中考数学专题复习动点型问题(含详细参考答案)
专题十动点型问题
一、中考专题诠释
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲
解决动点问题的关键是“动中求静”.
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做
好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲
考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.
例1（2013?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）
A．B．C．D．
思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．
解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：
（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；
（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．
综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），
这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．
点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．
对应训练
1．（2013?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O
.
与∠α 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于⊙O 的半径 r （r ＞0）变化的函数图象大致 是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 1．C
考点二：动态几何型题目
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体，运动
变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强，能力要求 高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与
特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊 位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三 角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 （一）点动问题．
例 2 （2013?河北）如图，梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，且 AE=EF=FB=5， DE=12 动点 P 从点 A 出发，沿折线 AD-DC-CB 以每秒 1 个单位长的速度运动到点 B 停止．设 运动时间为 t 秒，y=S △EPF ，则 y 与 t 的函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
思路分析：分三段考虑，①点 P 在 AD 上运动，②点 P 在 DC 上运动，③点 P 在 BC 上运 动，分别求出 y 与 t 的函数表达式，继而可得出函数图象．
解：在 △Rt ADE 中，AD= AE 2 + DE 2 = 13 ，在 Rt △CFB 中，BC= BF 2 + CF 2 = 13 ，
①点P在AD上运动：
过点P作PM⊥AB于点M，则PM=APsin∠A=12 13
t，
此时y=130
EF×PM=t，为一次函数；213
1
②点P在DC上运动，y=EF×DE=30；
2
③点P在BC上运动，过点P作PN⊥AB于点N，则PN=BPsin∠B=12
13（AD+CD+BC-t）
=12(31-t)
13，
130(31-t)
则y=EF×PN=，为一次函数．
213
综上可得选项A的图象符合．
故选A．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出
解析式．
对应训练
2．（2013?北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为△x，APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
2．A
（二）线动问题
例3（2013?荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）
A．B．
C．D．
思路分析：分三段考虑，①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．
解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；
②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；
③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；
结合选项可得，A选项的图象符合．
故选A．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．
对应训练
3．（2013?永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）
A．B．
C．D．
3．A
（三）面动问题
例4（2013?牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平
（
线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为 t ，大正方形内去 掉小正方形后的面积为 s ，那么 s 与 t 的大致图象应为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
思路分析：根据题意，设小正方形运动的速度为V ，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿 入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别 求出 S ，可得答案．
解：根据题意，设小正方形运动的速度为 V ，分三个阶段； ①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt ， ②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3， ③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1， 分析选项可得，A 符合； 故选 A ．
点评：解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合 可得整体得变化情况． 对应训练
4．
（2013?衡阳）如图所示，半径为 1 的圆和边长为 3 的正方形在同一水平线上，圆沿该水 平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为 t ，正方形除去圆部分的面积为 S （阴影部分）， 则 S 与 t 的 大 致 图 象 为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．A
四、中考真题演
6． 2013?连云港）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 、B 的坐标分别为（8， 0）、（0，6）．动点 Q 从点 O 、动点 P 从点 A 同时出发，分别沿着 OA 方向、AB 方向均以
1 个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为 t （秒）
（0＜t≤5）．以 P 为圆心，PA 长为半 径的⊙P 与 AB 、OA 的另一个交点分别为 C 、D ，连接 CD 、QC ． （1）求当 t 为何值时，点 Q 与点 D 重合？
（2）设△QCD 的面积为 S ，试求 S 与 t 之间的函数关系式，并求 S 的最大值； （3）若⊙P 与线段 QC 只有一个交点，请直接写出 t 的取值范围．
∴cos ∠BAO= OA 4 5 5 25
6．解：（1）∵A （8，0），B （0，6）， ∴OA=8，OB=6，
∴AB= OA 2 + OB 2 = 82 + 62 =10，
4 OB 3
= ，sin ∠BAO= = ．
AB 5 AB 5
∵AC 为⊙P 的直径，
∴△ACD 为直角三角形．
∴AD=AC?cos ∠BAO=2t× = 8
5 5
t ．
当点 Q 与点 D 重合时，OQ+AD=OA ，
即：t+ 8 5
t=8，
40
解得：t= ．
13 40
∴t=
（秒）时，点 Q 与点 D 重合．
13
（2）在 △Rt ACD 中，CD=AC?sin ∠BAO=2t×
40
①当 0＜t≤
时，
13
3 5 = 6 5
t ．
8 13
DQ=OA-OQ-AD=8-t - t=8- 5 5
t ．
1 1 13 6 39 24
∴S= DQ?CD= （8- t ）? t=- t 2+ t ．
2 2 5 25 5 b 20 20 40
∵- = ，0＜
＜
，
2a 13
13
13
20 48 ∴当 t= 时，S 有最大值为
；
13 13
40
②当
＜t≤5 时，
13 8 13 DQ=OQ+AD-OA=t+ t -8=
t -8．
5
5
1
1 13
6 39 24 ∴S= DQ?CD= （ t -8）? t= t 2- t ．
2 2 5 5
，
所以，⊙P与线段QC只有一个交点，t的取值范围为0＜t≤16
∵-
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b202040
=，＜，所以S随t的增大而增大，
2a131313
48
∴当t=5时，S有最大值为15＞．
13
综上所述，S的最大值为15．
（3）当CQ与⊙P相切时，有CQ⊥AB，∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，∴△ACQ∽△AOB，
∴AC AC2t8-t
==
OA AB810，16
解得t=．
7
40
或＜t≤5．
713
9．（2013?遵义）如图，在△Rt ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B 出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
9．解：如图，
∵在△Rt ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得AC2+BC2=5cm．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
，即 ，即 ，即 时，S 最小值= ． （
①当△AMP ∽△ABC 时， AP A M 5 - 2t 4 - t = =
AC AB 4 5
， 解得 t= 3 2
；
②当△APM ∽△ABC 时， AM AP 4 - t 5 - 2t = =
AC AB 4 5
，
解得 t=0（不合题意，舍去）；
综上所述，当 t=
3
2
时，以 A 、P 、M 为顶点的三角形与△ABC 相似；
（2）存在某一时刻 t ，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻 t ，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值． 如图，过点 P 作 PH ⊥BC 于点 H ．则 PH ∥AC ，
∴ PH BP PH 2t = = ，
AC BA 4 5
8
∴PH= t ，
5
∴S=S △ABC △-S BPH ，
1 1 8
= ×3×4- ×（3-t ）? t ， 2 2 5 4 3 21
= （t - ）2+
（0＜t ＜2.5）．
5 2
5
4 ∵ ＞0，
5
∴S 有最小值．
当 t=
3 21 2 5
3 21
答：当 t= 时，四边形 APNC 的面积 S 有最小值，其最小值是 ．
2 5
10． 2013?苏州）如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cm ，BC=12cm ，点 E 、F 、 G 分别从 A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为 1cm/s ，点 F 的运动速度为 3cm/s ，点 G 的运动速度为 1.5cm/s ，当点 F 到达点 C （即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线 EF 的对称图形 是△EB′F ．设点 E 、F 、G 运动的时间为 t （单位：s ）． （1）当 t= s 时，四边形 EBFB′为正方形；
（2）若以点 E 、B 、F 为顶点的三角形与以点 F ，C ，G 为顶点的三角形相似，求 t 的值； （3）是否存在实数 t ，使得点 B′与点 O 重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理 由．
则有EB
，即
则有EB
，即
10．解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，
即：10-t=3t，
解得t=2.5；
（2）分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
BF10-t3t
==
FC CG12-3t 1.5t
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
，
BF10-t3t
==
CG FC 1.5t12-3t，
解得：t=-14-269（不合题意，舍去）或t=-14+269．
∴当t=2.8s或t=（-14+269）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．
（3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合．
如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在△Rt OFM中，OF=BF=3t，FM=
OM=5，
由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，
即：52+（6-3t）2=（3t）21
2BC-BF=6-3t，
解得：t=61 36；
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，
由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，
即：62+（5-t）2=（10-t）2解得：t=3.9．
∵61
36≠3.9，
∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．
12．（2013?宁波）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．