 前一个 位置。 5. 在具有n 个单元的循环队列中，队满时共有 n-1 个元素。 6. 向栈中压入元素的操作是先 移动栈顶指针 ，后 存入元素 。 7. 从循环队列中删除一个元素时，其操作是 先 移动队首指针 ，后 取出元素 。 8. 〖00年统考题〗带表头结点的空循环双向链表的长度等于 0 。 解： 二、判断正误（判断下列概念的正确性，并作出简要的说明。）（每小题1分，共10分） （ × ）1. 线性表的每个结点只能是一个简单类型，而链表的每个结点可以是一个复杂类型。 错，线性表是逻辑结构概念，可以顺序存储或链式存储，与元素数据类型无关。 4. i=1; while(i<=n) i=i*3; 答：O （log 3n ） （×）2. 在表结构中最常用的是线性表，栈和队列不太常用。 错，不一定吧？调用子程序或函数常用，CPU中也用队列。 （√）3. 栈是一种对所有插入、删除操作限于在表的一端进行的线性表，是一种后进先出型结构。（√）4. 对于不同的使用者，一个表结构既可以是栈，也可以是队列，也可以是线性表。 正确，都是线性逻辑结构，栈和队列其实是特殊的线性表，对运算的定义略有不同而已。（×）5. 栈和链表是两种不同的数据结构。 错，栈是逻辑结构的概念，是特殊殊线性表，而链表是存储结构概念，二者不是同类项。（×）6. 栈和队列是一种非线性数据结构。 错，他们都是线性逻辑结构，栈和队列其实是特殊的线性表，对运算的定义略有不同而已。（√）7. 栈和队列的存储方式既可是顺序方式，也可是链接方式。 （√）8. 两个栈共享一片连续内存空间时，为提高内存利用率，减少溢出机会，应把两个栈的栈底分别设在这片内存空间的两端。 （×）9. 队是一种插入与删除操作分别在表的两端进行的线性表，是一种先进后出型结构。 错，后半句不对。 （×）10. 一个栈的输入序列是12345，则栈的输出序列不可能是12345。 错，有可能。 三、单项选择题（每小题1分，共20分） （B）1. 〖00年元月统考题〗栈中元素的进出原则是 Ａ．先进先出Ｂ．后进先出Ｃ．栈空则进Ｄ．栈满则出 （C）2. 〖李春葆〗若已知一个栈的入栈序列是1，2，3，…，n，其输出序列为p1，p2，p3，…，pn，若p1=n，则pi为 Ａ．i Ｂ．n=i Ｃ．n-i+1 Ｄ．不确定 解释：当p1=n，即n是最先出栈的，根据栈的原理，n必定是最后入栈的（事实上题目已经表明了），那么输入顺序必定是1，2，3，…，n，则出栈的序列是n，…，3，2，1。 （若不要求顺序出栈，则输出序列不确定） （B）3. 〖李春葆〗判定一个栈ST（最多元素为m0）为空的条件是 Ａ．ST->top<>0 Ｂ．ST->top=0 Ｃ．ST->top<>m0 Ｄ．ST->top=m0 （A）4. 〖李春葆〗判定一个队列QU（最多元素为m0）为满队列的条件是 Ａ．QU->rear －QU->front = = m0 Ｂ．QU->rear －QU->front －1= = m0 Ｃ．QU->front = = QU->rear Ｄ．QU->front = = QU->rear+1 解：队满条件是元素个数为m0。由于约定满队时队首指针与队尾指针相差1，所以不必再减1了，应当选A。当然，更正确的答案应该取模，即：QU->front = = (QU->rear+1)% m0 （D）5．数组Ｑ［ｎ］用来表示一个循环队列，ｆ为当前队列头元素的前一位置，ｒ为队尾元素的位置，假定队列中元素的个数小于ｎ，计算队列中元素的公式为 （Ａ）r－f; （Ｂ）（n＋f－r）% n; （Ｃ）n＋r－f; （Ｄ）（n＋r－f）% n 6. 【98初程P71】从供选择的答案中，选出应填入下面叙述？内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。 设有4个数据元素a1、a2、a3和a4，对他们分别进行栈操作或队操作。在进栈或进队操作时，按a1、a2、a3、a4次序每次进入一个元素。假设栈或队的初始状态都是空。 现要进行的栈操作是进栈两次，出栈一次，再进栈两次，出栈一次；这时，第一次出栈得到的元素是A ，第二次出栈得到的元素是 B 是；类似地，考虑对这四个数据元素进行的队操作是进队两次，出队一次，再进队两次，出队一次；这时，第一次出队得到的元素是 C ，第二次出队得到的元素是 D 。经操作后，最后在栈中或队中的元素还有E个。 供选择的答案： A～D：①a1 ②a2 ③a3 ④a4 E：①1 ②2 ③3 ④0 答：ABCDE＝2, 4, 1, 2, 2 7. 【94初程P75】从供选择的答案中，选出应填入下面叙述？内的最确切的解答，把相应编号写 在答卷的对应栏内。 栈是一种线性表，它的特点是 A 。设用一维数组A[1,…,n]来表示一个栈，A[n]为栈底，用整型变量T指示当前栈顶位置，A[T]为栈顶元素。往栈中推入（PUSH）一个新元素时，变量T的值 B ；从栈中弹出（POP）一个元素时，变量T的值 C 。设栈空时，有输入序列a，b，c，经过PUSH，POP，PUSH，PUSH，POP操作后，从栈中弹出的元素的序列是 D ，变量T的值是 E 。 供选择的答案： A：①先进先出②后进先出③进优于出④出优于进⑤随机进出 B，C：①加1 ②减1 ③不变④清0 ⑤加2 ⑥减2 D：①a,b ②b,c ③c,a ④b,a ⑤c,b ⑥a,c E：①n+1 ②n+2 ③n ④n-1 ⑤n-2 答案：ABCDE=2, 2, 1, 6, 4 注意，向地址的高端生长，称为向上生成堆栈；向地址低端生长叫向下生成堆栈，本题中底部为n，向地址的低端递减生成，称为向下生成堆栈。 8. 【91初程P77】从供选择的答案中，选出应填入下面叙述？内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。 在做进栈运算时，应先判别栈是否 A ；在做退栈运算时，应先判别栈是否 B 。当栈中元素为n个，做进栈运算时发生上溢，则说明该栈的最大容量为 C 。 为了增加内存空间的利用率和减少溢出的可能性，由两个栈共享一片连续的内存空间时，应将两栈的 D 分别设在这片内存空间的两端，这样，只有当 E 时，才产生上溢。 供选择的答案： A，B：①空②满③上溢④下溢 C：①n-1 ②n ③n+1 ④n/2 D：①长度②深度③栈顶④栈底 E：①两个栈的栈顶同时到达栈空间的中心点②其中一个栈的栈顶到达栈空间的中心点 ③两个栈的栈顶在达栈空间的某一位置相遇④两个栈均不空，且一个栈的栈顶到达另一个栈的栈底答案：ABCDE＝2, 1, 2, 4, 3 四、简答题（每小题4分，共20分） 1. 【严题集3.2①和3.11①】说明线性表、栈与队的异同点。 刘答：相同点：都是线性结构，都是逻辑结构的概念。都可以用顺序存储或链表存储；栈和队列是两种特殊的线性表，即受限的线性表，只是对插入、删除运算加以限制。 不同点：①运算规则不同，线性表为随机存取，而栈是只允许在一端进行插入、删除运算，因而是后进先出表LIFO；队列是只允许在一端进行插入、另一端进行删除运算，因而是先进先出表FIFO。 ②用途不同，堆栈用于子程调用和保护现场，队列用于多道作业处理、指令寄存及其他运算等等。 2. 【统考书P60 4-11，难于严题集 3.1①】设有编号为1，2，3，4的四辆列车，顺序进入一个栈式结构的车站，具体写出这四辆列车开出车站的所有可能的顺序。 刘答：至少有14种。 ①全进之后再出情况，只有1种：4，3，2，1 ②进3个之后再出的情况，有3种，3,4,2,1 3,2,4,1 3,2,1,4 ③进2个之后再出的情况，有5种，2,4,3,1 2,3,4,1 2,1, 3,4 2,1,4,3 2,1,3,4 ④进1个之后再出的情况，有5种，1,4,3,2 1,3,2,4 1,3,4,2 1, 2,3,4 1,2,4,3 3. 【刘自编】假设正读和反读都相同的字符序列为“回文”，例如，‘abba’和‘abcba’是回文，‘abcde’和‘ababab’则不是回文。假设一字符序列已存入计算机，请分析用线性表、堆栈和队列等方式正确输出其回文的可能性？ 答：线性表是随机存储，可以实现，靠循环变量（j--）从表尾开始打印输出； 堆栈是后进先出，也可以实现，靠正序入栈、逆序出栈即可； 队列是先进先出，不易实现。 哪种方式最好，要具体情况具体分析。若正文在机内已是顺序存储，则直接用线性表从后往前读取即可，或将堆栈栈顶开到数组末尾，然后直接用POP动作实现。（但堆栈是先减后压还是……）若正文是单链表形式存储，则等同于队列，需开辅助空间，可以从链首开始入栈，全部压入后再依次 输出。 4. 【统考书P60 4-13】顺序队的“假溢出”是怎样产生的？如何知道循环队列是空还是满？ 答：一般的一维数组队列的尾指针已经到了数组的上界，不能再有入队操作，但其实数组中还有空位置，这就叫“假溢出”。 采用循环队列是解决假溢出的途径。 另外，解决队满队空的办法有三： ①设置一个布尔变量以区别队满还是队空； ②浪费一个元素的空间，用于区别队满还是队空。 ③使用一个计数器记录队列中元素个数（即队列长度）。 我们常采用法②，即队头指针、队尾指针中有一个指向实元素，而另一个指向空闲元素。 判断循环队列队空标志是：f=rear 队满标志是：f=(r+1)%N 5. 【统考书P60 4-14】设循环队列的容量为40（序号从0到39），现经过一系列的入队和出队运算后，有 ①front=11，rear=19; ②front=19，rear=11；问在这两种情况下，循环队列中各有元素多少个？ 答：用队列长度计算公式：(N＋r－f)% N ①L=（40＋19－11）% 40=8 ②L=（40＋11－19）% 40=32 五、阅读理解（每小题5分，共20分。至少要写出思路） 1.【严题集3.7①】按照四则运算加、减、乘、除和幂运算（↑）优先关系的惯例，并仿照教材例3-2的 格式，画出对下列算术表达式求值时操作数栈和运算符栈的变化过程： A－B×C/D+E↑F 答： 2．【严题集3.3②】写出下列程序段的输出结果（栈的元素类型SElem Type为char）。 void main( ){ Stack S; Char x,y; InitStack(S); X=’c’;y=’k’; Push(S,x); Push(S,’a’); Push(S,y); P op(S,x); Push(S,’t’); Push(S,x); Pop(S,x); Push(S,’s’); while(!StackEmpty(S)){ Pop(S,y);printf(y); }; Printf(x); } 答：输出为“stack”。 2.【严题集 3.12②】写出下列程序段的输出结果（队列中的元素类型QElem Type为char）。 void main( ){ Queue Q; Init Queue (Q); Char x=’e’; y=’c’; EnQ ueue (Q,’h’); En Q ueue (Q,’r’); En Queue (Q, y); DeQueue (Q,x); EnQueue (Q,x); DeQueue (Q,x); EnQ ueue (Q,’a’); while(!QueueEmpty(Q)){ DeQueue (Q,y);printf(y); }; Printf(x); } 答：输出为“char”。 3.【严题集3.13②】简述以下算法的功能（栈和队列的元素类型均为int）。 void algo3(Queue &Q){ Stack S; int d; InitStack(S); while(!QueueEmpty(Q)){ DeQueue (Q,d); Push(S,d); }; while(!StackEmpty(S)){ Pop(S,d); EnQueue (Q,d); } } 答：该算法的功能是：利用堆栈做辅助，将队列中的数据元素进行逆置。 六、算法设计（每小题5分，共15分。至少要写出思路） 1.【李春葆及严题集3.19④】假设一个算术表达式中包含圆括弧、方括弧和花括弧三种类型的括弧，编 写一个判别表达式中括弧是否正确配对的函数correct(exp,tag)；其中：exp为字符串类型的变量（可理 编程后的整个函数如下（李书P31—32） #define m0 100 /*m0为算术表达式中最多字符个数*/ correct(exp,tag) char exp[m0]; int tag; {char st[m0]; int top=0, i=1; tag=1; while (i<=m0 && tag) {if (exp[i]= = ‘(‘||exp[i]= =’[‘||exp[i]= =’{‘）/*遇到‘(‘、’[‘或’{‘，则将其入栈*/ {top++; st[top]=exp[i]; } if (exp[i]= =’)’ ) /*遇到’)’ ，若栈顶是‘(‘，则继续处理，否则以不配对返回*/ if(st[top]= =‘(‘ ) top--; else tag=0; if (exp[i]= =’ )’ ) /*遇到’ ]’ ，若栈顶是‘[‘，则继续处理，否则以不配对返回*/ if(st[top]= =‘[ ‘] top--; else tag=0; if (exp[i]= =’)’ ) /*遇到’ }’ ，若栈顶是‘{‘，则继续处理，否则以不配对返回*/ if(st[top]= =‘{‘ top--; else tag=0; i++; } if(top>0)tag=0; /*若栈不空，则不配对*/ } 严题集对应答案： 3.19 Status AllBrackets_Test(char *str)//判别表达式中三种括号是否匹配 { InitStack(s); for(p=str;*p;p++) { if(*p=='('||*p=='['||*p=='{') push(s,*p); else if(*p==')'||*p==']'||*p=='}') { if(StackEmpty(s)) return ERROR; pop(s,c); if(*p==')'&&c!='(') return ERROR; if(*p==']'&&c!='[') return ERROR; if(*p=='}'&&c!='{') return ERROR; //必须与当前栈顶括号匹配 } }//for if(!StackEmpty(s)) return ERROR; return OK; }//AllBrackets_Test 2001级通信6班张沐同学答案（已上机通过） #include #include void push(char x); void pop(); void correct(enum Boolean &tag); //原来的定义是void correct(struct Stack* head,enum Boolean &tag); typedef struct Stack { char data; struct Stack *next; }; struct Stack *head,*p; enum Boolean{FALSE,TRUE}tag; void main() { head=(struct Stack*)malloc(sizeof(struct Stack)); head->data='S'; head->next=NULL; // head's data has not been initialized!! correct(tag); if(tag) printf("Right!"); else printf("Wrong!"); } void push(char x) { p=(struct Stack*)malloc(sizeof(struct Stack)); if(!p) printf("There's no space.\n"); else { p->data=x; p->next=head; head=p; } } // if you define the "Correct" function like that //Debug will show that the Push action doesn’t take effection void pop() { if(head->next==NULL) printf("The stack is empty.\n"); else { p=head; head=head->next; free(p); } } //void correct(struct Stack* head,enum Boolean &tag) void correct(enum Boolean &tag) { int i; char y; printf("Please enter a bds:"); for(i=0;y!='\n';i++) { scanf("%c",&y); if((y==')'&&head->data=='(')||(y==']'&&head->data=='[')||(y=='}'&&head->data=='{')) pop(); else if((y=='(')||(y=='[')||(y=='{')) push(y); /*调试程序显示，y并没有被推入堆栈中。即head->data的值在Push中显示为y的值，但是出Push函数。马上变成Null。*/ else continue; } if(head->next==NULL) //原来的程序是if(head ==NULL) tag=TRUE; tag=TRUE; else tag=FALSE; } /*总结：由于head为全局变量，所以不应该将其再次作为函数的变量。因为C语言的函数变量是传值机制，所以在函数中对参数进行了拷贝复本，所以不能改变head的数值。*/ 2. 【统考书P60 4-15】假设一个数组squ[m]存放循环队列的元素。若要使这m个分量都得到利用，则需另一个标志tag，以tag为0或1来区分尾指针和头指针值相同时队列的状态是“空”还是“满”。试编写相应的入队和出队的算法。 解：这就是解决队满队空的三种办法之①设置一个布尔变量以区别队满还是队空（其他两种见简答题）；思路：一开始队空，设tag=0，若从rear一端加到与front指针相同时，表示入队已满，则令tag=1； 若从front一端加到与rear指针相同时，则令tag=0，表示出队已空。 3.【严题集3.31③】试写一个算法判别读入的一个以‘@’为结束符的字符序列是否是“回文”。 答：编程如下： int Palindrome_Test()//判别输入的字符串是否回文序列,是则返回1,否则返回0 { InitStack(S);InitQueue(Q); while((c=getchar())!='@') { Push(S,c);EnQueue(Q,c); //同时使用栈和队列两种结构 } while(!StackEmpty(S)) { Pop(S,a);DeQueue(Q,b)); if(a!=b) return ERROR; } return OK; }//Palindrome_Test 第6章树和二叉树自测卷解答 一、下面是有关二叉树的叙述，请判断正误（每小题1分，共10分） （√）1. 若二叉树用二叉链表作存贮结构，则在n个结点的二叉树链表中只有n—1个非空指针域。（×）2.二叉树中每个结点的两棵子树的高度差等于1。 （√）3.二叉树中每个结点的两棵子树是有序的。 （×）4.二叉树中每个结点有两棵非空子树或有两棵空子树。 （×）5.二叉树中每个结点的关键字值大于其左非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值，且小于其右非空子树（若存在的话）所有结点的关键字值。（应当是二叉排序树的特点） （×）6.二叉树中所有结点个数是2k-1-1，其中k是树的深度。（应2i-1） （×）7.二叉树中所有结点，如果不存在非空左子树，则不存在非空右子树。 （×）8.对于一棵非空二叉树，它的根结点作为第一层，则它的第i层上最多能有2i—1个结点。（应2i-1）（√）9.用二叉链表法（link-rlink）存储包含n个结点的二叉树，结点的2n个指针区域中有n+1个为空指针。 （正确。用二叉链表存储包含n个结点的二叉树，结点共有2n个链域。由于二叉树中，除根结点外，每一个结点有且仅有一个双亲，所以只有n-1个结点的链域存放指向非空子女结点的指针，还有n+1个空指针。）即有后继链接的指针仅n-1个。 （√）10. 〖01年计算机系研题〗具有12个结点的完全二叉树有5个度为2的结点。 最快方法：用叶子数＝[n/2]＝6，再求n2=n0-1=5 二、填空（每空1分，共15分） 1．由３个结点所构成的二叉树有5种形态。 2. 【计算机研2000】一棵深度为6的满二叉树有n1+n2=0+ n2= n0-1=31 个分支结点和26-1 =32个叶子。 注：满二叉树没有度为1的结点，所以分支结点数就是二度结点数。 3．一棵具有２５７个结点的完全二叉树，它的深度为9。 （注：用? log2(n) ?+1= ? 8.xx ?+1=9 4.【全国专升本统考题】设一棵完全二叉树有700个结点，则共有350个叶子结点。 答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝350 5. 设一棵完全二叉树具有1000个结点，则此完全二叉树有500个叶子结点，有499个度为2的结点，有1个结点只有非空左子树，有0个结点只有非空右子树。 答：最快方法：用叶子数＝[n/2]＝500 ，n2=n0-1=499。另外，最后一结点为2i属于左叶子，右叶子是空的，所以有1个非空左子树。完全二叉树的特点决定不可能有左空右不空的情况，所以非空右子树数＝0. 6.【严题集6.7③】一棵含有n个结点的k叉树，可能达到的最大深度为n，最小深度为2。 答：当k=1(单叉树)时应该最深，深度＝n（层）；当k=n-1（n-1叉树）时应该最浅，深度＝2（层），但不包括n=0或1时的特例情况。教材答案是“完全k叉树”，未定量。) 7. 【96程试题1】二叉树的基本组成部分是：根（N）、左子树（L）和右子树（R）。因而二叉树的遍历次序有六种。最常用的是三种：前序法（即按N L R次序），后序法（即按L R N次序）和中序法（也称对称序法，即按L N R次序）。这三种方法相互之间有关联。若已知一棵二叉树的前序序列是BEFCGDH，中序序列是FEBGCHD，则它的后序序列必是 F E G H D C B。 解：法1：先由已知条件画图，再后序遍历得到结果； 法2：不画图也能快速得出后序序列，只要找到根的位置特征。由前 序先确定root，由中序先确定左子树。例如，前序遍历BEFCGDH中， 根结点在最前面，是B；则后序遍历中B一定在最后面。 法3：递归计算。如B在前序序列中第一，中序中在中间（可知左 右子树上有哪些元素），则在后序中必为最后。如法对B的左右子树同 样处理，则问题得解。 8.【全国专升本统考题】中序遍历的递归算法平均空间复杂度为 O(n)。 答：即递归最大嵌套层数，即栈的占用单元数。精确值应为树的深度k+1， 包括叶子的空域也递归了一次。 9.【计算机研2001】用5个权值{3, 2, 4, 5, 1}构造的哈夫曼（Huffman）树的带权路径长度是33 。解：先构造哈夫曼树，得到各叶子的路径长度之后便可求出WPL＝（4＋5＋3）×2＋（1＋2）×3=33 (15) (9) (6) （注：两个合并值先后不同会导致编码不同，即哈夫曼编码不唯一）4 5 3 (3) （注：合并值应排在叶子值之后） 1 2 （注：原题为选择题：Ａ．32 Ｂ．33 Ｃ．34 Ｄ．15） 三、单项选择题（每小题1分，共11分） （C）1．不含任何结点的空树。 （Ａ）是一棵树; （Ｂ）是一棵二叉树; （Ｃ）是一棵树也是一棵二叉树; （Ｄ）既不是树也不是二叉树 答：以前的标答是B，因为那时树的定义是n≥1 （C）2．二叉树是非线性数据结构，所以。 （Ａ）它不能用顺序存储结构存储; （Ｂ）它不能用链式存储结构存储; （Ｃ）顺序存储结构和链式存储结构都能存储; （Ｄ）顺序存储结构和链式存储结构都不能使用 （C）3. 〖01年计算机研题〗具有n(n>0)个结点的完全二叉树的深度为。 (Ａ) ?log2(n)?(Ｂ) ? log2(n)?(Ｃ) ? log2(n) ?+1 (Ｄ) ?log2(n)+1? 注1：?x ?表示不小于x的最小整数；? x?表示不大于x的最大整数，它们与[ ]含义不同！ 注2：选（A）是错误的。例如当n为2的整数幂时就会少算一层。似乎? log2(n) +1?是对的？ （A）4．把一棵树转换为二叉树后，这棵二叉树的形态是。 （Ａ）唯一的（Ｂ）有多种 （Ｃ）有多种，但根结点都没有左孩子（Ｄ）有多种，但根结点都没有右孩子 5. 【94程P11】从供选择的答案中，选出应填入下面叙述？内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。 树是结点的有限集合，它A 根结点，记为T。其余的结点分成为m（m≥0）个 B 的集合T1，T2，…，Tm，每个集合又都是树，此时结点T称为T i的父结点，T i称为T的子结点（1≤i ≤m）。一个结点的子结点个数为该结点的 C 。 供选择的答案 A：①有0个或1个②有0个或多个③有且只有1个④有1个或1个以上 B: ①互不相交②允许相交③允许叶结点相交④允许树枝结点相交 C：①权②维数③次数（或度）④序 答案：ABC＝1，1，3 6. 【95程P13】从供选择的答案中，选出应填入下面叙述？内的最确切的解答，把相应编号写在答卷的对应栏内。 二叉树 A 。在完全的二叉树中，若一个结点没有 B ，则它必定是叶结点。每棵树都能惟一地转换成与它对应的二叉树。由树转换成的二叉树里，一个结点N的左子女是N在原树里对应结点的 C ，而N的右子女是它在原树里对应结点的 D 。 供选择的答案 A：①是特殊的树②不是树的特殊形式③是两棵树的总称④有是只有二个根结点的树形结构B: ①左子结点②右子结点③左子结点或者没有右子结点④兄弟 C～D：①最左子结点②最右子结点③最邻近的右兄弟④最邻近的左兄弟 ⑤最左的兄弟⑥最右的兄弟 答案：A= B= C= D＝ 答案：ABCDE＝2，1，1，3 四、简答题（每小题4分，共20分） 1.【严题集6.2①】一棵度为2的树与一棵二叉树有何区别？ 答：度为2的树从形式上看与二叉树很相似，但它的子树是无序的，而二叉树是有序的。即，在一般树中若某结点只有一个孩子，就无需区分其左右次序，而在二叉树中即使是一个孩子也有左右之分。 2.〖01年计算机研题〗设如下图所示的二叉树B的存储结构为二叉链表，root为根指针，结点结构为：（lchild,data,rchild）。其中lchild，rchild分别为指向左右孩子的指针， data为字符型，root为根指针，试回答下列问题： 1.对下列二叉树B，执行下列算法traversal(root)，试指出其输出结 果； 2.假定二叉树B共有n个结点，试分析算法traversal(root)的时间复 杂度。（共8分） 二叉树B 出结果为：A B C C E E B A D F F D G G 特点：①每个结点肯定都会被打印两次；②但出现的顺序不同，其规律是：凡是有左子树的结点，必间隔左子树的全部结点后再重复出现；如A，B，D等结点。反之马上就会重复出现。如C，E，F，G等结点。时间复杂度以访问结点的次数为主，精确值为2*n，时间渐近度为O(n). 3. 〖01年计算机研题〗【严题集6.27③】给定二叉树的两种遍历序列，分别是： 前序遍历序列：D，A，C，E，B，H，F，G，I；中序遍历序列：D，C，B，E，H，A，G，I，F， 试画出二叉树B，并简述由任意二叉树B的前序遍历序列和中序遍历序列求二叉树B的思想方法。 解：方法是：由前序先确定root，由中序可确定root的左、右子树。然后由其左子树的元素集合和右子树的集合对应前序遍历序列中的元素集合，可继续确定root的左右孩子。将他们分别作为新的root，不断递归，则所有元素都将被唯一确定，问题得解。 D A C F E G B H I 4.【计算机研2000】给定如图所示二叉树T 解：要遵循中序遍历的轨迹来画出每个前驱和后继。 中序遍历序列：55 40 25 60 28 08 33 54 33 五、阅读分析题（每题5分，共20分） 1. （P60 4-26）试写出如图所示的二叉树分别按先序、中序、后序遍历时得到的结点序列。 答：DLR：A B D F J G K C E H I L M LDR: B F J D G K A C H E L I M LRD：J F K G D B H L M I E C A 2. （P60 4-27）把如图所示的树转化成二叉树。 答：注意全部兄弟之间都要连线（包括度为2的兄弟）,并注意原有连线结点一律归入左子树，新添连线 结点一律归入右子树。 A B E C K F H D L G I M J 4.【严题集6.21②】画出和下列二叉树相应的森林。 答：注意根右边的子树肯定是森林， 而孩子结点的右子树均为兄弟。Array Array 六、算法设计题（前5题中任选2题，第6题必做，每题8分，共24分） 1.【严题集6.42③】编写递归算法，计算二叉树中叶子结点的数目。 解：思路：输出叶子结点比较简单，用任何一种遍历递归算法，凡是左右指针均空者，则为叶子，将其打印出来。 法一：核心部分为： DLR(liuyu *root) /*中序遍历递归函数*/ {if(root!=NULL) {if((root->lchild==NULL)&&(root->rchild==NULL)){sum++; printf("%d\n",root->data);} DLR(root->lchild); DLR(root->rchild); } return(0); } 法二： int LeafCount_BiTree(Bitree T)//求二叉树中叶子结点的数目 { if(!T) return 0; //空树没有叶子 else if(!T->lchild&&!T->rchild) return 1; //叶子结点 else return Leaf_Count(T->lchild)+Leaf_Count(T->rchild);//左子树的叶子数加 上右子树的叶子数 }//LeafCount_BiTree 注：上机时要先建树！例如实验二的方案一。 ①打印叶子结点值（并求总数） 思路：先建树，再从遍历过程中打印结点值并统计。 步骤1 键盘输入序列12，8，17，11，16，2，13，9，21，4，构成一棵二叉排序树。叶子结点值应该是4，9, 13, 21, 总数应该是4. 12 717 2 11 16 21 4 9 13 编程：生成二叉树排序树之后，再中序遍历排序查找结点的完整程序如下： 说明部分为： #include #include typedef struct liuyu{int data;struct liuyu *lchild,*rchild;}test; liuyu *root; int sum=0;int m=sizeof(test); void insert_data(int x) /*如何生成二叉排序树？参见教材P43C程序*/ { liuyu *p,*q,*s; s=(test*)malloc(m); s->data=x; s->lchild=NULL; s->rchild=NULL; if(!root){root=s; return;} p=root; while(p) /*如何接入二叉排序树的适当位置*/ {q=p; if(p->data==x){printf("data already exist! \n");return;} else if(x } if(x else q->rchild=s; } DLR(liuyu *root) /*中序遍历递归函数*/ {if(root!=NULL) {if((root->lchild==NULL)&&(root->rchild==NULL)){sum++; printf("%d\n",root->data);} DLR(root->lchild); DLR(root->rchild); } return(0); } main() /*先生成二叉排序树，再调用中序遍历递归函数进行排序输出*/ {int i,x; i=1; root=NULL; /*千万别忘了赋初值给root!*/ do{printf("please input data%d:",i); i++; scanf("%d",&x); /*从键盘采集数据，以-9999表示输入结束*/ if(x==-9999){ DLR(root); printf("\nNow output count value:%d\n",sum); return(0); } else insert_data(x);} /*调用插入数据元素的函数*/ while(x!=-9999); return(0);} 执行结果： 若一开始运行就输入-9999，则无叶子输出，sum=0。 2.【全国专升本统考题】写出求二叉树深度的算法，先定义二叉树的抽象数据类型。（10分） 或【严题集6.44④】编写递归算法，求二叉树中以元素值为x的结点为根的子树的深度。 答；设计思路：只查后继链表指针，若左或右孩子的左或右指针非空，则层次数加1；否则函数返回。但注意，递归时应当从叶子开始向上计数，否则不易确定层数。 int depth(liuyu*root) /*统计层数*/ {int d,p; /*注意每一层的局部变量d,p都是各自独立的*/ p=0; if(root==NULL)return(p); /*找到叶子之后才开始统计*/ else{ d=depth(root->lchild); if(d>p) p=d; /*向上回朔时，要挑出左右子树中的相对大的那个深度值*/ d=depth(root->rchild); if(d>p)p=d; } p=p+1; return(p); } 法二： int Get_Sub_Depth(Bitree T,int x)//求二叉树中以值为x的结点为根的子树深度 { if(T->data==x) { printf("%d\n",Get_Depth(T)); //找到了值为x的结点,求其深度 exit 1; } } else { if(T->lchild) Get_Sub_Depth(T->lchild,x); if(T->rchild) Get_Sub_Depth(T->rchild,x); //在左右子树中继续寻找 } }//Get_Sub_Depth int Get_Depth(Bitree T)//求子树深度的递归算法 { if(!T) return 0; else { m=Get_Depth(T->lchild); n=Get_Depth(T->rchild); return (m>n?m:n)+1; } }//Get_Depth 附：上机调试过程 步骤1 键盘输入序列12，8，17，11，16，2，13，9，21，4，构成一棵二叉排序树。层数应当为4 步骤2：执行求深度的函数，并打印统计出来的深度值。 完整程序如下： #include #include typedef struct liuyu{int data;struct liuyu *lchild,*rchild;}test; liuyu *root; int sum=0;int m=sizeof(test); void insert_data(int x) /*如何生成二叉排序树？参见教材P43C程序*/ { liuyu *p,*q,*s; s=(test*)malloc(m); s->data=x; s->lchild=NULL; s->rchild=NULL; if(!root){root=s; return;} p=root; while(p) /*如何接入二叉排序树的适当位置*/ {q=p; if(p->data==x){printf("data already exist! \n");return;} else if(x } if(x else q->rchild=s; } int depth(liuyu*root) /*统计层数*/ {int d,p; /*注意每一层的局部变量d,p都是各自独立的*/ p=0; if(root==NULL)return(p); /*找到叶子之后才开始统计*/ else{ d=depth(root->lchild); if(d>p) p=d; /*向上回朔时，要挑出左右子树中的相对大的那个深度值*/ d=depth(root->rchild); if(d>p)p=d; } p=p+1; return(p); } void main() /*先生成二叉排序树，再调用深度遍历递归函数进行统计并输出*/ {int i,x; i=1; root=NULL; /*千万别忘了赋初值给root!*/ do{printf("please input data%d:",i); i++; scanf("%d",&x); /*从键盘采集数据，以-9999表示输入结束*/ if(x==-9999){ printf("\nNow output depth value=%d\n", depth (root)); return; } else insert_data(x);} /*调用插入数据元素的函数*/ while(x!=-9999); return;} 执行结果： 3. 【严题集6.47④】编写按层次顺序（同一层自左至右）遍历二叉树的算法。 或：按层次输出二叉树中所有结点； 解：思路：既然要求从上到下，从左到右，则利用队列存放各子树结点的指针是个好办法。 这是一个循环算法，用while语句不断循环，直到队空之后自然退出该函数。 技巧之处：当根结点入队后，会自然使得左、右孩子结点入队，而左孩子出队时又会立即使得它的左右孩子结点入队，……以此产生了按层次输出的效果。 level(liuyu*T) /* liuyu *T,*p,*q[100]; 假设max已知*/ {int f,r; f=0; r=0; /*置空队*/ r=(r+1)%max; q[r]=T; /*根结点进队*/ while(f!=r) /*队列不空*/ {f=(f+1%max); p=q[f]; /*出队*/ printf("%d",p->data); /*打印根结点*/ if(p->lchild){r=(r+1)%max; q[r]=p->lchild;} /*若左子树不空，则左子树进队*/ if(p->rchild){r=(r+1)%max; q[r]=p->rchild;} /*若右子树不空，则右子树进队*/ } return(0); } 法二： void LayerOrder(Bitree T)//层序遍历二叉树 { InitQueue(Q); //建立工作队列 EnQueue(Q,T); while(!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q,p); visit(p); if(p->lchild) EnQueue(Q,p->lchild); if(p->rchild) EnQueue(Q,p->rchild); } }//LayerOrder 可以用前面的函数建树，然后调用这个函数来输出。 完整程序如下（已上机通过） #include #include #define max 50 typedef struct liuyu{int data;struct liuyu *lchild,*rchild;}test; liuyu *root,*p,*q[max]; int sum=0;int m=sizeof(test); void insert_data(int x) /*如何生成二叉排序树？参见教材P43C程序*/ { liuyu *p,*q,*s; s=(test*)malloc(m); s->data=x; s->lchild=NULL; s->rchild=NULL; if(!root){root=s; return;} p=root; while(p) /*如何接入二叉排序树的适当位置*/ {q=p; if(p->data==x){printf("data already exist! \n");return;} else if(x } if(x else q->rchild=s; } level(liuyu*T) /* liuyu *T,*p,*q[100]; 假设max已知*/ {int f,r; f=0; r=0; /*置空队*/ r=(r+1)%max; q[r]=T; /*根结点进队*/ while(f!=r) /*队列不空*/ {f=(f+1%max); p=q[f]; /*出队*/ printf("%d",p->data); /*打印根结点*/ if(p->lchild){r=(r+1)%max; q[r]=p->lchild;} /*若左子树不空，则左子树进队*/ if(p->rchild){r=(r+1)%max; q[r]=p->rchild;} /*若右子树不空，则右子树进队*/ } return(0); } void main() /*先生成二叉排序树，再调用深度遍历递归函数进行统计并输出*/ {int i,x; i=1; root=NULL; /*千万别忘了赋初值给root!*/ do{printf("please input data%d:",i); i++; scanf("%d",&x); /*从键盘采集数据，以-9999表示输入结束*/ if(x==-9999){ printf("\nNow output data value:\n", level(root)); return; } else insert_data(x);} /*调用插入数据元素的函数*/ while(x!=-9999); return;} 4. 已知一棵具有n个结点的完全二叉树被顺序存储于一维数组A中，试编写一个算法打印出编号为i的结点的双亲和所有的孩子。 答：首先，由于是完全二叉树，不必担心中途会出现孩子为null的情况。 其次分析：结点i的左孩子为2i，右孩子为2i+1;直接打印即可。 Printf(“Left_child=”, %d, v[2*i].data; “R ight_child=”, %d, v[2*i+1].data;); 但其双亲是i/2，需先判断i为奇数还是偶数。若i为奇数，则应当先i-- ，然后再除以2。 If(i/2!=0)i--; Printf(“Parents=”, %d, v[i/2].data;); 5.【严题集 6.49④】编写算法判别给定二叉树是否为完全二叉树。 答：int IsFull_Bitree(Bitree T)//判断二叉树是否完全二叉树,是则返回1,否则返回0 { InitQueue(Q); flag=0; EnQueue(Q,T); //建立工作队列 while(!QueueEmpty(Q)) { { DeQueue(Q,p); if(!p) flag=1; else if(flag) return 0; else { EnQueue(Q,p->lchild); EnQueue(Q,p->rchild); //不管孩子是否为空,都入队列 } }//while return 1; }//IsFull_Bitree 分析:该问题可以通过层序遍历的方法来解决.与6.47相比,作了一个修改,不管当前结点 是否有左右孩子,都入队列.这样当树为完全二叉树时,遍历时得到是一个连续的不包含空 指针的序列.反之,则序列中会含有空指针. 6.【严题集6.26③】假设用于通信的电文仅由8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为0.07，0.19， 0.02，0.06，0.32，0.03，0.21，0.10。试为这8个字母设计哈夫曼编码。使用0～7的二进制表示形式 是另一种编码方案。对于上述实例，比较两种方案的优缺点。 解：方案1；哈夫曼编码 先将概率放大100倍，以方便构造哈夫曼树。 w={7,19,2,6,32,3,21,10}，按哈夫曼规则：【[（2,3），6], (7,10)】, ……19, 21, 32 （100） （40）（60） 19 21 32 （28） （17）（11） 7 10 6 （5） 2 3 方案比较： 结论：哈夫曼编码优于等长二进制编码 第7章图自测卷解答 一、单选题（每题1分，共16分）前两大题全部来自于全国自考参考书！ （C）1. 在一个图中，所有顶点的度数之和等于图的边数的倍。 A．1/2 B. 1 C. 2 D. 4 （B）2. 在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的倍。 A．1/2 B. 1 C. 2 D. 4 （B）3. 有8个结点的无向图最多有条边。 A．14 B. 28 C. 56 D. 112 （C）4. 有8个结点的无向连通图最少有条边。 A．5 B. 6 C. 7 D. 8 （C）5. 有8个结点的有向完全图有条边。 A．14 B. 28 C. 56 D. 112 （B）6. 用邻接表表示图进行广度优先遍历时，通常是采用来实现算法的。 A．栈 B. 队列 C. 树 D. 图 （A）7. 用邻接表表示图进行深度优先遍历时，通常是采用来实现算法的。 A．栈 B. 队列 C. 树 D. 图 （）8. 已知图的邻接矩阵，根据算法思想，则从顶点0出发按深度优先遍历的结点序列是 A．0 2 4 3 1 5 6 B. 0 1 3 6 5 4 2 C. 0 4 2 3 1 6 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1