历年高考数学试卷 附答案
数学试卷
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）（2015? ）设全集U=R ．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩?U Β= ．
2．（4分）（2015?）若复数z 满足3z+=1+i ，其中i 是虚数单位，则z= ．
3．（4分）（2015?）若线性方程组的增广矩阵为解为
，则c 1﹣
c 2= ．
4．（4分）（2015?）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16，则
a= ．
5．（4分）（2015?）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．
6．（4分）（2015?）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
7．（4分）（2015?）方程log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2的解为 ．
8．（4分）（2015?）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
9．（2015?）已知点 P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线C 1和C 2．若C 1的渐近线方程为y=±x ，则C 2的渐近线
方程为 ．
10．（4分）（2015?）设f ﹣1（x ）为f （x ）=2x ﹣2+，x ∈[0，2]的反函数，则y=f （x ）+f ﹣1（x ）的最大值为 ．
11．（4分）（2015?）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）．
12．（4分）（2015?）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，
3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作
为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ
1和ξ
2
分别表示赌客在一局赌博中的赌金
和奖金，则Eξ
1﹣Eξ
2
= （元）．
13．（4分）（2015?）已知函数f（x）=sinx．若存在x
1，x
2
，…，x
m
满足0≤x
1
＜
x 2＜…＜x
m
≤6π，且|f（x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f（x
m﹣1
）﹣f
（x
m
）|=12（m≥12，m∈N*），则m的最小值为．
14．（2015?）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD
的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则?= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）（2015?）设z
1，z
2
∈C，则“z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数”是“z
1
﹣
16．（5分）（2015?）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）
C D
17．（2015?）记方程①：x2+a
1x+1=0，方程②：x2+a
2
x+2=0，方程③：x2+a
3
x+4=0，
其中a
1，a
2
，a
3
是正实数．当a
1
，a
2
，a
3
成等比数列时，下列选项中，能推出方
18．（5分）（2015?）设 P
n （x
n
，y
n
）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在
第一象限的交点，则极限=（）
﹣
三、名师解答题（本大题共有5题，满分74分）名师解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12分）（2015?）如图，在长方体ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=1，AB=AD=2，E、F
分别是AB、BC的中点，证明A
1、C
1
、F、E四点共面，并求直线CD
1
与平面A
1
C
1
FE
所成的角的大小．
20．（14分）（2015?）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，
BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t
1
时乙到达C 地．
（1）求t
1与f（t
1
）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t
1
≤t≤1时，求f（t）的
表达式，并判断f（t）在[t
1
，1]上的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14分）（2015?）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l
1和l
2
分别于椭圆
交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．
（1）设A（x
1，y
1
），C（x
2
，y
2
），用A、C的坐标表示点C到直线l
1
的距离，并
证明S=2|x
1y
2
﹣x
2
y
1
|；
（2）设l
1与l
2
的斜率之积为﹣，求面积S的值．
22．（16分）（2015?）已知数列{a
n }与{b
n
}满足a
n+1
﹣a
n
=2（b
n+1
﹣b
n
），n∈N*．
（1）若b
n =3n+5，且a
1
=1，求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设{a
n }的第n
项是最大项，即a≥a
n
（n∈N*），求证：数列{b
n
}的第n
项是最大项；
（3）设a
1=λ＜0，b
n
=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a
n
}有最大值M与最
小值m，且∈（﹣2，2）．
23．（18分）（2015?）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg
（x）是以T为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（T）=4π．
（1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
（2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x
0∈[a，b]，使得f（x
）
=c；
（3）证明：“u
0为方程cosf（x）=1在[0，T]上得解，”的充分条件是“u
+T
为方程cosf（x）=1在区间[T，2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T]，都有f （x+T）=f（x）+f（T）．
2015年市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）（2015?）设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩?
U
Β={1，4} ．
知识归纳：交、并、补集的混合运算．
名师分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．
名师讲解：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，
∴（?
U
B）={x|x＞3或x＜2}，
∴A∩（?
U
B）={1，4}，
故答案为：{1，4}．
名师点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．
2．（4分）（2015?）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
知识归纳：复数代数形式的乘除运算．
名师分析：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
名师解答：解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），
又3z+=1+i，
∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，
化为4a+2bi=1+i，
∴4a=1，2b=1，
解得a=，b=．
∴z=．
故答案为：．
名师点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．
3．（4分）（2015?）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c
1﹣c
2
=
16 ．
知识归纳：二阶行列式与逆矩阵．
名师分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．
名师解答：解：由题意知，是方程组的解，
即，
则c
1﹣c
2
=21﹣5=16，
故答案为：16．
名师点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
4．（4分）（2015?）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= 4 ．
知识归纳：棱锥的结构特征．
名师分析：由题意可得（?a?a?sin60°）?a=16，由此求得a的值．
名师解答：解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为?a?a?sin60°，正棱柱的高为a，
∴（?a?a?sin60°）?a=16，∴a=4，
故答案为：4．
名师点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．
5．（4分）（2015?）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．
知识归纳：抛物线的简单性质．
名师分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
名师解答：解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，
所以=1，
所以p=2．
故答案为：2．
名师点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（4分）（2015?）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴
的夹角的大小为
．
知识归纳： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 名师分析： 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h ，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案． 名师解答： 解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， 则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh ， ∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π， ∴l=2h，
设母线与轴的夹角为θ， 则cosθ==， 故θ=
，
故答案为：
．
名师点评： 本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是名师解答的关键．
7．（4分）（2015?）方程log 2（9
x ﹣1
﹣5）=log 2（3
x ﹣1
﹣2）+2的解为 2 ．
知识归纳： 对数的运算性质． 名师分析： 利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可． 名师解答： 解：∵log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2，∴log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2[4×（3x ﹣1
﹣2）]，
∴9x ﹣1﹣5=4（3x ﹣1﹣2）， 化为（3x ）2﹣12?3x +27=0，
因式分解为：（3x ﹣3）（3x ﹣9）=0， ∴3x =3，3x =9， 解得x=1或2．
经过验证：x=1不满足条件，舍去． ∴x=2．
故答案为：2． 名师点评： 本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
8．（4分）（2015?）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献
血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 （结果用数值表示）．
知识归纳：排列、组合的实际应用．
名师分析：根据题意，运用排除法名师分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．
名师解答：解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C
9
5=126种；
其中只有女教师的有C
6
5=6种情况；
则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；
故答案为：120．
名师点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．
9．（2015?）已知点 P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和
Q的轨迹分别为双曲线C
1和C
2
．若C
1
的渐近线方程为y=±x，则C
2
的渐近线
方程为．
知识归纳：双曲线的简单性质．
名师分析：设C
1
的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程，
即可求出C
2
的渐近线方程．
名师解答：解：设C
1
的方程为y2﹣3x2=λ，
设Q（x，y），则P（x，2y），代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，
∴C
2
的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．
故答案为：．
名师点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（4分）（2015?）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f （x）+f﹣1（x）的最大值为 4 ．
知识归纳：反函数．
名师分析：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1（x）在[]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x）的最大值．
名师解答：解：由f（x）=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1（x）在[]上为增函数，
因此y=f（x）+f﹣1（x）在[]上为增函数，
∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=1+1+2=4．
故答案为：4．
名师点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．
11．（4分）（2015?）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45 （结果用数值表示）．
知识归纳：二项式系数的性质．
名师分析：先把原式前两项结合展开，名师分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．
名师解答：解：∵（1+x+）10
=，
∴仅在第一部分中出现x2项的系数．
再由，令r=2，可得，
x2项的系数为．
故答案为：45．
名师点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．
12．（4分）（2015?）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，
3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作
为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ
1和ξ
2
分别表示赌客在一局赌博中的赌金
和奖金，则Eξ
1﹣Eξ
2
= 0.2 （元）．
知识归纳：离散型随机变量的期望与方差．
名师分析：分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．
名师解答：解：赌金的分布列为
1 2 3 4 5
P
所以Eξ
1
=（1+2+3+4+5）=3，
奖金的分布列为
1.4
2.8 4.2 5.6
P ====
所以Eξ
2
=1.4×（×1+×2+×3+×4）=2.8，
则Eξ
1﹣Eξ
2
=3﹣2.8=0.2元．
故答案为：0.2
名师点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，根据概率的公式分别进行计算是解决本题的关键．
13．（4分）（2015?）已知函数f（x）=sinx．若存在x
1，x
2
，…，x
m
满足0≤x
1
＜
x 2＜…＜x
m
≤6π，且|f（x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f（x
m﹣1
）﹣f
（x
m
）|=12（m≥12，m∈N*），则m的最小值为8 ．知识归纳：正弦函数的图象．
名师分析：由正弦函数的有界性可得，对任意x
i ，x
j
（i，j=1，2，3，…，m），
都有|f（x
i ）﹣f（x
j
）|≤f（x）
max
﹣f（x）
min
=2，要使m取得最小值，尽可能多
让x
i
（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．
名师解答：解：∵y=sinx对任意x
i ，x
j
（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（x
i
）
﹣f（x
j ）|≤f（x）
max
﹣f（x）
min
=2，
要使m取得最小值，尽可能多让x
i
（i=1，2，3，…，m）取得最高点，
考虑0≤x
1＜x
2
＜…＜x
m
≤6π，|f（x
1
）﹣f（x
2
）|+|f（x
2
）﹣f（x
3
）|+…+|f
（x
m﹣1）﹣f（x
m
）|=12，
按下图取值即可满足条件，
∴m的最小值为8．
故答案为：8．
名师点评：本题考查正弦函数的图象和性质，考查名师分析问题和解决问题的
能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意x
i ，x
j
（i，j=1，2，3，…，m），
都有|f（x
i ）﹣f（x
j
）|≤f（x）
max
﹣f（x）
min
=2是名师解答该题的关键，是难
题．
14．（2015?）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD 的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则?= ﹣．
知识归纳：平面向量数量积的运算．
名师分析：由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然
后代入数量积公式得答案．
名师解答：解：如图，
∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，
可得，，∴．
又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．
由，得．
则．
∴?==．
故答案为：．
名师点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）（2015?）设z
1，z
2
∈C，则“z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数”是“z
1
﹣
z
2
是虚数”的（）
知识归纳：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
名师分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．
名师解答：解：设z
1=1+i，z
2
=i，满足z
1
、z
2
中至少有一个数是虚数，则z
1
﹣z
2
=1
是实数，则z
1﹣z
2
是虚数不成立，
若z
1、z
2
都是实数，则z
1
﹣z
2
一定不是虚数，因此当z
1
﹣z
2
是虚数时，
则z
1、z
2
中至少有一个数是虚数，即必要性成立，
故“z
1、z
2
中至少有一个数是虚数”是“z
1
﹣z
2
是虚数”的必要不充分条件，
故选：B．
名师点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键．
16．（5分）（2015?）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋
转至OB，则点B的纵坐标为（）
C D
知识归纳：任意角的三角函数的定义．
名师分析：根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．
名师解答：解：∵点 A的坐标为（4，1），
∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，
则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，
则点B的纵坐标为y=|OP|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7
（×+）=+6=，
故选：D．
名师点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．
17．（2015?）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2
+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方
知识归纳： 根的存在性及根的个数判断． 名师分析： 根据方程根与判别式△之间的关系求出a 12≥4，a 22＜8，结合a 1，a 2，a 3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论． 名师解答： 解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a 12﹣4≥0，△2=a 22﹣8＜0，
即a 12≥4，a 22
＜8，
∵a 1，a 2，a 3成等比数列， ∴a 22=a 1a 3， 即a 3=
，
则a 32=（）2=，
即方程③的判别式△3=a 32﹣16＜0，此时方程③无实根， 故选：B 名师点评： 本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．
18．（5分）（2015?）设 P n （x n ，y n ）是直线2x ﹣y=（n ∈N *）与圆x 2+y 2=2在
第一象限的交点，则极限=（ ） ﹣知识归纳： 极限及其运算． 名师分析： 当n→+∞时，直线2x ﹣y=
趋近于2x ﹣y=1，与圆x 2+y 2=2在第一
象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出． 名师解答： 解：当n→+∞时，直线2x ﹣y=趋近于2x ﹣y=1，与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而
可看作点 P n （x n ，y n ）与（1，1）连
线的斜率，其值会无限接近圆x 2+y 2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．
∴=﹣1．
故选：A．
名师点评：本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、名师解答题（本大题共有5题，满分74分）名师解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19．（12分）（2015?）如图，在长方体ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
中，AA
1
=1，AB=AD=2，E、F
分别是AB、BC的中点，证明A
1、C
1
、F、E四点共面，并求直线CD
1
与平面A
1
C
1
FE
所成的角的大小．
知识归纳：直线与平面所成的角．
名师分析：利用长方体的集合关系建立直角坐标系．利用法向量求出二面角．名师解答：解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的
中位线，所以EF∥AC．由长方体的性质知AC∥A
1C
1，
所以EF∥A
1C
1，
所以A
1、C
1
、F、E四点共面．
以D为坐标原点，DA、DC、DD
1
分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，易求得
，
设平面A
1C
1
EF的法向量为
则，所以，即，
z=1，得x=1，y=1，所以，
所以=，
所以直线CD
1与平面A
1
C
1
FE所成的角的大小arcsin．
名师点评：本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高考常考题型．
20．（14分）（2015?）如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，
BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t
1
时乙到达C 地．
（1）求t
1与f（t
1
）的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t
1
≤t≤1时，求f（t）的
表达式，并判断f（t）在[t
1
，1]上的最大值是否超过3？说明理由．
知识归纳：余弦定理的应用．
名师分析：（1）由题意可得t
1==h，由余弦定理可得f（t
1
）
=PC=，代值计算可得；
（2）当t
1
≤t≤时，由已知数据和余弦定理可得f（t）=PQ=，当＜t≤1时，f（t）=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，可得结论．
名师解答：解：（1）由题意可得t
1
==h，
设此时甲运动到点P，则AP=v
甲t
1
=5×=千米，
∴f（t
1
）=PC=
==千米；
（2）当t
1
≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，
∴f（t）=PQ=
=
=，
当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，
∴f（t）=PB=AB﹣AP=5﹣5t
∴f（t）=
∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，
故f（t）的最大值超过了3千米．
名师点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题．
21．（14分）（2015?）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l
1和l
2
分别于椭圆
交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．
（1）设A（x
1，y
1
），C（x
2
，y
2
），用A、C的坐标表示点C到直线l
1
的距离，并
证明S=2|x
1y
2
﹣x
2
y
1
|；
（2）设l
1与l
2
的斜率之积为﹣，求面积S的值．
知识归纳：直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．
名师分析：（1）依题意，直线l
1
的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式
可求得点C到直线l
1
的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，
可证得S=|AB|d=2|x
1y
2
﹣x
2
y
1
|；
（2）方法一：设直线l
1的斜率为k，则直线l
2
的斜率为﹣，可得直线l
1
与l
2
的方程，联立方程组，可求得x
1、x
2
、y
1
、y
2
，继而可求得答案．
方法二：设直线l
1、l
2
的斜率分别为、，则=﹣，利用A（x
1
，y
1
）、C
（x
2，y
2
）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．
名师解答：解：（1）依题意，直线l
1
的方程为y=x，由点到直线间的距离公
式得：点C到直线l
1
的距离d==，
因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x
1y
2
﹣x
2
y
1
|；
（2）方法一：设直线l
1的斜率为k，则直线l
2
的斜率为﹣，
设直线l
1
的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，
根据对称性，设x
1=，则y
1
=，
同理可得x
2=，y
2
=，所以S=2|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=．
方法二：设直线l
1、l
2
的斜率分别为、，则=﹣，
所以x
1x
2
=﹣2y
1
y
2
，
∴=4=﹣2x
1x
2
y
1
y
2
，
∵A（x
1，y
1
）、C（x
2
，y
2
）在椭圆x2+2y2=1上，
∴（）（）=+4+2（+）=1，
即﹣4x
1x
2
y
1
y
2
+2（+）=1，
所以（x
1y
2
﹣x
2
y
1
）2=，即|x
1
y
2
﹣x
2
y
1
|=，
所以S=2|x
1y
2
﹣x
2
y
1
|=．
名师点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．
22．（16分）（2015?）已知数列{a
n }与{b
n
}满足a
n+1
﹣a
n
=2（b
n+1
﹣b
n
），n∈N*．
（1）若b
n =3n+5，且a
1
=1，求数列{a
n
}的通项公式；
（2）设{a
n }的第n
项是最大项，即a≥a
n
（n∈N*），求证：数列{b
n
}的第n
项是最大项；
（3）设a
1=λ＜0，b
n
=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a
n
}有最大值M与最
小值m，且∈（﹣2，2）．
知识归纳：数列递推式；数列的函数特性．
名师分析：（1）把b
n =3n+5代入已知递推式可得a
n+1
﹣a
n
=6，由此得到{a
n
}是等
差数列，则a
n
可求；
（2）由a
n =（a
n
﹣a
n﹣1
）+（a
n﹣1
﹣a
n﹣2
）+…+（a
2
﹣a
1
）+a
1
，结合递推式累加得到
a n =2b
n
+a
1
﹣2b
1
，求得，进一步得到
得答案；
（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情
况求得a
n
的最大值M和最小值m，再由∈（﹣2，2）列式求得λ的范围．
名师解答：（1）解：∵a
n+1﹣a
n
=2（b
n+1
﹣b
n
），b
n
=3n+5，
∴a
n+1﹣a
n
=2（b
n+1
﹣b
n
）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，
∴{a
n }是等差数列，首项为a
1
=1，公差为6，
则a
n
=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；
（2）∵a
n =（a
n
﹣a
n﹣1
）+（a
n﹣1
﹣a
n﹣2
）+…+（a
2
﹣a
1
）+a
1
=2（b
n ﹣b
n﹣1
）+2（b
n﹣1
﹣b
n﹣2
）+…+2（b
2
﹣b
1
）+a
1
=2b
n +a
1
﹣2b
1
，
∴，
∴．
∴数列{b
n }的第n
项是最大项；
（3）由（2）可得，
①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；
单调递增，有最小值m=a
1
=λ，
∴∈（﹣2，2），
∴λ∈，
∴．
②当λ=﹣1时，a
2n =3，a
2n﹣1
=﹣1，
数列历年高考真题分类汇编
专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析：对于B ，令2 104x λ-+=，得12 λ=， 取112a = ，所以211 ,,1022n a a ==
所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ，所以6 10432a a ??> ???，所以107291064a > >故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==． 从而* 22,n a n n =-∈N ． 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -． 所以2* ,n b n n n =+∈N ． （2 ）*n c n = ==∈N ． 我们用数学归纳法证明． ①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立； ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立，即12h c c c +++ 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合, , 则 A ． B ． C ． D ． 2． A ． B ． C ． D ． 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来, 构件的凸出部分叫榫头, 凹进部分叫卯眼, 图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体, 则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4．若, 则 A ． B ． C ． D ． 5．的展开式中的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 6．直线分别与轴, 轴交于, 两点, 点在圆上, 则面积的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 7．函数的图像大致为 {}|10A x x =-≥{}012B =， ，A B =I {}0{}1{}12，{}012， ，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i +1 sin 3 α= cos2α=8 9 79 79 -89 -5 22x x ? ?+ ?? ?4x 20x y ++=x y A B P ()2 222x y -+=ABP △[]26，[]48 ， ??42 2y x x =-++ 8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 , 各成员的支付方式相互独立, 设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数, , , 则 A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3 9．的内角的对边分别为, , , 若的面积为 , 则 A ． B ． C ． D ． 10．设是同一个半径为4的球的球面上四点, 为等边三角形且其面积为 则三棱锥体积的最大值为 A ． B ． C ． D ． 11．设是双曲线 （）的左, 右焦点, 是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线, 垂足为．若, 则的离心率为 A B ．2 C D 12．设, , 则 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共4小题, 每小题5分, 共20分。 p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224 a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ，， ，ABC △D ABC -12F F ，22 221x y C a b -=：00a b >>， O 2F C P 1PF =C 0.2log 0.3a =2log 0.3b =0a b ab +<<0ab a b <+<0a b ab +<<0ab a b <<+ 历年高考真题（数学文化） 1.（2019湖北·理）常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数， 如他们研究过图1中的1， 3， 6， 10， …， 由于这些数能表示成三角形， 将其称为三角形数；类似地， 称图2中的1， 4， 9， 16…这样的数为正方形数， 下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.（2019湖北·文）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 A ．1升 B ．6667升 C ．4447升 D ．3337 升 3.（2019湖北·理）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子， 自上而下各节的容积成等差数列， 上面4节的容积共3升， 下面3节的容积共4升， 则第5节的容积为 升. 4.（2019?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数， 以十六乘之， 九而一， 所得开立方除之， 即立圆径， “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V ， 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π =3.14159…..判断， 下列近似公式中最精确的一个是（ ） A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.（2019?湖北）在平面直角坐标系中， 若点P （x ， y ）的坐标x ， y 均为整数， 则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点， 则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ， 其内部的格点数记为N ， 边界上的格点数记为L ．例如图中△ABC 是格点三角形， 对应的S=1， N=0， L=4． （Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的S ， N ， L 分别是________； （Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a ， b ， c 为常数．若某格点多边形对应的N=71， L=18， 则S=________（用数值作答）． 6.（2019?湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有系统的数学典籍， 其中记载有求“囷盖”的术：置如其周， 令相乘也， 又以高乘之， 三十六成一， 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ， 计算其体积 绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 2015年高考数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．（5分）（2015?原题）复数i（2﹣i）=（） A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i 2．（5分）（2015?原题）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（） A．0 B．1 C．D．2 3．（5分）（2015?原题）执行如图所示的程序框图输出的结果为（） A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8） 4．（5分）（2015?原题）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是“α∥β”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2015?原题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（） A．2+B．4+C．2+2D．5 6．（5分）（2015?原题）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 7．（5分）（2015?原题）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（） A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2} 8．（5分）（2015?原题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（） A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题（每小题5分，共60分） 1、 =++i i 13（ ） A 、i 21+ B 、i 21- C 、i +2 D 、i -2 2、设集合{ }421，，=A ，{} 042=+-=m x x x B ，若{}1=B A ，则=B （ ） A 、｛1，－3｝ B 、｛1，0｝ C 、｛1，3｝ D 、｛1，5｝ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）A 、1盏 B 、3盏 C 、5盏 D 、9盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A 、π90 B 、π63 C 、π42 D 、π36 5、设x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+≥+-≤-+0303320 332y y x y x ，则y x z +=2的最小值（ ） A 、－15 B 、－9 C 、1 D 、9 6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ） A 、12种 B 、18种 C 、24种 D 、36种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ） A 、乙可以知道四人的成绩 B 、丁可以知道四人的成绩 C 、乙、丁可以知道对方的成绩 D 、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行如图的程序框图，如果输入的1-=a ，则输出的=S （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 9、若双曲线C ：12222=-b y a x （0>a ，0>b ）的一条渐近线被圆4)2(2 2=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A 、2 B 、3 C 、2 D 、 3 3 2 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是（） 新农村建设后，种植收入减少 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 新农村建设后，养殖收入增加一倍 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A.5 B.6 C.7 D.8 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ， 直角边AB,AC 。△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ， 在整个图形中随机取一点， 此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为 123 ,,p p p ,则（） 历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 历年高考真题遗传类基本题型总结 一、表格形式的试题 1．（2005年）已知果蝇中，灰身与黑身为一对相对性状（显性基因用B表示，隐性基因用b表示）；直毛与分叉毛为一对相对性状（显性基因用F表示，隐性基因用f表示）。两只亲代果蝇杂交得到以下子代类型 请回答： （1）控制灰身与黑身的基因位于；控制直毛与分叉毛的基因位于。 （2）亲代果蝇的表现型为、。 （3）亲代果蝇的基因为、。 （4）子代表现型为灰身直毛的雌蝇中，纯合体与杂合体的比例为。 （5）子代雄蝇中，灰身分叉毛的基因型为、；黑身直毛的基因型为。 2．石刁柏（俗称芦笋，2n=20）号称“蔬菜之王”，属于XY型性别决定植物，雄株产量明显高于雌株。石刁柏种群中抗病和不抗病受基因A 、a控制，窄叶和阔叶受B、b控制。两株石刁柏杂交，子代中各种性状比例如下图所示，请据图分析回答： （1）运用的方法对上述遗传现象进行分析，可判断基因A 、a位于染色体上，基因B、b位于染色体上。 （2）亲代基因型为♀，♂。子代表现型为不抗病阔叶的雌株中，纯合子与杂合子的比例为。 3．（10福建卷）已知桃树中，树体乔化与矮化为一对相对性状(由等位基因D、d控制)，蟠桃果形与圆桃果形为一对相对性状（由等位基因H、h控制），蟠挑对圆桃为显性，下表是桃树两个杂交组合的试验统计数据： （1）根据组别的结果，可判断桃树树体的显性性状为。 （2）甲组的两个亲本基因型分别为。 （3）根据甲组的杂交结果可判断，上述两对相对性状的遗传不遵循自由组台定律。理由是：如果这两对性状的遗传遵循自由组台定律，则甲纽的杂交后代应出现种表现型。比例应为。 4.（11年福建卷）二倍体结球甘蓝的紫色叶对绿色叶为 显性，控制该相对性状的两对等位基因（A、a和B、b）分别位于3号和8号染色体上。下表是纯合甘蓝杂交试验的统计数据： 请回答： （1）结球甘蓝叶性状的有遗传遵循____定律。 （2）表中组合①的两个亲本基因型为____，理论上组合①的F2紫色叶植株中，纯合子所占的比例为_____。 （3）表中组合②的亲本中，紫色叶植株的基因型为____。若组合②的F1与绿色叶甘蓝杂交，理论上后代的表现型及比例为____。 参考公式：如 果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立，那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A＝{1.3.m}，B＝{1，m},A B＝A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点，焦距为4一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中，AB=2，CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点，则直线AC 1 1 A2B3C2D1 （5）已知等差数列{a}的前n项和为S，a =5，S=15，则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 （6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) 3 （7）已知α 为第二象限角，sin α ＋sin β = ，则 cos2α = (A) - 5 3 （B ） - 5 5 5 9 9 3 （8）已知 F1、F2 为双曲线 C ：x 2-y 2=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，|PF1|=|2PF2|，则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 （B ） 5 (C) 4 (D) 5 1 （9）已知 x=ln π ，y=log52， ，则 (A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数 y ＝x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c ＝ （A ）-2 或 2 （B ）-9 或 3 （C ）-1 或 1 （D ）-3 或 1 （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A ）12 种（B ）18 种（C ）24 种（D ）36 种 7 （12）正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AE ＝BF ＝ 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入 射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10 二。填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上。 （注意：在试题卷上作答无效） （13）若 x ，y 满足约束条件 （14）当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时，x=___________。 （15）若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 _________。 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题： （17）（本小题满分 10 分）（注意：在试卷上作答无效） △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知 cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3 历年高考试题分类汇编之《曲线运动》 （全国卷1）14．如图所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满 足 A.tan φ=sin θ B. tan φ=cos θ C. tan φ=tan θ D. tan φ=2tan θ 答案：D 解析：竖直速度与水平速度之比为：tanφ = ，竖直位移与水平位移之比为：tanθ = gt v 0 ，故tanφ =2 tanθ ，D 正确。 0.5gt 2 v 0t （江苏卷）5．如图所示，粗糙的斜面与光滑的水平面相连接，滑块沿水平面以速度 运动．设滑块运动到A 点的时刻为t =0，距A 点的水平距离为x ，水平 0v 速度为．由于不同，从A 点到B 点的几种可能的运动图象如下列选 x v 0v 项所示，其中表示摩擦力做功最大的是 答案：D 解析：考查平抛运动的分解与牛顿运动定律。从A 选项的水平位移与时间的正比关系可知，滑块做平抛运动，摩擦力必定为零；B 选项先平抛后在水平地面运动，水平速度突然增大，摩擦力依然为零；对C 选项，水平速度不变，为平抛运动，摩擦力为零；对D 选项水平速度与时间成正比，说明滑块在斜面上做匀加速直线运动，有摩擦力，故摩擦力做功最大的是D 图像所显示的情景，D 对。本题考查非常灵活，但考查内容非常基础，抓住水平位移与水平速度与时间的关系，然后与平抛运动的思想结合起来，是为破解点。 （江苏卷）13．(15分)抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L 、网高h ，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g ) (1)若球在球台边缘O 点正上方高度为h 1处以速度，水平发出，落在球台的P 1点(如 1v 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = 历年高考地理真题分类汇编 专题城乡规划 （?天津卷）图4、图5表示城市人口密度和城区在15年间的变化。读图回答6-7题。 6.结合图4中的信息推断，该市人口状况发生的变化是（） A.其北部人口增加的数量最多 B.全市人口密度增加 C.市中心的人口密度有所降低 D.东部人口增长较慢 7．结合图5中信息推断，该城市空间结构发生的变化是（） A.商业区的分布更加集中 B．新工业区向老工业区集聚 C．住宅区向滨湖地区聚集 D．中部、南部路网密度增大 【答案】6. B 7. D 【解析】 试题分析： 6.从图示中人口密度的图例分析，该市东部人口密度增加较大，人口增加较快；增加数量的多少还取决于面积的大小，所以不能判断各方向人口增加数量的多少；而全市的人口密度都增加。故选B。 （?四川卷）图3反映我国某城市某工作日0：00时和10:00时的人口集聚状况，该图由手机定位功能获取的人口移动数据制作而成，读图回答下列各题。 5、按城市功能分区，甲地带应为（） A、行政区 B、商务区 C、住宅区 D、工业区 6、根据城市地域结构推断，该城市位于（） A、丘陵地区 B、平原地区 C、山地地区 D、沟谷地区 【答案】5、C 6、B （?江苏卷）“国际慢城”是一种具有独特地方感的宜居城镇模式，要求人口在5万人以下、环境质量好、提倡传统手工业、无快餐区和大型超市等。下图为“国际慢城”桠溪镇的大山村土地利用今昔对比图。读图回答下列问题。 21．与“国际慢城“要求相符合的生产、生活方式是（） A．骑单车出行 B．经营手工业作坊 C．去速食店就餐 D．建大型游乐场 22．大山村在成为“国际慢城”前后，产业结构的变化是（） A．从传统农业到现代农业 B．从种植业到种植业与服务业相结合 C．从水稻种植业到商品谷物农业 D．从较单一的农作物到多种经济作物 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m= A 0 B 0或3 C 1 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 2 16x + 2 12y =1 B 2 12x + 2 8y =1 C 2 8 x + 2 4 y =1 D 212 x + 2 4 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B C D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100 （6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则 (A) （B ） (C) (D) 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a=（ ） B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量=(-4,-3)，则向量= ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量a =(0,-1),b b =(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量a ，b 的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 函数 （2011卷1）在下列区间中，函数()34-+=x e x f x 的零点所在区间为 A. ??? ??- 0,41 B .??? ??41,0 C. ??? ??21,41 D.?? ? ??43,21 （2010卷1）已知函数()? ? ?=≤<>+-100,lg 10,62 1 x x x x x f ，若啊a,b,c,互不相等，且()()()c f b f a f ==， 则abc 的取值范围是（ ） 全国卷历年高考真题汇编-三角函数与解三角形 （2019全国2卷文）8．若x 1=4π，x 2=4 3π 是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．3 2 C ．1 D ． 1 2 答案：A （2019全国2卷文）11．已知a ∈（0， π 2），2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ．15 B C D 答案：B （2019全国2卷文）15.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 答案：4 3π （2019全国1卷文）15．函数3π ()sin(2)3cos 2 f x x x =+-的最小值为___________． 答案：-4 （2019全国1卷文）7．tan255°=（ ） A ．－2 B ．－ C ．2 D ． 答案：D （2019全国1卷文）11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 C c B b A a sin 4sin sin =- ，4 1cos -=A ，则b c =（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：A （2019全国3卷理） 18．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ； （2）若△ABC 为锐角三角形，且1c =，求△ABC 面积的取值范围． （1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2 A C A B A +=． 因为sin 0A ≠，所以sin sin 2 A C B +=． 由180A B C ++=?，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222 B B B =． 因为cos 02 B ≠，故1 sin =22B ，因此60B =?． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积ABC S ?． 由正弦定理得sin sin(120)1 sin sin 2 c A c C a C C ?-= ==+． 由于△ABC 为锐角三角形，故090A ?< 全国高考理科数学试题 及答案全国 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 一、选择题 1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= A ．2i - B ．i - C ．i D ．2i 2．函数0)y x =≥的反函数为 A ．2()4x y x R =∈ B ．2 (0)4 x y x =≥ C ．2 4y x =()x R ∈ D ．2 4(0)y x x =≥ 3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞ C ．22a b ＞ D ．33a b ＞ 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移 3 π 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A ． 13 B ．3 C ．6 D ．9 6．已知直二面角α? ι?β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若 AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 A ． 3 B ． 3 C ． 3 D ．1 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位 朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 8．曲线y=2x e -+1在点（0，2）处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 A ．13 B ． 12 C ． 23 D ．1 9．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2 f -= A ．-12 B ．1 4- C ．14 D ．1 2全国三卷理科数学高考真题及答案
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