初一奥林匹克数学竞赛训练试题集

初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（16）

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1．（4分）若三个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分别是（）A．9，10，11B．10，11，12C．11，12，13D．12，13，14 2．（4分）一个十位数字为零的三位数，它恰好等于其各位数字和的m倍，交换它的个位数字与百位数字后所得到的新数又是其各位数字和的n倍，n的值是（）

A．99﹣m B．101﹣m C．100﹣m D．110﹣m

3．（4分）已知a1，a2，a3，…，a1996，a1997均为正数，又M＝（a1+a2+…+a1996）（a2+a3+…

+a1997），N＝（a1+a2+…+a1997）（a2+a3+…+a1996），则M与N的大小关系是（）A．M＝N B．M＜N C．M＞N D．关系不确定4．（4分）关于x的不等式b﹣ax＞0的解一定是（）

A．B．

C．D．以上答案都不对

5．（4分）若xy+yz+zx＝0，则3xyz+x2（y+z）+y2（z+x）+z2（x+y）等于（）A．1B．0C．﹣1D．2

6．（4分）在代数式（1）x2﹣4x+4；（2）1+6a2；（3）4x2+4x﹣1；（4）x2+xy+y2，是完全平方式的（）

A．只有（1）B．只有（3）C．只有（4）D．不包括（2）7．（4分）已知x2﹣3x+1＝0，那么的值是（）

A．3B．7C．9D．11

8．（4分）已知，且a，b，c互不相等，则x+y+z等于（）A．a+b﹣c B．0C．D．1

二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）

9．（5分）化简：＝

10．（5分）已知x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么pq的值等于．

11．（5分）设a＜0，且有|a|?x≤a，试化简：|x+1|﹣|x﹣3|＝．

12．（5分）已知关于x的方程，且a为某些自然数时，方程的根为自然数，

则最小自然数a＝．

13．（5分）若|x+y﹣9|与（2x﹣y+3）2的值互为相反数，则x＝，y＝．14．（5分）如果在分数的分子和分母上分别加上自然数a，b以后，所得结果是，则a+b的最小值是．

15．（5分）令a*b＝a+（a+1）+（a+2 ）+…+（a+b﹣1 ）且x*10＝65，那么x＝．16．（5分）若x＞3，化简3|3﹣x|﹣|x2﹣6x+10|+|x2﹣2x+1|＝．

三、解答题（共3小题，满分48分）

17．（16分）解方程：|||x|﹣2|﹣1|﹣2|＝2．

18．（16分）设a，b，c是三个互不相等的正整数，求证：在a3b﹣ab3，b3c﹣bc3，c3a﹣ca3这三个数中，至少有一个数能被10整除．

19．（16分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果三角形ABD的面积为5，三角形ABC面积为6，三角形BCD面积为10，问三角形OBC的面积是多少？

初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（16）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1．（4分）若三个连续自然数的最小公倍数为660，则这三个数分别是（）A．9，10，11B．10，11，12C．11，12，13D．12，13，14

【分析】设这三个数为x，x+1，x+2，根据三个连续自然数的最小公倍数为660，可得x|660，（x+1）|660，（x+2）|660，又由660＝2×2×3×5×11，即可得出答案．

【解答】解：设这三个数为x，x+1，x+2，

∵三个连续自然数的最小公倍数为660，

∴x|660，（x+1）|660，（x+2）|660，

又∵660＝2×2×3×5×11，

∴这三个数分别10，11，12，

故选：B．

【点评】本题考查了最小公倍数，难度一般，关键是把660分解成几个质数的乘积，然后根据题意求解．

2．（4分）一个十位数字为零的三位数，它恰好等于其各位数字和的m倍，交换它的个位数字与百位数字后所得到的新数又是其各位数字和的n倍，n的值是（）

A．99﹣m B．101﹣m C．100﹣m D．110﹣m

【分析】设个位数字为x，百位数为y，根据题中描述可得到两个等量关系，求解即可．【解答】解：设个位数字为x，百位数为y，根据题意得：

，

两方程相加，得101x+101y＝（x+y）（m+n），

解，得n＝101﹣m．

故选：B．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用及解法，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．

本题涉及一个常识问题：三位数＝100×百位数字+10×十位数字+个位数字，并且在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数．注意当方程组中的未知数较多时要观察运用整体消元来解未知数．

3．（4分）已知a1，a2，a3，…，a1996，a1997均为正数，又M＝（a1+a2+…+a1996）（a2+a3+…

+a1997），N＝（a1+a2+…+a1997）（a2+a3+…+a1996），则M与N的大小关系是（）A．M＝N B．M＜N C．M＞N D．关系不确定【分析】先设x＝a1+a2+…+a1996，y＝a2+a3+…+a1996，那么M、N都变成了单项式乘以多项式，计算后比较即可．

【解答】解：设x＝a1+a2+…+a1996，y＝a2+a3+…+a1996，则x＞y，那么有

M＝x（y+a1997）＝xy+a1997x，

N＝（x+a1997）y＝xy+a1997y，

又知a1，a2，a3，…，a1996，a1997均为正数，x＞y，

∴a1997x＞a1997y，

∴M＞N．

故选：C．

【点评】本题考查的是单项式乘以多项式，关键是重设未知数，变繁为简．

4．（4分）关于x的不等式b﹣ax＞0的解一定是（）

A．B．

C．D．以上答案都不对

【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去b再除以﹣a，根据a的情况进行分类讨论．

【解答】解：∵b﹣ax＞0∴ax＜b

（1）当a＞0时，x＜；

（2）当a＜0时，x＞；

（3）当a＝0时，b≤0x无解．

当a＝0，b＞0时，x的解为任意实数．

故选：D．

【点评】本题考查了不等式的性质：

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

5．（4分）若xy+yz+zx＝0，则3xyz+x2（y+z）+y2（z+x）+z2（x+y）等于（）A．1B．0C．﹣1D．2

【分析】方法一是先将原式分解得3xyz+x2y+x2z+y2z+y2x+z2x+z2y，提取公因式可得xy （x+y+z）+xz（x+y+z）+zy（x+y+z）＝（x+y+z）（xy+yz+zx），结合已知可得，原式＝0．方法二主要是将原式展开，然后将3xyz分成三项，提取公因式xy+yz+zx，从而得出结果．【解答】解：方法一：

原式＝3xyz+x2y+x2z+y2z+y2x+z2x+z2y

＝xy（x+y+z）+xz（x+y+z）+zy（x+y+z）

＝（x+y+z）（xy+yz+zx）

又xy+yz+zx＝0，

故原式＝0．

故答案选B．

方法二：

原式＝3xyz+x2y+x2z+y2z+xy2+xz2+yz2

＝x（xy+yz+zx）+y（xy+yz+zx）+z（xy+yz+zx）

∵xy+yz+zx＝0

∴原式＝0

故选：B．

【点评】本题主要考查了学生对提公因式的灵活运用，要求学生能够把握题干的已知条件，对此类题目熟练掌握．

6．（4分）在代数式（1）x2﹣4x+4；（2）1+6a2；（3）4x2+4x﹣1；（4）x2+xy+y2，是完全平方式的（）

A．只有（1）B．只有（3）C．只有（4）D．不包括（2）【分析】若代数式是完全平方式，那么该代数式必定能用因式分解法分解成两个因式的乘积，进而即可判断．

【解答】解：（1）x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，即是完全平方式．

（2）∵1+6a2不能用因式分解法分解成两个因式的乘积，故不是完全全平方式．

（3）∵4x2+4x﹣1不能用因式分解法分解成两个因式的乘积，故不是完全全平方式．（4）∵x2+xy+y2不能用因式分解法分解成两个因式的乘积，故不是完全全平方式．故选：A．

【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键是根据若代数式是完全平方式，那么该代数式必定能用因式分解法分解成两个因式的乘积进行解答．

7．（4分）已知x2﹣3x+1＝0，那么的值是（）

A．3B．7C．9D．11

【分析】观察已知x2﹣3x+1＝0等式左右两边同除以x，并移项可转化为，再对

等式两边平方化化简即可求出的值．

【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0???．

故选：B．

【点评】本题考查完全平方式．解决本题的关键是将已知x2﹣3x+1＝0，首先转化为

，再利用完全平方式化简求出的值．

8．（4分）已知，且a，b，c互不相等，则x+y+z等于（）A．a+b﹣c B．0C．D．1

【分析】先令已知＝k，然后用k表示出x、y、z的值，再相加即可得到答案．

【解答】解：设已知＝k，

则x＝，y＝，z＝，

则x+y+z＝＝0．

故选：B．

【点评】本题考查了解三元一次方程组以及分式的值，解题的关键是设分式的值为定值，然后求解就容易了．

二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）

9．（5分）化简：＝1

【分析】把所求分式化为最简分式即可得出答案．

【解答】解：原式＝，

＝+，

＝+，

＝

＝1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了分式的化简求值，属于基础题，关键是把所求分式化为最简分式．10．（5分）已知x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么pq的值等于150．【分析】先设x4+px2+5q的另一个因式是（x2+mx+n），那么有（x2+2x+5）（x2+mx+n）＝x4+px2+q，把左边展开，并合并同类项，然后利用等式的对应相等性，可得到关于m、n、p、q的方程组，解即可求m、n、p、q，从而可求p+q的值．

【解答】解：设x4+px2+5q的另一个因式是（x2+mx+n），

那么有（x2+2x+5）（x2+mx+n）＝x4+px2+5q，

即有x4+（2+m）x3+（5+2m+n）x2+（5m+2n）x+5n＝x4+px2+q，

∴，

解得，

∴pq＝150．

故答案为：150．

【点评】本题考查的是多项式除以多项式，可利用乘法是除法的逆运算来做．11．（5分）设a＜0，且有|a|?x≤a，试化简：|x+1|﹣|x﹣3|＝﹣4．

【分析】根据a的取值范围，将不等式中的绝对值去掉；然后根据不等式的基本性质求得x的取值范围；最后根据x的取值范围来求|x+1|﹣|x﹣3|的值．

【解答】解：∵a＜0，

∴原不等式变形为﹣ax≤a，

∴x≤﹣1

∴|x+1|﹣|x﹣3|＝﹣（x+1）+（x﹣3）＝﹣4．

故答案是：﹣4．

【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

12．（5分）已知关于x的方程，且a为某些自然数时，方程的根为自然数，则最小自然数a＝8．

【分析】先解方程，得到一个含有字母a的解，然后根据自然数的定义即可得出a的值．【解答】解：∵，

∵x为自然数解，（8，15）＝1，且a为自然数，

∴a最小为8．

故答案为8．

【点评】本题难点是用a表示x，注意方程的根为自然数这一条件．

13．（5分）若|x+y﹣9|与（2x﹣y+3）2的值互为相反数，则x＝2，y＝7．【分析】先根据一对相反数的和为0，得出|x+y﹣9|+（2x﹣y+3）2＝0，再由绝对值、平方都是非负数，可知其中每一个数都为0，得到关于x、y的二元一次方程组，最后解方程组即可求出x、y的值．

【解答】解：∵|x+y﹣9|与（2x﹣y+3）互为相反数，

∴|x+y﹣9|+（2x﹣y+3）2＝0，

∴

解得．

故答案为2，7．

【点评】本题考查了相反数、非负数的性质及二元一次方程组的解法．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．

14．（5分）如果在分数的分子和分母上分别加上自然数a，b以后，所得结果是，则a+b的最小值是24．

【分析】根据题意可得，整理为12a+35＝7b，从而可得b＝5+，再由b 为自然数，可得7整除12a，继而可得a的最小值，代入可得b的值，也可的a+b的最小值．

【解答】解：∵，

∴12a+35＝7b，

∵7|35，7|7b，

∴7|12a，且（7，12）＝1，

∴a最小为7，相应b＝17，

∴（a+b）＝24．

故答案为：24．

【点评】本题考查了有理数无理数的概念与运算，注意解答本题的关键是数的整除的应用，难度较大．

15．（5分）令a*b＝a+（a+1）+（a+2 ）+…+（a+b﹣1 ）且x*10＝65，那么x＝2．【分析】将x*10＝65表示成x+（x+1）+（x+2）+…+（x+10﹣1），由此可解得x的值．【解答】解：∵a*b＝a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b﹣1），

∴x*10＝x+（x+1）+（x+2）+…+（x+10﹣1）＝65．

整理得：10x＝65﹣45＝20，

解得：x＝2．

故填2．

【点评】本题考查解方程的知识，结合了新定义，注意要理解新符号的运算法则．16．（5分）若x＞3，化简3|3﹣x|﹣|x2﹣6x+10|+|x2﹣2x+1|＝7x﹣18．【分析】由题意x＞3，可以先去掉绝对值，然后再进行加减运算．

【解答】解：原式＝3（x﹣3）﹣（x2﹣6x+10）+x2﹣2x+1＝7x﹣18，

故答案为7x﹣18．

【点评】此题主要考查绝对值的性质，当a＞0时，|a|＝a；当a≤0时，|a|＝﹣a，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．

三、解答题（共3小题，满分48分）

17．（16分）解方程：|||x|﹣2|﹣1|﹣2|＝2．

【分析】把方程|||x|﹣2|﹣1|﹣2|＝2从外到内依次去掉绝对值符号后即可得出答案．

【解答】解：即|||x|﹣2|﹣1|﹣2＝2或|||x|﹣2|﹣1|﹣2＝﹣2，

||x|﹣2|﹣1＝4或||x|﹣2﹣1＝﹣4或||x|﹣2|﹣1＝0；

||x|﹣2|＝5或||x|﹣2|＝﹣3（舍）或||x|﹣2|＝1；

∴|x|﹣2＝5或|x|﹣2＝﹣5或|x|﹣2＝1或|x|﹣2＝﹣1．

∴|x|＝7或|x|＝﹣3（舍）或|x|＝3或|x|＝1．

∴x＝±7或x＝±3或x＝±1．

【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，难度适中，关键是从外向内依次去掉绝对值符号．

18．（16分）设a，b，c是三个互不相等的正整数，求证：在a3b﹣ab3，b3c﹣bc3，c3a﹣ca3这三个数中，至少有一个数能被10整除．

【分析】由已知，可运用假设推理、论证．由已知，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2），b3c﹣bc3＝bc（b2﹣c2），c3a﹣ca3＝ca（c2﹣a2），根据数的整除性和数的奇偶性可推出：a3b﹣ab3，b3c﹣bc3，c3a﹣ca3三数总和整除2，a3b﹣ab3，b3c﹣bc3，c3a﹣ca3三数至少有一个能被5整除．

【解答】解：

∴在a，b，c中有偶数或都是奇数时，

a3b﹣ab3，b3c﹣bc3，c3a﹣ca3三数总和整除2，

又∵在a，b，c三数，若有一个数是5的倍数，则得证命题．

设a，b，c都不能被5整除，则a2，b2，c2的个位数只能是1，4，6，9．

从而a2﹣b2，b2﹣c2，c2﹣a2的个位数字只能是从1，4，6，9中取3个，两两相差的差．∵这些差中必有0或±5，

∴所以题中三式表示的数至少有一个能被5整除．

∵[2，5]＝10，（2，5）＝1，

∴a3b﹣ab3，ac3﹣a3c，b3c﹣bc3，至少有一个能被10整除．

【点评】此题考查了学生对数的整除性的深刻认知和掌握运用，关键是先通过假设论证得出所证结论．

19．（16分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果三角形ABD的面积为5，三角形ABC面积为6，三角形BCD面积为10，问三角形OBC的面积是多少？

【分析】利用等高的三角形面积之比等于对应底边之比列出三角形OBC面积的等式，进行求解．

【解答】解：设三角形AOD的高为h1，三角形ABO的高为h2，

则

设三角形OBC的面积为x，

则，

∴x＝4

即S△OBC＝4．

【点评】考查了三角形面积公式的应用．解题关键在于找出面积之比与对应底边之比．