第十六届华东杯大学生数学建模邀请赛—污水厂选址问题

污水排放问题

摘要：本文对沿河工厂如何最省建立污水处理站以及当有联合建污水处理站时各厂如何合理分摊费用进行了研究,建立了0-1整数规划[1]最省建站模型和基于shapley法合理分摊费用模型，并对具体问题进行了求解，说明了求解方案的合理性。

对于第一问如何最省建立污水处理站，引入可能建站组合所需费用、组合所需处理的总流量以及0-1决策变量，建立0-1整数规划模型；对于联合建污水处理站各厂如何合理分摊费用，基于合作博弈shapley法[2]合理分配总节省投资，建立合理分摊费用模型。

对于第二问具体建站问题，运用第一问中的模型解得最省建站方案为：第一、二家厂联合建立一个污水处理站，第三家厂单独建立一个污水处理站，总的最少费用为581.1万元，合理费用分摊方案为：第一家厂承担195.5万元，第二家厂承担2.

126万元，第三家厂承担263.1万元。

对于第三问分析方案合理性，在实际情况下，列出所有可能建站方案说明问题二求得的方案是最省的，然后从不同厂家的角度说明分摊费用方案是合理可行的。

关键字：污水处理站选址；0-1整数规划；shapley法

1 问题的重述

随着国民经济的快速发展和结构转型，企业在追求经济效益的同时，越来越重视环境保护问题。如何减少污染物的排放以保护环境，使经济得以稳健及可持续发展，是许多企业亟待解决的重要问题。

假设沿河有若干工厂，每天都会排放一定量的污水，这些污水必须经过处理才能排入河中。通常的解决办法是建造污水处理站，将污水进行处理，使之达到排放标准后再予以排放。

污水处理站可以由每个工厂单独建造，也可以几个工厂联合建造。联合建造时，处理站必须建在下游位置，上游工厂将污水通过管道送往下游的处理站集中处理。处理站的建造费用与污水处理量及铺设的管道总长度有关，表1给出了不同污水处理量和不同管道铺设总长度的建造费用及管道铺设费用。

(1) 请建立适当的数学模型，给出合理的污水处理站建造方案。如果是联合建造，应给出建造费用的分担方法。

(2) 若沿河从上游到下游有A ，B ，C 三家工厂，各厂的排污量分别为4.5 t/s ，2.5 t/s 和6 t/s 。已知AB 之间的距离为20 km ，BC 之间的距离为40 km 。请用你建立的模型给出具体的污水处理站建造方案和费用分担方法。

2 问题的分析

2.1问题一的分析

处理站的建站费用y 由建站费1y 和管道费2y 构成，而建站费1y 只与处理的排污量x 有关，管道费2y 只与管道的长度z 有关。通过表一所给的数据可以拟合出它们各自的函数关系。如果联合建站，污水处理站必须在下游，所以处理站建在最下游的厂的位置才能使总的管道费2y 最省，从而总的建站费y 最省。 综上所述问题转化为如何将厂组合(同一组厂必须连续且相邻)，则污水处理站建立在最下游的厂位置。考虑到组合优化问题计算量随着约束的增加而急剧增长，称为组合爆炸。所以将所有的厂组合情况构造建站组合所需总费用矩阵0A 、建站组合所需处理污水总量矩阵0Q 、联合厂家的总数矩阵0P ，引入0-1决策变量，建立0-1整数规划模型。

对于联合建厂时的费用分摊，引入节省投资的定义，将由联合建造污水处理

站比单独建造节省的费用看做是该厂获得的收益,这样费用分摊问题便可以看作是合作博弈收益分配问题。在合作博弈收益分配问题中，公平、公正是其最重要的特点，shapley 值算法是解决合作博弈收益分配问题的一种较好算法并能考虑到合作团队成员所作贡献及能做到公平公正，故采用shapley 法来合理分配总节省投资，使各个厂的费用承担相对合理 2.2问题二的分析

沿河从上游到下游有A ，B ，C 三家工厂，各厂的排污量分别为4.5 t/s ，2.5 t/s 和6 t/s 。已知AB 之间的距离为20 km ，BC 之间的距离为40 km 。

根据已知数值和实际情况，可以判断第一问中的模型适用于该具体案例，因而将其数据代入模型一当中，可以求出三家工厂建造污水处理站的合理方案；根据所求方案，在有联合建造污水处理站的情况下，可以根据合作博弈shapley 法对总节省投资进行合理的分配，使得参与联合建站的工厂承担的费用相对合理。

2.3问题三的分析

对于问题二中给出的具体的建站方案和费用分摊方案，从所有可能的方案考虑所得建站方案是否最省，从不同厂家的角度分析承担的费用是否合理。

3 模型的假设

(1) 管道规格相同，且能承受足够大的压力； (2) 管道费只与长度有关，可以通过增加处理站的压力提高污水流速达到大排量的要求；

(3)在第i 家工厂建立污水处理站不考虑第i 家工厂的管道费(相对于厂与厂之间的管道长度可以忽略不计)；

(4)各厂家的排污量不会出现特别小以至于不需要建立污水处理站的情况； (5)题中所给数据真实有效。

4 符号说明

i ：沿河上游到下游的工厂编号，其中1,2,,1,i n n =-； j ：联合建立一个污水处理站的厂数，其中1,2,,1,j n n =-，如4j =表示4家工厂联合建立一个污水处理站；

i q ：第i 家工厂的排污量；

i l ：第i 家工厂到第1i +家工厂所需的管道长度；

0A :联合建站时建站组合所需总费用矩阵，且0,()i j n n A a ?=，其中,i j a 表示从第i 家工厂开始沿下游有j 个工厂联合建一个污水处理站的总费用；

0Q ：联合建站时建站组合所需处理污水总量矩阵，且0,()i j n n Q Q ?=，其中,i j Q 表示从第i 家工厂开始沿下游有j 个工厂联合建一个污水处理站所处理的污水总

量；

0P ：联合建站时联合厂家的总个数矩阵，且0,()i j n n P p ?=，其中,i j p 表示从第

i 家工厂开始沿下游有j 个工厂联合建污水处理站；

,i j x ：建污水处理站的位置，其中,01i j x =或，其中,1i j x =表示从第i 家工厂开始沿下游有j 个工厂联合建一个污水处理站，否则,0i j x =；

s :所有厂的组合情况集合为{}1,2,,1,I n n =-,则s I ?为I 的子集，； )(s v :联合(集合s )建造污水处理站比单独建造节约的投资； )/(i s v ：s 集合中除去第i 厂，其他厂联合建造污水处理站比单独建造节约的投资；

i w ：第i 个厂从节省投资中得到的分配； i t ：联合建站时第i 家工厂应该承担的费用；

s ：子集s 中的厂的个数；

i S ：包含所有i 的子集(所有联合建厂方案中包含第i 厂的方案)；

)(s h ：s 决定的权重。

5 模型的建立与求解

5.1处理站建站费用的确立

处理站的建造费用即总费用y 与污水处理量及铺设的管道总长度有关，且为处理站的建站费1y 和管道费2y 之和，即

12y y y =+

下面确立建站费1y 和管道费2y 与排污量x 和管道长度z 之间的关系。 5.1.1建站费的确立

建站费1y 只与处理排污量x 的能力有关，即

1()y f x =

由表一所给数据，在最小二乘准则[3]下拟合函数，拟合结果如图1

5

10

15

050100150200250300

350400450500排污量

建站费

图1 建站费1y 拟合曲线

同时得到拟合优度20.9834R =，拟合效果较好，于是得到拟合函数

0.65182.1y x =

分析拟合的建站费曲线可以得出：

(1)建站费随着处理污水量的增加呈现大致的线性增长；

(2)建站费在排污量小于1 t/s 时的增长速度明显大于排污量大于1 t/s 时的增长速度。

5.1.2管道费的确立

由于采用的管道相同，管道费只与管道的总长度有关。实际上对于单位排量大的管道，由于

Q V A =?

其中Q 为管道单位排量，V 污水流速，A 为管道面积，即使采用相同的管道，也可以提高处理站的处理能力从而提高管道排污的流速达到大排量的要求。所以管道费可以近似为

2()y g z =

其中z 为管道的总长度。

由表一所给数据，在最小二乘准则下拟合函数，拟合结果如图2

10

20

30

40

50

60

70

020406080100120

140160180200管长

管道费

图2 管道费2y 拟合曲线

同时得到拟合优度20.9944R =，拟合效果较好，于是得到拟合函数

1.4620.39y z = 分析拟合的管道费曲线可以得出：

(1)管道费随着管道长度的增加而增加；

(2)管道费的增长率随着管道长度的增大而增大。 5.2问题一模型的建立与求解 5.2.1建造污水处理站问题

设从沿河上游到下游有n 家工厂，1,2,,1,i n n =-为工厂的编号，如5i =表示第5家工厂；i q 表示第i 家工厂的排污量；i l 表示从i 家工厂到第1i +家工厂的距离即管道长度,且0n l =。

引入⑴建站组合所需总费用矩阵0A

1,1

1,21,11,2,12,22,101,11,2,1n n n n n n a a a a a a a A a a a ----????∞??

?

?=??∞∞????∞∞∞??

其中0A 为左上三角矩阵，,i j a =∞表示不存在这种组合情况，否则,i j a 表示从第i

家工厂开始沿下游有j 个工厂联合建一个污水处理站(由问题分析知污水站一定建在联合建厂的最下游厂的位置)的总费用，则

121212

,()+() i j i j i j k k k i

k i

a f q g l +-+-===∑∑

其中1,2,,1,i n n =-，1,2,,1,j n n =-。

⑵建站组合所需处理污水总量矩阵0Q

1,1

1,21,11,2,12,22,101,11,2,1000000n n n n n n Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ----??????

?

?=???????

?

其中0Q 为左上三角矩阵，,i j Q 表示从第i 家工厂开始沿下游有j 个工厂联合建一

个污水处理站(由问题分析知污水站一定建在联合建厂的最下游厂的位置)所处理的污水总量，则

1

11

,i j i j k k i

Q q

+-==

∑

其中1,2,,1,i n n =-，1,2,,1,j n n =-。

⑶联合建站时联合厂家的总个数矩阵0P

012

1121012001000n n n P -????-??

?

?=???????

?

其中0P 为左上三角矩阵，,i j p j =表示从第i 家工厂开始沿下游有j 个工厂联合建

污水处理站，当,i j p 在左上三角。

⑷引入决策变量

, 1 0 i j i j x ?=?

?表示从第家工厂开始沿下游有个工厂联合建一个污水处理站

否则

于是得到决策矩阵,()n n i j n n

X x ??=。

所以沿河n 家工厂建立污水处理站的总费用为

,,11n

n

i j i j i j c x a ===∑∑

约束条件有：

Ⅰ.每个厂有且只需要一个污水处理站，则

,1

1,1,2,

,1,n

i j

j x

i n n =≤=-∑

Ⅱ.建立的污水处理站能覆盖所有的厂家,则

,,11

n

n

i j

i j i j x

p n ===∑∑

Ⅲ.建立所有污水处理站的处理污水量之和等于所有厂家的污水排量之和，则

,,11

n n

i j

i j i j x

Q Q ===∑∑总

其中1

=n i i Q q =∑总为所有厂家的污水排量之和。

综上所述，建立0-1整数规划模型如下：

,,11

min n

n

i j i j i j c x a ===∑∑

,1,,11

,,11, 1 1,2,,1,s.t.0 1 1,2,,1, 1,2,

,1,n

i j j n n

i j i j i j n n

i j i j i j i j x i n n x p n x Q Q x i n n j n n

=====?≤=-???=????=??

==-=-?∑∑∑∑∑总或

5.2.2联合建污水处理站分摊费用问题

假设有m 个厂联合建立一个污水处理站，采用合作博弈shapley 值法来给出合理的费用分摊方案。

记m 个联合建造工厂的集合{}1,2,,1,I m m =- ，?子集I s ?，存在实函数)(s v 满足

121212

()0

()()(),v v s s v s v s s s ?=??

≥+=?? 其中)(s v 为联合(集合s )建厂比单独建厂节约的投资。[]v I ,为m 个厂的节约投资分配方案，)/(i s v 为s 集合中除去第i 厂其他厂联合建厂比单独建厂节约的投资。 记m 个工厂单独建造污水处理厂所需要的总费用为1m

i i c =∑,i c 表示第i 个工厂

单独建造污水站的费用，m 个工厂联合建造费用为c 联，则

11

()

() 1,2,...,m

m

i i i i i i

w c c v I w v i i n ==?=-=???≥=?∑∑ 其中i w 为第i 个厂从节约投资中得到的分配，且

[]()()(/) 1,2,...,i

i s S w h s v s v s i i m ?=-=∑

()!(1)!

()!

m s s h s m --=

其中s 为子集s 中的厂的个数，i S 为所有包含第i 家厂的子集（所有联合建厂方

案中包含第i 厂的方案），()h s 为s 决定的权重。

所以第i 个厂的所需承担的建立污水站的费用i t 为单独建造污水站的费用与节约投资所得分配的差值，即

1,2,,1,i i i t c w i m m =-=-

5.3问题二的求解

沿河从上游到下游有A ，B ，C 三家工厂，各厂的排污量分别为4.5 t/s 、2.5 t/s 和6 t/s ； AB 之间的距离为20 km ，BC 之间的距离为40 km ，即有1,2,3i =，1,2,3j =；1 4.5q =，2 2.5q =，36q =；120l =，240l =。

利用第一问中的0-1整数规划模型给出具体的污水处理站的建站方案，若出现联合建站的情况则利用第一问中shapley 值法来给出合理的费用分摊方案。 5.3.1建造污水处理站的方案

建立联合建站时建站组合所需总费用矩阵0A ，由

121212

,()+() i j i j i j k k k i

k i

a f q g l +-+-===∑∑

其中1,2,3i =，1,2,3j =，得到联合建站时建站组合所需总费用矩阵0A 为

0218.2322.0589.9148.9415.9263.1A ??

??=∞??

??∞∞??

建立联合建站时建站组合所需处理污水总量矩阵0Q ，由

1

11

,i j i j k k i

Q q

+-==

∑

其中1,2,3i =，1,2,3j =，得到联合建站时建站组合所需处理污水总量矩阵0Q 为

0 4.57132.58.50600Q ??

??=??

????

。 建立联合建站时联合厂家的总个数矩阵0P 为

0123120100P ??

??=??

????

引入决策矩阵33X ?

11121333212223313233x x x X x x x x x x ???

??=??

????

其中,01i j x =或，,1i j x =表示从第i 家工厂开始沿下游有j 个工厂联合建一个污水处

理站，否则,0i j x =。

由第一问得到0-1整数规划模型如下：

33

,,11

min i j i j i j c x a ===∑∑

,133

,,11

33

,,11, 1 1,2,3 3

s.t.0 1 1,2,3 1,2,3

n

i j j i j i j i j i j i j i j i j x i x p x Q Q x i j =====?≤=???=????=??

===?∑∑∑∑∑总或 其中3

1=13i i Q q ==∑总为3家厂的污水排量之和。

解得决策矩阵33X ?为

33010000100X ???

??=??

????

于是得到最省建站方案为：第一家和第二家厂在第二家厂的位置共建一个污水处理站，第三家厂则在自己厂的位置单独建一个污水处理站。同时得到最省费用为

min 585.1c =万元

5.3.2联合建造污水处理站时分摊费用的方案

因为一、二两厂联合建造，所以建造工厂的集合为{}21，=I 。设一、二两厂联合建造的费用为c 联，一厂单独建造的费用为1c ，二厂单独建造的费用为2c ，

三个厂分别单独建造费用之和为3c ，则有

()

0.65

1.468

2.1 4.5 2.50.3920322.0c =?++?=联万元

0.65182.1 4.5218.2c =?=万元 0.65282.1 2.5148.9c =?=万元

0.65382.16263.1c =?=万元

设联合建厂比单独建厂节约的投资为()s v ，且?子集I s ?，存在()0=?v ，则

()()021==v v

()1245.1v I c c c =+-=联万元。

故有：

(1)当1=i 时，根据shapley 值法解得的节省投资分配方案见表2

表2当1=i 时的shapley 值法节省投资分配

其中s 为子集s 中的厂的个数，1S 为所有包含第1家厂的子集，即所有联合建厂方案中包含第1厂的方案，()s h 为s 决定的权重,则有

7.227.2201=+=w 万元

所以

111195.5t c w =-=万元。

(2)当2=i 时 ，根据shapley 值法解得的节省投资分配方案见表3

表3 当2i =时的shapley 值法节省投资分配

方案中包含第2厂的方案，(s h 为s 决定的权重,则有

7.227.2202=+=w 万元

所以

222126.2t c w =-=万元。

综上所述，分配方案为一、二两厂联合建造，且一厂承担 1195.5t =万元，二厂承担2126.2t =万元，三厂单独建造且承担费用为3263.1t =万元。 5.3问题三的求解

5.3.1建造污水处理站的方案的合理性

为了检验问题二中模型解得建造污水处理站的方案是否合理，可以枚举出所有可能方案，检验方案是否费用最小。

对于第二问,,A B C 三家厂建设污水处理站一共有4种情况： ①三家工厂都各自单独建立污水处理站时，总费用为

11,12,13,1630.2D a a a =++=万元

②三家工厂联合建造一个污水处理站时，总的费用为

21,3589.9D a ==万元

③第一家工厂和第二家工厂联合建造一个污水处理站，第三家工厂单独建造

一个污水处理站时，总费用为

31,3585.1D a ==万元

④第二家工厂和第三家工厂联合建造一个污水处理站，第一家工厂单独建造一个污水处理站时，总费用为

41,12,2633.9D a a =+=万元 其中, 1,2,3,1,2,3i j a i j ==为第二问中联合建站时建站组合所需总费用矩阵0A 中的元素。

由以上枚举的结果可知第②中情况三家工厂的总费用最少，这和问题二中模型求解所得到的方案相同，所以问题二中模型解得建造污水处理站的方案是合理的。

5.3.2联合建造污水处理站时分摊费用方案的合理性 在问题二中解得的最优方案中，第一家工厂和第二家工厂合建一个污水处理站，所以存在一个费用分摊的问题。

从第二家厂的角度出发，认为合建的污水处理站的建站费应该由两家厂按处理的污水量比例分摊，由于自己并没有使用排污管道，所以管道费应该由第一家厂承担。第一家厂按照第二家厂的费用分摊方案计算联合建污水处理站时自己应承担的费用为

1.46182

2.5

322.00.393420218.34.5 2.5

t =?+?=+万元

如果第一家厂自己单独建造一个污水处理站应承担的费用为

'211218.2t a ==万元 其中1,1a 为第二问中联合建站时建站组合所需总费用矩阵0A 中的元素。相反第二家厂联合建造时承担的费用比单独建造时承担的费用减少为

1 2.5

148.9322.033.92.5 4.5

t ?=-?=+万元

由以上可知第一家厂在联合建污水处理站分摊的费用比自己单独建造污水处理站承担的费用还高，而联合建造时节省的投资全部分配给了第二家厂，显然第一家厂不会同意这种方案。

综上所述只有合理分配节省的投资才能使分摊费用方案更合理，而问题二使用中shapley 值法给出合理的费用分摊方案的实质就是根据各个厂对节省投资“贡献”的权重来分配节省投资，且每一个厂承担的费用一定比单独建造承担得少，对于所有工厂来说是公平的，所以方案具有一定的合理性。

6 模型的评价与推广

本文通过所给的参数以及结合一些合理假设，建立如何建造污水处理站的0-1线性模型有效地避免了组合优化带来的组合爆炸,确定了合理的费用分摊方案。根据第二问所给数据，通过模型求得具体的方案，从具体情况说明所建模型的合理性。模型的准确性高，对于实际情况下的污水处理站建造问题及费用分摊问题有一定的借鉴意义。

但也存在着一些不足:没有站在单一工厂的角度考虑如何费用最省，在模型的假设上存在主观上的判断，下一步对模型的改进方面可以考虑进一步探讨相关问题；如果有的厂家的排污量出现很小的情况，即可以不连续厂家建站的情况没有考虑，下一步可以进行改进。

参考文献：

[1] 赵静，但琦，数学建模与数学实验，北京,高等教育出版社，2007年5月

[2] 司守奎，孙玺菁，数学建模算法与应用，北京：国防工业出版社，2011年3月

[3]汪天飞，邹进，张军，数学建模与数学实验，北京：科学出版社，2013,1月

附录：

求矩阵a0,p0,q0程序:

clc,clear

% 输入污水量矩阵q1和距离矩阵l

q1=[2.5 4.5 6];

l=[20 40];

n=length(q1);

q1=[q1,zeros(1,n)];

l=[l,zeros(1,n+1)];

a1=zeros(n);

a2=zeros(n);

p1=zeros(n);

c=0;

d=0;

for i=1:n

for j=1:n

p1(i,j)=j;

for k=i:i+j-1;

c=c+q1(k);

end

for k=i:i+j-2;

d=d+l(k);

end

q2(i,j)=c;

a1(i,j)=jianzhanfei(c)+guandaofei(d); c=0;

d=0;

end

end

a1=rot90(a1);

p1=rot90(p1);

q2=rot90(q2);

a1=tril(a1);

p1=tril(p1);

q2=tril(q2);

for i=1:3

a1=rot90(a1);

p1=rot90(p1);

q2=rot90(q2);

end

for i=1:n;

for j=1:n;

if a1(i,j)==0;

a1(i,j)=10000;

end

end

end

xlswrite('apq.xls',a1,'sheet1','a1');

xlswrite('apq.xls',p1,'sheet2','a1');

xlswrite('apq.xls',q2,'sheet3','a1');

建站的lingo程序：

model:

!输入厂家的个数n;

data:

n=10;

enddata

sets:

cz/1..n/;

gs/1..n/;

wsz(cz,gs):x,a,p,q;

endsets

!调入费用矩阵a,个数矩阵p，流量矩阵q，注意定义数据模块名称;

data:

a,p,q=@ole('d:/matlab 2013/work/apq.xls','a','p','q'); enddata

min=@sum(wsz:x*a);

@for(cz(i):@sum(gs(j):x(i,j))<1);

@sum(wsz:x*p)=n;

@sum(wsz:x*q)=q(1,n);

@for(wsz:@bin(x));

end

数学建模 学校选址问题模型

学校选址问题 摘 要 本文针对某地新开发的20个小区建设配套小学问题建立了0-1规划模型和优化模型。为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。 模型一： 首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数： ∑==16 1i i x s 然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了20个约束条件; 最后：由列出的目标函数和约束函数，用matlab 进行编程求解，从而得到，在每个小区至少被一所学校所覆盖时，建立学校最少的个数是四所，并且一共有22种方案。 模型二： 首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案1,4,8的固定成本最少。 然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。 其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。在替换后，进行具体求解。 再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用10,11,13,15,16号备选校址的选址方案，花费最少，最少花费为13378000元。 最后：对该模型做了灵敏度分析，模型的评价和推广。 关键字：最少建校个数 最小花费 固定成本 规模成本 灵敏度分析

1. 问题重述 1.1问题背景： 某地新开发的20个小区内需要建设配套的小学，以方便小区内居民的的孩子上学。但是为了节省开支，建造的学校要求尽量的少，为此，设备选定的16个校址提供参考，各校址覆盖的小区情况如表1所示： 表1-1备选校址表 备选校址 1 2 3 4 5 6 7 8 覆盖小区 1,2,3, 4,6 2,3,5,8, 11,20 3,5,11,20 1,4,6,7, 12 1,4,7,8,9,11,13, 14 5,8,9,10 11,16,20 10,11,1516,19, 20 6,7,12, 13,17, 18 备选校址 9 10 11 12 13 14 15 16 覆盖小区 7,9,13, 14,15, 17,18, 19 9,10,14,15,16, 18,19 1,2,4,6, 7 5,10,11, 16,20, 12,13，14,17, 18 9,10,14, 15 2,3,,5, 11,20 2,3,4,5,8 1.2 问题提出： 问题一、求学校个数最少的建校方案，并用数学软件求解（说明你所使用的软件并写出输入指令）。 问题二、设每建一所小学的成本由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模学校基础设施成本构成，规模成本指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该学校学生数有关，同时与学校所处地域有关。设第i 个备选校址的建校成本i c 可表示为 ?? ???-??+=，　否则，　若学生人数超过学生人数0600 )600(50 1002000i i i c βα 其中i α和i β由表1-2给出： 表1-2 学校建设成本参数表（单位：百万元） 备选校址 1 2 3 4 5 6 7 8 i α 5 5 5 5 5 5 5 3.5 i β 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.15 0.1 备选校址 9 10 11 12 13 14 15 16 i α 3.5 3.5 3.5 3.5 2 2 2 2 i β 0.1 0.1 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0.05 考虑到每一小区的学龄儿童数会随住户的迁移和时间发生变化,当前的精确数据并不能作为我们确定学校规模的唯一标准，于是我们根据小区规模大小用统计方法给出每个小区的学龄儿童数的估计值，见表1-3： 表1-3.各小区1到6年级学龄儿童数平均值（样本均值） 小区 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 学龄儿童数 120 180 230 120 150 180 180 150 100 160

数学建模学校选址问题

学校选址问题 摘要 本文为解决学校选址问题，建立了相应的数学模型。 针对模型一 首先，根据已知信息，对题目中给出的数据进行处理分析。在保证每个小区,学生至少有一个校址可供选择的情况下，运用整数规划中的0-1规划法，列出建校方案的目标函数与其约束条件，通过LINGO软件，使用计算机搜索算法进行求解。得出建立校址的最少数目为4个。再运用MATLAB软件编程，运行得到当建校的个数为4个时，学 首先，对文中给出的学校建设成本参数表和各校区1到6年级学龄儿童的平均值（样本均值）进行分析，可知20个小区估计共有4320个学龄儿童，当每个学校的平均人数都小于600时，至少需要建设8个学校；其次，模型一得到最少的建校数目为4个，运用MATLAB软件编程，依次列出学校个数为4、5、6、7、8时的最优建校方案，分别算出其最优建校方案下的总成本；最后，通过对比得出，最低的建校总成本为1650万，即选取校址10、11、13、14、15、16建设学校。 最后，我们不但对模型进行了灵敏度分析，，保证了模型的有效可行。 关键词：MATLAB灵敏度 0-1规划总成本选址 1 问题重述

当代教育的普及，使得学校的建设已成为不得不认真考虑的问题。 1.1已知信息 1、某地新开发的20个小区需要建设配套的小学，备选的校址共有16个，各校址覆盖的小区情况如表1所示： 2、在问题二中，每建一所小学的成本由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模学校基础设施成本构成，规模成本指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该学校学生数有关，同时与学校所处地域有关。设第i 个备选校址的建校成本i c 可表示为 （单元：元）学生人数)600-(50100200010? ?? ???+=i i i c βα，若学生人数超过600人，其中 i α和i β由表2给出： 并且考虑到每一小区的学龄儿童数会随住户的迁移和时间发生变化，当前的精确数据并不能作为我们确定学校规模的唯一标准，于是我们根据小区规模大小用统计方法给出每个小区的学龄儿童数的估计值，见表3： 1.2提出问题 1、要求建立数学模型并利用数学软件求解出学校个数最少的建校方案。 2、求出总成本最低的建校方案。 2 问题假设与符号说明

数学建模论文__物流与选址问题

物流预选址问题 (2) 摘要 .............................................................................................. 错误！未定义书签。 一、问题重述 (3) 二、问题的分析 (3) 2.1 问题一：分析确定合理的模型确定工厂选址和建造规模 (4) 2.2 问题二：建立合理的仓库选址和建造规模模型 (4) 2.3 问题三：工厂向中心仓库供货的最佳方案问题 (5) 2.4 问题四：根据一组数据对自己的模型进行评价 (5) 三、模型假设与符号说明 (5) 3.1条件假设 (5) 3．2模型的符号说明 (5) 四、模型的建立与求解 (6) 4.1 问题一：分析确定合理的模型为两个工厂合理选址并确定建造规模 (6) 4.1.1模型的建立 (7) 4.2 问题二：建立合理模型确定中心仓库的位置及建造规模 (10) 4.2.1 基于重心法选址模型 (10) 4.2.2 基于多元线性回归法确定中心仓库的建造规模 (12) 4.3 问题三：工厂向中心仓库供货方案 (13)

4.4 问题四：选用一组数据进行计算 (14) 五、模型评价 (21) 5.1模型的优缺点 (21) 5.1.1 模型的优点 (21) 5.1.2 模型的缺点 (21) 六参考文献 (21) 物流预选址问题 摘要 在物流网络中，工厂对中心仓库和城市进行供货，起到生产者的作用，而中心仓库连接着工厂和城市，是两者之间的桥梁，在物流系统中有着举足轻重的作用，因此搞好工厂和中心仓库的选址将对物流系统作用的发挥乃至物流经济效益的提高产生重要的影响。 本论文在综述工厂和中心仓库选址问题研究现状的基础上，对二者选址的模型和算法进行了研究。对于问题一二，通过合理的分析，我们采用了重心法选址模型找到了工厂和中心仓库的大致位置并给出了确定工厂和中心仓库建造规模的参数和公式，通过用

数学建模 学校选址问题模型

学校选址问题 摘要 本文针对某地新开发的20个小区建设配套小学问题建立了0-1规划模型和优化模型。为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。 模型一： 首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数： 然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了20个约束条件; 最后：由列出的目标函数和约束函数，用matlab进行编程求解，从而得到，在每个小区至少被一所学校所覆盖时，建立学校最少的个数是四所，并且一共有22种方案。 模型二： 首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案1,4,8的固定成本最少。 然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。 其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。在替换后，进行具体求解。 再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用10,11,13,15,16号备选校址的选址方案，花费最少，最少花费为13378000元。 最后：对该模型做了灵敏度分析，模型的评价和推广。 关键字：最少建校个数最小花费固定成本规模成本灵敏度分析 1.问题重述 1.1问题背景： 某地新开发的20个小区内需要建设配套的小学，以方便小区内居民的的孩子上学。但是为了节省开支，建造的学校要求尽量的少，为此，设备选定的16个校址提供参考，各校址覆盖的小区情况如表1所示： 1.2 问题一、求学校个数最少的建校方案，并用数学软件求解（说明你所使用的软件并写出输入指令）。 问题二、设每建一所小学的成本由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模学校基础设施成本构成，规模成本指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该学校学生数有关，同时与学校所处地域有关。设第i个备选校址的建校成本 c可表示为 i

《数学建模》选题.

《数学建模》选题(一) 1、选址问题研究 在社会经济发展过程中, 经常需要在系统中设置一个或多个集散物质、传输信息或执行某种服务的“中心”。在设计和规划商业中心、自来水厂、消防站、医院、飞机场、停车场、通讯系统中的交换台站等的时候,经常需要考虑将场址选在什么位置才能使得系统的运行效能最佳。选址问题, 是指在指定的范围内, 根据所要求的某些指标,选择最满意的场址。在实际问题中,也就是关于为需要设置的“设施”选择最优位置的问题。选址问题是一个特殊类型的最优化问题,它属于非线性规划和组合最优化的研究范围。由于它本身所具有的特点,存在着单独研究的必要性和重要性。 1.1“中心”为点的情形 如图1，有一条河，两个工厂P 和Q位于河岸L（直线）的同一侧，工厂 P 和 Q 距离河岸L分别为8千米和10千米，两个工厂的距离为14千米，现要在河的工厂一侧选一点R，在R处建一个水泵站，向两工厂P、Q 输水，请你给出一个经济合理的设计方案。 图1 图2 （即找一点 R ，使 R 到P、Q及直线l的距离之和为最小。） 要求和给分标准： 提出合理方案，建立坐标系，分情况定出点R的位置，0分——70分。 将问题引申： （１）、若将直线 L缩成一个点（如向水库取水），则问题就是在三角形内求一点R，使R到三角形三顶点的距离之和为最小（此点即为费尔马点）。 （２）、若取水的河道不是直线，是一段圆弧（如图2），该如何选点？ 对引申问题给出给出模型和讨论30分——50分。 抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺点讨论扣10分。 1.2“中心”为线的情形

在油田管网和公路干线的设计中提出干线网络的选址问题： 问题A ：在平面上给定n 个点n P P P ,,,21 ，求一条直线L ，使得 ∑=n i i i L P d w 1 ),( （1） 为最小，其中i w 表示点i P 的权，),(L P d i 表示点i P 到第直线L 的距离。 问题B ：平面上给定n 条直线n L L L ,,,21 , 求一点X , 使 ∑=n i i i L X d w 1 ),( （2） 为最小，其中i w 表示直线i L 的权，),(i L X d 表示点X 到第直线i L 的距离。 问题C ：在平面上给定n 个点n P P P ,,,21 ，求一条直线L ，使得 ),(max 1L P d w i i n i ≤≤ （1） 为最小，其中i w 表示点i P 的权，),(L P d i 表示点i P 到第直线L 的距离。 问题D ：平面上给定n 条直线n L L L ,,,21 , 求一点X , 使 ),(max 1i i n i L X d w ≤≤ （2） 为最小，其中i w 表示直线i L 的权，),(i L X d 表示点X 到第直线i L 的距离。 参考文献 【1】林诒勋, 尚松蒲. 平面上的点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2002,6(3):61—68. 【2】尚松蒲, 林诒勋. 平面上的min-max 型点—线选址问题[J]. 运筹学学报,2003,7(3):83—91. 要求和给分标准： 选择问题A 和B(或者C 和D)进行研究：根据文献重述模型（10分），提出自己的算法(30分)，计算机仿真验证算法的正确性（40分，含如何在平面上随机产生n 个点，对每个点随机赋权，按照算法编程实现求干线的程序，并将寻得的干线和点在平面上图示，建议用MATLAB 编程）。 将问题引申： 如果同时确定两条、三条干线，应该如何讨论？其他情形的讨论？ 对引申问题给出给出模型和讨论20分——30分。 抄袭者零分；无模型者不及格；无程序和运行结果扣20-30分；无模型优缺

机场选址问题数学建模论文

机场选址问题 摘要 针对机场选址问题，文章共建立了三个模型用以解决该类问题。为了计算出任意两城市之间的距离，我们利用公式（1）将利用题目中所给的大地坐标得出了任意两点之间的距离，见附录2。 对于问题1，我们主要利用0-1变量法，从而对问题进行了简化。我们设了第i个 y以及第i个城市是否是以第j个支线机场为最近机场的()j i x,。城市是否建支线机场的 i 然后将任意两点之间的距离与该城市的总人数之积，再乘以0-1变量()j i x,，最后得出每一个所有城市到最近机场的距离与该城市人口的乘积，然后利用LINGO进行编写程序，进行最优化求解，最后得出的结果见表1和表2，各大城市以及支线机场的分布见图2。 对于问题2，该问题是属于多目标规划的问题，目标一是居民距离最近机场的距离最短，目标二是每个机场覆盖人口数尽可能相等。我们在第一题的基础上，又假设了一些正、负偏差变量，对多个目标函数设立优先级，把目标函数转化为约束条件，进而求得满足题目要求的结果。 对于问题3，我们分析到影响客流量的因素是GDP跟居民人数，所以通过所搜集的资料分析我们给予这两个因素以不同的权重。然后同样采取问题2中所给的反求机场覆盖的方法，求的各个机场所覆盖的客流量，再让其在平均客流量水平上下浮动。通过LINGO程序的运行得到的六个机场的坐标见表6，六个机场的分布见图7。 针对论文的实际情况，对论文的优缺点做了评价，文章最后还给出了其他的改进方向，以用于指导实际应用。 关键词：选址问题；多目标规划；LINGO；0-1变量法；加权

1．问题的重述 近年来，随着我国经济社会的迅猛发展，公共交通基础设施日趋需要进一步完善与提高。支线机场作为我国交通运输体系的有机组成部分，对促进欠发达地区经济社会的发展具有基础性的作用。现某区域有30个城市，本区域计划在未来的五年里拟建6个支线机场。 任务1，确定6个支线机场的所在城市，建立居民到最近机场之间的平均距离最小的数学模型。 任务2，在任务一基础上，确定6个支线机场的所在城市，建立使得每个支线机场所覆盖的居民人数尽可能均衡的数学模型。 任务3，在任务一基础上，根据近一年每个城市的GDP 情况，确定6个支线机场的所在城市，建立使得每个支线机场的客流量尽量均衡的数学模型。 2．问题的分析 2．1 问题1 题目要求是建立居民到最近机场之间的平均距离最小的数学模型，该问题其实就是利用的0-1变量建立的模型。首先我们设两个0-1变量，一个是控制某个城市是否为支线机场的i y ，一个是控制某个城市的最近机场是哪一个的ij x 。针对于上述两个0-1变量，我们分别设立了约束条件。同时又为了满足问题所要求的使局面平均距离最小，我们将某一个城市到离它最近的机场的距离与该城市的人口乘积作为目标函数，在LINGO 软件中，通过设立一约束条件，最后将目标函数进行最优化求解。 2．2 问题2 该问题可以归结为多元目标线性规划的问题，所以我们在第一问的基础上又增加了一个目标函数，最后利用加权的方法将两个目标函数转化成了一个目标函数，将另一个目标函数作为约束条件。同时我们又引入了正负偏差变量，通过控制该变量达到覆盖居民人数均衡以及居民到城市之间的平均距离尽量小。 2．3 问题3 该问题要求的是客流量尽量均衡，经过分析可以知道，城市的GDP 越高，说明该城市经济越繁荣，货币流通越快，从而反映出客流量越大。另一方面城市越大、人口越多，也在一定程度上反映出了该城市客流量越大。基于上述两点，我们对GDP 跟城市人口分别给予了不同的权重来反映其对客流量的影响大小。按照第二问的方法，我们依然利用多元目标线性规划的只是进行求解。通过LINGO 编写程序，最中求得可行解。

数学建模论文--物流与选址问题

物流预选址问题 (2) 摘要............................................................................................................. 错误!未定义书签。 一、问题重述 (2) 二、问题的分析 (3) 2.1 问题一：分析确定合理的模型确定工厂选址和建造规模 (3) 2.2 问题二：建立合理的仓库选址和建造规模模型 (3) 2.3 问题三：工厂向中心仓库供货的最佳方案问题 (3) 2.4 问题四：根据一组数据对自己的模型进行评价 (4) 三、模型假设与符号说明 (4) 3.1条件假设 (4) 3．2模型的符号说明 (4) 四、模型的建立与求解 (5) 4.1 问题一：分析确定合理的模型为两个工厂合理选址并确定建造规模 (5) 4.1.1模型的建立 (5) 4.2 问题二：建立合理模型确定中心仓库的位置及建造规模 (7) 4.2.1 基于重心法选址模型 (8) 4.2.2 基于多元线性回归法确定中心仓库的建造规模 (10) 4.3 问题三：工厂向中心仓库供货方案 (10) 4.4 问题四：选用一组数据进行计算 (11) 五、模型评价 (16) 5.1模型的优缺点 (16) 5.1.1 模型的优点 (16) 5.1.2 模型的缺点 (16) 六参考文献 (16)

物流预选址问题 摘要 在物流网络中，工厂对中心仓库和城市进行供货，起到生产者的作用，而中心仓库连接着工厂和城市，是两者之间的桥梁，在物流系统中有着举足轻重的作用，因此搞好工厂和中心仓库的选址将对物流系统作用的发挥乃至物流经济效益的提高产生重要的影响。 本论文在综述工厂和中心仓库选址问题研究现状的基础上，对二者选址的模型和算法进行了研究。对于问题一二，通过合理的分析，我们采用了重心法选址模型找到了工厂和中心仓库的大致位置并给出了确定工厂和中心仓库建造规模的参数和公式，通过用数据进行实例化分析，我们确定了工厂和中心仓库位置和建造规模。对于问题三我们运用LINGO软件简单的解决了工厂对中心仓库的供货情况。问题四我们选用了一组数据通过求解多元线性规划对问题进行了实例化分析。为中心仓库的选址问题做了合理说明。最后我们对模型进行了评价和分析。 关键词：物流网络重心法选址模型多元线性规划 一、问题重述 某公司是生产某种商品的省知名厂家。该公司根据需要,计划在本省建设两个生产工厂和若干个中心仓库向全省所有城市供货。根据市场调研,全省有m个城市，每个城市单位时间需要该公司的物资量是已知的，有关运费的信息也是确定的，工厂和中心仓库

数学建模报告选址问题

长沙学院数学建模课程设计说明书 题目选址问题 系(部) 数学与计算机科学 专业(班级) 数学与应用数学 姓名 学号 指导教师 起止日期 2015、6、1——2015、6、5

课程设计任务书 课程名称：数学建模课程设计 设计题目：选址问题 已知技术参数和设计要求： 选址问题（难度系数1.0） 已知某地区的交通网络如下图所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上的数字为小区间公路距离（单位：千米），各个小区的人数如下表所示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？ 各阶段具体要求： 1．利用已学数学方法和计算机知识进行数学建模。 2．必须熟悉设计的各项内容和要求，明确课程设计的目的、方法和步骤。 3．设计中必须努力认真，独立地按质按量地完成每一阶段的设计任务。 4．设计中绝对禁止抄袭他人的设计成果。 5．每人在设计中必须遵守各组规定的统一设计时间及有关纪律。 6．所设计的程序必须满足实际使用要求，编译出可执行的程序。 7．要求程序结构简单，功能齐全，使用方便。 设计工作量： 论文：要求撰写不少于3000个文字的文档，详细说明具体要求。 1v 5

工作计划： 提前一周：分组、选题；明确需求分析、组内分工； 第一天：与指导老师讨论，确定需求、分工，并开始设计；第二~四天：建立模型并求解； 第五天：完成设计说明书，答辩； 第六天：针对答辩意见修改设计说明书，打印、上交。 注意事项 ?提交文档 长沙学院课程设计任务书（每学生1份） 长沙学院课程设计论文（每学生1份） 长沙学院课程设计鉴定表（每学生1份） 指导教师签名：日期： 教研室主任签名：日期： 系主任签名：日期：

4.第17讲 应急设施的优化选址问题(数学建模)

第17讲应急设施的优化选址问题 问题（AMCM-86B题）里奥兰翘镇迄今还没有自己的应急设施。1986年该镇得到了建立两个应急设施的拨款，每个设施都把救护站、消防队和警察所合在一起。图17-1指出了1985年每个长方形街区发生应急事件的次数。在北边的L形状的区域是一个障碍，而在南边的长方形区域是一个有浅水池塘的公园。应急车辆驶过一条南北向的街道平均要花15秒，而通过一条东西向的街道平均花20秒。你的任务是确定这两个应急设施的位置，使得总响应时间最少。 图17-1 1985年里奥兰翘每个长方街区应急事件的数目（I）假定需求集中在每个街区的中心，而应急设施位于街角处。 （II）假定需求是沿包围每个街区的街道上平均分布的，而应急设施可位于街道的任何地方。 §1 若干假设 1、图17-1所标出的1985年每个长方形街区应急事件的次数具有典型代表性，能够反映该街区应急事件出现的概率的大小。 2、应急车辆的响应时间只考虑在街道上行驶时间，其他因纱（如转弯时间等）可以忽略不计。 3、两个应急设施的功能完全相同。在应急事件出现时，只要从离事件发生地点最近的应急设施派出应急车辆即可。 4、执行任何一次应急任务的车辆都从某一个应急设施出发，完成任务后回到原设施。不出现从一个应急事件点直接到另一事件点的情况。（这是因为，每一个地点发生事件的概率都很小，两个地点同时发生事故的概率就更是小得可以忽略不计）。

§2 假定（I ）下的模 在假定（I ）下，应急需求集中在每个街区中心。我们可以进一步假定应急车辆只要到达该街区四个街角中最近的一个，就认为到达了该街区，可以开始工作了。按假定（I ），每个应急设施选在街角处，可能的位置只有6×11=66个。两个应急设施的位置的可能的组合至多只有66×65/2=2145个。这个数目对计算机来说并不大，可用计算机进行穷举，对每种组合一一算出所对应的总响应时间，依次比较得出最小的响应时间及对应的选址方案。具体算法是： 建立直角坐标系，以该镇的西北角为原点，从北到南为X -轴正方向，从西到东为Y -轴正方向，在南北、东西方向上分别以一个街区的长作为单位长，则街角的坐标),(Y X 是满足条件50,100≤≤≤≤Y X 的整数。而每个街区中心的坐标具有形式)5.0,5.0(++j i ，其中j i ,是满足条件：40,90≤≤≤≤j i 的整数。如果不考虑障碍和水塘的影响，同应急车辆从设在),(Y X 点的应急设施到以)5.0,5.0(++j i 为中心的街区的行驶时间等于 )5.05.0(20)5.05.0(15),,,(---+---=j Y i X j i Y X t )5.17)5.0(20)5.0((15-+-++-=j Y i X 秒 记),(j i p 为以)5.0,5.0(++j i 为中心的街区的事故发生频率（即在图上该街区所标的数字）。如果应急设施设在),(),,(2211Y X Y X 这两点，总不妨设21X X ≤，则该设置方案的总响应时间为 ),,,(2211Y X Y X T ∑∑===904 02211)},,,(),,,,(min{),(i j j i Y X t j i Y X t j i p 让1X 取遍0—10，2X 取遍101-X ，21,Y Y 分别独立地取遍0—4。依次对四数组),,,(2211Y X Y X 的每一个值算出对应的总响应时间的最小值及对应的四数组。 以上算法不难用计算机编程实现。由于数组的个数不算多（只有两千多个），计算机可很快得出答案。答案是： 两个应急设施分别设在点（2，3），（6，3）时最优。 这是在不考虑L 形障碍区域和水塘的影响的假定下得出的最优解，但从这两个点到

选址问题数学模型

选址问题数学模型 摘要 本题是用图论与算法结合的数学模型，来解决居民各社区生活中存在三个的问题：合理的建立3个煤气缴费站的问题；如何建立合理的派出所；市领导人巡视路线最佳安排方案的问题。通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目标，理出它们之间的联系.在用图论模型描述研究对象时，为了突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度。对客观事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程.建立图论模型是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题 针对问题1：0-1规划的穷举法模型。该模型首先采用改善的Floyd-Warshall 算法计算出城市间最短路径矩阵见附录表一；然后，用0-1规划的穷举法获得模型目标函数的最优解，其煤气缴费站设置点分别在Q、W、M社区，各社区居民缴费区域见表7-1，居民与最近的缴费点之间平均距离的最小值11.7118百米。 针对问题2：为避免资源的浪费，且满足条件，建立了以最少分组数为目标函数的单目标最优化模型，用问题一中最短路径的Floyd算法，运用LINGO软件编程计算,得到个社区之间的最短距离，再经过计算可得到本问的派出所管辖范围是2.5千米。最后采用就近归组的搜索方法，逐步优化，最终得到最少需要设置3个派出所，其所在位置有三种方案，分别是：（1）K区，W区，D区；（2）K区，W区，R区；（3）K区，W区，Q区。最后根据效率和公平性和工作负荷考虑考虑，其第三种方案为最佳方案，故选择K区，W区，Q区，其各自管辖区域路线图如图8-1。 针对问题3：建立了双目标最优化模型。首先将问题三转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最短路径Floyd算法，并用MATLAB和LINGO软件编程计算，得到最优树图，然后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理，得到三组巡视路程分别为11.8km、11km和12.5km，三组巡视的总路程达到35.3km，路程均衡度为12%,具体巡视路线安排见表9-1和图9.2 。 关键词Floyd-Warshall算法穷举法最小生成树最短路径 1问题重述 1.1问题背景 这是一个最优选址问题，是一种重要的长期决策，它的好坏直接影响到服务方法，服务质量，服务效率，服务成本，所以选址问题的研究有着重大的经济社

数学建模物流配送中心选址模型

数学建模物流配送中心 选址模型 文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

物流配送中心选址模型 姓名：学号：班级： 摘要：在现代络中，配送中心不仅执行一般的职能，而且越来越多地执行指挥调度、信息处理、作业优化等神经中枢的职能，是整个络的灵魂所在。因此，发展现代化配送中心是现代业的发展方向。文章首先使用重心法计算出较为合适的备选地，再考虑到各项配送中心选址的固定成本和可变成本，从而使配送中心选址更加优化和符合实际。 关键词：物流选址；选址；重心法；优化模型； 1．背景介绍 1．1 研究主题 如下表中，有四个零售点的坐标和物资需求量，计算并确定物流节点的位置。 1.2 前人研究进展 1.2.1国内外的研究现状：

国外对物流配送选址问题的研究已有60余年的历史，对各种类型物流配送中心的选址问题在理论和实践方面都取得了令人注目的成就，形成了多种可行的模型和方法。归纳起来，这些配送中心选址方法可分为三类： （1）应用连续型模型选择地点； （2）应用离散型模型选择地点； （3）应用德尔菲（Delphi）专家咨询法选择地点。 第一类是以重心法为代表，认为物流中心的地点可以在平面取任意点，物流配送中心设置在重心点时，货物运送到个需求点的距离将最短。这种方法通常只是考虑运输成本对配送中心选址的影响，而运输成本一般是运输需求量、距离以及时间的函数，所以解析方法根据距离、需求量、时间或三者的结合，通过坐标上显示，以配送中心位置为因变量，用代数方法来求解配送中心的坐标。解析方法考虑影响因素较少，模型简单，主要适用于单个配送中心选址问题。解析方法的优点在于计算简单，数据容易搜集，易于理解。由于通常不需要对进行整体评估，所以在单一设施定位时应用解析方法简便易行。 第二类方法认为物流中心的各个选址地点是有限的几个场所，最适合的地址只能按照预定的目标从有限个可行点中选取。 第二类方法的中心思想则是将专家凭经验、专业知识做出的判断用数值形式表示，从而经过分析后对选址进行决策。 国内在物流中心选址方面的研究起步较晚，只有10余年历史，但也有许多学者对其进行了较深入的研究，在理论和实践上都取得了较大的成果。北方交通大学鲁晓春等对配送中心的重心法地址做出了深入的研究，认为原有的重心法存在着问题，并把原有的计算公式用流通费用偏微分方程来取代。中国矿业大学周梅

选址问题及最佳巡视路线的数学模型 (1)

本科14组 许泽东，邹志翔，陈佳成 选址问题及最佳巡视路线的数学模型 摘 要 本文解决的问题是缴费站、派出所选址和最佳巡视路线的确定。合理设置缴费站，可以为居民缴费节省大量时间和精力。派出所位置和数量的不同选择，会产生不同的建设成本和管理经费。而最佳巡视路线的确立，可以让领导在最短时间内巡视完所有社区。为解决以上问题，我们建立的三个最优化模型。 针对问题一，我们先用floyd 算法求出各社区间的最短路，然后用计算机枚举出所有选址方案。对每一种选址方案都会产生一个平均距离S ，我们以此为指标对方案进行评估。经过合理化推导，我们得出最优解11712S .=（百米），且此时应该在M,Q,W 三社区设置煤气缴费站。 针对问题二，我们在问题一求出的最短路基础上，建立了0-1线性规划模型。然后借助matlab 软件求得最优解3=X （即应该设置3个派出所），并给出了各派出所管辖范围。这样既满足了每个社区在3分钟内至少能得到一个派出所服务，也为派出所的建设管理节省了不少成本。具体结果如下表3： 构建了社区网络的完全图，然后考虑到最优哈密顿圈的求解极其困难，我们连续使用30次模拟退火的方法求得连接各社区的近似最优哈密顿圈。其中，我们对每次求出的哈密顿圈都进行了合理划分，产生了三个子圈，即三组巡视路线。最终得到近似最优解128，见表4。接着，我们还对哈密顿圈划分方法进行了改进，求得近似最优解125（具体结果见表5）。 1.问题重述 问题背景 社区已是现代都市的的基础，随着城市社会经济的飞速发展，社区与人们生活的联系越来越密切，人们需要在社区解决日常生活涉及的各种利益和需要，因而人们对社区社会生活服务提出更高的要求，而政府也希望能够更好的指导和管理城市社区，社区生

数学建模学校选址问题模型

数学建模学校选址问题 模型 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

学校选址问题 摘要 本文针对某地新开发的20个小区建设配套小学问题建立了0-1规划模型和优化模型。为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。 模型一： 首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数： 然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了20个约束条件; 最后：由列出的目标函数和约束函数，用matlab进行编程求解，从而得到，在每个小区至少被一所学校所覆盖时，建立学校最少的个数是四所，并且一共有22种方案。 模型二： 首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案1,4,8的固定成本最少。 然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。

其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。在替换后，进行具体求解。 再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用10,11,13,15,16号备选校址的选址方案，花费最少，最少花费为13378000元。 最后：对该模型做了灵敏度分析，模型的评价和推广。 关键字：最少建校个数最小花费固定成本规模成本灵敏度分析 1.问题重述 1.1问题背景： 某地新开发的20个小区内需要建设配套的小学，以方便小区内居民的的孩子上学。但是为了节省开支，建造的学校要求尽量的少，为此，设备选定的16个校址提供参考，各校址覆盖的小区情况如表1所示： 表1-1备选校址表

数学建模选址问题

摘要 目前，社区的优化管理和最佳服务已经成为一种趋势，并且为城市的发展作出了一定的贡献。本文针对在社区中选址问题及巡视路线问题，分别建立了多目标决策模型、约束最优化线路模型，并分别提供了选址社区和巡视路线。 对于问题一，我们建立了单目标优化模型，考虑到各社区居民到收费站点的平均距离最小，我们使用floyd 算法并通过matlab 编程，算出任意两个社区之间的最短路径，并以此作为工具，使用0－1变量列出了目标函数。在本题中，我们根据收费站数、超额覆盖等确定了约束条件，以保证收费站覆盖每个社区，同时保证居民与最近煤气站之间的平均距离最小,最终利用lingo 软件求得收费站建在M、Q、W三个社区。 对于问题二，同样是单目标优化模型，较之问题一不同的是，问题二不需要考虑人口问题，但需要确定选址的个数。接下来的工作分了两步，第一步，我们通过0－1变量列出目标函数，以超额覆盖等确定约束条件，用lingo 软件编程求出最小派出所站点的个数;第二步，我们利用第一步中求出的派出所个数作为新的约束条件，建立使总距离最小的优化模型，最终利用lingo 软件求得三个派出所分别建在W、Q、K社区。 对于问题三，我们建立了约束最优化线路模型，根据floyd 算法求得的任意两个社区之间的最短路径，建立了以w 点为树根的最短路径生成树，并据此对各点的集中区域进行划分，再利用破圈法得到最短回路。在本题中，我们初定了两种方案，并引入均衡度α对两种方案进行比较，最终采用了方案二。最后，我们用matlab编程求解方案二中各组的巡视路线为113百米，123百米，117百米，均衡度α＝8.13%。具体路线见 关键词：最短路径 hamilton圈最优化 floyd算法

数学建模中选址问题(Lingo程序)

P94，例选址问题 目录 题目......................................................... 错误!未定义书签。 第一步，旧址基础上只求运量的ＬＰ程序......................... 错误!未定义书签。 第二步，旧址基础上选择新址的NLP程序......................... 错误!未定义书签。题目 6个工地的地址(坐标表示，距离单位KM)及水泥用量(单位：吨)如下表，而在P(5,1)及Q(2,7)处有两个临时料场，日储量各有20t，如何安排运输，可使总的吨公里数最小？ 新料场应选何处能节约多少吨公里数 第一步，旧址基础上只求运量的ＬＰ程序 MODEL: Title Location Problem;

sets: demand/1..6/:a,b,d; supply/1..2/:x,y,e; link(demand,supply):c; endsets data: !locations for the demand(需求点的位置); a=,,,,3,; b=,,,5,,; !quantities of the demand and supply（供需量）; d=3,5,4,7,6,11; e=20,20; x,y=5,1,2,7; enddata init: !initial locations for the supply（初始点）; endinit !Objective function（目标）; [OBJ] min=@sum(link(i,j): c(i,j)*((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2)^(1/2) ); !demand constraints（需求约束）; @for(demand(i):[DEMAND_CON] @sum(supply(j):c(i,j)) =d(i););

数学建模学校选址问题模型

数学建模学校选址问题模 型 Revised by Jack on December 14,2020

学校选址问题 摘要 本文针对某地新开发的20个小区建设配套小学问题建立了0-1规划模型和优化模型。为问题一和问题二的求解，提供了理论依据。 模型一： 首先：根据目标要求，要建立最少学校的方案列出了目标函数： 然后：根据每个小区至少能被一所学校所覆盖，列出了20个约束条件; 最后：由列出的目标函数和约束函数，用matlab进行编程求解，从而得到，在每个小区至少被一所学校所覆盖时，建立学校最少的个数是四所，并且一共有22种方案。 模型二： 首先：从建校个数最少开始考虑建校总费用，在整个费用里面，主要是固定费用，由此在问题一以求解的条件下，进行初步筛选，得到方案1,4,8的固定成本最少。 然后：在初步得出成本费用最少时，对每个这三个方案进一步的求解，求出这三个方案的具体的总费用，并记下这三套方案中的最小费用。 其次：对这三套方案进行调整，调整的原则是：在保证每个小区有学校覆盖的条件下，用多个固定成本费用低的备选校址替换固定成本费用高的备选校址。在替换后，进行具体求解。 再次：比较各种方案的计算结果，从而的出了如下结论： 选用10,11,13,15,16号备选校址的选址方案，花费最少，最少花费为13378000元。最后：对该模型做了灵敏度分析，模型的评价和推广。 关键字：最少建校个数最小花费固定成本规模成本灵敏度分析 1.问题重述 问题背景：

某地新开发的20个小区内需要建设配套的小学，以方便小区内居民的的孩子上学。但是为了节省开支，建造的学校要求尽量的少，为此，设备选定的16个校址提供参考，各校址覆盖的小区情况如表1所示： 问题提出： 问题一、求学校个数最少的建校方案，并用数学软件求解（说明你所使用的软件并写出输入指令）。 问题二、设每建一所小学的成本由固定成本和规模成本两部分组成，固定成本由学校所在地域以及基本规模学校基础设施成本构成，规模成本指学校规模超过基本规模时额外的建设成本，它与该学校学生数有关，同时与学校所处地域有关。设第i 个备选校址的建校成本i c 可表示为 其中i α和i β由表1-2给出： 考虑到每一小区的学龄儿童数会随住户的迁移和时间发生变化,当前的精确数据并不能作为我们确定学校规模的唯一标准，于是我们根据小区规模大小用统计方法给出每个小区的学龄儿童数的估计值，见表1-3：

数学建模选址问题完整版

数学建模选址问题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

选址问题 摘要 目前，社区的优化管理和最佳服务已经成为一种趋势，并且为城市的发展作出了一定的贡献。本文针对在社区中选址问题及巡视路线问题，分别建立了多目标决策模型、约束最优化线路模型，并分别提供了选址社区和巡视路线。 对于问题一，我们建立了单目标优化模型，考虑到各社区居民到收费站点的平均距离最小，我们使用floyd 算法并通过matlab 编程，算出任意两个社区之间的最短路径，并以此作为工具，使用0－1变量列出了目标函数。在本题中，我们根据收费站数、超额覆盖等确定了约束条件，以保证收费站覆盖每个社区，同时保证居民与最近煤气站之间的平均距离最小,最终利用lingo 软件求得收费站建在M、Q、W三个社区。 对于问题二，同样是单目标优化模型，较之问题一不同的是，问题二不需要考虑人口问题，但需要确定选址的个数。接下来的工作分了两步，第一步，我们通过0－1变量列出目标函数，以超额覆盖等确定约束条件，用lingo 软件编程求出最小派出所站点的个数;第二步，我们利用第一步中求出的派出所个数作为新的约束条件，建立使总距离最小的优化模型，最终利用lingo 软件求得三个派出所分别建在W、Q、K社区。 对于问题三，我们建立了约束最优化线路模型，根据floyd 算法求得的任意两个社区之间的最短路径，建立了以w 点为树根的最短路径生成树，并据此对各点的集中区域进行划分，再利用破圈法得到最短回路。在本题中，我们初定了两种方案，并引入均衡度α对两种方案进行比较，最终采用了方案二。最后，我们用matlab编程求解方案二中各组的巡视路线为113百米，123百米，117百米，均衡度α＝%。具体路线见 关键词：最短路径 hamilton圈最优化 floyd算法

数学建模选址问题

选址问题 摘要 目前，社区的优化管理和最佳服务已经成为一种趋势，并且为城市的发展作出了一定的贡献。本文针对在社区中选址问题及巡视路线问题，分别建立了多目标决策模型、约束最优化线路模型，并分别提供了选址社区和巡视路线。 对于问题一，我们建立了单目标优化模型，考虑到各社区居民到收费站点的平均距离最小，我们使用floyd 算法并通过matlab 编程，算出任意两个社区之间的最短路径，并以此作为工具，使用0－1变量列出了目标函数。在本题中，我们根据收费站数、超额覆盖等确定了约束条件，以保证收费站覆盖每个社区，同时保证居民与最近煤气站之间的平均距离最小,最终利用lingo 软件求得收费站建在M、Q、W三个社区。 对于问题二，同样是单目标优化模型，较之问题一不同的是，问题二不需要考虑人口问题，但需要确定选址的个数。接下来的工作分了两步，第一步，我们通过0－1变量列出目标函数，以超额覆盖等确定约束条件，用lingo 软件编程求出最小派出所站点的个数;第二步，我们利用第一步中求出的派出所个数作为新的约束条件，建立使总距离最小的优化模型，最终利用lingo 软件求得三个派出所分别建在W、Q、K社区。 对于问题三，我们建立了约束最优化线路模型，根据floyd 算法求得的任意两个社区之间的最短路径，建立了以w 点为树根的最短路径生成树，并据此对各点的集中区域进行划分，再利用破圈法得到最短回路。在本题中，我们初定了两种方案，并引入均衡度 对两种方案进行比较，最终采用了方案二。最后，我们用matlab编程求解方案二中各组的巡视路线为113百米，123百米，117百米，

均衡度 ＝8.13%。具体路线见 关键词：最短路径hamilton圈最优化floyd算法