高中数学必修五测试题高二文科数学(必修五)

2014—2015学年度第一学期期中考试

高二文科数学试题（A ）

（必修五）

一、选择题（每题5分，共10小题）

1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） A ．a+c ＞b+d B ．a-c ＞b-d C ．ac ＞bd D ．a d

＞

b c

211两数的等比中项是（ ）

A ．2

B ．-2

C ．±2

D ．以上均不是

3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是

（ ）

A ．90°

B ．120°

C ．135°

D ．150°

4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）

A ．103

B ．11088

C ．

1

1038

D ．108

5．若△ABC 的周长等于20

，面积是,A=60°,则BC 边的长是

（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 6．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n （n≥2,n∈N *）,则

3

5

a a 的值是（ ） A ．

15

16

B ．

15

8

C ．3

4 D ．

38

7．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cosA ＞sinB ，则△ABC 的形状是

（ ）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13

项之和等于（ ）

A ．13

B ．26

C ．52

D ．156

9．数列

2222222

35721,,,,122334(1)

n n n +??????+的前n 项的和是 （ ） A ． 21

1n

-

B ．211n

+

C ．2

1

1(1)

n +

+ D ．2

1

1(1)

n -

+ 10．已知不等式（x + y ）（1x + a

y

）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则

正实数a 的最小值为（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8 二、填空题（每题5分，共5小题） 11．数列{a n }的通项公式a n =

1

n n ++,则

103

-是此数列的第

项．

12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，

cos C ＝1

4

，则sin B ＝________．

13． 已知点（x,y ）满足x 0

y 0

x y 1≥??≥??+≤?

,则u=y-x 的取值范围是_______．

14．如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，

∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为______．

15．在△ABC中，给出下列结论：

①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;

②若a2=b2+c2+bc,则角A为60°;

③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形；

④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3．

其中正确结论的序号为．

三、解答题（共6小题，共75分）

16．（12分）已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．（1）求a,b．

（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc<0．

17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A

＝3a cos B．

（1）求角B的大小；

（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．

18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n-2n．

（1）求a3，a4; （2）证明：{a n+1-2a n}是等比数列；

（3）求{a n}的通项公式．

19．（12分）设函数

=+，其中，角θ的顶点与坐标原

fθθθ

()cos

点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0≤θ≤π．

（1）若点P

的坐标为1

2

?

??

，求f（θ）的值;

（2）若点P（x,y）为平面区域Ω:

1,

1,

1

x y

x

y

+≥

?

?

≤

?

?≤

?

上的一个动点，试确定

角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．

20．（13分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的

利润＝售价-供货价格，问：

（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元（2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大

21．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ???构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且

1151,15b a S ===

（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均 构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值；

（2）设122111

n n n n

T S S S ++=

++???+，求n T ．

参考答案

1．设a、b、c、d∈R,且a＞b,c＞d,则下列结论正确的是（）（A）a+c＞b+d （B）a-c＞b-d

（C）ac＞bd （D）a

d ＞b

c

1．【解析】选A．由不等式的可加性可知a+c＞b+d,

而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，B不一定成立，

C，D中a、b、c、d符号不定，不一定成立．

2．11两数的等比中项是

（）

A．2 B．-2 C．±2D．以上均不是

2．【解析】设等比中项为x，则x2=1）1）=4．所以x=±2．故应选C．

答案:C

3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（）

（A ）90° （B ）120° （C ）135° （D ）150°

3．【解析】选B ．设三边长为5x,7x,8x ，最大的角为C ，最小的角为A ．

由余弦定理得：()()()2

2

2

5x 8x 7x 1

cosB ,25x 8x

2

+-=

=??所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°．

4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ） （A ）103 （B ）11088 （C ）11038

（D ）108 4．【解析】选D ．根据题意结合二次函数的性质可得：

22n 229

a 2n 29n 32(n n)32

292929

2(n )3.

48

=-++=--+?=--++

∴n=7时，a n =108为最大值．

5．若△ABC 的周长等于20

，面积是BC 边的长是

（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 5．解析：由1

sin 2

ABC S bc A ?=

得1sin 602

bc =?，则bc=40．又a+b+c=20,

所

以

b+c=20-a

．

由

余

弦

定

理

得

()2

222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-,

所以()2

220120a a =--,解得a=7． 答案：C

6．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n （n≥2,n∈N *）,则

3

5

a a 的值是（ ） （A ）

1516 （B ）158 （C ）34 （D ）38

6．【解析】选C ．当n=2时，a 2·a 1=a 1+（-1）2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+（-1）3，∴a 3=1

2

； 当n=4时，a 4a 3=a 3+（-1）4，∴a 4=3；

当n=5时，()5

354455a 2

3a a a 1a .3

a 4

=+-∴=∴=，

， 7．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是

（ ）

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

7．解析：cos sin()sin ,,2

2

A A

B A B ππ

=->-都是锐角，

则,,2

2

2A B A B C πππ

->+<>

，

选C ．

答案：C

8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13

项之和等于（ ）

（A ）13 （B ）26 （C ）52 （D ）156

8．【解析】选B ．∵2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4．

()()

1134101313a a 13a a S 26.22

++∴=

==

9．数列2222222

35721,,,,122334(1)

n n n +??????+的前n 项的和是

（ ）

A ． 2

11n - B ． 2

11n + C ． 2

1

1(1)n ++ D ． 2

1

1(1)n -

+

9．解析：因为2222

2111

,(1)(1)n n a n n n n +=

=-++所以数列的前n 项和

2222222221111111111.1223(1)1(1)(1)

n S n n n n =

-+-+???+-=-=-+++

答案：D

10．已知不等式（x + y ）（1x + a

y

）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则

正实数a 的最小值为 （ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

10．解析：不等式（x +y ）（1a x

y

+）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则

1y ax

a x y

++

+≥1a +4（舍去），所以正实数a 的最小值为4，选B ． 答案：B

11．数列{a

n }的通项公式a n =

,则-3是此数列的第

项．

解析：因为a n ，所以n=9． 答案:9

12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，

cos C ＝1

4

，则

sin B ＝________．

12．154

[解析] 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－

2×1×2×1

4＝4，解得c ＝2，所以b ＝c ，B ＝C ，所以sin B ＝sin C

＝1－cos 2

C ＝15

4

．

13． 已知点（x,y ）满足x 0y 0x+y 1≥??

≥??≤?

,则u=y-x 的取值范围是_______．

13．【解析】作出可行域如图,

作出y-x=0,由A （1,0）,B （0,1）,

故过B时u最大，u max=1,过A点时u最小，u min=-1．

答案：[-1,1]

14．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB ＝14，

∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为______．14．【解析】在△ABD中，设BD＝x，

则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，

即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，

整理得x2－10x－96＝0，

解之得x1＝16，x2＝－6（舍去）．

由正弦定理得BC BD

＝,

∠∠

sin CDB sin BCD

·sin30°＝82．

∴BC＝16

sin135?

答案：82

15．在△ABC中，给出下列结论：

①若a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形; ②若a 2=b 2+c 2+bc,则角A 为60°; ③若a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形；

④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3． 其中正确结论的序号为 ．

解析：在①中，cos A=222

2b c a bc

+-<0,所以A 为钝角，所以△ABC 为钝角

三角形，故①正确;在②中，b2+c2-a2=-bc,所以cos

A=2222b c a bc +-=-2bc bc =-12,所以A=120°,故②不正确；在③中，cos

C=222

2a b c ab

+->0,故C 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形，故③

不正确;在④中A∶B∶C=1∶2∶3，故A=30°,B=60°,C=90°,所以

∶2,故④不正确． 答案:①

16． 已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}． （1）求a,b ．

（2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0．

【解】（1）因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b>1．

由根与系数的关系得

3

1,

2

1,

b

a

b

a

?

+=

??

?

??=

??

解得1,

2.

a

b

=

?

?

=

?

（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc<0,即x2-（2+c）x+2c<0,即（x-2）（x-c）<0,

所以①当c>2时，不等式（x-2）（x-c）<0的解集为{x|2

②当c<2时，不等式（x-2）（x-c）<0的解集为{x|c

③当c=2时，不等式（x-2）（x-c）<0的解集为?．

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3

a cos B．

（1）求角B的大小；

（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．

17．解：（1）由b sin A＝3a cos B及正弦定理a

sin A ＝

b

sin B

，得

sin B＝3cos B，

所以tan B ＝3， 所以B ＝π

3

．

（2）由sin C ＝2sin A 及

a sin A ＝c

sin C

，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 9＝a 2＋c 2－ac ，将c ＝2a 代入得，

a ＝3，c ＝23．

18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n ． （1）求a 3,a 4;

（2）证明：{a n+1-2a n }是等比数列； （3）求{a n }的通项公式．

（1）解:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2, 由2a n =S n +2n 知：

2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,

得a n+1=S n +2n+1, ①

所以a2=S1+22=2+22=6，S2=8，

a3=S2+23=8+23=16,S3=24,a4=S3+24=40．

（2）证明:由题设和①式得：

a n+1-2a n=（S n+2n+1）-（S n+2n）=2n+1-2n=2n,

所以{a n+1-2a n}是首项为a2-2a1=2,公比为2的等比数列．

（3）解:a n=（a n-2a n-1）+2（a n-1-2a n-2）+…+2n-2（a2-2a1）+2n-1a1=（n+1）·2n-1．

19．（12

分）设函数()cos

fθθθ

=+，其中，角θ的顶点与坐标

原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0≤θ≤π．

（1）若点P

的坐标为1

2

?

??

，求f（θ）的值;

（2）若点P（x,y）为平面区域Ω:

1,

1,

1

x y

x

y

+≥

?

?

≤

?

?≤

?

上的一个动点，试确定角

θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．

解：（1）由点P

的坐标和三角函数的定义可得

sin

1

cos,

2

θ

θ

?

=

??

?

?=

??

所以31

()3sin cos 3 2.2

f θθθ=+=?

+= （2）作出平面区域（即三角形区域ABC ）如图，

其中A （1,0）,B （1,1）,C （0,1），则0≤θ≤2

π

．

又()3cos 2sin .6f πθθθθ??

=+=+ ??

?

．

故当6

2

ππθ+=

,即3

πθ=

时, max ()2f θ=;

当6

6

π

π

θ+

=

,即θ=0时, min ()1f θ=．

20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调

查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0．1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的 利润＝售价-供货价格，问：

（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元（2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大

20．【解析】（1）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0．1×100=5（万套），

此时每套供货价格为30+10

5

=32（元），故书商所获得的总利润为5×（100-32） =340（万元）．

（2）每套丛书售价定为x元时，由

150.1x0

x0

-

?

?

?

＞

＞

，得0＜x＜150．

依题意，单套丛书利润

P=x-（30+10

150.1x

-）=x-100

150x

-

-30,

∴P=-[（150-x）+100

150x

-

]+120,∵0＜x＜150,∴150-x＞0,

由（150-x）+100

150x

-≥)

150x

-

=2×10=20,

当且仅当150-x＝100

150x

-

，即x=140时等号成立，此时P max=-20+120=100．答：（1）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万