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初一数学绝对值典型例题精讲

第三讲 绝对值

初一数学绝对值典型例题精讲

绝对值是有理数中非常重要的组成部分,它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石,希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质

绝对值 简单的绝对值方程

化简绝对值式,分类讨论(零点分段法)

绝对值几何意义的使用

初一数学绝对值典型例题精讲

绝对值的定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作|a|。 绝对值的性质:

(1) 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|≥0,这是绝对值非常重要的性质; a (a >0)

(2) |a|= 0 (a=0) (代数意义)

-a (a <0)

(3) 若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0;

(4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即|a|≥a ,

且|a|≥-a ;

(5) 若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;(几何意义)

(6) |ab|=|a|·|b|;|b a |=|

|||b a (b ≠0); (7) |a|2=|a 2|=a 2

(8) |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|

[例1]

(1) 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个?

(2) 若ab<|ab|,则下列结论正确的是( )

A.a <0,b <0

B.a >0,b <0

C.a <0,b >0

D.ab <0

(3) 下列各组判断中,正确的是( )

A .若|a|=b ,则一定有a=b B.若|a|>|b|,则一定有a >b

C. 若|a|>b ,则一定有|a|>|b|

D.若|a|=b ,则一定有a 2=(-b) 2

(4) 设a ,b 是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?其值是多少?

分析:

(1) 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3,±4,有4个

(2) 答案C 不完善,选择D.在此注意复习巩固知识点3。

(3) 选择D 。

(4) 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0,则|a+b|≥9,有最小值9

[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些?它们的和为多少?

<分析>:绝对值小于3.1的整数有0,±1,±2,±3,和为0。

[巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确( )

A.a >b

B.a=b

C.a

D.无法确定

分析:选择D 。

[巩固] 若|x-3|=3-x ,则x 的取值范围是____________

分析:若|x-3|=3-x ,则x-3≤0,即x ≤3。对知识点3的复习巩固

[巩固] 若a >b ,且|a|<|b|,则下面判断正确的是( )

A.a <0

B.a >0

C.b <0

D.b >0

分析:选择C

[巩固] 设a ,b 是有理数,则-8-|a-b|是有最大值还是最小值?其值是多少?

分析:|a-b|≥0,-8-|a-b|≤-8,所以有最大值-8

[例2]

(1)(竞赛题)若3|x-2|+|y+3|=0,则

x y 的值是多少? (2)若|x+3|+(y-1)2=0,求n x

y )4(--的值

分析:(1)|x-2|=0,|y+3|=0,x=2,y=-3,

x y =23- (2)由|x+3|+(y-1)2=0,可得x=-3,y=1。

x y --4=314+-=-1 n 为偶数时,原式=1;n 为奇数时,原式=-1

小知识点汇总:(本源 |a|≥0 b 2

≥0)

若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0;

若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0;

若|x-a|+|x-b|=0,则x-a=0且x-b=0;

当然各项前面存在正系数时仍然成立,非负项增加到多项时,每一项均为0,两个非

负数互为相反数时,两者均为0

初一数学绝对值典型例题精讲

【例3】

(1) 已知x 是有理数,且|x|=|-4|,那么x=____

(2) 已知x 是有理数,且-|x|=-|2|,那么x=____

(3) 已知x 是有理数,且-|-x|=-|2|,那么x=____

(4) 如果x ,y 表示有理数,且x ,y 满足条件|x|=5,|y|=2,|x-y|=y-x ,那么x+y

的值是多少?

分析:

(1)4,-4 (2)2,-2, (3)2,-2

(4)x=±5,y=±2,且|x-y|=y-x ,x-y ≤0;

当x=5,y=2时不满足题意;当x=5,y=-2时不满足题意;

当x=-5,y=2时满足题意;x+y=-3;当x=-5,y=-2时满足题意,x+y=-7。

【巩固】巩固|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值

分析:因为|x|=4,所以x=±4,因为|y|=6,所以y=±6

当x=4,y=6时,|x+y|=|10|=10; 当x=4,y=-6时,|x+y|=|-2|=2;

当x=-4,y=6时,|x+y|=|2|=2; 当x=-4,y=-6时,|x+y|=|10|=10

【例4】

解方程:(1)05|5|2

3=-+x (2)|4x+8|=12

(3)|3x+2|=-1

(4)已知|x-1|=2,|y|=3,且x 与y 互为相反数,求

y xy x 43

12--的值 分析:(1)原方程可变形为:|x+5|=310,所以有x+5=±310,进而可得:x=-35,-325; (2)4x+8=±12,x=1,x=-5

(3)此方程无解

(4)|x-1|=2,x-1=±2,x=3,x=-1,|y|=3,y=±3,且x 与y 互为相反数,所以x=3,

y=-3,2443

12=--y xy x 【例5】 若已知a 与b 互为相反数,且|a-b|=4,求

12+++-ab a b ab a 的值 分析:a 与b 互为相反数,那么a+b=0。

12+++-ab a b ab a =,4,4||,1

001)(±=-=--=+?-=++-+b a b a ab a ab b a a ab b a 当a-b=4时,且a+b=0,那么a=2,b=-2,-ab=4;

当a-b=-4时,且a+b=0,那么a=-2,b=2,-ab=4;

综上可得

12+++-ab a b ab a =4

初一数学绝对值典型例题精讲

【例6】

(1) 已知a=-21,b=-31,求||

32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 (2) 若|a|=b ,求|a+b|的值

(3) 化简:|a-b|

分析:(1)原式=718||31|33

4|2|3221|4)3221(|341|2-=---+--------- (2)|a|=b ,我们可以知道b ≥0,当a<0时,a=-b ,|a+b|=0;当a ≥0时,a=b ,|a+b|=2b

(3)分类讨论。

当a-b >0时,即a >b ,|a-b|=a-b ;

当a-b=0时,即a=b ,|a-b|=0;

当a-b <0时,即a <b ,|a-b|=b-a 。

【巩固】 化简:(1)|3.14-π| (2)|8-x|(x ≥8)

分析:(1)3.14<π,3.14-π<0,|3.14-π|=π-3.14

(2)x ≥8,8-x ≤0,|8-x|=x-8。

【例7】有理数a ,b ,c 在数轴上对应点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b|

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分析:|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-(a+c )-(c-b )=2b-2c

【巩固】已知a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|

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分析:|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a

【巩固】数a ,b 在数轴上对应的点如图所示,是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||

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分析:|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-(a+b )+(b-a )+b-(-2a )=b

【例8】(1)若a<-b 且0>b

a ,化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| (2)若-2≤a ≤0,化简|a+2|+|a-2|

(3)已知x<00,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值

分析:(1)若a<-b 且0>b

a ,a<0,b<0,a+b<0,ab>0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a

(2)因为-2≤a ≤0,所以a+2≥0,a-2≤0,|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4

(3)由x<00可得:y<0|z|>|x|,可得:y

【巩固】如果0

分析:|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x

【例9】(1)已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||

(2)若a<0,试化简|

|3|||3|2a a a a -- 分析:(1)当x<-3时,

|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x

C B 0

A

(2)||3|||3|2a a a a --=|3|32a a a a --+=a a 45-=-4

5 【例10】若abc ≠0,则

|

|||||c c b b a a ++的所有可能值 分析:从整体考虑: (1)a ,b ,c 全正,则|

|||||c c b b a a ++=3; (2)a ,b ,c 两正一负,则|

|||||c c b b a a ++=1; (3)a ,b ,c 一正两负,则

||||||c c b b a a ++=-1; (4)a ,b ,c 全负,则|

|||||c c b b a a ++=-3 【巩固】有理数a ,b ,c ,d ,满足

1||-=abcd abcd ,求d d c c b b a a ||||||||+++的值 分析:有1||-=abcd

abcd 知abcd<0,所以a ,b ,c ,d 里含有1个负数或3个负数: (1) 若含有1个负数,则d

d c c b b a a ||||||||+++=2; (2) 若含有3个负数,则d

d c c b b a a ||||||||+++=-2 【例11】化简|x+5|+|2x-3| 分析:先找零点。x+5=0,x=-5;2x-3=0,x=

23,零点可以将数轴分成几段。 当x ≥2

3,x+5>0,2x-3≥0,|x+5|+|2x-3|=3x+2; 当-5≤x <2

3,x+5≥0,2x-3<0,|x+5|+|2x-3|=8-x ; 当x<-5,x+5<0,2x-3,|x+5|+|2x-3|=-3x-2

【巩固】化简:|2x-1|

分析:先找零点。2x-1=0,x=

21,依次零点可以将数轴分成几段 (1) x<2

1,2x-1<0,|2x-1|=﹣(2x-1)=1﹣2x ; (2) x=2

1,2x-1=0,|2x-1|=0

(3) x>2

1,2x-1>0,|2x-1|=2x-1。也可将(2)与(1)合并写出结果 【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值

分析:先找零点,m=0,m-1=0,m-2=0,解得m=0,1,2

依这三个零点将数轴分为四段:m <0,0≤m <1,1≤m <2,m ≥2。

当m<0时,原式=﹣m ﹣(m-1)-(m-2)=-3m+3

当0≤m <1时,原式=m-(m-1)-(m-2)=-m+3

当1≤m <2时,原式=m+(m-1)-(m-2)=m+1

当m ≥2时,原式m+(m-1)+(m-2)=3m-3

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|a|的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离

|a-b|的几何意义:在数轴上,表示数a ,b 对应数轴上两点间的距离

【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值

分析:由上题可知,本题中的式子值应为x 所对应的点分别到3,5,2,-1,-7所对应的点距

离和。通过数轴可以看到,当x=2时,五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解:

【小学奥数相关题目】如图,在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼,现在设立一个邮筒,

为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短,邮局应立于何处?

分析:我们来分析以下A 、E 两个点,不论这个邮筒放在AE 之间的哪一点,A 到邮筒的距

离加上E 到邮筒的距离就是AE 的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短,再看为了使

B 、D 两个到邮筒的距离之和也是不变的,等于BD 。最后,只需要考虑

C 点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C 点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”

题后小结论:

求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值:

当n 为奇数时,把a 1、a 2、…a n 从小到大排列,x 等于最中间的数值时,该式子的值

最小。

A B C D E

当n 为偶数时,把a 1、a 2、…a n 从小到大排列,x 取最中间两个数值之间的数(包括

最中间的数)时,该式子的值最小。

【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义

分析:|a|即为表示a 的点A 与原点之间的距离,也即为线段AO 的长度。

关于|a-b|,我们可以引入具体数值加以分析:

当a=3,b=2时,|a-b|=1; 当a=3,b=-2时,|a-b|=5;

当a=3,b=0时,|a-b|=3; 当a=-3,b=-2时,|a-b|=1;

从上述四种情况分别在数轴上标注出来,我们不能难发现:|a-b|对应的是点A 与点

B 之间的距离,即线段AB 的长度。

【巩固】设a 1、a 2、a 3、a 4、a 5为五个有理数,满足a 1< a 2< a 3< a 4< a 5,求|x- a 1|+|x- a 2|+|x-

a 3|+|x- a 4|+|x- a 5|的最小值

分析:当x= a 3时有最小值,a 4+ a 5- a 1- a 2

【例14】设a

分析:根据几何意义可以得到,当b ≤x ≤c 时,y 有最小值为c+d-a-b

初一数学绝对值典型例题精讲

【例1】 若|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c,那么a+b-c=______

分析:根据题意可得:a=±1,b=-2,c=-3,那么a+b-c=0或2

【例2】 已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0,那么ab=______

分析:因为(a+b)2+|b+5|=b+5,我们可以知道b+5>0,所以原式可以表示为:

(a+b)2+b+5=b+5,(a+b)2=0,a=-b ,又因为|2a-b-1|=0,进而2a-b-1=0,进而2a-b-1=0,3a=1,a=

31,b=-31,ab=-91 【例3】 对于|m-1|,下列结论正确的是( )

A.|m-1|≥|m|

B.|m-1|≤|m|

C. |m-1|≥|m|-1

D. |m-1|≤|m|-1

分析:我们可以分类讨论,但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值

法代入检验,对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到

准确答案。易得答案为C 。

【例4】 设a ,b ,c 为实数,且|a|+a=0,|ab|=ab ,|c|-c=0,化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|

分析:|a|+a=0,|a|=-a ,a ≤0;|ab|=ab ,ab ≥0;|c|-c=0,|c|=c ,c ≥0。

所以可以得到a ≤0,b ≤0,c ≥0;

|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+(a+b )-(c-b )-(a-c )=b

【例5】 化简:||x-1|-2|+|x+1|

分析:先找零点。x-1=0,x=1,|x-1|-2=0,|x-1|=2,x-1=2或x-1=-2,可得x=3或者x=-1;x+1=0,x=-1;综上所得零点有1.,-1,3,依次零点可以将数轴分成几段。

(1) x ≥3,x-1>0,|x-1|-2≥0,x+1>0, ||x-1|-2|+|x+1|=2x-2;

(2) 1≤x<3,x-1≥0,|x-1|-2<0,x+1>0,||x-1|-2|+|x+1|=4;

(3) -1≤x ≤1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1≥0,||x-1|-2|+|x+1|=2x+2;

(4) x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0, ||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2

【例6】 已知有理数a ,b ,c 满足

1||||||=++c c b b a a ,求abc

abc ||的值 分析:对于任意的整数a ,有1||±=a a ,若1||||||=++c

c b b a a ,则a ,b ,c 中必是两正一负,则abc<0,abc abc ||=-1 【例7】 若a ,b ,c ,

d 为互不相等的有理数,且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,求|a-d|

分析:从|a-c|=|b-c|我们可以知道,c 到a ,b 的距离都是1,且三者不相等,那么在数轴上就有:

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因为|d-b|=1,且a ,b ,c ,d 为互不相等的有理数,则有:

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显然易得|a-d|=3

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1、|m+3 |+|n-

2

|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值 分析:绝对值为非负数,|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,所以m+3=0,n-2

7=0,2p-1=0,即得m=-3,n=27,p=21,所以p+2m+3n=21-6+3×27=5 2、(1)已知|x|=2,|y|=3且x-y>0,则x+y 的值为多少?

(2)解方程:|4x-5|=8

分析:(1)x=±2,y=±3,

(b) (a)

(b) (a)

当x=2,y=3时,不满足x-y >0;

x=2,y=-3时,满足x-y >0,那么x+y=-1;

x=-2,y=3时,不满足x-y >0;

x=-2,y=-3时,满足x-y >0,那么x+y=-5。

综上可得x+y 的值为-1,-5

(2)4x-5=±8,x=413,x=-4

3 3、(1)有理数a ,b ,c 在数轴上对应点如图所示,化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|

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(2)若a <b ,求|b-a+1|-|a-b-5|的值

(3)若a <0,化简|a-|-a||

分析:(1)a-b <0,b-c >0,a+b <0

|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-(a-b )+(a+b )+(b-c )+c=3b

(2)|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4

(3)|a-|-a||=|a+a|=|2a|=-2a

4、已知a 是非零有理数,求|

|||||33

22a a a a a a ++的值 分析:若a >0,那么|

|||||33

22a a a a a a ++=1+1+1=3; 若a <0,那么|

|||||33

22a a a a a a ++=-1+1-1=-1 5、化简|x-1|-|x-3|

分析:先找零点。x-1=0,,x=1;x-3=0,x=3,依照零点可以将数轴分成几段。

(1) x ≥3,x-1>0,x-3≥0,|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2;

(2) 1≤x <3,x-1≥0,x-3<0 ,|x-1|-|x-3|=x-1+(x-3)=2x-4;

(3) x <1,x-1<0,x-3<0,|x-1|-|x-3|=-(x-1)+(x-3)=-2

6、设a <b <c ,求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值

分析:|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x 到a ,b ,c 三点距离和,画图可知当x=b 时,原式有最小

值c-a