第三讲 绝对值
绝对值是有理数中非常重要的组成部分,它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石,希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质
绝对值 简单的绝对值方程
化简绝对值式,分类讨论(零点分段法)
绝对值几何意义的使用
绝对值的定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作|a|。 绝对值的性质:
(1) 绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|≥0,这是绝对值非常重要的性质; a (a >0)
(2) |a|= 0 (a=0) (代数意义)
-a (a <0)
(3) 若|a|=a ,则a ≥0;若|a|=-a ,则a ≤0;
(4) 任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即|a|≥a ,
且|a|≥-a ;
(5) 若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;(几何意义)
(6) |ab|=|a|·|b|;|b a |=|
|||b a (b ≠0); (7) |a|2=|a 2|=a 2
;
(8) |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
[例1]
(1) 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个?
(2) 若ab<|ab|,则下列结论正确的是( )
A.a <0,b <0
B.a >0,b <0
C.a <0,b >0
D.ab <0
(3) 下列各组判断中,正确的是( )
A .若|a|=b ,则一定有a=b B.若|a|>|b|,则一定有a >b
C. 若|a|>b ,则一定有|a|>|b|
D.若|a|=b ,则一定有a 2=(-b) 2
(4) 设a ,b 是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?其值是多少?
分析:
(1) 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3,±4,有4个
(2) 答案C 不完善,选择D.在此注意复习巩固知识点3。
(3) 选择D 。
(4) 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0,则|a+b|≥9,有最小值9
[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些?它们的和为多少?
<分析>:绝对值小于3.1的整数有0,±1,±2,±3,和为0。
[巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确( )
A.a >b
B.a=b
C.a
D.无法确定
分析:选择D 。
[巩固] 若|x-3|=3-x ,则x 的取值范围是____________
分析:若|x-3|=3-x ,则x-3≤0,即x ≤3。对知识点3的复习巩固
[巩固] 若a >b ,且|a|<|b|,则下面判断正确的是( )
A.a <0
B.a >0
C.b <0
D.b >0
分析:选择C
[巩固] 设a ,b 是有理数,则-8-|a-b|是有最大值还是最小值?其值是多少?
分析:|a-b|≥0,-8-|a-b|≤-8,所以有最大值-8
[例2]
(1)(竞赛题)若3|x-2|+|y+3|=0,则
x y 的值是多少? (2)若|x+3|+(y-1)2=0,求n x
y )4(--的值
分析:(1)|x-2|=0,|y+3|=0,x=2,y=-3,
x y =23- (2)由|x+3|+(y-1)2=0,可得x=-3,y=1。
x y --4=314+-=-1 n 为偶数时,原式=1;n 为奇数时,原式=-1
小知识点汇总:(本源 |a|≥0 b 2
≥0)
若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0;
若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0;
若|x-a|+|x-b|=0,则x-a=0且x-b=0;
当然各项前面存在正系数时仍然成立,非负项增加到多项时,每一项均为0,两个非
负数互为相反数时,两者均为0
【例3】
(1) 已知x 是有理数,且|x|=|-4|,那么x=____
(2) 已知x 是有理数,且-|x|=-|2|,那么x=____
(3) 已知x 是有理数,且-|-x|=-|2|,那么x=____
(4) 如果x ,y 表示有理数,且x ,y 满足条件|x|=5,|y|=2,|x-y|=y-x ,那么x+y
的值是多少?
分析:
(1)4,-4 (2)2,-2, (3)2,-2
(4)x=±5,y=±2,且|x-y|=y-x ,x-y ≤0;
当x=5,y=2时不满足题意;当x=5,y=-2时不满足题意;
当x=-5,y=2时满足题意;x+y=-3;当x=-5,y=-2时满足题意,x+y=-7。
【巩固】巩固|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值
分析:因为|x|=4,所以x=±4,因为|y|=6,所以y=±6
当x=4,y=6时,|x+y|=|10|=10; 当x=4,y=-6时,|x+y|=|-2|=2;
当x=-4,y=6时,|x+y|=|2|=2; 当x=-4,y=-6时,|x+y|=|10|=10
【例4】
解方程:(1)05|5|2
3=-+x (2)|4x+8|=12
(3)|3x+2|=-1
(4)已知|x-1|=2,|y|=3,且x 与y 互为相反数,求
y xy x 43
12--的值 分析:(1)原方程可变形为:|x+5|=310,所以有x+5=±310,进而可得:x=-35,-325; (2)4x+8=±12,x=1,x=-5
(3)此方程无解
(4)|x-1|=2,x-1=±2,x=3,x=-1,|y|=3,y=±3,且x 与y 互为相反数,所以x=3,
y=-3,2443
12=--y xy x 【例5】 若已知a 与b 互为相反数,且|a-b|=4,求
12+++-ab a b ab a 的值 分析:a 与b 互为相反数,那么a+b=0。
12+++-ab a b ab a =,4,4||,1
001)(±=-=--=+?-=++-+b a b a ab a ab b a a ab b a 当a-b=4时,且a+b=0,那么a=2,b=-2,-ab=4;
当a-b=-4时,且a+b=0,那么a=-2,b=2,-ab=4;
综上可得
12+++-ab a b ab a =4
【例6】
(1) 已知a=-21,b=-31,求||
32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 (2) 若|a|=b ,求|a+b|的值
(3) 化简:|a-b|
分析:(1)原式=718||31|33
4|2|3221|4)3221(|341|2-=---+--------- (2)|a|=b ,我们可以知道b ≥0,当a<0时,a=-b ,|a+b|=0;当a ≥0时,a=b ,|a+b|=2b
(3)分类讨论。
当a-b >0时,即a >b ,|a-b|=a-b ;
当a-b=0时,即a=b ,|a-b|=0;
当a-b <0时,即a <b ,|a-b|=b-a 。
【巩固】 化简:(1)|3.14-π| (2)|8-x|(x ≥8)
分析:(1)3.14<π,3.14-π<0,|3.14-π|=π-3.14
(2)x ≥8,8-x ≤0,|8-x|=x-8。
【例7】有理数a ,b ,c 在数轴上对应点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
分析:|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-(a+c )-(c-b )=2b-2c
【巩固】已知a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|
分析:|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a
【巩固】数a ,b 在数轴上对应的点如图所示,是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
分析:|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-(a+b )+(b-a )+b-(-2a )=b
【例8】(1)若a<-b 且0>b
a ,化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| (2)若-2≤a ≤0,化简|a+2|+|a-2|
(3)已知x<0
分析:(1)若a<-b 且0>b
a ,a<0,b<0,a+b<0,ab>0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a
(2)因为-2≤a ≤0,所以a+2≥0,a-2≤0,|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4
(3)由x<0 【巩固】如果0 分析:|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x 【例9】(1)已知x<-3,化简|3+|2-|1+x||| (2)若a<0,试化简| |3|||3|2a a a a -- 分析:(1)当x<-3时, |3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x C B 0 A (2)||3|||3|2a a a a --=|3|32a a a a --+=a a 45-=-4 5 【例10】若abc ≠0,则 | |||||c c b b a a ++的所有可能值 分析:从整体考虑: (1)a ,b ,c 全正,则| |||||c c b b a a ++=3; (2)a ,b ,c 两正一负,则| |||||c c b b a a ++=1; (3)a ,b ,c 一正两负,则 ||||||c c b b a a ++=-1; (4)a ,b ,c 全负,则| |||||c c b b a a ++=-3 【巩固】有理数a ,b ,c ,d ,满足 1||-=abcd abcd ,求d d c c b b a a ||||||||+++的值 分析:有1||-=abcd abcd 知abcd<0,所以a ,b ,c ,d 里含有1个负数或3个负数: (1) 若含有1个负数,则d d c c b b a a ||||||||+++=2; (2) 若含有3个负数,则d d c c b b a a ||||||||+++=-2 【例11】化简|x+5|+|2x-3| 分析:先找零点。x+5=0,x=-5;2x-3=0,x= 23,零点可以将数轴分成几段。 当x ≥2 3,x+5>0,2x-3≥0,|x+5|+|2x-3|=3x+2; 当-5≤x <2 3,x+5≥0,2x-3<0,|x+5|+|2x-3|=8-x ; 当x<-5,x+5<0,2x-3,|x+5|+|2x-3|=-3x-2 【巩固】化简:|2x-1| 分析:先找零点。2x-1=0,x= 21,依次零点可以将数轴分成几段 (1) x<2 1,2x-1<0,|2x-1|=﹣(2x-1)=1﹣2x ; (2) x=2 1,2x-1=0,|2x-1|=0 (3) x>2 1,2x-1>0,|2x-1|=2x-1。也可将(2)与(1)合并写出结果 【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值 分析:先找零点,m=0,m-1=0,m-2=0,解得m=0,1,2 依这三个零点将数轴分为四段:m <0,0≤m <1,1≤m <2,m ≥2。 当m<0时,原式=﹣m ﹣(m-1)-(m-2)=-3m+3 当0≤m <1时,原式=m-(m-1)-(m-2)=-m+3 当1≤m <2时,原式=m+(m-1)-(m-2)=m+1 当m ≥2时,原式m+(m-1)+(m-2)=3m-3 |a|的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离 |a-b|的几何意义:在数轴上,表示数a ,b 对应数轴上两点间的距离 【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值 分析:由上题可知,本题中的式子值应为x 所对应的点分别到3,5,2,-1,-7所对应的点距 离和。通过数轴可以看到,当x=2时,五段距离的和有最小值16。这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解: 【小学奥数相关题目】如图,在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼,现在设立一个邮筒, 为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短,邮局应立于何处? 分析:我们来分析以下A 、E 两个点,不论这个邮筒放在AE 之间的哪一点,A 到邮筒的距 离加上E 到邮筒的距离就是AE 的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短,再看为了使 B 、D 两个到邮筒的距离之和也是不变的,等于BD 。最后,只需要考虑 C 点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C 点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想” 题后小结论: 求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值: 当n 为奇数时,把a 1、a 2、…a n 从小到大排列,x 等于最中间的数值时,该式子的值 最小。 A B C D E 当n 为偶数时,把a 1、a 2、…a n 从小到大排列,x 取最中间两个数值之间的数(包括 最中间的数)时,该式子的值最小。 【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义 分析:|a|即为表示a 的点A 与原点之间的距离,也即为线段AO 的长度。 关于|a-b|,我们可以引入具体数值加以分析: 当a=3,b=2时,|a-b|=1; 当a=3,b=-2时,|a-b|=5; 当a=3,b=0时,|a-b|=3; 当a=-3,b=-2时,|a-b|=1; 从上述四种情况分别在数轴上标注出来,我们不能难发现:|a-b|对应的是点A 与点 B 之间的距离,即线段AB 的长度。 【巩固】设a 1、a 2、a 3、a 4、a 5为五个有理数,满足a 1< a 2< a 3< a 4< a 5,求|x- a 1|+|x- a 2|+|x- a 3|+|x- a 4|+|x- a 5|的最小值 分析:当x= a 3时有最小值,a 4+ a 5- a 1- a 2 【例14】设a 分析:根据几何意义可以得到,当b ≤x ≤c 时,y 有最小值为c+d-a-b 【例1】 若|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c,那么a+b-c=______ 分析:根据题意可得:a=±1,b=-2,c=-3,那么a+b-c=0或2 【例2】 已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0,那么ab=______ 分析:因为(a+b)2+|b+5|=b+5,我们可以知道b+5>0,所以原式可以表示为: (a+b)2+b+5=b+5,(a+b)2=0,a=-b ,又因为|2a-b-1|=0,进而2a-b-1=0,进而2a-b-1=0,3a=1,a= 31,b=-31,ab=-91 【例3】 对于|m-1|,下列结论正确的是( ) A.|m-1|≥|m| B.|m-1|≤|m| C. |m-1|≥|m|-1 D. |m-1|≤|m|-1 分析:我们可以分类讨论,但那样对于做选择题都过于麻烦了。我们可以用特殊值 法代入检验,对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到 准确答案。易得答案为C 。 【例4】 设a ,b ,c 为实数,且|a|+a=0,|ab|=ab ,|c|-c=0,化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c| 分析:|a|+a=0,|a|=-a ,a ≤0;|ab|=ab ,ab ≥0;|c|-c=0,|c|=c ,c ≥0。 所以可以得到a ≤0,b ≤0,c ≥0; |b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+(a+b )-(c-b )-(a-c )=b 【例5】 化简:||x-1|-2|+|x+1| 分析:先找零点。x-1=0,x=1,|x-1|-2=0,|x-1|=2,x-1=2或x-1=-2,可得x=3或者x=-1;x+1=0,x=-1;综上所得零点有1.,-1,3,依次零点可以将数轴分成几段。 (1) x ≥3,x-1>0,|x-1|-2≥0,x+1>0, ||x-1|-2|+|x+1|=2x-2; (2) 1≤x<3,x-1≥0,|x-1|-2<0,x+1>0,||x-1|-2|+|x+1|=4; (3) -1≤x ≤1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1≥0,||x-1|-2|+|x+1|=2x+2; (4) x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0, ||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2 【例6】 已知有理数a ,b ,c 满足 1||||||=++c c b b a a ,求abc abc ||的值 分析:对于任意的整数a ,有1||±=a a ,若1||||||=++c c b b a a ,则a ,b ,c 中必是两正一负,则abc<0,abc abc ||=-1 【例7】 若a ,b ,c , d 为互不相等的有理数,且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,求|a-d| 分析:从|a-c|=|b-c|我们可以知道,c 到a ,b 的距离都是1,且三者不相等,那么在数轴上就有: 因为|d-b|=1,且a ,b ,c ,d 为互不相等的有理数,则有: 显然易得|a-d|=3 1、|m+3 |+|n- 2 |+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值 分析:绝对值为非负数,|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,所以m+3=0,n-2 7=0,2p-1=0,即得m=-3,n=27,p=21,所以p+2m+3n=21-6+3×27=5 2、(1)已知|x|=2,|y|=3且x-y>0,则x+y 的值为多少? (2)解方程:|4x-5|=8 分析:(1)x=±2,y=±3, (b) (a) (b) (a) 当x=2,y=3时,不满足x-y >0; x=2,y=-3时,满足x-y >0,那么x+y=-1; x=-2,y=3时,不满足x-y >0; x=-2,y=-3时,满足x-y >0,那么x+y=-5。 综上可得x+y 的值为-1,-5 (2)4x-5=±8,x=413,x=-4 3 3、(1)有理数a ,b ,c 在数轴上对应点如图所示,化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c| (2)若a <b ,求|b-a+1|-|a-b-5|的值 (3)若a <0,化简|a-|-a|| 分析:(1)a-b <0,b-c >0,a+b <0 |a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-(a-b )+(a+b )+(b-c )+c=3b (2)|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4 (3)|a-|-a||=|a+a|=|2a|=-2a 4、已知a 是非零有理数,求| |||||33 22a a a a a a ++的值 分析:若a >0,那么| |||||33 22a a a a a a ++=1+1+1=3; 若a <0,那么| |||||33 22a a a a a a ++=-1+1-1=-1 5、化简|x-1|-|x-3| 分析:先找零点。x-1=0,,x=1;x-3=0,x=3,依照零点可以将数轴分成几段。 (1) x ≥3,x-1>0,x-3≥0,|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2; (2) 1≤x <3,x-1≥0,x-3<0 ,|x-1|-|x-3|=x-1+(x-3)=2x-4; (3) x <1,x-1<0,x-3<0,|x-1|-|x-3|=-(x-1)+(x-3)=-2 6、设a <b <c ,求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值 分析:|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x 到a ,b ,c 三点距离和,画图可知当x=b 时,原式有最小 值c-a 初一数学绝对值练习题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 绝对值经典练习 1、 判断题: ⑴ 、|-a|=|a|. ⑵ 、-|0|=0. ⑶ 、|-31 2|=-31 2. ⑷ 、-(-5)?-|-5|. ⑸ 、如果a=4,那么|a|=4. ⑹ 、如果|a|=4,那么a=4. ⑺ 、任何一个有理数的绝对值都是正数. ⑻ 、绝对值小于3的整数有2,1,0. ⑼ 、-a 一定小于0. ⑽ 、如果|a|=|b|,那么a=b. ⑾ 、绝对值等于本身的数是正数. ⑿ 、只有1的倒数等于它本身. ⒀ 、若|-X|=5,则X=-5. ⒁ 、数轴上原点两旁的点所表示的两个数是互为相反数. ⒂ 、一个数的绝对值等于它的相反数,那么这个数一定是负数. 2、 填空题: ⑴ 、当a_____0时,-a?0; ⑵ 、当a_____0时,1 a ?0; ⑶ 、当a_____0时,-1a ?0; ⑷ 、当a_____0时,|a|?0; ⑸ 、当a_____0时,-a?a; ⑹ 、当a_____0时,-a=a; ⑺ 、当a?0时,|a|=______; ⑻ 、绝对值小于4的整数有_____________________________; ⑼ 、如果m?n?0,那么|m|____|n|; ⑽ 、当k+3=0时,|k|=_____; ⑾ 、若a 、b 都是负数,且|a|?|b|,则a____b; ⑿ 、|m-2|=1,则m=_________; ⒀ 、若|x|=x,则x=________; ⒁ 、倒数和绝对值都等于它本身的数是__________; ⒂ 、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则|a|=___;|b|=____; ⒃ 、-22 3的相反数是_______,倒数是______,绝对值是_______; 绝对值综合专题讲义 绝对值的定义及性质 绝对值的定义: 绝对值的性质: (1)绝对值的非负性,可以用下式表示 (2) |a|= ( 3)若|a|=a,则;若|a|=-a,则;任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, (4)若 |a|=|b| ,则 ( 5)|a+b||a|+|b||a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b||a|+|b||a-b| 【例 1】 ( 1)绝对值大于而小于的整数有多少个 ( 2)若 ab<|ab|,则下列结论正确的是() < 0, b< 0> 0, b< 0< 0, b> 0< 0 ( 3)下列各组判断中,正确的是() A.若 |a|=b,则一定有 a=b B.若|a| > |b|,则一定有 a> b C. 若 |a| >b,则一定有 |a|> |b| D.若 |a|=b,则一定有 a 2 =(-b)2 ( 4)设 a, b 是有理数,则 |a+b|+9 有最小值还是最大值其值是多少 ( 5)若3|x-2|+|y+3|=0,则y 的值是多少x ( 6)若|x+3|+(y-1) 2 =0,求( 4 ) n的值 y x 【巩固】 1、绝对值小于的整数有哪些它们的和为多少 2、有理数 a 与 b 满足 |a|>|b|,则下面哪个答案正确() >b =b 初一(七年级)数学上册绝对值同步练习题 基础检测: 1.-8的绝对值是,记做。 2.绝对值等于5的数有。 3.若︱a︱= a , 则 a 。 4.的绝对值是2004,0的绝对值是。 5一个数的绝对值是指在上表示这个数的点 到的距离。 6.如果x <y <0, 那么︱x ︱︱y︱。 7.︱x - 1 ︱=3 ,则x=。 8.若︱x+3︱+︱y -4︱= 0,则x + y = 。 9.有理数a ,b在数轴上的位置如图所示,则a b, ︱a︱︱b︱。 10.︱x ︱<л,则整数x = 。 11.已知︱x︱-︱y︱=2,且y =-4,则x = 。 12.已知︱x︱=2 ,︱y︱=3,则x +y = 。 13.已知︱x +1 ︱与︱y -2︱互为相反数,则︱x ︱+︱y︱= 。 14.式子︱x +1 ︱的最小值是,这时,x值为。 15.下列说法错误的是() A 一个正数的绝对值一定是正数 B 一个负数的绝对值一定是正数 C 任何数的绝对值一定是正数 D 任何数的绝对值都不是负数 16.下列说法错误的个数是() (1)绝对值是它本身的数有两个,是0和1 (2)任何有理数的绝对值都不是负数 (3)一个有理数的绝对值必为正数 (4)绝对值等于相反数的数一定是非负数 A 3 B 2 C 1 D 0 17.设a 是最小的正整数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,则 a + b + c 等于 ( ) A -1 B 0 C 1 D 2 拓展提高: 18.如果a , b 互为相反数,c, d 互为倒数,m 的绝对值为2,求式子 a b a b c +++ + m -cd 的值。 19.某司机在东西路上开车接送乘客,他早晨从A 地出发,(去向东的方向正方向),到晚上送走最后一位客人为止,他一天行驶的的里程记录如下(单位:㎞) +10 ,— 5, —15 ,+ 30 ,—20 ,—16 ,+ 14 (1) 若该车每百公里耗油 3 L ,则这车今天共耗油 多少升? (2) 据记录的情况,你能否知道该车送完最后一个乘客是,他在A 地的什么 方向?距A 地多远? 20.工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数,低于标准重量的克数记作负数,现对5个 乒乓球称重情况如下表所示,分析下表,根据绝对值的定义判 初一数学绝对值计算题及答案过程例1求下列各数的绝对值: (1)-38; (2)0.15; (3)a(a<0); (4)3b(b>0); (5)a-2(a<2); (6)a-b. 例2判断下列各式是否正确(正确入“T”,错误入“F”): (1)|-a|=|a|; ( ) (2)-|a|=|-a|; ( ) (4)若|a|=|b|,则a=b; ( ) (5)若a=b,则|a|=|b|; ( ) (6)若|a|>|b|,则a>b; ( ) (7)若a>b,则|a|>|b|; ( ) (8)若a>b,则|b-a|=a-b. ( ) 例3判断对错.(对的入“T”,错的入“F”) (1)如果一个数的相反数是它本身,那么这个数是0. ( ) (2)如果一个数的倒数是它本身,那么这个数是1和0. ( ) (3)如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是0或1. ( ) (4)如果说“一个数的绝对值是负数”,那么这句话是错的. ( ) (5)如果一个数的绝对值是它的相反数,那么这个数是负数. ( ) 例4 已知(a-1)2+|b+3|=0,求a、b. 例5填空: (1)若|a|=6,则a=______; (2)若|-b|=0.87,则b=______; (4)若x+|x|=0,则x是______数. 例6 判断对错:(对的入“T”,错的入“F”) (1)没有最大的自然数. ( ) (2)有最小的偶数0. ( ) (3)没有最小的正有理数. ( ) (4)没有最小的正整数. ( ) (5)有最大的负有理数. ( ) (6)有最大的负整数-1. ( ) (7)没有最小的有理数. ( ) (8)有绝对值最小的有理数. ( ) 例7 比较下列每组数的大小,在横线上填上适当的关系符号 (“<”“=”“>”) (1)|-0.01|______-|100|; (2)-(-3)______-|-3|; (3)-[-(-90)]_______0; (4)当a<3时,a-3______0;|3-a|______a-3. 绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题,确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 一、根据题设条件 例1 设化简的结果是()。 (A)(B)(C)(D) 思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去. 解 ∴应选(B). 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路. 二、借助数轴 例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则代数式的值等于(). (A)(B)(C)(D) 思路分析由数轴上容易看出,这就为去掉绝对值符号扫清了障碍. 解原式 ∴应选(C). 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清: 1.零点的左边都是负数,右边都是正数. 2.右边点表示的数总大于左边点表示的数. 3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了. 三、采用零点分段讨论法 例3 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论. 解令得零点:; 令得零点:, 把数轴上的数分为三个部分(如图) ①当时, ∴原式 ②当时,, ∴原式 ③当时,, ∴原式 ∴ 归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1.求零点:分别令各绝对值符号内的代数式为零,求出零点(不一定是两个). 2.分段:根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定. 3.在各区段内分别考察问题. 4.将各区段内的情形综合起来,得到问题的答案. 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果. 练习: 请用文本例1介绍的方法解答l、2题 1.已知a、b、c、d满足且,那么 2.若,则有()。 (A)(B)(C)(D) 请用本文例2介绍的方法解答3、4题 3.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则式子化简结果为(). 带绝对值符号的运算 在初中数学教学中,如何去掉绝对值符号?因为这一问题看似简单,所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点,也是初中数学教学的一个难点,还是学生容易搞错的问题。那么,如何去掉绝对值符号呢?我认为应从以下几个方面着手: 一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中,数a的绝对值是这样定义的,“在数轴上,表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解,数a的绝对值所表示的是一段距离,那么,不论数a本身是正数还是负数,它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知,一个正数的绝对值肯定是它的本身,一个负数的绝对值必定是它的相反数,零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是,当a是一个负数时,怎样去表示a的相反数(可表示为“-a”),以及绝对值符号的双重作用(一是非负的作用,二是括号的作用)。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质,判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时,︱a︱=a(性质1:正数的绝对值是它本身); 当a=0 时︱a︱=0(性质2:0的绝对值是0) ; 当a<0 时;︱a︱=–a (性质3:负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体,再判断a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时,︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1:正数的绝对值是它本身); 当a+b=0 时,︱a+b︱=(a+b) =0(性质2:0的绝对值是0); 当a+b<0 时,︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3:负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样,仍然要把a-b看作一个整体,判断出a-b 的3种情况,根据绝对值的3个性质,去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与b的大小即可(不论正负)。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小,所以当a>b时,︱a-b︱=(a-b)= a-b,︱b-a︱=(a-b)= a-b 。 口诀:无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值,都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题, 根据3的口诀来化简,更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题,只要判断出a在b的右边(不论正负),便可得到︱a-b︱=(a-b)=a-b,︱b-a︱=(a-b)=a-b 。(都是大的数a减去小的数b ) 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单,去掉绝对值符号的同时,不要忘记打括号。前面是正号的无所谓,如果是负号,忘记打括号就惨了,差之毫厘失之千里也! 绝对值综合练习题一 1、判断 (1)|31|-和31-互为相反数。( ) (2)-|a|=|a| ( ) (3)|-a|=|a| ( ) (4)-|a|=|-a| ( ) (5)若|a|=|b|,则a =b ( ) (6)若a =b ,则|a|=|b| ( ) (7)若|a|>|b|,则a >b ( ) (8)若a >b ,则|a|>|b| ( ) (9)若a >b ,则|b-a|=a-b( ) (10)若a 为任意有理数,则|a|=a ( ) (11)如果一个数的倒数是它本身,那么这个数是1和0. ( ) (12)如果一个数的绝对值是它本身,那么这个数是0或1. ( ) (13)如果说“一个数的绝对值是负数”,那么这句话是错的. ( ) (14)如果一个数的相反数是它本身,那么这个数是0. ( ) 2、在数轴上,绝对值为4,且在原点左边的点表示的有理数为________. 3、若x 《绝对值》练习 一.选择题 1. -3的绝对值是( ) (A )3 (B )-3 (C )13 (D )-13 2. 绝对值等于其相反数的数一定是 A .负数 B .正数 C .负数或零 D .正数或零 3. 若│x│+x=0,则x 一定是 ( ) A .负数 B .0 C .非正数 D .非负数 5.绝对值最小的数( ) A .不存在 B .0 C .1 D .-1 6.当一个负数逐渐变大(但仍然保持是负数)时( ) A .它的绝对值逐渐变大 B .它的相反数逐渐变大 C .它的绝对值逐渐变小 D .它的相反数的绝对值逐渐变大 7.下列说法中正确的是( ) A .a -一定是负数 B .只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C .若b a =则a 与b 互为相反数 D .若一个数小于它的绝对值,则这个数是负数 8.绝对值不大于11.1的整数有( ) A .11个 B .12个 C .22个 D .23个 12.______7.3=-;______0=;______3.3=--;______75.0=+-.初一数学绝对值练习题
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