(完整版)数列求和经典题型总结
3、数列求和
数列求和的方法.
（1）公式法： 等差数列的前n 项求和公式
=__________________=_______________________.n S 等比数列的前n 项和求和公式
???≠===)1(___________________)1(__________q q S n
（2），数列的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”
....++=n n n b a C {}n C .
（3），数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用
n n n C a b =?{}n C “错位相减法”.
（4），数列的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”.1n n n
C a b =?{}n C （5）并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。适用于
形如的类型。举例如下：()()n f a n
n 1-= ()()()
5050
12979899100129798991002
22222=++???++++=-+???+-+-= n S 常见的裂项公式：（1）;(2)____________________;(3)111)1(1+-=+n n n n =+-)
12)(12(1n n =__________________1
1++n n 题型一 数列求解通项公式
1. 若数列{a n }的前n 项的和，则{a n }的通项公式是1232
+-=n n S n
=_________________。
n a 2. 数列中，已知对任意的正整数n ，，则
}{n a 1321-=+???++n
n a a a 等于_____________。22221n a a a +???++3. 数列{}n a 中，352,1,a a ==如果数列1{}1
n a +是等差数列，则11a =________________。
4. 已知数列{a n }中，a 1＝1且，则____________。31111+=+n n a a =10a
5. 已知数列{a n }满足，则=_____________.。)2(11≥-=-n a n
n a n n n a 6. 已知数列{a n }满足，则=_____________.。
)2(11≥++=-n n a a n n n a 7. 若数列{a n }的前n 项的和则{a n }的通项公式是=_________________。,3
132+=n n a S n a 8. 已知数列{a n }的前n 项的和为，且，则=________________。
n S 12n -=n a S 5a 9. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n S n －1 (n ≥2)，则S n ＝
?．
10. 数列满足：，则等于________________。
{} n a 112,43n n a a a +==-10a 11. 数数列满足：，则等于________________。
{} n a 112,4+3n n n a a a +==10a 12. 数列满足：，则等于________________。
{} n a n+1112,324n n a a a +==-?10a 13. 数列满足：，则等于________________。
{} n a 112,52n n a a a +==-10a 14. 数列满足：，则等于________________。 {} n a n
112,3+3n n a a a +==10a
15. 数列满足：，则等于________________。
{} n a n+1112,434n n a a a +==-?10a 16. 数列共有10项，且其和为240，则
20,2,,2101+???+???+a k a a k =_____________.。
1021a a a +???++17. 已知数列{a n }的通项公式为，则它的前100项之和
()()3411-?-=-n a n n =____________。
100S 18. 数列，其前n 项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）()11-=
n n a n 109x+y+n=0，在y 轴上的截距为________________。
题型二 分组转化求和
1. 已知数列{a n }是，???-++++
,1212,1-29,1-26,1-234
32（1）写出数列{a n }的通项公式；（2）求其前n 项和。n S 2. 求和。??? ??+???++++???+??? ??+++??? ??
++=-1214
1211412112111n n S 3. 数列{a n }的前n 项的和为，，点在直线上，
n S t a =1()1,+n n a S 13+=x y （1）当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列；
（2）在（1）的结论下，设是数列的前n 项和，求。n n n n n n T b a c a b ,,log 14+==+{
}n c n T
题型三 错位相减法求和
1. 已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4.{
}n a （1）求数列的通项公式；{
}n a （2）设，求数列的前n 项和。
()()+-∈≠-=N n q q a b n n n ,041{}n b n S 2. 已知数列{a n }的首项为，公比为的等比数列，设411=a 41=q n n a b 4
1log 32=+，数列满足()+∈N n {}n c n
n n b a c ?=（1）数列的通项公式；{
}n b （2）求数列的前n 项和。{
}n c n S 3. 在数列中，，当时，其前n 项和满足{}n a 11=a 2≥n n S .212??
? ??
-=n n n S a S （1）求的表达式；
n S （2）设，求数列的前n 项和。1
2+=n S b n n {}n b n T 4. 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为，且。n S ()+∈+=
N n a a S n n n ,2
1（1）求证：数列{a n }是等差数列；
（2）设，求。n n n
n b b b T S b +???++==21,21n T 题型四 裂项求和
1. 设数列{a n }满足11111,011=---=+n
n a a a （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设，数列的前n 项和，证明<1.
n a b n n 1
1+-={}n b n S n S 2. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S ，
109,1011+==+n n S a a （1）求证：是等差数列；（2）设是数列的前n 项和，求；}{lg n a n T })
a )(lg (lga 1{1n n +n T （3）求使对所有的正整数n 恒成立的整数m 的取值集合。)5(4
12n m m T +>3. 若是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且成等比数列。
n S 421,,S S S （1）求等比数列的公比；
421,,S S S （2）若，求数列的通项公式；42=S {
}n a （3）在（2）的条件下，设是等差数列的前n 项和，求使得n n n n T a a b ,31+=
{}n b
对所有的正整数n 都成立的最小正整数m 。20
m T n <4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n -2n +1，n ∈N*．
（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求{a n }的前n 项和为S n
（3）设b n = log 2，是数列的前n 项和，是否存在最大的正整数k ，使得Sn
n n T ?
?????+11n n b b 对于任意的正整数n ，有T n >恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理
k
12由．