北师大版七年级数轴上任意两点间的距离公式

数轴上任意两点间的距离公式

（2002南京中考数学试题）阅读下列材料：点A 、B 在数轴上分别表示数a 和b ，A 、B 两点之间的距离为AB 。

当A 、B 两点有一点在原点时，不妨设A 点在原点，如图1， b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点，如图2，点A 、B 都在原点的右边，b a a b a b OA OB AB -=-=-=-=；

如图3，点A 、B 都在原点的左边， b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=)(；如图4， A 点和B 点在原点的两边， b a b a b a OA OB AB -=-+=+=+=)(。 综上所述，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=。

回答下列问题：

（1） 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之

间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；

（2） 数轴上表示x 与-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么

x 为 ；

（3） 当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 。

成才之路高中数学人教B必修二强化练习： 数轴上的基本公式

第二章 2.1 2.1.1 一、选择题 1．下列命题： ①相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应； ③数轴上向量AB →的坐标是一个数，实数的绝对值为线段AB 的长度，如果起点指向终点 的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数； ④起点和终点重合的向量是零向量，它的方向是任意的，它的坐标是0. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] D [解析] ①②③④都正确． 2．A 、B 为数轴上的两点，B 的坐标为－5，BA ＝－6，则A 的坐标为( ) A ．－11 B ．－1或11 C ．－1 D ．1或－11 [答案] A [解析] BA ＝x A －(－5)＝－6，∴x A ＝－11.故选A. 3．数轴上点P 、M 、N 的坐标分别为－2、8、－6，则在①MN ＝NM ；②MP ＝－10；③PN ＝－4中，正确的表示有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 [答案] C [解析] 数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN ＝NM 不正确，MP ＝－10，PN ＝－4正确． 4．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] 由AB ＝x B －x A ，得－5－x A ＝－8，∴x A ＝3.

5．数轴上，M、N、P的坐标分别为3、－1、－5，则MP＋PN等于() A．－4 B．4 C．－12 D．12 [答案] A [解析]MP＋PN＝MN＝－1－3＝－4. 6．数轴上两点A(2x＋a)，B(2x)，则A、B两点的位置关系是() A．A在B左侧B．A在B右侧 C．A与B重合D．由a的取值决定 [答案] D [解析]2x＋a与2x的大小由a确定，从而A与B的位置关系也由a确定． 二、填空题 7．数轴上一点P(x)，它到A(－8)的距离是它到B(－4)距离的3倍，则x＝________. [答案]－2或－5 [解析]由题知|x＋8|＝3|x＋4|，则x＝－2或x＝－5. 8．已知点A(2x)、B(x)，点A在点B的右侧，则x的取值范围为________． [答案](0，＋∞) [解析]由已知，得2x>x，即x>0. 三、解答题 9．已知两点A、B的坐标如下，求AB、|AB|. (1)A(2)、B(5)；(2)A(－2)、B(－5)． [解析](1)AB＝5－2＝3，|AB|＝|5－2|＝3. (2)AB＝(－5)－(－2)＝－3， |AB|＝|(－5)－(－2)|＝3. 一、选择题 1．下列各组点：①M(a)和N(2a)；②A(b)和B(2＋b)；③C(x)和D(x－a)；④E(x)和F(x2)．其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是() A．①B．② C．③D．④ [答案] B

空间两点之间的距离公式

空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC

例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结

版空间直角坐标系空间两点间的距离公式

版空间直角坐标系空间两点间的距离公式

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)

[基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系 定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面

画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90° 图示 说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

两点间的距离公式及中点公式教学设计样本

【课题】8．1 两点间距离公式及中点公式 【教材阐明】 本人所用教材为江苏教诲出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数办法研究平面几何问题学科，第八章《直线与圆方程》属于平面解析几何学基本知识。它侧重于数形结合办法和形象思维特性，综合了平面几何、代数、三角等知识。 【学情分析】 学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象知识理解能力不强，但是对直观事物可以理解，对新事物也有较强接受能力。 【教学目的】 知识目的： 1. 理解平面直角坐标系中距离公式和中点公式推导过程． 2. 掌握两点间距离公式与中点坐标公式． 能力目的： 用“数形结合”办法，简介两个公式．培养学生解决问题能力与计算能力． 情感目的： 通过观测、对比体会数学对称美和谐美，培养学生思考能力，学会从已有知识出发积极摸索未知世界意识及对待新知识良好情感态度． 【教学重点】 两点间距离公式与线段中点坐标公式运用． 【教学难点】 两点间距离公式理解． 【教学备品】 三角板． 【教学办法】 讨论合伙法 【学时安排】 2学时．(90分钟)

【教学设计】 针对学生状况，本人在教学中引入尽量安排各种实例，多讲详细东西，少说抽象东西，以激发学生学习兴趣。在例题和练习安排上多画图，努力贯彻数形结合思想，让学生逐渐接受和养成画图习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生自身专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对某些曲线方程有充分理解。同步在教学中经惯用分组讨论法，探究发现法，逐渐培养学生协作能力和独立思考能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何基本公式，教材采用“知识回顾”方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过向量坐标和向量模定义解说，但解说重点应放在公式应用上． 【教学过程】 大海中有两个小岛，

空间直角坐标系 空间两点间的距离公式(解析版)

空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________

C ．(－4,0，－6) D ．(－4,7,0) 解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－ 6)． 答案：C 二、填空题 7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相 同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )． 答案：(a ，b ，c ) 8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)． 答案：(－4,1，－2) 9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2. 答案：3 2 10．已知点P ????32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为??? ?12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以 ????32－122＋??? ?52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－4 三、解答题 11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |. 解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间

2.1.1数轴上的基本公式

2.1.1数轴上的基本公式 网络坐标法 地图起源很早，传说在人类发明象形文字以前就有了地图。战国时期，军事地图更为普遍。《孙子兵法》和《孙膑兵法》分别附图9卷和4卷。《管子·地图篇》曾道，凡统帅军队者，必事先详尽熟悉和掌握军事活动地区的地图。1973年湖南长沙马王堆3号汉墓出土三幅西汉初年地图。一幅为地形图，一幅为驻军图，另一幅为城邑图。距今已有2100多年。 如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么战国时代魏人石申用距度（或入宿度）和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用球面坐标法。西晋人裴秀（223－271）提出“制图六体”，在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。 用坐标法来刻画动态的、连续的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。阿波罗尼在《圆锥曲线论》中，已借助坐标来描述曲线。十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度”和“纬度”（相当于纵坐标和横坐标）的方程来刻画动点的轨迹。十七世纪，费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们使用的都是斜角坐标系：即选定一条直线作为x轴，在其上选定一点为原点，y的值则由那些与x轴成一固定角度的线段的长表示。 最早引进负坐标的是英国人沃利斯，最早把解析几何推广到三维空间的是法国人费马，最早应用三维直角坐标系的是瑞士人约翰·贝努利。“坐标”一词是德国人莱布尼兹创用的。牛顿首先使用极坐标，对于螺线、心形线以及诸如天体在中心力作用下的运动轨迹的研究甚为方便# 不同的坐标系之间可以互换，最早讨论平面斜角坐标系之间互换关系的是法国人范斯库腾。 我们今天常常把直角坐标系叫笛卡儿坐标系，其实那是经过许多后人不断完善后的结果。 目标重点：理解和掌握数轴上的基本公式； 目标难点：熟练应用数轴上的基本公式； 学法关键： 1．判断一个量是否为向量，就是要判断该向量是否既有大小，又有方向； 2．注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个正数，而向量的坐标是一个实数（正数，负数，零）； 3．数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标。 研习点1.直线坐标系 1．直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系。如图：

《数轴上的基本公式》教案

《数轴上的基本公式》教案 教学目标 1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义． 2．掌握数轴上两点间的距离公式． 3．掌握数轴上向量加法的坐标运算． 4．理解向量相等及零向量的概念． 教学重难点 1．理解和掌握数轴上的基本公式； 2．熟练应用数轴上的基本公式； 教学关键 1．判断一个量是否为向量，就是要判断该向量是否既有大小，又有方向； 2．注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个正数，而向量的坐标是一个实数（正数，负数，零）； 3．数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标． 教学过程 一、研习点 研习点1：直线坐标系 1．直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系．如图： 2．数轴上的点P 与实数x 的对应法则： 如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为正数，且等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为负数，其绝对值等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点，则表示x =0，由此，实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系； 3．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )； 研习点2：向量 1．既有大小又有方向的量，叫做位移向量，简称向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ，

读作“向量AB ”．点A 叫做向量AB 的起点，点B 叫做向量AB 的终点； 2．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |； 3．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量； 4．数量：用实数表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量． 常用AB 表示向量AB 的坐标． 研习点3：如何理解相等向量？ 1．数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量，定义中没有对向量的起点和终点作出限制，实际上不管起点在什么位置，只要方向相同，长度相等，这样的向量就是相等向量． 2．相等的向量，坐标相等，反之，如果数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等． 3．如果把相等的所有向量看成一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的． 研习点4：基本公式 1．位移的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+ ; 2．数量的和：对数轴上任意三点A 、B 、C 都有关系AC =AB +BC ； 3．数量的坐标表示：使AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB =x 2 －x 1； 4．数轴上两点间的距离公式：用d (A ，B )表示A 、B 两点间的距离，则d (A ，B )=|x 2－x 1|． 二、例题 例1．下列说法中，正确的是（ ） （A ）AB =AB （B ）AB =BA （C ）零向量是没有方向的 （D ）相等的向量的坐标（数量）一定相同 解：根据向量和数量的定义可知D 正确． 例2．在数轴上表示下列各点：A (－3)，B (－1)，C (1)，D (2)，并找出与C 的距离是1 两点M 、N ，并写出它们的坐标． 解：如图 与C 的距离是1的点M 、N 分别位于点C 的两侧：M (0)，N (2)，点N 与点D 重合

数轴上的基本公式mcg!

数轴上的基本公式 编写人：马成刚王斌审核人：石夕坤时间：2011.12 一、学习目标 （1）理解和掌握数轴上的基本公式。 （2）探索数轴上的两点的距离公式 二、学习重点难点 向量的坐标的概念和数轴上的基本公式 三、自主学习展示 （一）数轴 （1）坐标方法 用数字或符号来确定一个点或一个物体位置的方法叫做 .相关的符号和数称做点的 . （2）数轴 一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系. 数轴的三要素：、、 . 2、自主学习阅读课本P65页，第二、三、四段，找出下列问题的答案 （1）数轴上点P与实数x的对应法则是怎样规定的？依据这个法则，实数和数轴上的点之间建立了怎样的一种关系？ （2）数轴上点的坐标是怎么规定的？ （3）你能用数轴解释|x|和|x-1|的意义吗？

（7）你能用数轴比较两个数的大小吗？ （二）向量 自主学习 阅读课本P66页，找出相应的数学概念 （1）位移向量是如何定义的？ （2）相等的向量 （3）如何表达数轴上的一个向量？ （4）零向量是怎样定义的？它的坐标是什么？ (5) 实数与数轴上的向量之间是如何对应的？ （6）两个位移的和 （7）数轴上的向量运算公式 （三）数轴上向量的坐标公式及两点间的距离公式 点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则 （1）AB= （2）d(A ，B)= 例3 将满足下列条件的x 的范围用区间表示，并在数轴上分别画出点P （x ）。 (1) ()23,≤-x d (2)211≤-≤x

变式训练在数轴上分别画出点P（x）。 1 )2(= - x x2 2 - 1 )1(> 反思总结：

坐标公式大集合(两点间距离公式)

坐标公式大集合（两点间距离公式） 安徽省安庆市第四中学八年级（13）班王正宇著 在八年级上册的数学教材中（沪科版），我们学习到了平面直角坐标系这一章,由此,我们引申出一次函数、二次函数、反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！ 一、求平行于x与y轴的直线的距离 ①我们在平面直角坐标系中做一条线段AB平行于x轴（AB为任意直线），我们要求出线段AB的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看AB两点的横坐标，会发现一个特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度ab≥0的，故取正数结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式： | Ax－Bx | 即A点横坐标数减去B点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，A、B两点的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。 ②同样的，有上面的过程支撑，我想，推出平行于Y轴的线段CD的长度肯定就好求了！！那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于Y轴线段长度的公式哦： | Cy－Dy | 即C点纵坐标减去D点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。 二、求斜线的长度 这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。 求斜线的长度涉及到勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： A 2+ B 2 = C 2 这样一解释，想必大家都清楚了吧！这样，为我们下面推出求斜线长度的公式打下了坚实的基础。

2、数轴上任意两点间的距离公式

分类讨论 1、一只蚂蚁从数轴上的点A 出发，爬了6个单位长度到了表示－1的点，则点A 所表示的数是 . 2、数轴上与表示-2的点相距两个单位长度的点表示的数是 。 3、【数形结合思想】根据如图所示的数轴，解答下面问题： (1)在数轴上，A ，B 两点分别表示几？ (2) 请问A ，B 两点之间的距离是多少？ (3) 在数轴上与A 点距离为2个单位长度的点表示的数是什么？ 4、若|a|＝1 2 ，则a ＝ 。 5、绝对值大于2但不大于5的整数是 。 相反数 1、如图所示，已知A ，B ，C ，D 四个点在一条没有标明原点的数轴上.若点A 和点C 表示的数互为相反数，则原点为( ) A. A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点 2、一个数在数轴上所对应的点向左移2 020个单位长度后，得到它的相反数对应的点，则这个数是(C) A.2 020 B.－2 020 C.1 010 D.－1 010 3、如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点B 与点C 所表示的数互为相反数，则点B 所表示的数为 ； (2)若点A 与点D 所表示的数互为相反数，则点D 所表示的数是 ； (3)若点B 与点F 所表示的数互为相反数，则点E 所表示的数的相反数是多少？

4、化简下列各数： ①－[－(＋1)] ②－[＋(－8)] ③－(－a) ④－[－(－a)] (2)化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“－”的个数有什么关系？ 巧取特殊值 1、a，b两数在数轴上的对应点的位置如图，下列各式正确的是( ) A.b＞a B.－a＜b C.|a|＞|b| D.b＜－a＜a＜－b 2、有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列运算结果中是正数的有( ) ①a－b；②b－c；③d－a；④c－a. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 数轴上任意两点间的距离公式 一、阅读下列材料： 我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即|x|＝|x－0|，也可以说，|x|表示数轴上数x 与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为|x1－x2|表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离. 例1：已知|x|＝2，求x的值. 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为－2或2，所以x的值为－2或2. 例2：已知|x－1|＝2，求x的值. 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3或－1，所以x的值为3或－1. 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值. (1)|x|＝3； (2)|x－(－2)|＝4.

2.4空间直角坐标系与空间两点的距离公式

2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导. ［学法关键］ 1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标. 2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式 研习点1．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.

高中数学北师大版必修二2.3.3【教学设计】《空间两点间的距离公式》

《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分

我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。

平面内两点间的距离公式

两点间的距离公式 【教学目标】 1、 掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算 【教学重点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学难点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学过程】 引入： (如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 2 1= -5 0 7 X 在直角三角形中，怎样求出斜边的长度 在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|= x y

平面直已知两点1P P P 21说明 (1) 如果P 1P 2 x x 是x x 1 2- (2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离 是y y 1 2- 试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB . 试一试2：求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A （3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A - 试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。 线段的中点公式 点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 22 1x x x + =，221y y y +=。 说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的 试一试3：求下列两点的中点坐标

（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A - （二）典型例题： 已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度 （解题过程在书240页） 【自我检测】 1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(2 22y x P ，两点距离公式为 2、点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） 4、 已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB 5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7） 6、 已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.

数轴上的距离公式与中点公式

数轴上的距离公式与中点公式 考点解析及例题讲解 1. 数轴上点的坐标 在数轴上，如果点P 与x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )． 练习一 观察数轴，完成下列题目： （1）点P 与－3.5对应，则点P 的坐标是 ，记作 ； （2）点A 的坐标是 ，记作 ； （3）点B 的坐标是 ，记作 ； （4）点O 的坐标是 ，记作 ． 2. 数轴上的距离公式 探究一 如图，填空： （1）图中点A 的坐标是 ，B 的坐标是 ，C 的坐标是 ，点D 的坐标是 ； （2）点A 与B 之间的距离|AB |=，点C 与A 之间的距离|CA |=，点B 与C 之间的距离|BC |=； （3）你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？ 一般地，如果A (x 1)，B (x 2)，则这两点的距离公式为 |AB |=|x 2－x 1|． 探究二 在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的(如下图所示)，数轴上的距离公式成立吗？ x ● x P ● ● ● B A O ● x ● ● C ● ● 1 2 4 1 2 3 4 B

试求两个图中点A 与B 之间的距离． 3. 数轴上的中点公式 探究三 根据下图回答问题： （1）点A (－1)，C (－3)的中点坐标是多少？中点坐标与A ，C 两点的坐标有怎样的关系？ （2）点A (－1)，D (1)的中点坐标是多少？中点坐标与A ，D 两点的坐标有怎样的关系？ 一般地，在数轴上，A (x 1)，B (x 2)的中点坐标x 满足关系式 x ＝ x 1＋x 22． 4. 应用 例 已知点A (－3)，B (5)，求： （1）|AB |； （2）A ，B 两点的中点坐标． 解 （1）|AB |＝|5－(－3)|＝8； （2）设点M (x )是A ，B 两点的中点，则 x ＝ －3＋52＝1． 即A ，B 的中点坐标为1． 平面直角坐标系中的距离公式和中点公式 1. 距离公式 探究一 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． y 轴作垂线AA 1，AA 2和BB 1，BB 2，垂足分别为A 1，A 2，B 1，B 2，其中直线BB 1和AA 2相交于点C ． 两点的距离公式 |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2． x ● ● C A D ●

七年级数学数轴上的动点问题

数轴上的线段与动点问题 一、与数轴上的动点问题相关的基本概念 数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离.主要涉及以下几个概 念： 1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d=|a-b|, 也即用右边的数减去左边的数的差.即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数. 2.两点中点公式：线段AB中点坐标=（a+b）÷2. 3.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度.这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标.即一个点表示的数为a，向左运动b 个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b. 4.数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系. 二、数轴上的动点问题基本解题思路和方法： 1、表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间t的式子表示）. 2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度（一般用含有时间t的式子表示）. 3、根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列绝对值方程. 4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果. 注：数轴上线段的动点问题方法类似 1、已知数轴上A、B两点对应数为－ 2、4，P为数轴上一动点，对应的数为x. －2 －1 0 1 2 3 4 (1) 若P为AB线段的三等分点，求P对应的数； （2）数轴上是否存在P，使P到A点、B点距离和为10，若存在，求出x；若不存在，说明理由. （3）若点A，点B和点P（点P在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，1个长度单位/分，则第几分钟时，P为AB的中点？

两点距离公式专项练习

第13课 两点间距离公式 一、新知探究： 试一试，求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)5,3(),5,3(B A - （3）)7,0(),3,0(-B A （4）)7,5(),3,5(---B A （5）)0,0(),8,6(B A （6）)3,4(),0,0(--B A 总结： 若平面上的有两点111222(,),(,)P x y P x y ， 1、如果1P 、2P 两点在x 轴上或在平行于x 轴的直线上，则两点距离12PP 是 2、如果1P 、2P 两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上，则两点距离12PP 是 3、点1P 到原点的距离是 ，点2P 到原点的距离是 探索二：已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP

例1 已知两点)2,1(-A ，)7,2(B 。 （1）求||AB ；（2）在x 轴上求一点P ，使得||||PB PA =，并求||PA 例2 已知△ABC 的三个顶点是1(1,0),(1,0),(2A B C -，试判断△ABC 的形状。 例3 已知△ABC 的顶点坐标为A （3，2），B （1，0），C （2+3，1－3）， 求AB 边上的中线CM 的长； 练习：

1.( ) ()A两点(a,b)与(1,-2)间的距离()B两点(a,b)与(-1,2)间的距离 D两点(a,b)与(-1,-2)间的距离 () C两点(a,b)与(1,2)间的距离() 2.已知下列两点，求AB及两点的中点坐标 （1）A（8，6），B（2，1）（2）A（-2，4）B（-2，-2） （3）A（5，10），B（-3，0）（4）A（-3，-1），B（5，7） 3.已知点A（-1，-1），B（b,5）,且AB=10，求b. 4.已知A在y轴上，B（4，-6），且两点间的距离AB=5，求点A的坐标 5.已知A（a,-5），点B在y轴上，点B的纵坐标为10，AB=17，求a。 6.已知A（2，1）,B（-1，2）,C（5,y）,且为等腰三角形，求y并求底上中线的长度 巩固提高： 1．若A(-1,3)、B（2，5）则AB=___________．AB的中点M的坐标为

湖北省恩施州巴东一中高中数学人教A版必修二教案：§ 空间两点间的距离公式

§４．３．２ 空间两点间的距离公式 一、教材分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、教学目标 １．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 ２．过程与方法 ３．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 三、教学重点与难点 教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 四、课时安排 １课时 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式

五、教学设计 （一）导入新课 思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容. 思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. （二）推进新课、新知探究、提出问题 １平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？ ５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？ ⑥试根据２３推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.

中职数学基础模块8.1.1数轴上的距离公式与中点公式教学设计教案人教版

课时教学设计首页（试用） 第页（总页）

课时教学流程 ☆补充设计☆

坐标是，C的坐标是，点D的坐标是； (2 )点A与B之间的距离|AB|= ，点 C与A之间的距离 |CA|= ，点B与C之间的距离 |BC|= ； (3)你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？ 一般地，如果A(x)B(X2),则这两点的距离公式为 AB|=|x2 - x i |. 探究二 在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的(如下图所示)，数轴上的距离公式成立吗？ x y? / -4 B J4B"3 / A( 试求两个图中点A与B之间的距离. 3.数轴上的中点公式 探究三 根据下图回答冋题： C A D —3 —2 —1 0 1 2 x (1)点A( —1), C(—3)的中点坐标是多少？中点坐标与A, C两点的坐标有怎样的关系？ (2)点A( —1), D(1)的中点坐标是多少？中点坐标与A, D两点的坐标有怎样的关系？ 一般地，在数轴上,A(x)B(X2)的中点坐标x满足关系式 X1+ X2 x= 2. 第(2)题主要是引导学生从图象 上直观地求距离. 学生在尝试解决问题(3) 的过程 中，使认知得到升华. 在探究的基础上，教师给出数 轴上两点的距离公式. 教师提出问题，学生观察并尝 试解决. 师：不管数轴在平面上怎么放 置，两点间的距离公式是不变的. 教师投影提出问题，学生分组 讨论探究. 教师巡视. 学生在尝试解决问题的过程 中，探究中点公式. 在探究的基础上，教师引导学 生归纳出数轴上两点的中点公式. 式，形成知识的主动认 知. 使学生由感性认 知(算法)上升到理性认 知(公式). 探究二使学生认 识到非水平放置的数轴 上的两点间的距离公式 是不改变的，特别是竖 直放置的数轴上的距 离冋题，为下节解决平 面直角坐标系中两点间 的距离公式打下基础. 让学生通过小组 合作，在探究过程中， 归纳得出数轴上两点间 的中点公式.

空间直角坐标系与空间两点的距离公式

空间直角坐标系与空间两点的距离公式 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点0作为原点，过0点作三条两两垂 直的数轴，通常用x、y、z 表示. 轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90 能与y轴的半轴重合.这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O —xyz, 0叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2. 在空间直角 坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3. 如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的 正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4. 在平面上画空间直角坐标系O —xyZ时，一般情况下使/ xOy=135°, / yOz=90°. 空间点的坐标 1. 点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz,这样构造的平面同样垂直于x轴, 这个平面与X轴的交点记为P x，它在X轴上的坐标为X，这个数X就叫做点P的x坐标； 2. 点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz,这样构造的平面同样垂直于y轴, 这个平面与y轴的交点记为P y,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标； 3. 点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy,这样构造的平面同样垂直于z轴, 这个平面与Z轴的交点记为P z,它在Z轴上的坐标为Z,这个数Z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P （x， y, z）,其中x, y, z也可称为点P的坐标分量. 已知数组（x, y, z），如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组（x, y, z）：（1）在坐标轴上分别作出点P x, P y, P z,使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z； （2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy,这三个平面的交点就是 所求的点. 空间点的坐标 1. 在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面; 2. 坐标平面上点的坐标的特征：