线性代数11-12A卷

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内不要答题 密封线内不要答题

江 苏 科 技 大 学 2011－2012学年第2学期

线性代数课程试题 (A)卷

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。

1. 在四阶行列式中，第三列元素依次为1,0,2,1-，它们的余子式．．．依次为4,7,3,5-，则=D ( ) A 、-3 B 、-5 C 、-15 D 、5

2、x

x

x x x

x f 1

11

12

3111212)(-=

中3

x 的系数为( )

A 、1

B 、2

C 、-1

D 、-2

3. 设方阵????? ??------=124242421A 相似于对角矩阵???

?

?

?

?-45

t ,则=t _______. A 、-4 B 、5 C 、1 D 、-2 4. 若()(),2n n R A n n ?=≥，则()=*

A

R ( )

A 、0；

B 、1；

C 、n -1；

D 、n

5．设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1

2)2

3(

-A 的特征值之一为( ) A 、34 B 、38 C 、6 D 、6

1．

6.设向量组()T 1011=α，()T 1002=α，下列向量中是21,αα的一个线性组合的为( )

题号 一 二 三 四 总分 得分

A 、()T 403

B 、()T 430-

C 、()T 011

D 、()T 010-

7．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ ）

（A ）111010001?? ? ? ??? （B ） 200020002?? ? ? ??? （C ）108010001?? ? ? ??? (D).108018001?? ? ? ???

8．设12(,,,),()m A R A m ααα== ，则（ ）． （A ）1α可由m ααα,,,32 线性表示； （B ）m ααα,,,21 中有零向量；

（C ） m ααα,,,21 中至少有一个向量可由其余的向量线性表出； （D ）向量组m ααα,,,21 线性无关

9. 已知向量T

-=)4,2,1,1(α与向量T

-=)1,,2,0(k β正交，则=k （ ） （A ）．1 （B ）．2 （C ）．3 (D)．4 10、设A 是n 阶方阵，A 经过若干次初等列变换变为矩阵B ，则（ ）． （A ）A B =； （B ）存在可逆矩阵P ，使PA B =； （C ）存在可逆矩阵P ，使PB A =； （D ）存在可逆矩阵P ，使BP A =．

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

11．.已知四阶行列式D 中第一行的元素分别为3,1,2,1-，第3行的元素的余子式依次为

2,,4,3-x ，则=x ___________________

12．设3阶矩阵A=100050002??

?

? ???

，则1A -=_____________.

13．已知向量)9,7,5,3(=α，)0,2,5,1(-=β，如果2αξβ+=,则ξ =___ _

14．设212

322221

3212),,(x x x k kx x x x x f +++=是正定二次型,则k 的取值区间为

15．设A 为3阶方阵,*

A 为伴随矩阵,81=A ,则*1

831A A -??

? ??-=_________

16．已知三阶矩阵A 的特征值为1，-2,3，则1

A -=_____________

17．设A 是n 阶正交矩阵,1-=A ,则

()

=*T

A

18. 若????

? ??=t A 31322101,且()3=A R ,则t 的取值范围_________

19. 已知0222=++I A A ,则=+-1)(I A (其中I 是n 阶单位阵)

20. 若A 是实对称矩阵,则属于A 的不同特征值的特征向量一定

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算行列式已知1

01211031

110

1254

D -=

-，计算41424344A A A A +++

22．设4阶方阵A B C ，，满足方程 1

1

(2)T

E C B A C ---=，试求矩阵A ，其中

1

2321

20101230120,0012001200010001B C --????

?

?

- ? ?

==

? ?

? ?

? ??

???

23、确定,a b 的值，使矩阵 A=111

1

13

2130

12

6

35431a b --?? ?

?

? ??

?

的秩为2

24. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵为3，已知

123123133425576ηηηηηη????

????

????=+=????????????

，，是它的三个解向量，且，，求该方程组的通解。

25．设向量组A: ()()()()3,6,2,0,1,3,0,1,3,1,1,2,0,1,4,14321-=--=--==αααα 求向量组A 的秩及一个最大无关组.

26. 求正交变换PY X =,将二次型

3231212

32

22

1222222x x x x x x x x x f ---++= 化为标准形,并写出其标准形.

四．证明(6分)

27. 设n n ααβααβαβ++=+== 121211,,,且n αα,,1 线性无关,

证明:n ββ,,1 线性无关

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） CCBDDACDCD

二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）

1；10010

05100

2?? ? ?

? ? ? ??

?

；（-5，5，-3，-9）

；1k > ；64；16-；A -；25

≠t ；()A I -+；正交（无关）

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．解：41424344A A A A +++=

1

012110311101

111-

21313243

41

42

101210121012011

5

01

1

5

01151010200170017

0101

0016

00

1r r r r r r r r r r r r +-----=

=

==---------

22 因为1

)2()2(--==-B C A E A B C T T ，

所以 ??????

?

??---=12100121001

20001

A 23、解：21

41351111

11111

13213012630126

3012635431012650,2

r r r r a a b b a b --????????-----?

??

????→?????

???-----????

∴==

24、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵为3，已知

123123133425576ηηηηηη????

????

????=+=????????????

，，是它的三个解向量，且，，求该方程组的通解。

解：

1223134()3,00015532301010515157R A Ax x x Ax c x x ηηη=∴=???????? ? ? ? ?-- ? ?

? ?+-==∴=+ ? ? ? ?-- ? ? ? ?--????????

的基础解系是一个向量。

为的基础解系。

25、令),,,(4321αααα=A ，则

??

???

??

?????-→?????????

???-----==000

0310*******

013130631120140121),,,(4321ααααA 因而3)(=A r ，321,,ααα构成一个极大无关组，且3214

32αααα+-=

26. 将二次型f 化成矩阵

????

?

?????------=211121112A ，显然A 为实对称阵，可以正交对角化的，即

由特征方程0||=-E A λ，得01=λ，33,2=λ

当01=λ 对应的特征向量为T

)1,1,1(1=α，标准化为T )1,1,1(3

1

1=η；

当33

,2=λ 对应的特征向量为T )0,1,1(2-=α和T )1,0,1(3-=α

正交化T

)0,1,1(22-==αβ，标准化为T )0,1,1(2

12-=η

T )1,1,0(,,2222333-=?><><-

=ββββααβ，标准化T )1,1,0(2

1

3-=η

因而),,(321ηηη=P ，且2

32233y y f +=

四．证明(6分)

27. 设向量组:A m ααα,,,21 线性无关,证明:向量组11212,,,m αααααα+++ 必

线性无关. 证明：设有数

11212121212212()()0

0m m m m m m m k k k k k k k k k αααααααααααα+++++++=++++++++= 即：（）（）由于，，，线性无关

12212112120000

m m

m m m k k k k k k k k k αααααα+++=??++=??====?

?

?=?∴++++ ，，，线性无关。