全国高中数学联赛试卷及答案

全国高中数学联赛试卷

及答案

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二○○一年全国高中数学联合竞赛题

（10月4日上午8：00—9：40）

2、用圆珠笔或钢笔作答。

3、解题书写不要超过装订线。

4、不能使用计算器。

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）

本题共有6个小是题，每题均给出（A ）（B ）（C ）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2+2=0,x ∈R}的子集的个数为

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点； 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点； 以上三个命题中正确的有

（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0，2

π

）上单调递增的偶函数是 （A ）y=sin|x| （B ）y=cos|x| （C ）y=|ctgx| （D ）y=lg|sinx|

4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k 的⊿ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 （A ）k=83 （B ）0

38=k

5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000

， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（ ）．

（A ）3333 （B ）3666 （C ）3999 （D ）32001

6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． （A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高

（C ）价格相同 （D ）不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．

8、若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=2

3

-I,则z 1z 2= 。

9、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1 ，则直线A 1C 1与BD 1的距离是 。 10、不等式

2

3

2log 12

1>+x 的解集为 。 11、函数232+-+=x x x y 的值域

为 。

12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中

种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案。 二、 解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且2

11a b =，2

22a b =，2

33a b =（a 1

12)(lim 21+=++++∞

→n n b b b ，试求{a n }的首项与公差。

14、设曲线C 1:1222

=+y a

x (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点

P 。

（1） 求实数m 的取值范围（用a 表示）；

（2） O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0

2

1

时，试求⊿OAP 的面积的最大值（用a 表示）。

15、用电阻值分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5、a 6、（a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。

二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题

（10月4日上午10：00—12：00）

学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。

2、用圆珠笔或钢笔作答。

3、解题书写不要超过装订线。

4、不能使用计算器。

一、（本题满分50分）

如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。

二、（本题满分50分）

设x

i ≥0(I=1,2,3,…,n)且1

2

1

1

2=

+∑

∑

≤

<

≤

=n

j

k

j

k

n

i

i

x

x

j

k

x，求∑

=

n

i

i

x

1

的最大值与最小值。

三、（本题满分50分）

将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。

2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

一．选择题：CBDDCA

1.已知a 为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（ ）．

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．4 Ｄ．不确定

讲解：M 表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2个元素．故集合Ｍ有2２＝4个子集，选Ｃ．

2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点． 命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点； 命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点． 以上三个命题中正确的有（ ）．

Ａ．0个 Ｂ．1个 Ｃ．2个 Ｄ．3个

讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选Ｂ．

3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（ ）．

Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜ Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜ Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜ Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜

讲解：可考虑用排除法．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）上是减函数，排除Ｃ．故应选Ｄ．

4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（ ）．

Ａ．38=k Ｂ．0＜ｋ≤12

Ｃ．ｋ≥12 Ｄ．0＜ｋ≤12或38=k

讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论Ｄ．

说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ． 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（ ）． Ａ．3333 Ｂ．3666 Ｃ．3999 Ｄ．32001

讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法．

取ω＝－（1／2）＋（

／2）ｉ，则ω３＝1，ω２＋ω＋1＝0．

令ｘ＝1，得

31000＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ2000； 令ｘ＝ω，得

0＝ａ０＋ａ1ω＋ａ2ω２＋…＋ａ2000ω2000；

令ｘ＝ω２

，得

0＝ａ０＋ａ１ω２＋ａ２ω４＋ａ３ω６＋…＋ａ2000ω4000． 三个式子相加得

31000＝3（ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998）． ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998＝3999，选Ｃ．

6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． Ａ．2枝玫瑰价格高 Ｂ．3枝康乃馨价格高 Ｃ．价格相同 Ｄ．不确定

讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得，

问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法：

解法1：为了整体地使用条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得ｘ＝（5ａ－3ｂ）／18，ｙ＝（3ｂ－2ａ）／9． ∴2ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9． ∵ａ＞24，ｂ＜22， ∴11ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0． ∴2ｘ＞3ｙ，选Ａ． 图1

解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2ｘ－3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2ｃ有最小值为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞3у，选Ａ． 说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题： 已知函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ２－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满足（ ）． Ａ．－7≤ｆ（3）≤26 Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15 Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20 Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3 （2）如果由条件①、②先分别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文［1］．

二．填空题

7．

3

32 8．i 13

721330+-

9．

6

6

10．)

,4()2,1()1,0(7

2∞+ 11．),2[)2

3

,

1[∞+ 12． 732

7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．

讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率ｅ和焦参数ｐ（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长．

解法1：由{

1

)0(3/1)(=+==-=c a c a ρπρ得

ａ＝2／3，从而ｂ＝

33，故2ｂ＝3

32 解法2：由ｅ＝ｃ／ａ＝1／2，ｐ＝ｂ2／ｃ＝1及ｂ2＝ａ2－ｃ2，得

ｂ＝

33．从而2ｂ＝3

3

2． 说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题．

8．若复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝2，｜ｚ３｜＝3，3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ，则ｚ１·ｚ２＝______________．

讲解：参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点，而且也不繁．

令ｚ１＝2（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα），ｚ２＝3（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），则由3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ及复数相等的充要条件，得 即

二式相除，得ｔｇ（α＋β）／2）＝3／2．由万能公式，得

ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13．

故ｚ１·ｚ２＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］ ＝－（30／13）＋（72／13）ｉ．

说明：本题也可以利用复数的几何意义解．

9．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ1１的棱长为1，则直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离是______________．

讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法． 图2

为了保证所作出的表示距离的线段与Ａ１Ｃ１和ＢＤ１都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内．为此，作正方体的对角面ＢＤＤ１Ｂ１，则Ａ１Ｃ１⊥面ＢＤＤ１Ｂ１，且ＢＤ１面ＢＤＤ１Ｂ１．设Ａ１Ｃ１∩Ｂ１Ｄ１＝0，在面ＢＤＤ１Ｂ１内作

ＯＨ⊥ＢＤ

１，垂足为Ｈ，则线段ＯＨ的长为异面直线Ａ

１

Ｃ

１

与ＢＤ

１

的距离．在Ｒｔ

△ＢＢ

１Ｄ

１

中，ＯＨ等于斜边ＢＤ

１

上高的一半，即ＯＨ＝／6．

10．不等式｜（1／ｌｏｇ

1／2

ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．

讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇ

1／2

ｘ＜－2，或－2／

7＜ｌｏｇ

1／2ｘ＜0，或ｌｏｇ

1／2

ｘ＞0．

从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜22／7，或0＜ｘ＜1．

11．函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．

讲解：先平方去掉根号．

由题设得（ｙ－ｘ）２＝ｘ２－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．

由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．

由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．

说明：（1）参考答案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要．（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．

图3

12．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有

______________种栽种方案．

讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ．按间隔三块Ａ、Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．

（1）若Ａ、Ｃ、Ｅ种同一种植物，有4种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种植后，Ｂ、Ｄ、Ｅ可从剩余的三种植物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法．此时共有4×3×3×3＝108种方法．

（2）若Ａ、Ｃ、Ｅ种二种植物，有Ｐ

４

2种种法．当Ａ、Ｃ、Ｅ种好后，若Ａ、Ｃ种同一种，则Ｂ有3种方法，Ｄ、Ｆ各有2种方法；若Ｃ、Ｅ或Ｅ、Ａ种同一

种，相同（只是次序不同）．此时共有Ｐ

４

３×3（3×2×2）＝432种方法．

（3）若Ａ、Ｃ、Ｅ种三种植物，有Ｐ

４

３种种法．这时Ｂ、Ｄ、Ｆ各有2种

种方法．此时共有Ｐ

４

３×2×2×2＝192种方法．

根据加法原理，总共有Ｎ＝108＋432＋192＝732种栽种方案．

说明：本题是一个环形排列问题．

三．解答题

13．设所求公差为d ，∵a 1＜a 2，∴d ＞0．由此得

412121)()2(d a d a a +=+ 化简得：0422121=++d d a a

解得：1)22(a d ±-= ……………………………………………………… 5分

而022<±-，故a 1＜0

若1)22(a d --=，则22

122

)12(+==

a a q

若1)22(a d +-=，则22

122

)12(-==a a q (10)

分

但12)(21+=++++∞

→n n b b b lim 存在，故| q |＜1，于是2)12(+=q 不可能．

从而

2)12)(222(12)12(1212

2

1=+-=?+=--a a

所以222)22(,211-=+-=-=a d a ……………………………… 20分

14．解：(1)由??

???+==+)(21

22

22m x y y a x 消去y 得：0222222=-++a m a x a x ①

设222222)(a m a x a x x f -++=，问题(1)化为方程①在x ∈(－a ，a )上有唯一解或等根．

只需讨论以下三种情况：

1°△＝0得：2

1

2+=a m ，此时x p ＝－a 2，当且仅当－a ＜－a 2＜a ，即0＜a

＜1时适合；

2°f (a )f (－a )＜0，当且仅当－a ＜m ＜a ；

3°f (－a )＝0得m ＝a ，此时x p ＝a －2a 2，当且仅当－a ＜a －2a 2＜a ，即0＜a ＜1时适合．

f (a )＝0得m ＝－a ，此时x p ＝－a －2a 2，由于－a －2a 2＜－a ，从而m ≠－

a ．

综上可知，当0＜a ＜1时，2

1

2+=a m 或－a ＜m ≤a ；

当a ≥1时，－a ＜m ＜

a ．……………………………………………… 10分

(2)△OAP 的面积p ay S 2

1

= ∵0＜a ＜

2

1

，故－a ＜m ≤a 时，0＜m a a a 2122-++-＜a ， 由唯一性得 m a a a x p 2122-++-=

显然当m ＝a 时，x p 取值最小．由于x p ＞0，从而y p ＝2

21a x p -取值最大，此

时22a a y p -=，

∴2a a a S -=．

当212+=a m 时，x p ＝－a 2，y p ＝21a -，此时212

1

a a S -=．

下面比较2a a a -与212

1

a a -的大小： 令22121a a a a a -=-，得3

1=a 故当0＜a ≤3

1

时，2a a a -≤2121a a -，此时2121a a S max -=．

当2

131<

a a a a a ->-，此时2a a a S max -=． (20)

分

15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为R FG ，当R i ＝a i ，i ＝3，4，5，

6，R 1、R 2是a 1、a 2的任意排列时，R FG 最

小 …………………………………………………… 5分

证明如下：

1．设当两个电阻R 1、R 2并联时，所得组件阻值为R ，则

2

1111R R R +=．故交换二电阻的位置，不改变R 值，且当R 1或R 2变小时，R 也减小，因此不妨取R 1＞R 2．

2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R AB 2

132********

1R R R R R R R R R R R R R R AB +++=++=

显然R 1＋R 2越大，R AB 越小，所以为使R AB 最 小必须取R 3为所取三个电阻中阻值最小的—个． 3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R CD

若记∑≤<≤=

4

11,j i j

i

R

R S ∑≤<<≤=

4

12k j i k

j

i

R

R R S ，则S 1、S 2为定值，于是

4

313212R R S R R R S R CD --=

只有当R 3R 4最小，R 1R 2R 3最大时，R CD 最小，故应取R 4＜R 3，R 3＜R 2，R 3＜R l ，即得总电阻的阻值最

小 ………………………………………………………………………… 15分 4°对于图3把由R 1、R 2、R 3组成的组件用等效电阻R AB 代替．要使R FG 最小，由3°必需使R 6＜R 5；且由1°应使R CE 最小．由2°知要使R CE 最小，必需使R 5＜R 4，且应使R CD 最小．

而由3°，要使R CD 最小，应使R 4＜R 3＜R 2且R 4＜R 3＜R 1， 这就说明，要证结论成

立………………………………………………………………20分

2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准

一．证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC 又∠OBC ＝

2

1

(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC ∴OB ⊥DF ． (2)∵CF ⊥MA

∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA

∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC

∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF

∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC ⊥DE

∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ …………………………………… 30分

①－②＋③＋④－⑤，得

NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2

∴OH ⊥MN …………………………………………………………………… 50分

另证：以BC 所在直线为x 轴，D 为原点建立直角坐标系， 设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，则 b

a k c a k AB AC -=-=, ∴直线AC 的方程为)(c x c a y --

=，直线BE 的方程为)(b x a

c

y -= 由???????

--=-=)()(c x c a y b x a

c y 得E 点坐标为E (2

222222,c a abc ac c a bc c a +-++) 同理可得F (2

222222,b a abc

ab b a c b b a +-++)

直线AC 的垂直平分线方程为)2(2c

x a c a y -=- 直线BC 的垂直平分线方程为2

c

b x +=

由???

????+=

-=-2)2(2c b x c x a c a y 得O (a a bc c b 2,

22++) bc

a ac a

b

c b b a abc ab k ab

ac a bc b c b a a bc k DF

OB +-=+-=-+=

-++=22

2222

,2

2 ∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ． 在直线BE 的方程)(b x a c

y -=

中令x ＝0得H (0，a

bc -

) ∴ac ab bc a c b a bc a a bc k OH

++=

++

+=32

222 直线DF 的方程为x bc

a ac

ab y +-=

2

由???????--=+-=)

(2c x c a y x bc

a ac a

b y 得N (2

2222222,2c bc a ac abc c bc a bc c a -+--++) 同理可得M (2

22

22222,2b

bc a ab abc b bc a c b b a -+--++) ∴bc

a ac

ab bc a bc a b c bc a c b a k MN

3)3)()(())((2

22222++-=++-+-= ∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ． 二．解：先求最小值，因为∑∑

∑

∑=≤<≤==?≥+=n

i i

n

j k j k n

i i n

i i x

x x j

k

x x 1

11

2

2

1

12

)(≥1

等号成立当且仅当存在i 使得x i ＝1，x j ＝0，j ＝i

∴∑=n

i i x 1最小值为1． ……………………………………………………………

10分

再求最大值，令k k y k x =

∴∑∑=≤<≤=+n

k n

j k j

k

k y

ky ky 112

12

①

设∑∑

====n k n

k k k y k x M 1

1

， 令??

?

?

?

??==++=+++n n n n a y a y y a y y y 221

21

则①12

22

21=+++n a a a …………………………………………………… 30分

令1-n a ＝0，则∑=+-=n

k k k a a k M 11)(

∑∑∑∑∑=====+--=--=-=n k n k n k n k n

k k k k k k a k k a k a k a k a k 1

1

1

1

1

1)1(1

由柯西不等式得： 21

21

2

1

])1([

)

(])1([1

21

21

2

∑

∑

∑===--=--≤n

k n

k k n

k k k a k k M

等号成立2

2222

1)1()1(1--==--==n n a k k a a n k 2

2

2

222221)

1()

1()12(1--=

--++-++++?

k k a n n a a a k

n

2

1]

)1(

[

1

1

2∑=----=

?n

k k k k k k a (k =1，2，…，n )

由于a 1≥a 2≥…≥a n ，从而0]

)1(

[

)11(22

11

21≥---++-=

-=∑=+n

k k k k k k k k k a a y ，即x k ≥0

所求最大值为2

1])1([1

2

∑=--n

k k k ……………………………………………

50分

三．解：记所求最小值为f (m ，n )，可义证明f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n ) (*)

其中(m ，n ) 表示m 和n 的最大公约数 …………………………………………… 10分

事实上，不妨没m ≥n

(1)关于m 归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn ＋n －(m ，n )

当用m ＝1时，命题显然成立．

假设当，m ≤k 时，结论成立(k ≥1)．当m ＝k ＋1时，若n ＝k ＋1，则命题显然成立．若n ＜k ＋1，从矩形ABCD 中切去正方形AA 1D 1D (如图)，由归纳假设矩形A 1BCD 1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m —n ＋n —(m －n ，n )＝m －(m ，n )，于是原矩形ABCD 有一种分法使得所得正方形边长之和为rn ＋n －(m ，

n ) …………………………………… 20分

(2)关于m 归纳可以证明(*)成立．

当m ＝1时，由于n ＝1，显然f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n )

假设当m ≤k 时，对任意1≤n ≤m 有f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n )

若m ＝k ＋1，当n ＝k ＋1时显然f (m ，n )＝k ＋1＝rn ＋n －(m ，n )．

当1≤n ≤k 时，设矩形ABCD 按要求分成了p 个正方形，其边长分别为a l ，a 2，…，a p

不妨a 1≥a 2≥…≥a p 显然a 1＝n 或a 1＜n ．

若a 1＜n ，则在AD 与BC 之间的与AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)．于是a 1＋a 2＋…＋a p 不小于AB 与CD 之和． 所以a 1＋a 2＋…＋a p ≥2m ＞rn ＋n －(m ，n )

若a 1＝n ，则一个边长分别为m －n 和n 的矩形可按题目要求分成边长分别为a 2，…a p 的正方形，由归纳假设

a 2＋…＋a p ≥m －n ＋n －(m －n ，n ))＝rn －(m ，n ) 从而a 1＋a 2＋…＋a p ≥rn ＋n －(m ，n )

于是当rn ＝k ＋1时，f (m ，n )≥rn ＋n －(m ，n )

再由(1)可知f (m ，n )＝rn ＋n －(m ，n )． ………………………………………… 50分

A A 1

B n