线段垂直平分线的性质及判定定理证明

知识点一：（线段垂直平分线的性质及其判定定理）

垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；

垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 三角形三边的垂直平分线定理：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶 点的距离相等。我们把该交点称为三角形的外心，特别地：

锐角三角形的外心位置在__________，直角三角形的外心位置在___________，钝角三角形的外心位置在___________。

知识点二：（线段垂直平分线的性质及其判定定理的应用）

<1> 等腰三角形ABC 中，AB=AC ，的垂直平分线交，线段AB A ?=∠20AB 于点D ， 交AC 于点E ，连接BE ，则等于CBE ∠______。

<2> 如图所示，。于点交的垂直平分线中，在D AC MN AB AC AB ABC ,=?若，?=∠40A 则 =∠B D C _______。

<3> 已知A,B 两个村庄的位置如图所示，现要在公路l 边上修建一个人粮食收购站， 使其到A,B 两村庄的距离相等，试确定粮食收购站的位置。

<4> 已知:线段h a ,（如图所示）。求作：h AD a BC AC AB ABC ===?高且使,,,。（不写作 法，保留作图痕迹）

<5>在BC DE AB ACB ABC R 交的垂直平分线，中，?=∠?90t 的延长线于点F,若 的长是，则，EF DE BFD 130=?=∠_____。

<6>有一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm,现将 的长为则重合，折痕为与点折叠，使点BE DE A B ABC ,?_______。

<7> 平行四边形ABCD 中，AB=3，

BC=5

，

AC 的垂直平分线交AD 于点E, 则 的周长是CDE ?_____。

<8> 已知：把),1重合与点所示方式摆放（点按如图和E C DEF Rt ABC Rt ??点B,C(E),F 在同 一条直线上，cm BC cm AC DEF EDF ACB 6,84590==?=∠?=∠=∠，，，cm EF 9=。

如图2所示，的速度所示的位置出发，以从图s cm DEF /11?沿CB 向点B 匀速移 动，在出发，以的顶点从移动的同时，点

B AB

C P DEF ??A BA s cm 向点的速度沿/2匀 速移动。当也随之停止运动，点边上时，移动到的顶点P DEF AC

D DEF ??停止移动。 D

E 与AC 相交于Q ，连接PQ ，设移动时间为t t s t 。当)5.40)((<<为何值时，点A 在 线段PQ 的垂直平分线上？

<9> 如图所示，ABC ?的外角BCE CBD ∠∠和的平分线相交于点F ，求证：点F 在DAE 的平分线上。

<10> 在是，那么这个三角形一定过三角形的顶点边的垂直平分线恰好经中，A BC ABC ?

____________。

<11> 点在的三个顶点距离相等的到ABC ?三角形的______。

<12> 如图所示，已知线段,,,,a BC AC AB ABC h a ==且，使做等腰三角形BC 边上的高 AD=a BC h =）做线段张红的做法是：（1,；（2）做线段BC 的垂直平分线MN,MN 与BC 相交于点D;（3）在直线MN 上截取线段h ；(4)连接AB,AC,为所求的ABC ?等 腰三角形，上述做法的四个步骤中。你认为有错误的一步是______。

<13> A,B,C 分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米。AC=800米，在社会主义新农 村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心 的距离相等，则活动中心P 的位置应在__________。

<14> 如图所示，

D AB AC AC ABC 于点的垂直平分线分别交中，,?,,F DF B

E ⊥交D

F 的延 长线于点E 。已知,230BF AF BC A ==?=∠，，则四边形BCDE 的面积是______。

<15> 如图所示，在ABC ?中，AB=AC ，,36 =∠A AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足 为D ，连接BE ，则EBC ∠的度数为_______。

<16> 如图所示，在周长为20的平行四边形ABCD 中，AB 如图所示，CA=CB ，DA=DB ，EA=EB 。

（1）C 、D 、E 三点在同一条直线上吗，为什么？

（2）如果AB=24，AD=13，AC=20，那么C 、D 两点间的距离是多少？

<18> 如图所示，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，过对角线的交点O 作AC OE ⊥交AD

于点

E ，则AE 的长是_______。

<19> 如图所示，ABC Rt ?中， 90=∠ACB ，D 是AB 边上一点，BD=BC ，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F ，求证：BE 垂直平分CD 。

<20> 在ABC ?中，DE ，FG 分别垂直平分边AB ，AC ，若 126=∠BAC ，则=∠E A G ____。

<21> 如图，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD 交BC 的延长线于点F ，交AD 于 点E ，连接AF ，求证：CAF B ∠=∠

<22> 如图所示，靠近河边有一块三角形菜地，要分给赵、钱、孙、李四家，为了分配公 平合理，要求所分四块菜地面积相同，而且每家都有靠河边的位置，便于取水浇地， 你能想办法把菜地合理分配吗？

<23> 如图所示，在直角梯形ABCD 中， 90=∠ABC ，AD//BC ，AB=BC ，E 是AB 的中 点， BD CE ⊥。

（1）求证：AD=BE ； （2）求证：AC 是线段ED 的垂直平分线；

<24> 到同一平面上三点A 、B 、C 距离相等的点有_______________。

<25> 如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形是 （1）判断三角形的形状； （2）说明理由；

《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计-01

《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计 教学设计思想： 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点. 教学目标： 知识与技能： 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明. 过程与方法： 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观： 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见. 教学重点和难点： 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用. 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法. 教学方法： 启发引导、小组讨论 课时安排： １课时 教具学具准备： 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计： （一）角平分线的性质定理 我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？

角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 做一做 证明三角形全等判定公理的推论. 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据. 证明略. 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明. 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义). ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义). 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题. 2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.

《角平分线的性质》导学案

《角平分线的性质》导学案 教学目标 ：1． 掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用。 2． 理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3． 渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 ：角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点． 性质定理和判定定理的区 别和灵活运用是难点． } 如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ， 沿着AC 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD 的角平分线， 你知道 为什么吗 用直尺和圆规作角的平分线 已知：∠AOB 求作：射线OC 使∠AOC =∠BOC ] 做法： 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 、 求证: PD=PE 几何书写 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些相等的角呢 ⑵哪条线段与DE 相等为什么 - ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6， 求BE ，AE 的长和△AED 的周长。 P A O 》 B C E D 1 |

在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。 | 如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ； 求证：CF=EB 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢 已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ， （ 点D 、E 为垂足，QD ＝QE ． 求证：点Q 在∠AOB 的平分线上． D ） B A C D ~ E B F

角平分线的性质定理和判定定理(含答案)

几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理 一、 知识点(抄一遍)： 1. 角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线. 2. 角平分线的性质定理： 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 3. 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、 专题检测题 1. 证明角平分线的性质定理. （注意：证明文字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明角平分线的判定定理. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ ， ∴ . （2）角平分线的判定定理： ∵ ， ∴ . 4. 已知：如图所示，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，BN 、CP 相交于O 点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的角平分线. 5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂足，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD. B

6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD. 7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的一点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ； （2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD. O

几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理答案 1. 证明角平分线的性质定理. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上， PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC 平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2 ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中 ∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP ∴△PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE 2. 证明角平分线的判定定理. 已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，PD ＝PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上 证明: 经过点P 作射线OC ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠PDO ＝∠PEO ＝90° 在Rt △PDO 和Rt △PEO 中 PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ） ∴ ∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴ DP=EP. （2）角平分线的判定定理： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ． ∴ OP 平分∠AOB ． O O

三角形内角平分线的性质定理的证明

三角形内角平分线的性质定理的证明 一、定理 三角形内角平分线分对边为两部分与两邻边成比例. 二、证明 已知：如图，2∠1∠=. 求证： BC AC BD AD =. 方法一：利用平行线作等比代换. 证明：作DE//BC ，DE 交AC 于点E ，则EC AE BD AD =.3∠2∠=，BC AC DE AE = 又2∠1∠=，∴3∠1∠=，于是DE=EC. ∴BC AC DE AE BD AD == 方法二：应用平行线分线段成比例定理，等比代换中辅以等量代换. 如图，作BE//DC ，BE 交AC 的延长线于点E ，则CE AC BD AD =，E ∠1∠=，3∠2∠=.

又2∠1∠=，得E ∠3∠=，于是 BC=CE ， 则BC AC BD AD =. 方法三：进行逆推分析，若在AC 的延长线上作一个CE=BC ，则只要BE//DC. 延长AC 到点E ，使CE=BC ，连接BE ，则）（E ∠3∠21 3∠+=.又∠ACB 2 12∠=， ∠E ∠3∠+=ACB ，∴3∠2∠=，于是 BE//DC. 则CE AC BD AD ==BC AC . 证法4：如图20.改变△ADC 的一个内角的大小，把它改造为△AEC ，使之与△BDC 相似并作等量代换. 第一种情况：当BC AC ≠ 时，不妨设BC AC >，B CAB ∠∠<，以AC 为一边，在CAB ∠的同侧，作B CAE ∠∠=，AE 与CD 的延长线交于点E.又2∠1∠=，∴△ACE ∽△BCD. 则BC BD AC AE =，而E CA E B ∠∠-1∠-180∠-2∠-1804∠3∠=°=°==. ∴AE=AD ，于是 BC BD AC AD =，即BC AC BD AD =.

角平分线性质定理及逆定理的证明

角平分线的性质与判定 教学目标： 1、 能够对角平分线的性质定理及逆定理进行严密的证明。 2、 能够灵活运用两个定理进行相关问题的计算或者证明。 教学重点：定理的证明及应用。 教学难点：定理的证明。 教学过程： 一.复习引入： 在第二章，我们利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出了角平分线的性质。 你还记得角平分线的性质吗？你能用推理的方法证明它们的真实性吗？ 角平分线的性质：___________________________________________________ 角平分线的性质的逆命题是： 二、新课学习： 知识点一、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D 求证：CF ＝DF. 证明： 应用格式： 例 1.已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。求证：PE=PF 知识点二、证明：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 已知：如图5，点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，PC ＝PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上. 证明： 应用格式： 例2. 已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。 知识点三. 关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 已知：如图6，AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线 求证：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 证明： 三、课堂总结：总结本节课的收获 四．课堂检测 1、有一点P 到三角形三条边的距离相等，则点P 一定是 的交点 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则= 图4

垂直平分线的性质判定与画法

知识要点 线段的垂直平分线： 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等精讲精练 ★例1、直线MN⊥AB，垂足为D，且AD=BD,P是MN上任意一点，求证：PA=PB

★例2、△ABC中，AB=AC,O是△ABC内一点，且OB=OC,求证：直线AO垂直平分线段BC ★★变式1、如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连接AF,求∠AFC的度数。 ★★★变式2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N。求 证：CM=2BM. ★★★变式3、以线段AB为底边的所有等腰三角形中，它们另一个顶点的位置有什么共同特征

★★变式4、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。 ★★例3、如右图，P是∠AOB的平分线OM上任意一点，PE⊥CA于E，PF⊥OB于F，连结EF. 求证：OP垂直平分EF. ★★★例4、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD. 求证：D在∠BAC的平分线上. ★★★变式5、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.

★★★变式6、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，AC=24，求BD 的长。 当堂检测 一：填空选择 1.如图，已知直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P是MN上一点，若AB=10 cm，则BD=__________cm；若PA=10 cm，则PB=__________cm；此时，PD=__________cm. 2.已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在__________上. 3..如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在______上. 第1题第3题 4.如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，

七年级数学下册 角平分线的性质教案

第3课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE ＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解． 解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB 中，∵?????∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ， ∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵?????∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌ △ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .

角平分线的性质定理及其逆定理 教学设计

角平分线的性质定理及其逆定理教学设计教学设计思想 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明。让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题。对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据。最后通过例题的学习来巩固这些知识点。 教学目标 知识与技能 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明。 过程与方法 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见。 教学重点和难点 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用。 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法。 教学方法 启发引导、小组讨论 课时安排 １课时 教具学具准备 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计 （一）角平分线的性质定理

我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？ 角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 做一做 证明三角形全等判定公理的推论。 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据。 证明略。 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明。 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。 求证：PD=PE。 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义)。 ∵PD⊥OA，P E⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)。 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS)。 ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)。 （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题。

角平分线的性质定理教案

角平分线的性质定理教案 慧光中学：王晓艳 教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理； （2）能够运用性质定理证明两条线段相等； 教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点：角平分线定理的应用； 教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程： 一，新课引入： 1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作：（1）画一个角的平分线； （2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。 （3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2．定理的获得： A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明， 得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等； 应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。 3．定理的应用 二．例题讲解： 例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF （此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）

例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点 E、F， 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证：BC=EF （此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件） 三：课堂小结： ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习 1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。

角平分线的性质定理和判定(经典)

角平分线的性质定理和判定 第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 第二部分：例题剖析 例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， AB=15cm， （1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长． 例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？ 第三部分：典型例题

例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交 于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD、AB、AD间？直接写出结果 【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上． 例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm， 2 1 N P F C B A

线段的垂直平分线各种证明

证明线段的垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点

角平分线的性质

12.3 角的平分线的性质 一、教学分析 1．教学容分析 本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12.3节第一课时容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用．作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．2．教学对象分析 刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础． 3．教学环境分析 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今各学校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择多媒体、投影仪等教学系统辅助教学，将有关教学容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握． 二、教学目标 1、知识与技能： 1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。 2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决问题． 2、过程与方法： 1.在探究作已知角的平分线和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。 2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力. 3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用. 3、情感态度价值观：

三角形角平分线性质资料讲解

三角形内角平分线定理 三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线平分对边之比。即在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则 BD/DC=AB/AC 应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例三角形内角平分线内平分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例. 三角形外角平分线的性质定理： 三角形外角平分线平分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例，均可以用相似△证明. 角平分线性质定理 角平分线的性质： 1.角平分线可以得到两个相等的角。 2.角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 证明 ●三角形内角平分线分对边所成的两条线段，和两条

邻边成比例． 即在三角形ABC中，当AD是顶角A的角平分线交底边于D时，BD/CD=AB/AC. 证明：如图，AD为△ABC的角平分线，过点D向边AB,AC分别引垂线DE,DF.则DE=DF. S△ABD：S△ACD=BD：CD 又因为S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC ×DF]=AB：AC 所以BD/CD=AB/AC. 1.角平分线可以得到两个相等的角。 角平分线，顾名思义，就是将角平分的射线。 如右图，若射线AD是角CAB的角平分线，则角CAD 等于角BAD。 2.角平分线线上的点到角两边的距离相等。 如右上图，若射线AD是∠CAB的角平分线，求证：

CD=BD ∵∠DCA=∠DBA ∠CAD=∠BAD AD=AD ∴△ACD≌△ABD ∴CD=BD 3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形的内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。 这一条是第二条的引申，详细证明过程参照第二条和三角形内心。 4.三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。 如右下图，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS 平分∠MAN，直线BC分别交射线AM、AN、AS于B、C、D，求证：AB/BD=AC/CD： 作BE=BD交射线AS于E，如图1： ∵BE=BD， ∴∠BED=∠BDE， ∴∠AEB=∠ADC 又∵∠BAE=∠CAD,

角平分线的性质典型例题

【典型例题】 例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ; （2）BO BC（要求：不用三角形全等判定）. 分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平分线上的点，由此可打开思路. 证明：（1）vZ C=Z C = 90°（已知）， ??? ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）. 又??? AO AC （已知）， ???点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. ? / ABC=Z ABC. （2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC, ?180°—（/ C+Z ABC = 180°—（/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理）即/ BAC=Z BAC, ??? AC L BC, AC L BC, ?BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）. 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性. 例 2.女口图所示，已知△ ABC中, PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由. 分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证. 解：AD平分Z BAC ??? D到PE的距离与到PF的距离相等， ???点D在Z EPF的平分线上. ? Z 1 = Z 2. 又??? PE// AB ???/ 1 = Z 3.

角平分线性质练习题集

４ 分层练习, 评价自我 活动四 做一做 练习一： 判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ） （2）PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 则PE=PF （ ） （3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ） 练习二 判断:1、若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 2、若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 3、已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ） 练习三 如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。 (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等 。 (2)点P 在角A 的平分线上吗？ (3)三角形的三条角平分线有什么关系呢？ ５ 课堂反思，强化思想 活动五 想一想 （1）这节课我们帮助别人解决了什么问题？你是怎么做到的？ （2）你感悟到了什么？ ６ 布置作业，指导学习

1、必做题：教材：第2题。 2、选做题：教材：第3题。 板书设计 角平分线的性质角平分线的判定 ∵PA=PB ∵OP平分∠AOB， 又∵PA⊥OA，PB⊥OB 又∵PA⊥OA, PB⊥OB ∴OP平分∠AOB ∴PA=PB 到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离相等 测试目标：探索并掌握角平分线性质 11.3角平分线性质（1） 一、选择题 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误 的是( ) A．PC = PD B．OC = OD C．∠CPO = ∠DPO D．OC = PC 2．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，D E⊥AB于E， A B C D O P D C

人教版八年级上册数学 角平分线性质的证明

人教版八年级上册数学 角平分线性质的证明教学设计 教学目标： 知识与技能：了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明与计算。 过程与方法:在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。 情感态度与价值观:在主动参与数学活动的过程中，增强探究问题的兴趣、有合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,获得解决问题的成功体验 教学重难点 重点： 角的平分线的性质的证明及应用。难点：角的平分线的性质的探究。 教学过程 (一)导入新课 复习角平分线的画法 (二)生成新知 探究做一做(学生独立完成，同组同学交流，找生到黑板上板演.教师纠正答案) 如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?试着证明你的结论. 结论：角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 证明步骤： ①明确命题中的已知和求证; ②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证; ③经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程. (三)深化新知

思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?(由学生讨论汇报) (四)应用新知 1.例题： 2.练一练：(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____ 中 PD=PE. (2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中PD=PE吗? (3)在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短?它们有怎样的数量关系呢? (五)作业小结 小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗?

角平分线的性质定理及判定定理

流 河 路公 北 M 区 C B A 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形) 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学符号可表示： ∵点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） ∴ 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 用数学符号可表示： ∵ ∴点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） 基础闯关 1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为 2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为 ㎝。 3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。 4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 5.三角形中到三边距离相等的点是（ ） A 、三条边的垂直平分线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条中线的交点 D 、三条角平分线的交点 6.到一个角的两边距离相等的点在 ． 7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流 与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ． 8．三角形中，到三边距离相等的点是 （A ）三条高线交点．（B ）三条中线交点．（C ）三条角平分线交点．（D ）三边垂直平分线交点． 9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 O D P E B A 第3题图 D A B C 2 1D A P O E B 第4题图

第二节角平分线定理

第二节角平分线定理 【知识点拨】 1、三角形内角平分线的性质定理： 三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。（试证明） 2、三角形外角平分线性质定理： 三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。 3、常见问题 对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。 【赛题精选】 例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。 求CD的长。 例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。 求A D·DC的值。（2001年全国竞赛题）

【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。计算时要注意对应关系，正确书写比例式。 对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。 例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。 求证：BC AC AB ID AI +=。 例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分 ∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G 。 试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀 请赛题） 【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2 211n m n m =，从而得到21x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。 本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。 例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。求证：AC ∥DF 。

角平分线性质定理以及逆定理

角平分线性质定理以及逆定理教案 姓名性别男年级初二总课时：课时第次课 教学 内容 角平分线定理以及逆定理 重点难点角平分线定理 角平分线的逆定理 教学 目标 掌握角平分线定理以及逆定理 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况： 交流与沟通： 针 对 性 授 课 角平分线定理以及逆定理 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学符号可表示： ∵点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB） ∴ 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 用数学符号可表示： ∵ ∴点P在∠AOB的平分线上（或OP平分∠AOB） 探究一应用角平分线性质证明线段相等--------------------性质 如图2，在△ABC中，∠C＝90，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF．求证：CF＝EB． 1．要证CF＝EB，可以证明哪两个三角形全等？ ___________________________________________________． 2．这两个三角形是什么三角形？已知什么？还需要证明什 么？ ___________________________________________________． 3．还需证明的结论成立吗？为什么？ ___________________________________________________． 4．讨论总结：根据以上的分析，本题的证明过程应该怎么书写呢？ O D P E B A 图2

变式1．已知，如图BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，PN ⊥CD 于D ，求证：PM ＝PN 。 C N P M D B A 变式2.如图,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F,且DB=DC,求证:BE=CF. D F C B A E 变式3. 如图所示，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，DF AC ⊥，垂足为 F ，且BD CD =． 求证：BE CF =． 探究二 应用角平分线性质证明两角互补 如图3，AC 平分∠BAD ，CD ＝CB ，AB ＞AD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ． 求证：∠CBA ＋∠ADC ＝180?． 1．由于∠CDF ＋∠ADC ＝180?，要证∠CBA ＋∠ADC ＝180?，只需证明哪两个角相等？为此要证哪两个三角形全等？ ___________________________________________________． 2．怎样证明1中的两个三角形全等？ ________________________________________________________________________． 3．讨论总结：在利用角平分线性质解题时，应注意步骤的完整性，不要漏掉什么？ ________________________________________________________________________． 图3 Ｄ Ｅ Ｂ Ａ Ｆ Ｃ

(新)角平分线性质定理及逆定理练习题

角平分线性质定理及逆定理练习 一．选择题（共11小题） 1．（2011?衢州）如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射 线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 2．（2011?恩施州）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足 为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（ ） 3．（2010?柳州）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于D ，若CD=3cm ，则点D 到AB 的距离DE 是（ ） A ． 5cm B ． 4cm C ． 3cm D ． 2cm 4．（2010?鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点 E ，D F ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 6 D ． 5 5．（2009?临沂）如图，OP 平分∠AOB ，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，垂足分别为 A ， B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ． P A=P B B ． P O 平分∠APB C ． O A=OB D ． A B 垂直平分OP 6．（2007?中山）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ） A ． 三条中线的交点 B ． 三条高的交点 C ． 三条边的垂直平分线的交点 D ． 三条角平分线的交点 7．（2006?贵港）已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，且AB ：AC=：，则△ABD 与△ACD 的面积之比为（ ） A ． 11 B ． 5.5 C ． 7 D ． 3.5 A ． 3：2 B ． ： C ． 2：3 D ． ：

角平分线的性质定理和判定经典

角平分线的性质定理和判定 令狐采学 第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等： ①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 第二部分：例题剖析 例1. 已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平 分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm， （1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长． 例2. 如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 例3.如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC辨别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是几多？ 第三部分：典典范题 例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点 E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，

PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD、AB、AD间？直接写出结果 【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求 证：点P在∠C的平分线上． 例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且 DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积． 【变式练习】如图，D、E、F辨别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等． 求证：AD平分∠BA C． 第四部分：思维误区 一、忽视“垂直”条件 例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。 第五部分：方律例律 （1）有角平分线，通常向角两边引垂线。 （2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。经常使用办法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然