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高等数学-习题答案-方明亮-第三章(精品文档)

第三章微分中值定理及导数的应用

习题3-1

1.解：（1）满足，0ξ=；

（2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点

ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=.

2.略

3．解：令3

3arccos arccos(34)y x x x =--

，2y '=，

化简得0,C y y '=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有

()y x π=。

4．证明：显然(),()f x F x 都满足在0,

2π??

????上连续，在0,2π??

???

内可导()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π??

∈ ???

，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满

足柯西中值定理条件。

(0)121(0)22f f F F πππ??- ???=??-- ???，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ????-- ? ?

'????==='-????--- ? ?????

，令

()1()12

f x F x π'=

'-，即tan 1422

x ππ

??-=- ???，此时 2arctan 14

2x ππ??

??=-- ???????显然0,2x π??∈ ???，即

2arctan 10,4

22πππξ???????=--∈ ? ?????????，

使得

(0)

(3)2

(3)(0)2f f f F F F ππ??

- ?'??='??

- ???

。 5.解：因为(0)(1)(2)(3)0f f f f ====，又因为()f x 在任一区间内都连续而且可导，所以()f x 在任一区间[][][]0,1,1,2,2,3内满足罗尔中值定理的条件，所以由罗尔定理，得：

123(0,1),(1,2),(2,3),ξξξ?∈∈∈使得：123()0,()0,()0f f f ξξξ'''===，又因

为()0f x '=只有三个根，()0f x ∴=有3个根123,,ξξξ分别属于

(0,1),(1,2),(2,3)三个区间.

6．证明：设()0f x =的1n +个相异实根为

012n x x x x <<<

则由罗尔中值定理知：存在1(1,2,

)i i n ξ=：

01111221n n x x x x ξξξ<<<<<<<，使得1()0,(1,2,

,)i f i n ξ'==

再由罗尔中值定理至少存在2(1,2,

1)i i n ξ=-：

1121122213211n n ξξξξξξξ-<<<<<<<，使得2()0,(1,2,

,1)i f i n ξ''==- 如此作到第n 步，则知至少存在一点ξ：1112n n ξξξ--<<使得()

()0n f

ξ=。

7．解：反证法，倘若()0p x =有两个实根，设为1x 和2x ，即12()()0p x p x ==，不妨设12x x <，由于多项式函数()p x 在12[,]x x 上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点12(,)x x ξ∈，使得()0p ξ'=，而这与所设()0p x '=没有实根相矛盾，命

题得证。

8．证明：令5

()1f x x x =+-，由于(0)1,(1)1f f =-=由零点定理知，在(0,1)内至少存在一点ξ，使()0f ξ=，又由方程得4

(1)1x x +=，因此方程只存在0与1之

间的正根，假设5

10x x +-=有两个正根，即12,0x x ?>，且12x x ≠使得：

12()()0f x f x ==，不妨假设12x x <，显然()f x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内

可导。所以由罗尔定理，得：12(,)x x ξ?∈，使得：()0f ξ'=，即4

510ξ+=，矛盾，假设不成立，所以方程5

10x x +-=只有一个正根。

9．证明：（1）因为()f x 在[,]a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在(,)a b ξ∈使得

()()()()f b f a f b a ξ'-=-

又()f m ξ'≥，故

()()()f b f a m b a -≥-，即()()()f b f a m b a ≥+-。

（2）因为()f x 在[,]a b 上可导，所以由拉格朗日中值定理知：存在(,)a b ξ∈使得

()()()()f b f a b a f ξ'-=-

又()f M ξ'≤，所以|()()|M()f b f a b a -≤-。

（3）当12x x =时结论显然成立，当12x x ≠时，对函数sin x 在以12,x x 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得1212sin sin cos ()x x x x ξ-=?-，其中ξ在1x 与2x 之间，因此

121212sin sin cos x x x x x x ξ-=-≤-。

10．证明：因为()f x 在(,)a b 内具有二阶导数，所以由罗尔定理，得112(,)x x ξ?∈，

223(,)x x ξ?∈，使得12()()0f f ξξ''==，又

()f x '在[]12,ξξ且满足罗尔定理的

条件，故由罗尔定理，得：

1213(,)(,)x x ξξξ?∈?，使得()0f ξ''=。

11．证明：设()ln f x x =，由拉格朗日中值定理，得

(,)b a ξ?∈，使得：()()

()f a f b f a b

ξ-'=

-即：ln ln ln a b a a b b ξ-=-=，又(,)b a ξ∈，1

1a b

ξ∴<

<，a b a b a b

a b ξ---∴<<。 12．证明：对函数()arctan f x x =在[0,]h 上应用拉格朗日中值定理：存在(0,)h ξ∈使得

arctan arctan arctan 01h

h h ξ

=-=

+ 从而

arctan 1h

h h h

<<+。 13．证明：（1）令()arctan f x x =。当a b =时结论显然成立。当a b ≠时，由拉格朗日中值定理，得()()

()f b f a f b a

ξ-'=-。（ξ在,a b 构成的区间

内），即：2

()()()arctan arctan 1b a f b f a b a ξ-?

=-=-+。 2

arctan arctan 1a b a b a b ξ

∴-=-?

<-+ 综上所述，结论成立。（2）令()x

f x e =

由拉格朗日中值定理，得：(1,)x ξ?∈，使得：()(1)

()1

f x f f x ξ-'=

-，即：

()(1)(1)()(1)x f x f e e x f x e ξξ'-=-=-=-，

又

(1,)x ξ∈，故e e ξ>，所以

e e (1)e (1)e x x x ξ-=->-，即

e e x x >。

14．证明：()y f x =在0x =的某邻域内具有n 阶导数，由柯西中值定理，得：

1(0,)x ξ?∈使

111111()()(0)

()()(0)00n n n n n f f f f x f x f x x n n ξξξξ--'''--===--，反复使用柯西中值定理，得： 21321(0,).(0,)

.(0,)(0,)n x ξξξξξξ-?∈∈∈?，使得

()121212()(0)()(0)

()()

0(1)0

n n n n f f f f f x f x n n n n ξξξξξ--''''''--====

--- 即(0,1)θ?∈，使(0,)x x θξ=∈，使得：()()()

,(01)!

n n f x f x x n θθ=

<<。习题3-2

1.解：()

(2)6,(2)4,(2)4,(2)6,(2)0(4)n f f f f f n ''''''=-=-===≥

将上述结果代入泰勒多项式，得

23(2)(2)()(2)(2)(2)(2)(2)2!3!

f f f x f f x x x ''''''=+-+

-+- ∴32()(2)2(2)4(2)6f x x x x =-+----

2.解：因为()

()

(1)!(0)1,(),(0)(1)!,1,2,(1)

k k k k k k f f x f k k x +-===-=+

所以

(1)()1(1),(01)(1)

n n

n n f x x x x x x θθ+++-=-++

+-+<<+. 3.解：因为2

(0)0,()sec ,(0)1,f f x x f ''===

2()2sec tan ,(0)0

f x x x f ''''==，

224()4sec tan 2sec ,(0)2f x x x x f ''''''=+=，

(4)234(4)()8sec tan 16sec tan ,(0)0f x x x x x f =+=，

(5)24426(5)()16sec tan 88sec tan 16sec ,(0)16f x x x x x x f =++=，所以

35512

()()315

f x x x x o x =+++.

解：()f x =

1()()4f x f x x -'''=

=-，5

23()8f x x -'''= 7

(4)

215()16

x x -=-，令4x =代入得

113

(4)2,(4),(4),(4)432256

f f f f ''''''===-=

，由泰勒公式，得

237

11115(4)2(4)(4)(4)464512

4!16[4(4)]

x x x x x θ-=+---+--

+-.

5.解：因为1()f x x =，234123!

(),(),()f x f x f x x x x ''''''=-==-，一般地，有

()1!

()(1)n n n n f x x

+=-?，所以

(1)1,(1)1,(1)2,(1)3!f f f f ''''''-=--=--=--=-，一般地，有：()(1)!n f n -=-

所以，由泰勒公式，得

(1)[1(1)(1)(1)](1)

,(01).

[1(1)]n n n n x x x x x

x θθ++++=-++++++++-<<-++6.解：()x

f x xe -=，所以()()011()()(1)(1)()0n x n n x n x n n f x xe C e x C e x ----'==-+-+

1(1)(1)n x n x xe n e --=-+-?，又()1(0)(1)n n f n -=-，所以

()(1)

()2

(1)!

n n x x f x x x o x n -=-++

+-+-.

7.解：（1）

(27)(27)(27)(27)(27)(27)(27)23!

f x f x f f x '''''--'≈+-++

23712115

3(27)(27)(27)2733

x x x =+

---+-

3.10724,≈误差为：(4)4(4)412()3(27)310

0.000024!4!3f f ξ?≤=<

（2）3

31sin ,sin180.309993!103!10x x x ππ??

≈-∴≈-?≈ ???

误差为(5)5

5sin ()2105!

x ξ-?

8.解：（1）由于分式的分母3

3sin (0)x

x x →，我们只需将分子中的sin x 和cos x x

分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示，即

sin 0()3!x x x x ≈-+，33cos 0()2!

x x x x x ≈-+，于是

333

3331sin cos 0()0()0()3!2!3

x x x x x x x x x x x -≈-+-+-=+，故

3330010()

sin cos 13lim lim sin 3

x x x x x x

x x x →→+-==。（2）因为分子关于x 的次数为2

225

1111(15)1(5)1(5)()52!55x x x o x ??

=+=++??-?+ ???

2212()x x o x =+-+

原式22201

lim [12()](1)2x x x x o x x →==-+-+-+.

9.解：（1）355sin sin (01)3!5!2x x x x x πθθ?

++<< ??

因此5

41111|()|,5!5!238402x R x x ???

≤≤=≤ ? ?????

；

（2）解：设()f x =

1211

(0)1,()(1),(0)22

f f x x f -''==+=

352

2113()(1),(0),()(1)448

f x x f f x x --'''''''=-+=-=+

所以()f x =

21(1),(01)2816

x x x x θθ-=+-++<<，从而

()(1)

,[0,1]16

R x x x θ-

+≤

∈。习题3-3

1.解：（1）001lim

lim 1sin cos x x

x x e e x x

→→-==；（2

）6

12sin 2cos lim

lim cos33sin 33x x x x x x

ππ→→-==；

（3）0001

ln(1)1

1lim lim lim 1cos 1sin 1sin x x x x x x x x x x x →→→-+-??+==?= ?--+??

；（4）2230000tan sec 12sec tan lim

lim lim 2limsec 2sin 1cos sin x x x x x x x x x x x x x x

→→→→--====-- ；（5）2πππ2

ln sin cos cos 1

lim

lim lim (π2)4sin (2)4(2)8x x x x x x x x x x ππ→→→

===-

--?--；（6）11lim lim m m m m n

n n x a x a x a mx m a x a nx n

---→→-==-；（7）2222πππ2

tan sec 1cos 3lim lim lim tan 33sec 33cos x x x x x x

x x x →→→

==；

ππ2

cos33sin 3lim

lim 3cos sin x x x x

x x →→

=-=-=。

（ 8）2222

111ln 111lim lim lim 11

arccot 1x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞??

?- ?????

++ ?+??===++；

（9）001

1e 1lim lim e 1(e 1)x x x x x x x x →→??--??-= ? ?--????

2000e 1e 1e 1

lim lim lim 222

x x x x x x x x x →→→---====；（10）令1

y x -=，1111

1ln ln ln ,limln lim lim 1111x x x x

x y x y x

x →→→====----；

所以111

lim x

x x

-→1e -=。

（11）设ln sin ln ,y x x =

sin 0

lim lim lim sin ln x x x x x y x x +++

→→→==00002

sin ln lim ln lim lim lim()011x x x x x x x x x x x x x ++++→→→→=?===-=-；所以sin 0

lim x

x x +

→1=

（12）令tan 11ln ,ln tan ln

cot x

y y x x x x

==?=-

0001

sin lim ln lim lim 1csc x x x x x y x x

+++→→→=-==-，tan 001lim 1x x e x +→??== ???；（13）20000cos lim cot 2lim

limcos 2lim sin 2sin 2x x x x x x x x x x x x →→→→?==?=1

；

（14）令2351x

y x x ??

=++ ???

，

223535ln 135lim ln lim lim lim 311x x x x x x x x x y x

x x

→∞→∞→∞→∞??+++ ?+??

==== 所以3235lim 1x

x e x x →∞

++= ???

；

（15）22(π2arctan )2ln lim (π2arctan )ln lim lim 1

1ln x x x x x x

x x x x →+∞→+∞→+∞-?-==+

2ln 2ln ln 11

lim

2lim 2lim 0x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞++====。 2．解：（1）e e lim e e x x x x

x --→∞-+不存在，故不能用洛必达法则.

（2）20001

sin

1lim

lim lim sin 100sin sin x x x x x x x x x x

→→→=??=?=，而若用洛必达法则：有

20001111112sin cos sin 2sin cos lim lim lim

sin cos cos x x x x x x x x x x x x x x x x

→→→??+-- ?

??== 该极限不存在，但20

sin

lim

sin x x x x

→∴存在，故不能用洛必达法则得出。

（3）不是未定式。

3.解：1

lim ()lim e e x x f x --

→→==，

ln(1)1000(1)lim ()lim

lim e e

x x

x x x x f x ++++-→→→?

?+??==?????

0001

ln(1)1ln(1)1lim lim

lim

2(1)

e x x x x x

x x

x x x x

→→→+--+--

+====

所以0

lim ()x f x -

→1

lim ()e (0)x f x f +-

→===，由连续的定义知()f x 在0x =处连续。

习题3-4

1.单调减少.

2.解：（1）单调增区间(,1],[3,)-∞-+∞；单调减区间[1,3]-；（2）单调增区间[1,2]；单调减区间[0,1]；（3）单调增区间(,1],-∞；单调减区间[1,]+∞；（4）单调增区间[0,2]；单调减区间(,1),

(1,0],[2,)-∞--+∞；

（5）单调增区间2,

,[,)3a a ?

?-∞+∞ ???；单调减区间2,3a a ??????

；（6）单调增区间πππ,223k k ??+?

???

；单调减区间ππππ,(0,1,2,)2322k k k ??

++=±±?

?. 3．(1)解：设sin ()x f x x =

，则2(tan )cos ()002x x x f x x x π-?

?'=<<< ??

?。令

()tan ,0,2g x x x x π??=-∈ ???

，则2()tan 0,0,2g x x x π??

'=-<∈ ???，故

()g x 在0,2π?? ???内严格递减，又()g x 在0x =处连续，且(0)0g =，故在0,2π??

???内

()0g x <，即tan 0x x -<，所以当0,2x π??

∈ ???

时，()0f x '<。从而()f x 在

0,2x π??

∈ ???内严格递减。由于0sin lim 1x x x →=。所以

sin

sin 212

x x π

π<<，即

2sin ,0,2x

x x x ππ??

<<∈ ???

。（2）设2()ln(1)2x f x x x =+-+，则2

()0(0)1x f x x x

>>+从而当0x >时，()f x 严格递增。

又()f x 在0x =处连续，且(0)0f =，所以当0x >时，()0f x >，即2

ln(1)2

x x x +>-。

设()ln(1),0g x x x x =-+>。同理可证，当0x >时，()0g x >，即

ln(1)x x >+。综合上述结果可得，当0x >时，有

ln(1)(0)2

x x x x x -<+<>。

（3）令3

1()tan 3

f x x x x =--

，所以 2222()sec 1tan 0,02f x x x x x x π?

?'=--=-><< ??

?，故

()f x 在0,2π??

????

内单调递增，所以()(0)0f x f >=，即

tan 3

x x x >+。

（4）

令1()3f x x =+，

则21()f x x '=-=，当1x >时()0f x '>，即()f x 在[)1,+∞上单调增加，所以()(1)0f x f >=，即

3(1)x x

>。

4.解：令()ln f x x ax =-，所以11()ax f x a x x -'=

，所以当1,x a ?

?∈-∞ ??

?时，()0f x '>；

当1,x a ??∈+∞ ???时，()0f x '<。所以()f x 在1,x a ?

?∈-∞ ??

?内单调递增，在1

,a ??+∞????内单调递减，又

11ln 1ln 1f a a a ??=-=-- ???，所以当1,x a ?

?∈-∞ ??

?时，

1()ln 1f x f a a ??<=-- ???，当1,x a ??∈+∞ ???时，1()ln 1f x f a a ??

<=-- ???

，

所以当ln 10a --=，即1

a e

=时，方程只有一个实根：x e = 当ln 10a --<，即1a e >时，方程没有实根。当ln 10a -->，即1

a e

<时，方程有2个实根。 5.解：（1）在1,

?-∞ ???凸，在1,2??+∞ ???凹，113,22??

???

为拐点.

（2）在(,0)-∞凸，在()0,+∞凹，无拐点. （3）没有拐点，处处是凹的.

（4）,?

-∞ ?与 ?+∞???为凹，为凸，34?? ? ???与34????

为拐点

（5）在()1,+∞与(,1)-∞-凸，在(1,1)-凹，(1,ln 2),

(1,ln 2)-为拐点.

（6）在1,2??-∞ ???内是凹，在1,2??+∞????凸.1arctan 2

1,2e ?? ???

为拐点.

6．解：（1）令()n

f x x =，则1

2(),()(1)n n f x nx

f x n n x --'''==-，所以当0x >且

1n >时，()0f x ''>。即()n f x x =在[)0,+∞内为凹的。∴由凹函数的定义，知：

对x y ?≠，有：

()()22x y f x f y f ++??< ???，即()

122n

n n

x y x y +??+> ???

。

（2）设e x

y =，则e 0,(,)x

y x ''=>∈-∞∞。故y 为(,)-∞∞上凹函数，从而对

121

,,2

x a x b λ===

，有 211211111()1()2222y x x y x y x ??????

+-≤+- ? ? ???????

即 2

(e e )2

a b

+≤

+。 7．解：()

221

,1x x y x --+'=

()

22(1)(41)

1x x x y x -++''=

+()

22(1)(2(21x x x x ????---+--????=+

令0y ''=

解得：1231,22x x x ==-=-

(,2x ∈-∞-时，

0y ''<

，当(22x ∈--+时，0y ''>

；当()

2x ∈-时，0y ''<；

当()1,x ∈+∞时，0y ''>

故11x =时，11y =

；22x =-时

，2y =

；32x =-时

，

3y =，即

(1,1),2?- ?

，2?-+ ?是曲线21

x y x +=

+的三个拐点，很容易验证这三点在同一条直线上。 8.解：3

y ax bx =+，所以2

32,62y ax bx y ax b '''=+=+若()1,3为曲线的拐点，则满足

(1)3(1)620f a b f a b =+=??

''=+=?

解得：39

,22a b =-=。.

9.解：函数()y f x =在0x x =的某邻域内有三阶连续导数。用泰勒公式得

23000000()()

()()()()()()(2!3!

f x f f x f x f x x x x x x x ξξ''''''=+-+

-+-在0x 与x 之间）又已知00()()0f x f x '''==，所以300()

()()()3!f f x f x x x ξ'''=+-，由于

0()0f x '''≠，且()f x '''连续，则在0x 充分小的邻域内，()0f x '''≠，特别()0f ξ'''≠，

不妨设()0f ξ'''>连续（()0f ξ'''<，证明类似），则当0x x <时，0()()f x f x <。当0x x >时，0()()0f x f x ->，即0()()f x f x >，()f x ''在0x 两侧变号，故0x x =时，不是极值点，又由拉格朗日中值定理得

00()()()()f x f x f x x ξ'''''''-=-，（ξ在在0x 与x 之间），

同样不妨设()0f ξ'''>则当0x x <时，0()()0f x f x ''''-<，即0()()0f x f x ''''<=，当0x x >时，0()()0f x f x ''''->，即0()()0f x f x ''''>=，()f x ''在0x 两侧变号，故00(,())x f x 为拐点。

习题3-5

1.解：（1）令2

()640f x x x '=-=，解得1230,2x x ==

，又3902f ??

''=-< ???

，所以在32x =

处()f x 有极大值327

216

y ??= ???，由于当U (0,1)x ∈时，()0.f x '>故在0x =的邻域内()f x 严格递增，所以在0x =处()f x 不能取得极值；（2）

y x R '=

（3）22222

(64)(1)(344)(21)2(1)(1)x x x x x x x x

y x x x x +++-+++--'==++++

令120,0,2y x x '===-，322

2621324x x y x +-''=

??++ ??

?，(0)0y ''<。故(0)4y =为极

大值，又(2)0y ''->，故8

(2)3

y -=为极小值；（4

）极小值1ln 22y ??

-= ???

（5）令2

(2ln )ln ()0x x f x x

-'=

=，得2

1,e x =。因为当01x <<时，()0f x '<；当2

1e x <<时，()0f x '>；当2

e x >时，()0

f x '<，所以()f x 在1x =处有极小

值(1)0f =，在2

e x =处有极大值2

(e )4e f -=。

（6）令2

1()01x

f x x

-'=

=+，得1x =。由于当1x >时，()0f x '<；当1x <时，()0f x '>，所以()f x 在1x =处有极大值π2ln 2

(1)4

f -=

. 2.略.

3.解：()cos cos3f x a x x '=+，若此函数在3

x π

处为极值点，则03f π??

???

即cos

cos 3033a π

π??

+?= ???

，解得2a =，这时 3

()sin 3sin 3(2)sin

3sin 3033x x f x a x x πππ

π==??

''=--=--?< ???

所以03

x π

为极大值点，且极大值点为3f π??

???

4.解：（1）令4

520155(1)(3)0y x x x x x x '=-+=--=得

0,1,3.3[1,2]x =?-，舍去。而(0)0y =，(1)10y -=-，(1)2y =，(2)7y =-，

所以函数在1x =处取得最大值(1)2y =，在1x =-处，取得最小值(1)10y -=-；

（2）令2

2sec (1tan )0y x x '=-=，得0,42x π

π??

∈????

。由于 (0)0,14y y π??

== ???且22

lim (2tan tan )x x x π-→

-=-∞，所以函数在4x π=处取得最大

值π14y ??

???

，无最小值；（3）最大值35

y ??=

???

，最小值(5)5y -=； 5．证明（1）设()(1)p

f x x x =+-，令1

1()(1)0p p f x px p x --'=--=，解

得12x =

；2

2(1)(1)(1)p p y p p x

p p x --''=-+--，102y ??''> ???

，(1)1,(0)1,f f == 11122

p f -??

= ???为最小值，故[0,1]x ?∈，原不等式 1

1(1)1

(01,1)2

p p p x x x p -≤+-≤≤≤>

成立。

（2）设()(1)e ,()e (1)e 0x x x

f x x f x x '=-=-+-=解得0x =，

()e e e (1),(0)10x x x f x x x f ''''=--=-+=-<，函数()(1)e x

f x x =-在定义域内

有一个驻点且为最大值点，即(0)1f =，所以(1)e 1x

x -≤在整个定义域上成立。

6.解：2

54()y f x x x ==-

，令254

20y x x

'=+=，解得：3x =-，又因为3108

()2,(3)60f x f x

''''=-

-=>，所以()f x 在3x =-处取得极小值。即()f x 在3x =-处取得最小值27.

7.解：2

()1

y f x x ==

+，令22(1)(1)0(1)x x y x +-'=-=+，解得：121,1x x ==-，又1

(1),(1),(0)022

f f f -=-=

=比较上述各值，得：()f x 在1x =处取得最大

值

. 8.解：设两线段长为,x l x -，则矩形面积为(),(0,)S x l x x l =-∈。令

120,S x '=-=得2l x =

。又20S ''=-<，故2l

x =是S 的唯一极大值点。又在端点处0S =，从而2l x =就是最大值点。所以当两线段的长均为2

，矩形面积最大.

9.解：设底半径为R ，高为h ，则体积为

2V R h π=

表面积为

222V

R 2Rh R R

S πππ=+=+

令2

2R 0R S π'=-

=，得R h =。所以，当底半径与高的比例为1:1时，容器的表面积为最小。

10.解：由题意，知：2

1522x xy π??

=+ ???截面的周长：122C x y x π=++，由

1522x xy π??=+ ???，得：211

58y x x

π??=- ???，把其代入122C x y x π=++，得：

10111101424C x x x x x x πππ??

-+=++ ???

，令2110()104C x x π'=+-=，

得： 2.366(m)x =≈（负值舍去）又因为320

()0C x x ''=>（当0x >时）

所以当 2.366(m)x =≈时，其截面的周长最小。 11.解：设房租为x 元，获得的收入设为()f x ，则租出去的公寓目为：

10003500505050

x x

---

=，由题意知： 23500360035000

()(100)5050

x x x f x x --+-=?-=

令23600()050x f x -+'=

=。得：1800x =。又因为1

()025

f x ''=-<，所以当

1800x =时，()f x 取得最大值，即房租定为1800元时，可获得最大收入。

习题3-6

1.（1）定义域为(,)-∞+∞，在(,5),(1,)-∞-+∞为单调增加；在(5,2),(2,1)---为单调减少；

在(,5),(5,2)-∞---内是凸的，在(2,1),(1,)-+∞为凹的，拐点(2,26),(5)80f --= 极大值，(1)28f =-极小值.

（2）定义域为1π(0,1,2,)24k x k ??

≠+=±±

???

；周期为2π；图形对称于y 轴；在[0,]π部分：在ππ3π3π0,

,,,,π4444??????? ? ????????内单调增加；在π0,4??????

内是凹的，在ππ,42?? ???内是凸的，在π3π,24??????内是凹的，在3π,π4?? ???内是凸的；拐点π,02??

???

；极小值(0)1y =，极大值()1y π=-；铅直渐进线π3π

,44

x x =

. (3)略，（4）略. 2.略.

习题3-7

1.解：由1

y x =

，得 2312

,y y x x

'''=-=因此，111,2x x y y =='''=-=把它们代入曲率公式，使得曲

线1xy =在点(1,1)处的曲率为

[1(1)]

k =

+- 2.解：11(),()22

x x x x

y e e y e e --'''=-=+，因此，000,1x x y y =='''==把它

们代入曲率公式，得1k =.

3.解：显然sec 0x >

(sec )tan ,sec sec y x x y x x

''''=

?==，故曲线在点(,)x y 处的曲率为：233222

sec cos (1)

(1tan )

y x K x y x ''=

='++，曲率半径为|sec |x ρ=。

4．解：

232()3cos sin ,()3(cos 2cos sin )x t a t t x t a t t t '''=-??=--

2()3sin cos .y t a t t '=?? 23()3(2sin cos sin )y t a t t t ''=-，∴曲线在0t t =处的曲

率为：

000032

00()()()()2

3sin 2{[()][()]}

x t y t x t y t k a t x t y t ''''''?--=

''+.

5.解：2,2y ax b y a '''=+=代入曲率公式，得

322

|2|[1(2)]

a k ax

b =

由k 容易看出，当20ax b +=，即2b

x a

=-时，k 的分母最小，因而k 有最大值2a 。而2b

x a

所对应的点为抛物线的顶点。因此，抛物线在顶点处的曲率最大。即，在顶点处的曲率半径最小，322

[1(2)]

|2|

ax b a ρ++=

6．解：因为1,x x y sh y ch a a a '''==?，所以曲线x

y ach a

=在点(,)x y 处的曲率半径为

()

222

22111x ch y x y a R a ch x K y a a ch a a

?? ?'

+??==

==?=''

?。 7.解：将e x

y y '''==代入曲线的曲率公式得

()

33222

e 1(1e )

x x y K y ''

'++

为求K 的最大值，可将K 变化为

第3章自测题及参考答案

第3章自测题及参考答案一、名称解释 1．需求分析2．当前系统 3．目标系统4．SA 5．DFD 二、填空题 1．需求分析阶段产生的最重要的文档是_________。 2．为解决一个复杂问题，往往采取的策略是__________。 3．SA方法中使用半形式化的描述方式表达需求，采用的主要描述工具是__________。4．数据流图中有四种符号元素，它们是__________。 5．数据字典中有四类条目，分别是___________。 6．在IDEF0图中，表示系统功能的图形称为___________图形。 7．在画分层的DFD时，父图与子图的输入输出数据流要__________。 8．用于描述基本加工的小说明的三种描述工具是_______________。 9．IDEF0是建立系统_________模型的有效方法。 10．在IDEF0方法中，被标志为A—0的图称为系统的_________图。三、选择题 1．分层DFD是一种比较严格又易于理解的描述方式，它的顶层图描述了系统的( )。 A．细节B．输入与输出C．软件的作者D．绘制的时间 2．需求规格说明书的内容还应包括对( )的描述。 A．主要功能B．算法的详细过程C．用户界面及运行环境D．软件的性能 3．需求规格说明书的作用不应包括( )。 A．软件设计的依据B．用户与开发人员对软件要做什么的共同理解 C．软件验收的依据D．软件可行性研究的依据 4．SA方法用DFD描述( ) A．系统的控制流程B．系统的数据结构 C．系统的基本加工D．系统的功能

5．一个局部数据存储只有当它作为( )时，就把它画出来。 A．某些加工的数据接口B．某个加工的特定输入 C．某个加工的特定输出D．某些加工的数据接口或某个加工的特定输入/输出 6．对于分层的DFD，父图与子图的平衡指子图的输入、输出数据流同父图相应加工的输入、输出数据流( )。 A．必须一致B．数目必须相等C．名字必须相同D．数目必须不等 7．需求分析阶段不适用于描述加工逻辑的工具是( )。 A．结构化语言B．判定表C．判定树D．流程图 8．SA方法的分析步骤是首先调查了解当前系统的工作流程，然后( )。 A．获得当前系统的物理模型，抽象出当前系统的逻辑模型，建立目标系统的逻辑模型B．获得当前系统的物理模型，抽象出目标系统的逻辑模型，建立目标系统的物理模型C．获得当前系统的物理模型，建立当前系统的物理模型，抽象出目标系统的逻辑模型D．获得当前系统的物理模型，建立当前系统的物理模型，建立目标系统的物理模型9．SA方法的基本思想是( ) A．自底向上逐步抽象B．自底向上逐步分解 C．自顶向下逐步分解D．自顶向下逐步抽象 10．初步用户手册在( )阶段编写。 A.可行性研究B．需求分析C．软件概要设计D．软件详细设计四、简答题 1．什么是需求分析？该阶段的基本任务是什么？ 2．简述结构化分析方法的步骤。 3．数据流图与数据字典的作用是什么？画数据流图应注意什么？ 4．简述SA方法的优缺点。 5．简述建立IDEF0图的步骤。五、应用题 1．某电器集团公司下属一个成套厂(产品组装)和若干零件厂等单位，成套厂下设技术科、

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

第三章练习题答案

第三章练习题一、判断正误并解释 1.所谓商品的效用，就是指商品的功能。分析：这种说法是错误的。商品的效用指商品满足人的欲望的能力，指消费者在消费商品时所感受到的满足程度 2.不同的消费者对同一件商品的效用的大小可以进行比较。分析：这种说法是错误的。同一个消费者对不同商品的效用大小可以比较。但由于效用是主观价值判断，所以同一商品对不同的消费者来说，其效用的大小是不可比的。 3.效用的大小，即使是对同一件商品来说，也会因人、因时、因地而异。分析：这种说法是正确的。同一商品给消费者的主观心理感受会随环境的改变而改变。 4.边际效用递减规律是指消费者消费某种消费品时，随着消费量的增加，其最后一单位消费品的效用递减。分析：这种说法是错误的。必须在某一特定的时间里，连续性增加。5.预算线的移动表示消费者的货币收入发生变化。分析：这种说法是错误的。只有在收入变动，商品价格不变，预算线发生平移时，预算线的移动才表

示消费者的收入发生了变化。 6.效应可以分解为替代效应和收入效应，并且替代效应与收入效应总是反向变化。分析：这种说法是错误的。正常物品的替代效应和收入效应是同向变化的。二、选择 1.当总效用增加时，边际效用应该：（A ） A.为正值，但不断减少； B.为正值，且不断增加； C.为负值，且不断减少； D.以上都不对２.当某消费者对商品Ｘ的消费达到饱合点时，则边际效用ＭＵχ为：（C ）Ａ.正值Ｂ.负值Ｃ.零Ｄ.不确定３.正常物品价格上升导致需求量减少的原因在于：（C ）Ａ.替代效应使需求量增加，收入效应使需求量减少；Ｂ.替代效应使需求量增加，收入效应使需求量增加；

高等数学试题及答案新编

《高等数学》一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）

第三章自测题答案 (1)

混凝土结构设计——复习资料三一、选择题（每小题2分） 1.一般情况下，风荷载作用下的多层多跨框架（） A.迎风面一侧的框架柱产生轴向压力 B.背风面一侧的框架柱产生轴向拉力 C.框架外柱轴力小于内柱轴力 D.框架内柱轴力小于外柱轴力 2.关于伸缩缝、沉降缝、防震缝，下列说法中，不正确．．．的是（） A.伸缩缝之间的距离取决于结构类型和温度变化情况 B.沉降缝应将建筑物从基顶到屋顶全部分开 C.非地震区的沉降缝可兼作伸缩缝 D.地震区的伸缩缝和沉降缝均应符合防震缝要求 3.非抗震设计的现浇框架，混凝土强度等级不宜低于（） A.C30 B.C20 C.C15 D.C10 4.关于框架结构的弯矩调幅，下列说法中正确的是（） A.调幅是对水平荷载作用下的内力进行的 B.先与水平荷载产生的内力进行组合，再进行弯矩调幅 C.现浇框架梁端的调幅系数大于装配整体式框架梁端的调幅系数 D.调幅是对柱端弯矩进行的 5.水平荷载作用下的多层框架结构，在其它条件不变时，某层的（） A.上层层高加大，则该层柱的反弯点上移 B.上层层高减小，则该层柱的反弯点上移 C.下层层高加大，则该层柱的反弯点上移 D.本层层高减小，则该层柱的反弯点下移 6.多层框架底层柱的计算长度（） A.应取基础顶面到二层横梁底面之间的距离 B.应取基础顶面到二层楼板顶面之间的距离 C.应取室外地面到二层楼板顶面之间的距离 D.应取基础顶面到二层楼板底面之间的距离 7.关于在框架梁端设置箍筋加密区的目的，下列说法中错误．．的是（） A.约束混凝土 B.提高梁的变形能力 C.满足抗剪承载力要求 D.增加梁的延性 8.在用D值法计算框架结构时，与框架柱标准反弯点高度比无关．．的因素是（）

高数题库

武科院试题一、填空题（4×3分=12分） 1．设 )(0x f '存在，则=--+→h h x f h x f h ) 3()2(lim 000 2. 函数 593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值为 . 3. 逐次积分? ?=x x dy y x f dx I 22 ),(更换积分次序后为_______________________. 4. 微分方程06'''=--y y y 的通解为 . 二、单项选择题（4×3分=12分） 1．设函数)(x f 在0x x =处连续，若0x 为)(x f 的极值点，则必有（A ）0)(0='x f （B ）0)(0≠'x f （C ）0)(0='x f 或)(0x f '不存在（D ）)(0x f '不存在 2．设 )(x f 是[0，+∞]上的连续函数，0>x 时，])([ 0'? dt t f x = (A))(x f - (B))(x f (C))(t f (D))(t f - 3、已知三点)1,0,1(-A ，)0,2,1(B -，)1,2,1(--C ，则 =? （A ）63 （B ） 62 （C ）26 （D ）36 4、函数x e xy u +=2在点（1,1）处的梯度为_______ （A ）)1,2(e + （B ） )1(2e + （C ）)1(2e + （D ）)2,1(e + 三、计算题（每小题7分，共56分） 1．计算极限 12cos 1lim 21 +-+→x x x x π 2. 求曲面 3=+-xy z e z 在点)0,1,2(处的切平面及法线方程. 3．设 y x z arctan =，而v u y v u x -=+=,，求v u z z , 4. 设()()? ? ?-=-=t y t t x cos 14sin 2，求22dx y d 5. 计算不定积分 ?dx x 2ln 6. 计算二重积分σd y x D ??22 ，其中D 是由直线2=x ，x y =及曲线1=xy 在第一象限内所围成的闭区域. 7. 求微分方程x xy dx dy 42=+的通解. 8. A , B 为何值时，平面054:=-++z By Ax π垂直于直线t z t y t x L 22,35,23:--=-=+=？四、（10分）求抛物线342-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的图形的面积. 五、（10分）设)(x f 在[1x ，2x ]上可导，且0＜1x ＜2x ，试证明在（1x ，2x ）内至少存在一点ξ，使 )(')() ()(2 11221ξξξf f x x x f x x f x -=-- 高等数学试题一、填空题（每小题3分共15分） 1 .2arccos x y = 则=)0(/y _________. 2. 设x e x f arctan )(=,则=)(x df _______________.

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

高等数学试题及答案91398

《高等数学》一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ）、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin

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高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

环境监测第三章练习题答案

环境监测第三章练习题答案一、名词解释 1、辐射逆温答：平静而晴朗的夜晚，地面因辐射而失去热量，近地气层冷却强烈，较高气层冷却较慢，形成从地面开始向上气温递增的现象。 2、硫酸盐化速率答：由大气中的含硫污染物二氧化硫、硫化氢、硫酸等经过一系列的氧化演变过程生成对人类更为有害的硫酸雾和硫酸盐雾，大气中硫化物的这种演变过程的速率称为硫酸盐化速率。 3、二次污染物答：由污染源排放到空气中的一次污染物，在空气中相互作用或者与空气中的组分发生了物理、化学等作用所产生的新的污染物。 4、山谷风答：山区往往山坡受热强，谷底受热弱，使得地表受热不均，引起局部气流有规律的变化，在白天，山坡受热快，气温上升，谷底的气流沿山坡上升，形成谷风；夜间，山坡空气冷却较快，重力原因，山坡的空间沿坡下滑至谷底，产生山风。山谷风转换时往往造成严重的空气污染。 5、海陆风答：海洋由于大量水的存在，温度变化缓慢，而陆地表面温度变化剧烈。因此，在白天形成海洋指向陆地的气压梯度，形成海风；在夜间陆地表面温度降低的比较快，形成陆地指向海洋的气压梯度，形成陆风，即海陆风。海陆风形成所产生的循环作用和往返作用加重环境污染。 6、空气污染指数答：空气污染指数是一种向社会公众公布的反映和评价空气质量状况的指标。它将常规监测的几种主要污染物浓度经过处理简化为单一的数值形式，分级表示空气质量和污染程度，具有简明、直观和使用方便的优点。 7、光化学氧化剂答：除去氮氧化物以外的能氧化碘化钾的物质。二、填空题 1、大气层分为，对流层、平流层、中间层、热层、散逸层，其中，大气污染物的迁移和转

化主要发生在对流层。 2、产生急性危害必须满足两个条件：短时间内有大量污染物排入、有不利于污染物迁移和扩散的条件（如天气形势和地理地势引起的逆温）。 3、直接从污染源排放到空气中的有害物质称为一次污染物，经过发生作用，产生一些新的物质，这些物质和直接排放的污染物的物理化学性质均有很大不同，毒性也比较大，这些新产生的污染物称为二次污染物。如臭氧、硫酸盐、硝酸盐、过氧乙酰基硝酸酯（PAN）。 4、空气中的污染物按存在状态进行分类，可以分为分子状态污染物、粒子状态污染物。 5、粒子状态污染物（或颗粒物）是分散在空气中的微小液体和固体颗粒，粒径多在0.01-200微米之间，是一个复杂的非均匀体系，通常分为降尘、可吸入颗粒物。 6、PM10是指可吸入颗粒物（或者粒径小于10微米的颗粒物）、TSP是指总悬浮颗粒物。 7、空气污染物的常规监测项目有TSP 、SO2、NO2 、硫酸盐化速率、灰尘自然沉降量。 8、大气采样点应设在整个监测区域的高、中、低三种不同污染物浓度的地方。 9、污染源比较集中的地区，若主导风向较明显，应污染源下风向位置多设采样点。 10、大气采样的布点方法有功能区布点法、网格布点法、同心圆布点法、扇形布点法。 11、对于区域性的常规监测一般采用功能区布点法。 12、如某地区有多个污染源，且分布较均匀，采样的过程中，应采用网格布点法进行布设采样点。 13、网格布点法的监测结果可以绘制成污染物空间分布图，对指导城市环境规划和管理具有重要意义。 14、同心圆布点法适用于多个污染源构成污染群，且大污染源较集中的地区。 15、扇形布点法适用于孤立的高架点源，且主导风向明显的地区。扇形的角度一般为45-90度。 16、采用同心圆和扇形布点法时，要特别注意高架点源排放污染物的扩散特点，在最大地面浓度出现的位置应多布设采样点。

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《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（）

A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、

高等数学上考试试题及答案

四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期）课程名称：高等数学(上)(A 卷) 命题教师：杨勇适用班级：理工科本科考试(考查)：考试 2008年 1 月 10日共 6 页注意事项： 1、满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。试题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )

(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）

概率论答案第三章测试题

第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律；（2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。解（2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他（1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。解（1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为：求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律（2）

4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。解（1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x

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华中师大学网络教育《高等数学》练习测试题库一．选择题 1.函数y=1 12+x 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( )

A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续

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高等数学（下）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共15分）（1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为（2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝（4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交（2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值得分阅卷人

第3章《自测题、习题》参考答案

第 3 章场效应管及其基本放大电路自测题填空题 1．按照结构，场效应管可分为。它属于型器件，其最大的优点是。 2．在使用场效应管时，由于结型场效应管结构是对称的，所以极和极可互换。MOS 管中如果衬底在管内不与极预先接在一起，则极和极也可互换。 3．当场效应管工作于线性区时，其漏极电流D i 只受电压的控制，而与电压几乎无关。耗尽型D i 的表达式为，增强型D i 的表达式为。 4．某耗尽型MOS 管的转移曲线如题3.1.4图所示，由图可知该管的DSS I = ，U P = 。 5．一个结型场效应管的电流方程为 2GS D 161(mA)4U I ??=?- ?? ?，则该管的DSS I = ， U P = ；当GS 0u =时的m g = 。 6．N 沟道结型场效应管工作于放大状态时，要求GS 0u ≥≥ ，DS u > ；而N 沟道增强型MOS 管工作于放大状态时，要求GS u > ，DS u > 。 7．耗尽型场效应管可采用偏压电路，增强型场效应管只能采用偏置电路。 8．在共源放大电路中，若源极电阻s R 增大，则该电路的漏极电流D I ，跨导m g ，电压放大倍数。 9．源极跟随器的输出电阻与和有关。答案：1．结型和绝缘栅型，电压控制，输入电阻高。2．漏，源，源，漏，源。 3．GS u ，DS u ，2GS D DSS P 1u i I U ??=- ???，2GS D DO T 1u i I U ??=- ??? 。4．4mA ，?3V 。5．16mA ，题 3.1.4图

4V ，8ms 。6．p U ，GS P u U -，T U ，GS T u U -。7．自给，分压式。8．减小，减小，减小。9．m g ，s R 。选择题 1．P 沟道结型场效应管中的载流子是。 A ．自由电子； B ．空穴； C ．电子和空穴； D ．带电离子。 2．对于结型场效应管，如果GS P |||U U >，那么管子一定工作于。 A ．可变电阻区； B ．饱和区； C ．截止区； D ．击穿区。 3．与晶体管相比，场效应管。 A ．输入电阻小； B ．制作工艺复杂； C ．不便于集成； D ．放大能力弱 4．工作在恒流状态下的场效应管，关于其跨导m g ，下列说法正确的是。 A ．m g 与DQ I 成正比； B ．m g 与2GS U 成正比； C ．m g 与DS U 成正比； D ．m g 成正比。 5．P 沟道增强型MOS 管工作在恒流区的条件是。 A ．GS T u U <，DS GS T u u U ≥-； B ．GS T u U <，DS GS T u u U ≤- ； C ．GS T u U >，DS GS T u u U ≥-； D ．GS T u U >，DS GS T u u U ≤-。 6．某场效应管的DSS I 为6mA ，而DQ I 自漏极流出，大小为8mA ，则该管是。 A ．P 沟道结型管； B ．增强型PMOS 管； C ．耗尽型PMOS 管； D ．N 沟道结型管； E ．增强型NMOS 管； F ．耗尽型NMOS 管。 7．增强型PMOS 管工作在放大状态时，其栅源电压；耗尽型PMOS 管工作在放大状态时，其栅源电压。 A ．只能为正； B ．只能为负； C ．可正可负； D ．任意。 8．GS 0V U =时，能够工作在恒流区的场效应管有。 A ．结型管； B ．增强型MOS 管； C ．耗尽型MOS 管。 9．分压式偏置电路中的栅极电阻g R 一般阻值很大，这是为了。 A ．设置静态工作点； B ．提高输入电阻； C ．提高放大倍数。答案：1．B 。2．C 。3．D 。4．D 。5．B 。6．C 。7．B 、D 。8．A 、C 。9．B 。判断题 1．对于结型场效应管，栅源极之间的PN 结必须正偏。（） 2．结型场效应管外加的栅源电压应使栅源间的耗尽层承受反向电压，才能保证其GS R 大的特点。（）

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