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实变函数(复习资料,带答案)

《实变函数》试卷一

一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）

（A ）1lim n k n n k n A A ∞

∞

→∞

===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞

∞

==→∞

=??;

（C ）1lim n k n n k n

A A ∞

∞

→∞

===??; （D ）1lim n k n k n

n A A ∞

∞

==→∞

=??;

2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='

(D) P P =

3、下列说法不正确的是（）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B)

{}sup ()n n

f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n

f x 是可测函数;（D ）若

()()n f x f x ?,则()f x 可测

5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数

（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)

-=b a

a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题(3分×5=15分)

1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则

E =______,o

E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都

_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为

[],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数 4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则

()0E

f x >?

四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设2,()1,x x f x x ?=??为无理数

为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -

可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

2、（8分）求0ln()

lim cos x n x n e xdx n

∞-+?

五、证明题（6分×4+10=34分）.

1、（6分）证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .

2、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、（6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、（6分）设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则

lim 0n n

n me ?=.

5、（10分）设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ?，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理

试卷一（参考答案及评分标准）

一、1. C 2 D 3. B 4. A 5. D 二、1．? 2、[]0,1； ? ； []0,1 3、

***()()m T m T E m T CE =?+?

4、充要

5、11|()()|n i i i f x f x -=??

-????∑成一有界数集。

三、1．错误2分例如：设E 是[]0,1上有理点全体，则E 和CE 都在[]0,1中稠密5分

2．错误2分例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ，故其为不可数集 5分 3．错误例如：设E 是[],a b 上的不可测集，

[],;

(),,;

x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数…

4．错误0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =?

四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集……..3分因为()f x 是有界可测

函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，[]

120,101

()3

f x dx x dx ==?? (8)

分

2．解：设ln()()cos x

n x n f x e x n

-+=

，则易知当n →∞时，()0n f x → 2分

又因'

2ln 1ln 0t t

t t -??=< ???

，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时，

ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++……4分从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+………………………6分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

f x dx f x dx ∞

∞

==??…………………8分

五、1．设[0,1],E =,\().A E Q B E E Q =?=?

B M B ∴??是无限集，可数子集 ………………2分 .A A M

M ∴?是可数集， (3)

分

(\),(\),()(\),(\),

B M B M E A B A M B M A M B M M B M φφ=?=?=????=?=且………..5分

,.E B B c ∴∴=…………………………6分

2．,{},lim n n n x E E x x x →∞

'?∈=则存在中的互异点列使……….2分

,()n n x E f x a ∈∴≥………………….3分

()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥在点连续，

x E ∴∈………………5分

E ∴是闭集.………………………….6分

3. 对1ε=，0δ??，使对任意互不相交的有限个

(,)(,)i i a b a b ?

当1

()n i i i b a δ=-<∑时，有1

()()1n

i i i f b f a =-<∑………………2分

将[,]a b m 等分，使11

i i i x x δ-=-<∑，对

:T ?101i x z z -=

<=，有11

()()1k

i i i f z f z -=-<∑，所以

()f x 在1[,]i i x x -上是有界变差函数……………….5分

所以1

()1,i

i x x f V -≤从而()b

f m V ≤，因此，()f x 是[,]a b 上的有界

变差函数………..6分 4、()f x 在E 上可积

lim (||)(||)0n mE f n mE f →∞

?≥==+∞=……2分

据积分的绝对连续性，0,0,,e E me εδδ?>?>??<，有

|()|e

f x dx ε

对上述0,,,(||)k n k mE f n δδ>??>≥<，从而

|()|n

n e n me f x dx ε?≤

n m e

?=…………………6分 5．,n N ?∈存在闭集()1

,,()2

n n n F E m E F f x ?-<在n F 连续…………2分

令1n k n k

F F ∞

∞

===

，则,,,()n n n k

x F k x F n k x F f x

∞

=?∈??∈??≥∈?在F 连续………4分

又对任意k ,()[()][()]n n n k

n k

m E F m E F m E F ∞

∞

==-≤-?=?-

()2n k

n k

m E F ∞

=≤-<

∑………………………….6分故()0,()m E F f x -=在F E ?连续…………..8分

又()0,m E F -=所以()f x 是E F -上的可测函数，从而是E 上

的

可测函数……………………..10分

《实变函数》试卷二

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（）

(A) M (B) N (C) M N ? (D) ? 2. 下列说法不正确的是( )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点

(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E

的聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是

闭集；

4. 下列断言中( )是错误的。

（A ）零测集是可测集；（B ）可数个零测集的并是零测集；

（C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集；

5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（）是正确

的

(A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ?在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -?-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -?-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-?∞-在广义可积在a,+可积二. 填空题(3分×5=15分)

1、设11

[,2],1,2,n A n n n =-=，则=∞→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o

P =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞

∞==??

? ???∑

4、鲁津定理：

__________________________________________

5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。

2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

四.解答题(8分×2=16分)

1、设,()1,x x f x x ?=??为无理数

为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，

是否L -可积，若可积，求出积分值。2、求极限 13

0lim sin 1n nx nxdx n x →∞+?. 五.证明题(6分×3+ 82? =34分)

1.(6分) 1、设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.

2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

3. （6分）在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4.（8分）设函数列()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x 。

5.（8分）设()f x 在[],E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ?，使|()()|b

a f x x dx ?ε-

（答案及评分标准）一、1，C 2, C 3, B 4, C 5,

二、1，()0,2 2，c ；0 ；? 3， ≤ 4，设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。

5，对任意0,0εδ>?>，使对[],a b 中互不相交的任意有限个开区间(),,1,2,

,,i i a b i n =只要()1

i i i b a δ=-<∑，就有

|()()|n

i F b F a ε=-<∑

三、1．错误记(0,1)中有理数全体

12{,,}R r r =1

2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??=??==??=

?为，

中无理数，

显然[01]0111?-是，到（

，）上的映射。……………5分 2．正确…设i E 为零测度集， *

)0i i i m E m E ∞

∞

==≤≤=∑，所以，

(

)0i i m E ∞

==因此，

i i E ∞

=是零测度集。……………5分

3．错误。例如：取(0,),E =+∞作函数列：

1,(0,]()1,2,

0,(,)n x n f x n x n ∈?==?∈+∞

显然()1,n f x →当x E ∈。但当01σ<<时，

[|1|](,)n E f n σ-≥=+∞

且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1.……5分

4．错误……2分例如：cos ,01,()20,0.

x x f x x

x π?

<≤?

=??=?显然是[]0,1的连续函数。

如果对[]0,1取分划11

:01221

T n n <

<<<

<<-，

则容易证明21111

|()()|n

i i i i f x f x i

-==-=∑∑，从而得到10

()V f =∞…5分

四、1．()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连续，即不连续点为正测度集…………3分

因为()f x 是有界可测函数，所以()f x 在[]0,1上是L -可积的……….6分

因为()f x 与x ..a e 相等, 进一步，[]

0,10

()2

f x dx xdx ==

? (8)

分 2设322

()sin 1n nx

f x nxdx n x

+，则易知当n →∞时，()0n f x →………………2分

又22

|()|1n nx

f x n x ≤

+………………4分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的………6分故有0

lim ()lim ()0n n n

f x dx f x dx ∞

∞

==??………………8分

五、1．,()x E f x c ?∈>……………………..1分

()f x 在x 点连续，∴对()0,(,),f x c U x εδ=->?当(,)y U x δ∈时，

有()()f y f x ε-<…………………3分

()()()()f x c f y f x f x c ∴-+<-<-()f y c ∴>，y E ∴∈…5分

因此(,)U x E δ?，从而E 为开集……………..6分 2．对任何正整数n ，由条件存在开集,n G E ?使

()n m G E n -<

…1分令1

n n G G ∞

，则G 是可测集……………3分

又因*()m G E -*1

()n m G E n

≤-<

对一切正整数n 成立，因而*()0m G E -=，即M G E =-是一零测度集，所以也可

测.………………5分

由()E G G E =--知，E 可测。………………6分 3、易知()()x

a g x f V =是[],a

b 上的增函数……………2分

令()()()h x g x f x =-, 则对于12a x x b ≤<≤有

1212121212121()()()()[()()]

()[()()]|()()|[()()]0

x x h x h x g x g x f x f x V f f x f x f x f x f x f x -=---=--≥---≥

所以()h x 是[],a b 上的增函数……………4分

因此()()()f x g x h x =-，其中()g x 与()h x 均为[],a b 上的有限

增函数…….6分

4、因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以对于任意的k Z +∈，存在可测集k E E ?，()n f x 在k E 上一致收敛于

()f x ，且1

(\)k m E E k

………3分令*

k k E E ∞

，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ………5分

(\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k ∞

==≤<，k=1,2

所以*(\)m E E 0=……………………8分

5、证明：设[||],n e E f n =>由于()f x 在E 上..a e 有限，故

0,()n me n →→∞….2分

由积分的绝对连续性，对任何0,N ε?>?，使

|()|4

N e N me f x dx ε

?≤<

?………4分

令\N N B E e =，在N B 上利用鲁津定理，存在闭集N N F B ?和在

1R 上的连续函数()x ?使（1）(\);4N N m B F N

（2）N x F ∈时，

()()f x x ?=，且1

sup |()|sup |()|N

x F x R x f x N ?∈∈=≤………6分

所以

\|()()||()()||()()||()||()||()()|24

N N

e B e e B F N

f x x dx f x x dx f x x dx

f x dx x dx f x x dx N me N N

?????ε

-≤-+-≤++-≤

+?+?

≤

?????…

……...8分

《实变函数》试卷三（参考答案及评分标准）

一、单项选择题（3分×5=15分）

1、设1

[,2(1)],1,2,n n A n n

=+-=，则（ B ）

(A) lim [0,1]n n A →∞

= （B ）=∞

→n n A lim (0,1]

= （D ）lim (0,3)n n A →∞

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的（ D ）（A ）'

[0,1]E = (B) o

E =? (C) E =[0，1] (D)

1mE =

3、下列说法不正确的是（ C ）

(A) 若B A ?，则B m A m **≤ （B ）有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测（D ）凡开集、闭集皆可测

4、设}{n E 是一列可测集， ????n E E E 21，且

+∞<1mE ，则有（ A ）

（A ）n n n n mE E m ∞→∞==??? ???lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤???

???lim 1

（C ）n n n n mE E m ∞

→∞=

???lim 1;（D ）以上都不对

5、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的（ B ） (A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处

处可导（C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数

二. 填空题(3分×5=15分)

1、设集合N M ?，则()M M N --=______N ____

2、设P 为Cantor 集，则 =P c ，mP =_0____，o

P =-___?_____。

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

___***()()m T m T E m T CE =?+?_______，则称E 是L 可测的

4、叶果洛夫定理：设}{,)(n f E m ∞<是E 上一列..e a 收敛于个

..e a 有限的函数f 的可测函数，则对任意,0>δ存在子集

E E ?δ，使}{n f 在δE 上一致收敛且δδ<)\(E E m 。

5、设)(x f 在E 上可测，则)(x f 在E 上可积的充要条件是|)(x f |在E 上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)

1、任意多个开集之交集仍为开集。解：不成立 2分

反例：设G n =( n

n 1

1,11+--- ),n=1,2, , 每个G n 为开集

但 ∞

=-=1

]1,1[n n G 不是开集. 5分

2、若0=mE ，则E 一定是可数集.解：不成立反例:设E 是

Cantor 集，则0mE =，但E =c ，故其为不可数集 .5分 3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。解：不成立 …2分

例如：取(0,),E =+∞作函数列：1,(0,]

()1,2,

0,(,)n x n f x n x n ∈?==?∈+∞

显然()1,n f x →当x E ∈。但当01σ<<时，

[|1|](,)n E f n σ-≥=+∞

且(,)m n +∞=+∞这说明()n f x 不测度收敛到1 …5分 4、连续函数一定是有界变差函数。

解：不成立 2分

例如：cos ,01,

()20,0.

x x f x x

x π?

<≤?=??=?显然是[]0,1的连续函数。如果对[]0,1取分划11

:01221

T n n <

<<<

<<-，则容易证明21111

|()()|n

i i i i f x f x i

-==-=∑∑，从而得到10

()V f =∞ ……5分

四、解答题（8分×2=16分）.

1、（8分）设2,()0,x x f x x ?=??为无理数

为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -

可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

解：()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在0x =处连续，即不连续点为正测度集 ……..3分因为()f x 是有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的 …6分

因为()f x 与2x ..a e 相等，进一步，

[

]

20,101

()3

f x dx x dx ==?? …8分

2、求极限 12

3220lim sin 1n nx

nxdx n x

→∞

解：记1

()sin 1n nx f x nx n x

+ 则)(x f n 在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R ）可积和（L ）可积. ……………..2分

又 ]1,0[,0)(lim ∈=∞

→x x f n n ……4分

22222

1|()||sin |||211n nx nx f x nx x n x n x

-=≤≤?++ ,2,1],1,0[=∈n x ……….6分

且21

?x 在]1,0[上非负可积,故由Lebesgue 控制收敛定理得 12

220

00lim()()lim sin 001n n n nx R f x dx nxdx dx n x →∞

→∞

===+??

? .8分

五、证明题（6分×4+10=34分）. 1、（6分）试证(0,1)~[0,1]

证明：记(0,1)中有理数全体12{,,}Q r r =,令

()x ?=12

2(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ????+=??=??

==??=

?为，

中无理数，显然[01]0111?-是，到（

，）上的映射 ……5分所以(0,1)~[0,1] ……6分

2、（6分）设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.

证明: .)(,00c x f E x >∈?即 ….1分

因f （x ）连续，故

c x f x x >?∈?>?）时，有(),(,00δδ. ………….4分

即E x ??)(0.所以0x 是E 的内点.

由0x 的任意性,E 的每一个点都是内点,从而E 为开集. 6分

3、（6分）设()f x 是可测集E 的非负可积函数，()g x 是E 的可测函数，且|()|()g x f x ≤，则()g x 也是E 上的可积函数。证明：

|()|()g x f x ≤，

()(),()()g x f x g x f x +-∴≤≤ …………1分

[]()()()n

E E E

g x dx f x dx f x dx +??∴≤≤?????

()f x 是可测集E 的非负可积函数 ∴ lim

n →∞

()()n

n E E

g x dx f x dx +

??≤????<+∞

∴()g x +是E 上的可积函数. ….. 4分

同理，()g x -也是E 上的可积函数.

∴()g x 是E 上的可积函数。 …… 6分

4、（6分）设()f x 在E 上积分确定，且()().f x g x a e =于E ，

则()g x 在E 上

也积分确定，且()()E

f x dx

g x dx =??

证明：()().f x g x a e =于E

∴[]0mE f g ≠= ∴[]

[]

()()0E f g E f g f x dx g x dx ≠≠==?

∴ []

[]

()()()E

E f g E f g f x dx f x dx f x dx =≠=+??

[]

()()()E f g E f g E

g x dx g x dx g x dx =≠=+=?

()f x 在E 上积分确定，∴()g x 在E 上也积分确定，且

()()E

f x dx

g x dx =?

5、（10分）设在E 上)()(x f x f n ?,而..)()(e a x g x f n n =成

立, ,2,1=n ,则有)()(x f x g n ?

证明:记][n n n g f E E ≠=,由题意知0=n mE

由0)(1

=≤?∑∞

=∞

=n n n n mE E m 知0)(1

=?∞

=n n E m …2分

对任意0>δ,由于]|[|)(]|[|1

σσ≥-???≥-∞

=f f E E f g E n n n n

从而有

])|[|(])|[|()(]|[|1σσσ≥-=≥-+?≤≥-∞

=f f E m f f E m E m f g mE n n n n n

又因为在E 上)()(x f x f n ?,故

0])|[|(lim =≥-∞

→σf f E m n n ……8分

所以0])|[|(lim ])|[|(lim 0=≥-≤≥-≤∞

→∞

→σσf f E m f g E m n n n n

于是: 0])|[|(lim =≥-∞

→σf g E m n n

故在E 上有)()(x f x g n ? ……10分

《实变函数》试卷四（参考答案及评分标准）

一.单项选择题（3分×5=15分）

1．设P 为Cantor 集，则 C

（A ）=P ?0 (B) 1=mP (C) P P ='

(D) P P =

2. 下列说法不正确的是( C )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点(C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚(D) 内点必是聚点

3.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C )

(A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 4. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ??

，则有（B ）

（A ）1lim n n n n m E mE ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E mE ∞=→∞??

?= ???

（C ）1lim n n n n m E mE ∞=→∞

?= ???;（D ）以上都不对

5.设)(x f 为],[b a 上的有界变差函数,则下面不成立的

( D )

(A))(x f 在],[b a 上L 可积 (B))(x f 在],[b a 上R 可积

(C))('

x f 在],[b a 上L 可积 (D))(x f 在],[b a 上绝对连续

二. 填空题(3分×5=15分)

1、设11

[,2],1,2,n A n n n =-=，则=∞→n n A l i m _（0，2）________。 2、设E R ?,若,E E ?'则E 是闭集；若0

E E ?，则E 是开__集；若'E E =，则E 是___完备_____集.

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞

∞==??

?≤ ???∑

4、鲁津定理：___设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<________，则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切划分，

使11|()()|n i i i f x f x -=??

-????∑成一有界数集，则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)

1、A 为可数集，B 为至多可数集，则A ?B 是可数集. 解：成立 2分因A 可数,所以可设A={a 1,a 2,…,a n ,…},

又B 至多可数,设B={b 1,b 2,…,b n }(当B 有限时),或 B={b 1,b 2,?,b n,?}(当B 可数时) 当B 有限时,

{} ,,,,;,,,2121n n a a a b b b B A =?

当B 可数时,{} ,;,,,,2211n n a b a b a b B A =? 所以B A ?可数. ……5分 (注:可分φ=?B A 和φ≠?B A 讨论,没讨论不扣分,主要考察排序方法).

2、若0=mE ，则0=E m .

解：不成立. …….2分

反例：E 为]1,0[中的全体有理点集，则有0=mE ，而

1=E m ……5分

注：其余例只要正确即可。

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数

解：不成立.…………………………2分

例如：设E 是[],a b 上的不可测集，[],;

(),,;

x x E f x x x a b E ∈??=?-∈-??

则|()|f x 是[],a b 上的可测函数，但()f x 不是[],a b 上的可测函数………………………5分

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则

()0E

f x >?

解：不成立.………………………………2分

0mE =时，对E 上任意的实函数()f x 都有()0E

f x dx =?…5分

四.解答题(8分×2=16分) 1、（8分）设

,()1,x x f x x ?=??为无理数

为有理数

，则()f x 在[]0,1上是否R -

可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。

解：()f x 在[]0,1上不是R -可积的，因为()f x 仅在1x =处连

续，即不连续点为正测度集…………………..3分因为()f x 是[]0,1上的有界可测函数，()f x 在[]0,1上是L -可积的…6分

因为()f x 与x ..a e 相等，进一步，[]

0,10

()2

f x dx xdx ==

??…8分

2、（8分）求0ln()lim cos x

n x n e xdx n ∞

-+?

解：设ln()()cos x n x n f x e x n -+=，

则易知当n →∞时，()0n f x → …………………………..2分

又因'2ln 1ln 0

t t t t -??=< ???

，(3t ≥)，所以当3,0n x ≥≥时， ln()ln()ln 3ln 3(1)33

x n n x x n n x x n n x n n ++++=≤≤++………4分从而使得ln 3

|()|(1)3

x n f x x e -≤+………………………6分

但是不等式右边的函数，在[)0,+∞上是L 可积的，故有

lim ()lim ()0n n n

f x dx f x dx ∞

∞

==??…………8分

五.证明题(6分×3+ 82? =34分)

1、（6分）设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

证明：,{},lim n n n x E E x x x →∞

'?∈=则存在中的互异点列使….2分

,()n n x E f x a ∈∴≥…………….3分

()()lim ()n n f x x f x f x a →∞

∴=≥在点连续，

x E ∴∈…………………………5分

E ∴是闭集.……………….6分

2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<，则E 是

可测集。

证明：对任何正整数n ，由条件存在开集,n G E ?使

1()n

m G E n -<…1分令1

n n G G ∞

，则G 是可测集 …3分

又因*()m G E -*1

()n m G E n

≤-<

对一切正整数n 成立，因而*()0m G E -=，

即M G E =-是一零测度集，所以也可测.…………5分

由()E G G E =--知，E 可测。 6分

3.（6分）设)}({x f n 为E 上可积函数列，e a x f x f n n

.)()(lim =.

于E ，且?

n k dx x f |)(|，k 为常数，则)(x f 在E 上可积. 由e a x f x f n n

.)()(lim =于E 得e a x f x f n n

.|)(||)(|lim =于E .1分

再由Fatou 引理

?∞<≤≤=∞→∞

→E

E E

n n n n k dx f dx f dx f ||lim ||lim || ….4分

所以 |f(x)|可积.又f(x)可测,因此f(x)可积. ..6分

4.（6分）设函数列()n f x (1,2,)n =在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x . 证明：因为()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于()f x ，所以

对于任意的k Z +∈，存在可测集k E E ?，()n f x 在k

E 上一致收敛于()f x ，且1

(\)k m E E k

<…2分

令*

k k E E ∞

，则()n f x 在*E 上处处收敛到()f x ……4分

(\)(\

)(\)k k k m E E m E E m E E k

∞

==≤<

，k=1,2

所以*(\)m E E 0=………6分

5.（10分）试用Fatou 引理证明Levi 定理.

证明：设{}n f 为可测集q R E ?上的一列非负可测函数，且在E

上有 ,2,1),()(1=≤+n x f x f n n ，令

)(lim )(x f x f n n

= …………2分

由{}n f 为单调可测函数列知，)(x f 可测，且)()(x f x f n ≤

于是 ??≤E

n dx x f dx x f )()(

从而 ??≤E

n n

dx x f dx x f )()(lim …（*） ……6分

另一方面，因{}n f 为可测集q R E ?上的一列非负可测

函数，由Fatou 引理知

dx x f dx x f dx x f E

n n

???

≤=)(lim )(lim )( （**） …8分

由（*）、（**）两式即证

??=E

n n

dx x f dx x f )()(lim ….…10分

实变函数习题解答(1)

第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)

2011实变函数复习要点

2011实变函数复习要点第一章集合（一）考核知识点 1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。 2. 对等和基数及其性质。 3. 可数集合的概念及其性质。 4. 不可数集合的概念及例子。（二）考核要求 1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。 2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。 De Morgan 公式 I Y Γ ααΓ αα∈ ∈= c c A A )( Y I ΓααΓαα∈∈=c c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。例利用集合的并、交、补运算证明集合相等。例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{1 1设 ]0,1[1 -=?∞=n n A ，)1,2(1 -=?∞ =n n A 3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。（2）综合应用：集合的对等的证明例利用定义直接构造两集合间的1-1对应。 4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。（2）综合应用：可数集合的性质。 5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。第二章点集（一）考核知识点 1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。 2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。 3. 开集、闭集及其性质。 4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。

（二）考核要求 1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。 2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。如聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞ → 如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞ → 3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。（2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的性质。例如何证明一个集合为开集例如何证明一个集合为闭集如A 为闭集当且仅当A 中的任意收敛点列收敛于A 中的点（即闭集为对极限运算封闭的点集） 4. 直线上的开集的构造（1）识记：直线上的开集的构造及构成区间的概念。例设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2?=G 21G G G ?=,求G 的构成区间. 解：G 的构成区间为(0,2)、(3,4) （2）简单应用：康托集 Cantor 集的基数为C 第三章测度论（一）考核知识点 1. 外测度的定义以及简单性质。 2. 可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）和可测集的性质。 3. 零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G δ型集、F σ型集；可测集的构成。（二）考核要求 1. 外测度（1）综合应用：外测度的定义。如设B 是有理数集，则0=*B m Cantor 集的外测度为0

实变函数论课后答案第三章1

实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零，故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限），令()(),f x m E a x b *=?<< ，则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤，则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.

实变函数试题库(5)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（5）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立）二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（）（A ）()x ?是E 上的连续函数（B ）()x ?是E 上的单调函数（C ）()x ?在E 上一定不L 可积（D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则（）（A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（）（A ）E 是可数集（B ）E 是闭集（C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点

(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)

1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ，使得1 ()n m E E n -< ，同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?，由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞ =，..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是直线上的开集，设11 [](,)n n n E f c α β∞ =>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限个， n α可能为 -∞ n β可有为 +∞ ）因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>=<<=><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞， 0||()x x f x a δ-<>就有，即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥，即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121 (0,),(0,),1,2,,n n A A n n n -==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集证明：lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即

实变函数论课后答案第五章1

实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可

测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,

实变函数第一章答案

习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=．证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?．证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.

充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6．定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ．证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成

实变函数论试题及答案

实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<，证明E 是可测集。证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ，对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时，一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。

实变函数复习资料,带答案

《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例

实变函数引论参考答案曹怀信第二章

。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ．解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ．解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此，有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ．解令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?．解取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集．证明因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠，从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可

实变函数测试题1-参考答案

本试题参考答案由08统计班15号李维提供有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+，则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞?ε，存在E 上. 有界的可测函数)(x g ，使得 ε<>-]0|[|g f mE 。 10、求证 1 2 01 11 ln 1()∞ ==-+∑?p n x dx x x p n , (1)p >-。解答： 1. 解：()∞=∞ →,0lim n n A ；设()∞∈,0x ，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即n A x 2∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得n n A x ∞ →∈lim 又显然()∞?∞ →,0lim n n A ，所以()∞=∞ →,0lim n n A 。

(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案

试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（）（A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有

(0195)《实变函数论》网上作业题及答案

[0195]《实变函数论》第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集参考答案：B

[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集

C:可数集参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。参考答案：错误第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1

实变函数试题库(4)及参考答案

实变函数试题库及参考答案（4）本科一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则（） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =

实变函数论考试试题及答案

实变函数论考试试题及答案证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<，证明E 是可测集。证明：对任何正整数n ，由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ，对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。证明因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ，且()n f x 是单调的。因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。

实变函数试题库及参考答案

实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上二、选择题 1．下列集合关系成立的是（） 2．若n R E ?是开集，则（） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（）三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限

4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （） 2. 可数个可测集的并是可测集. （） 3. 相等的集合是对等的. （） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （）五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则实变函数试题库及参考答案（1）本科一、填空题

实变函数练习题A

实变函数与泛函分析试卷A 一、判断题 1.定义在区间),(+∞-∞上的单调函数的间断点所成之集至多可数。 2.赋范空间中的压缩映射一定存在不动点。 3.平面上所有点的集合的势不能与含在其中的直线上的点集的势相等。 4.直线上互不相交的开区间所成之集为不可数集。 5.赋范空间中上压缩映射一定存在不动点。二、填空题 1.直线上任何____可表示成至多可数的个互不相交的构成区间的并集。 2.实数集中一集合的闭包是包含此集合的所有闭集的____。 3.有限维空间上的任何两个范数都是____。 4.一闭集中所有点都是此集合的聚点，则称此集合为____。 5.在半序集中，如果所有全序集都有上界，则此半序集中有____。三、选择题 1.直线上的单调函数的不连续点集____。 A.可数 B.至多可数 C.不可数 D.有限 2.有限维赋范空间中____中点列有收敛子列。 A.开集 B.闭集 C.有界集 D.无界集 3.Banach 空间间的____线性算子必是连续的。 A.无界 B.开 C.闭 D.有界 4.可分赋范空间的共轭空间必是____。 A.可分的 B.完备的 C.不可分的 D.不完备的 5.闭区间上____函数是Riemann 可积的。 A.有界的几乎处处连续 B.有界 C.几乎处处连续 D.Lebesgue 可积函数四、论述题 1.证明：设F 是n 维欧几里得空间),(ρn R 中的有界闭集，映射F F T →:满足： ),,)(,(),(y x F y x y x Tx Tx ≠∈?<ρρ.求证T 在F 中存在唯一的不动点。 2.证明：设集1R E ?有界，0*>E m ，则对于任意小于E m *的正数，恒有E 的子集1 E 使得c E m =1*。 3.设,...,21αα是一列数，∞

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