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01-第一节-微分方程的基本概念

第八章常微分方程与差分方程

对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.

-------傅里叶

微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.

如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.

微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.

第一节微分方程的基本概念

分布图示

★ 引言

★ 微分方程的概念

★ 例1 ★ 例2

★ 例3 ★ 例4

★ 微分方程解的概念

★ 例5

★ 例6 ★ 内容小结

★ 课堂练习

★ 习题8-1

内容要点：

一、微分方程的概念

我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，

本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是:

,0),,,,()(='''n y y y y x F Λ (1.5)

其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数.

如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程

).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y Λ (1.6)

以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续.

如果方程(1.6)可表为如下形式:

)()()()(1)

1(1)(x g y x a y x a y

x a y n n n n =+'+++--Λ (1.7) 则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a ,Λ )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数.

不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程. 在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有

,0))(,)(),(),(,()(='''x x x x x F n ????Λ

则称函数)(x y ?=为微分方程(1.5)在区间I 上的解.

二、微分方程的解

微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）. 注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.

许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.

带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.

微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.

例题选讲：

微分方程的概念

例1 (E01) 设一物体的温度为100℃, 将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的温度T 与时间t 的函数关系为),(t T T = 则可建立起函数)(t T 满足的微分方程

)20(--=T k dt

其中)0(>k k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意, )(t T T =还需满足条件 .1000

==t T

例2（E02）设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程

g dt

d =2

2 (1.1) 其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.

根据题意，)(t x x =还需满足条件

.0,

0)0(0

===t dt dx

x (1.2)

例3（E03）如果设某商品在时刻t 的售价为P , 社会对该商品的需求量和供给量分别是P 的函数),(),(P S P D 则在时刻t 的价格)(t P 对于时间t 的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量)()(P S P D -成正比, 即有微分方程

)0()]()([>-=k P S P D k dt

(1.3) 在)(P D 和)(P S 确定情况下, 可解出价格与t 的函数关系.

例4（E04）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.

.1ln )cos()4(;052)3(;

42)2(;)1(3

2+=+''=+??

??-+-??

??+=x y y xy dx dy dx y d x

x dx dy dx dy x y x dx

解 (1)

是一阶线性微分方程，因方程中含有的

和y 都是一次. (2) 是一阶非线性微分方程，因方程中含有的dx

的平方项. (3) 是二阶非线性微分方程，因方程中含有的

的三次方. (4)

是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数)cos(y ''和.ln y

微分方程的解

例5求曲线族12

=+Cy x 满足的微分方程，其中C 为任意常数.

解求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程,使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.因此所求的微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等.这里,

我们通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程.在等式122=+Cy x 两端对x 求导,得

.022='+y Cy x

再从12

=+Cy x 解出,122

x C -=代入上式得 ,012222

='?-?+y y y

x x

化简即得到所求的微分方程 .0)1(2='-+y x xy

例6（E05）验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程

0sin 2cot =--x x x y dx

的通解, 并求满足初始条件0|

πx y 的特解.

解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得

,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和

代入方程左边得 x x x y dx

sin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02

==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，

得C +=

π .4

π-

从而所求特解为 .sin 422x x y ???

??-=π

课堂练习

1．验证函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分方程02

22=+x k dt

x d 的解. 并求满足初始条件

0====t t dt dx

A x 的特解.

01-第一节-微分方程的基本概念

第八章常微分方程与差分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. ---- 傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具” ，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现. 现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节微分方程的基本概念分布图示 ★引言 ★微分方程的概念★例1 ★ 例2★例3★ 例4 ★微分方程解的概念 ★ 例5★例6 ★内容小结★课堂练习 ★习题8-1 内容要点：一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是: F(x,y,y ,y ,y(n)) 0, (1.5) 其中x 为自变量，y y(x) 是未知函数. 如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程

常微分方程知识点总结

常微分方程知识点总结常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识点总结，欢迎大家阅读！微分方程的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程

的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

(完整版)常微分方程的大致知识点

= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点（一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推（三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族

? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组方法：三部曲。第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m

01-第一节-微分方程的基本概念

弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节微分方程的基本概念分布图示 ★引言 ★微分方程的概念★例1 ★例2★例3★例4 ★微分方程解的概念 ★例5★例6 ★内容小结★课堂练习

则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数. 不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程. 在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有 ,0))(,)(),(),(,() (='''x x x x x F n ???? 则称函数)(x y ?=为微分方程(1.5)在区间I 上的解. 二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）. 注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们

常微分方程的大致知识点

常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020

常微分方程的大致知识点（一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式）若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族（二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推（三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=

微分方程的基础知识及解析解

微分方程的基础知识与练习（一）微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。解设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1）同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得 1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4）（2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5）此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7）再积分一次得

2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 1．微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。我们只研究常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+-是四阶微分方程。一般地，n 阶微分方程的形式是 ()(,,',...,)0,n F x y y y = （11）其中F 是个2+n 变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，)(n y 是必须出现的，而 )1(,...,',,-n y y y x 等变量则可以不出现。例如n 阶微分方程

第四章第一节微分方程的基本概念

第四章第一节微分方程的基本概念基本内容 1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数(或微分)与自娈量之间的关系的方程称为微分方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数 ) (x y y=称为微分方程的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。 3.特解：确定微分方程通解中的任意常数的值的条件称为定解条件，确定了通解中的任意常数后得到的解称为微分方程的特解。习题选解 1.试指出下列各微分方程的阶数（1） 220 x dy y dx -= 解：一阶（2） 4 3()0 y y y y '''''' -= 解：二阶（3） 2 2 0 d Q dQ Q L R dt C dt ++= 解：二阶。（4）(76)()0 x y dx x y dy -++= 解：一阶（5） 2 sin d d ρ ρθθ += 解：一阶（6） (5)20 y y y y '''' -++= 解：5阶 2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解

（1）30dy x y dx +=， 3 C y x = 解：因为34 3()dy C C dx x x '==-，代入微分方程，得：左边=333330dy C C x y dx x x +=-+==右边，所以 3 C y x =是微分方程的解。（2）22 2220d y dy x x y dx dx -+=， 223y x x =- 解：因为2 (23)26dy x x x dx '=-=-，22 (26)6d y x dx '=-=-代入微分方程，得：左边22 22 2 2262(26)2(23)0d y dy x x y x x x x x dx dx =-+=---+-==右边，所以 223y x x =-是微分方程的解。（3）022 2=+dt dS dt S d ω，t C t C S ωωsin cos 21+= 解：因为1212(cos sin )sin cos dS C t C t C t C t dt ωωωωωω'=+=-+， 22212122 (sin cos )cos sin d S C t C t C t C t dt ωωωωωωωω'=-+=--，代入微分方程，得：左边22222212122cos sin (sin cos ) d S dS C t C t C t C t dt dt ωωωωωωωωω=+=--+-+ 22112[()cos ()sin ]0C C t C C t ωωω=--+≠=右边，所以t C t C S ωωsin cos 21+=不是微分方程的解。（4）0)(=++xdy dx y x ， x x C y 22 -= 解：由x x C y 22-=，得：22x C xy -=，两边微分，得：2 )(2dx xy d -=，即 xdx xdy ydx 2)(2-=+。从而得0)(=++xdy dx y x ，所以x x C y 22 -= 是微分方程的解。

2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考

习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：

dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结来源：文都教育复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例，本部分内容涉及可分离变量、一阶齐次、一阶非齐次、全微分方程、高阶线性微分方程等内容，在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，遇到具体的题目不知该如何下手，这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程得到 x du dx 一阶线性微分方程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况：二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根，令特解 y*x2Q m (x)e x；（2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程基本知识点

常微分方程基本知识点第一章绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！（重要）例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主）（习题1，2，9题）例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）；例题：(1).经变换_____y c u os =___________后，方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后，方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。

(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要）第三章一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题）第四章高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要）例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？（习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。

微分方程的基本概念

第一节微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容： 1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。解设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1）同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得 1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4）（2）列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数

)(t s s =满足： 4.02 2-=dt s d （5）此外，还满足条件： 0=t 时，20,0== =dt ds v s （6） (5)式两端积分一次得： 14.0C t dt ds v +-== （7）再积分一次得 2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得 0 ,2021==C C 把21,C C 的值代入（7）及（8）式得 ,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： )(504 .020s t ==。再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 ).(5005020502.02m s =?+?-= 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 2、定义一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ()x y y y y y 2sin 5'12''10'''44=+-+- 是四阶微分方程。

常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考

期末考试一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（）．（A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（）． (A) 1±=x (B)1±=y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解

微分方程的基本概念

求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法. 微分方程的基本概念下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念. 例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处的切线的斜率为x 2，求曲线的方程. 解由导数的几何意义可得 x dx dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件 1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ② 在式①两端积分，得 C x y +=2 , ③ 其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ，于是得所求曲线的方程为 ④ 12+=x y

我们知道式③表示一族曲线，曲线族中的每一条曲线的函数代入式①中都成为恒等式，而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的. 从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念. （一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为 ()(,,,,,)0n F x y y y y '''=L ⑤ 如式①为一阶微分方程.

（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解. 含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解. 若I x x y ∈=),(?为方程⑤的解，则有 ()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡L ， I x ∈. 方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数，其通解有时用隐函数表达式 12(,,,,,)0n x y C C C Φ=L 表示. ⑥ 例如:式③为方程①的通解.

常微分方程教材

第九章微分方程一、教学目标及基本要求（1）了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。（2）掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。（3）会用降阶法解下列方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。（4）理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。（5）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。（6）会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。（7）会用微分方程解决一些简单的应用问题。二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。本章的思考题和习题解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(02?+=可微 3、212 22sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y 5、21)0(,1)0(,022- ='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足 ?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1)(10x f f x f da ax f 求可微+= ?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成ο45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？

第一节微分方程的基本概念

第十二章微分方程一、学时分配：讲课学时：14 习题学时：2 共 16 学时二、基本内容： 1．微分方程的基本概念 2．可分离变量的微分方程 3．齐次方程 4．一阶线性微分方程 5．全微分方程 6．可降阶的高阶微分方程 7．高阶线性微分方程 8．一阶常系数齐次线性微分方程 9．一阶常系数非齐次线性微分方程三、教学要求： 1．理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等． 2．熟练掌握可分离变量的微分方程的解法． 3．熟练掌握齐次微分方程的解法 4．掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法 5．掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察法找积分因子 6．掌握)()(x f y n =、),(///y x f y =、),(///y y f y =三种高阶微分方程的解法，即降阶法，理解降阶法的思想 7．掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式 8．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式９．掌握自由项为x m e x P x f λ)()(=和x m m e x x Q x x P x f λωω]sin )(cos )([)(+=的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法四、重点难点：

1．重点： 2．难点：第一节微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等．教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容：一、两个实例 1．一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。解：设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足 x dx dy 2= （1）同时还满足以下条件： 1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得 ?=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得 1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 12+=x y （4） 2．列车在平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：

01-第一节-微分方程的基本概念

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常微分方程知识点总结

(完整版)常微分方程的大致知识点

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常微分方程的大致知识点

微分方程的基础知识及解析解

第四章第一节微分方程的基本概念

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常微分方程基本概念习题附解答

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