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最新向量加减法运算及其几何意义练习

李林中学高一年级（下）数学练习编号

向量加减法运算及其几何意义

制作人：贾胜如审核人：时间：

一、选择题

1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( )

A ．与向量a 方向相同

B ．与向量a 方向相反

C ．与向量b 方向相同

D ．不确定

2．下列等式错误的是( )

A ．a ＋0＝0＋a ＝a B.A

B →＋B

C →＋AC →＝0

C.AB →＋BA →＝0

D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM →

3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( )

A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同

B ．a ，b 是共线向量且方向相反

C ．a ＝b

D ．a ，b 无论什么关系均可

4.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( )

A.BD →

B.DB →

C.BC →

D.CB →

5.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于(

) A ．1 B ．2

C ．3

D ．2 3

6．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的

是( )

①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＝|a |－|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |.

A ．①②

B ．①③

C ．①③⑤

D ．③④⑤

7．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →等于( )

A.AB →

B.BA →

C.CD →

D.DB →

8．下列等式中，正确的个数为( )

①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ；

⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a －(－a )＝0.

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

9．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( )

A.AB →－DC →＝0

B.AD →－BA →＝AC →

C.AB →－AD →＝BD →

D.AD →＋CB →＝0

10.如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )

A.AD →＋BE →＋CF →＝0

B.BD →－CF →＋DF →＝0

C.AD →＋CE →－CF →＝0

D.BD →－BE →－FC →＝0

11．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有( )

A.AD →＝0

B.AB →＝0或AD →＝0 C ．ABCD 是矩形

D ．ABCD 是菱形

二、填空题

12．根据图示填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.

(1)a ＋b ＋c ＝________；

(2)b ＋d ＋c ＝________.

13．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝b ，BC →＝c ，则|a ＋b ＋

c |＝________.

14．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______.

15．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →可用OA →、

OB →表示为________．

16．若向量a ，b 满足|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值为________，|a －b |的最大值为________．

17．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________．

三、解答题

11．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任

意一点．

求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.

11．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．

平面向量及其加减运算课后训练

数学《平面向量》复习卷一、填空题 1、向量的两个要素是：和。 2、A 、B 、C 是⊙O 上的三点，则向量OA 、OB 、OC 的关系是 . 3、下列命题：①若两个向量相等则起点相同，终点相同； ②若AB =DC ，则ABCD 是平行四边形；③若ABCD 是平行四边形，则 AB =DC ； ④a =b ，b =c 则a =c ；其中正确的序号是 . 4、如图所示，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形，则 ①与向量AB 平行的向量有； ②若｜AB ｜=1.5,则｜CE ｜= . 5、如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形 ①与向量AB 相等的向量有； ②若|AB |=3，则向量EC 的模等于。 6、已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为 7、在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则ABCD 是形。 8、化简(AB -CD )+(BE -DE )的结果是。 9、化简：OM -ON +MN . 10、一架飞机向西飞行100km,然后改变方向向南飞行100km,飞机两次位移的和为。二、选择题 1、在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，且｜AB ｜＝｜BC ｜，那么四边形ABCD 为( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．长方形 D ．正方形 2、等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E 、F 分别在两腰 AD 、BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是（） A.AD =BC B.AC =BD C.PE =PF D.EP =PF E C A B

空间向量加减法练习题

3.1.1空间向量加减法习题一、选择题1．下列命题正确的有()(1)若|a|＝|b|，则a＝b； →→(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件； (3)若a＝b，b＝c，则a＝c；，b|a|＝||??相等的充要条件是，b(4)向量a?；∥ba??(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；→→(6)AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D 重合．A．1个B．2个个．4C．3个 D C答案[][解析](1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．→→AB＝DC正确．(2)∵→→→→∴|AB|＝|DC|且AB∥CD.又∵A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．→→反之，在?ABCD中，AB＝DC. ，a＝b(3)正确．∵∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c. (4)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反． b./ |?a＝||||＝b?a|＝b|，a|＝ba(5)正确．→→→→→→同向．CD与AB，|CD|＝|AB|，CD＝AB.不正确(6) 故选C. 2．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是() →→→→→→0CA＝AB＋BC＋BCA.AB＋＝AC B.→→→→→＝－BA D.ABC.AB－AC ＝CB ][答案B[解析]注意向量的和应该是零向量，而不是数0. →→→→3．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是()→→→A.AB＝BC＋CD →→→→B.AB－DC＋BC＝AD→→→→C.AD＝AB ＋BC＋DC →→→D.BC＝BD－DC B答案][[解析]根据向量加减法运算可得B正确． →→4．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA′相等的向量(不含AA ′)的个数是() A．1个B．2个 4个D．．C3个答案[]C[解析]利用向量相等的定义求解． 5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的()A．充分不必要条件．必要不充分条件B C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B [解析]两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B. →→6．在平行六面体ABCD－ABCD中，M为AC与BD的交点，若AB＝a，AD＝b，11111111→→AA＝c，则下列向量中与B )(相等的向量是M11． 11A．－a＋b＋c2211 cb＋B.a＋2211C.a－b＋c 2211D．－a－b＋c22[答案]A →→→[解析]B M＝BB＋BM11 1→→＝AA＋BD 121→→→＝AA＋(BA＋BC )11111211＝－a ＋b＋c.∴应选A.227．在正方体ABCD－ABCD中，下列各式中1111→→→CC)＋(1)(AB＋BC1→→→(2)(AA＋AD) ＋DC11111→→→(3)(AB＋BB)＋BC 111→→→(4)(AA＋A B)＋BC.11111→运算的结果为向量AC 的共有 ()1A．1个B．2个个4个D．．C3 D答案[] 8．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为

向量的加减法运算及其几何意义

课题向量的加减法运算及其几何意义知识点一：向量的基本概念：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）探究学习 1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a

向量的加法与减法运算练习

练习一选择题： 1．如图，等腰梯形两腰上的向量、是( ) (A)相等的向量(B)模相等的向量(C)方向相反的向量(D)方向相同的向量2．如图，在菱形中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ). 第2题 (A)和(B)和(C)和(D)和 3．如图，，－＋等于( ). (A) (B) (C) (D) 4．如图，在中，－＋等于( ) (A) (B) (C) (D) 填空题： 5．如图，正六边形，为中心，图中所示向量中： (1)与相等的向量有__________； (2)与相等的向量有__________； 6．＝_________；

7．化简 (1)＋＋—_____________； (2)____________； (3)＋＋＝_____________； (4)－＋＝_____________；解答题： 8．已知向量、，求作＋，－. 9．河水自西向东流，流速为3 m/s，轮船垂直水流方向以18.7 km/h的速度向北航行，求轮船的实际航速. 答案、提示和解答： 1．B．2．B．3．C．4．B. 5．(1)，；(2). 6．0. 7．(1)0；(2)；(3)；(4)0.8．略. 9．设＝“向东方向，3 m/s”，＝“向东方向，18.7 km/h”≈“向北方向，5.19 m/s”，如图，适当选取比例尺，作

＝＝“向东3 m/s” ＝＝“向北，5.19 m/s”，＝＋＝＋. ｜｜＝与夹角的余弦值为，则与夹角为60°. 所以轮船的实际航速为东偏北60°，6 m/s. 练习二选择题： 1．如图，梯形，其中｜｜＝｜｜，相等的向量是( ). (A)与(B)与(C)与(D)与 2．已知如图，、分别是与的中点，、、、、、中,相等的向量共有( ). (A)1组(B)2组(C)3组(D)4组

3.1空间向量及其运算第1课时完美版

§3.1.1空间向量及加减其运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用

四．练习巩固 1．课本P86练习1-3 2．如图，在三棱柱1 11C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA CB +; （2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =-- 巩固知识，注意区别加减法的不同处. 五．小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算反思归纳六．作业课本P97习题3.1，A 组第1题（1）、（2）练习与测试：（基础题） 1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。 2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。 3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。 4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：（1）1BA CB +;

向量减法及其几何意义

§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 授课类型：新授课教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++BA BA CB . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 二、提出课题：向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ，作= a ， = b 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1?表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一. O A B a B’ b -b b a + (- b ) a b A B D C O a b B a b a -b

空间向量的加减数乘运算练习题集

课时作业(十四) [学业水平层次] 一、选择题 1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面向量【解析】由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A 2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA → ＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD →与BA → 共线，又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．【答案】 A 3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P 、A 、B 、C 四点( ) A ．不共面 B ．共面

C ．不一定共面 D ．无法判断【解析】 ∵34＋18＋1 8＝1， ∴点P 、A 、B 、C 四点共面．【答案】 B 4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→ 的结果为( ) 图3-1-9 ＝AB →－AD →＋AA 1→ ＝AD →＋AA 1→－AB → ＝AB →＋AD →－AA 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD → .故选B. 【答案】 B 二、填空题 5．如图3-1-10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF → ＝________(用向量a ，b ，c 表示)．

向量减法运算及其几何意义教学设计.doc

向量减法运算及其几何意义教学设计教学课题简介学科数学教学题目向量减法运算及其几何意义教材普通高中课程标准实验教科书（必修4）一、教学目标 1、知识与技能知道相反向量的定义；理解记住向量减法法则及其几何意义；能够用向量减法法则及其几何意义求两向量的差. 2、过程与方法通过回顾向量运算与实数运算之间的联系分析归纳相反向量的的定义和向量的减法运算；通过联系向量加法的作图方法观察并归纳向量减法的作图方法和要点，体会向量减法的几何意义. 3、情感态度与价值观通过阐述向量减法与数量减法的联系，培养学生类比的数学思想方法；由向量减法向加法的转化，让学生懂得从已知到未知这一转化思想；由作图了解向量减法的几何意义，培养学生作图能力，并从中体会数形结合的数学思想. 二、教学重点和难点 1．重点：向量减法法则及其几何意义． 2．难点：向量减法法则及其作图方法；向量减法几何意义的应用．三、教学方法：互动探究式授课通过引导让学生自主探究，合作交流，体验学习过程中涉及的转化和数形结合的数学思想，类比、观察、分析、归纳等数学方法．四、教学使用工具多媒体教学五、课堂教学过程设计（一）内容引入类比数量加法的意义，我们联系实际了解了向量加法，并学习了向量加法法则和作图方法，那么你能否同样与数量减法相比较得到向量减法法则和其几何意义呢？这就是本节课将要探讨和学习的主要内容．（二）、师生交流温故知新 1 回顾、类比、得新知——相反向量问题1你是否还记得刚进初中时学习有理数减法时的减法法则？你能否由此联系思考向量减法的减法法则呢？我们知道，在数量中，减去一个数等于加上这个数的相反数，如果向量减法可以相应的也转化为向量的的加法，那么向量减法对于我们而言就不再是问题了！向量的减法法则，类比一下，可以

向量的减法及其几何意义

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义一、学习目标: 1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 二、重难点 : 1. 重点：向量减法的三角形法则及其应用； 2. 难点：对向量的减法定义的理解. 三、知识回顾: 1、向量加法的法则：。 2、向量加法的运算定律：。四、探究新知： 1.用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：。 (2) 规定：零向量的相反向量仍是 . --=a a （）. 任一向量与它的相反向量的和是 +- =0a a （）如果a 、b 互为相反向量，则=-,=-,+0a b b a a b = （3）向量减法的定义： . 即：求两个向量差的运算叫做向量的减法. (4).用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b x a +=,则x 叫做a 与b 的差，记作。 2.向量的减法的三角形法则：特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. 五、典例分析：

例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b -、c d -. 练习：已知向量，求作向量。例2.化简:(AB →－CD →)－(AC →－BD → )． ,a b a b -

练习：化简：(1)AB →－CB →－DC →＋DE →＋F A → ；例3、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、. 变式一：当a ，b 满足什么条件时，+a b 与a b -垂直？变式二：当a ，b 满足什么条件时，|+a b | = |a b -|？变式三：+a b 与a b -可能是相等向量吗？

《向量加法运算及其几何意义》教学设计

《向量加法运算及其几何意义》教学设计一、教材分析《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量加法运算及其几何意义”（89--94页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。二、学生学习情况分析学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。三、设计理念教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。四、教学目标

(完整版)2.2.2向量的减法运算及其几何意义教案

2.2.2向量的减法运算及其几何意义教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++AD BA CB . 解： =+=++ 二、提出课题：向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ，作= a ， = b 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1?表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b) O A a B’ b -b b B a + (- b ) a b O a b B a b a -b

向量的减法运算及其几何意义

向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义教学目标： 1.了解相反向量的概念； 2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中， . 解：二、提出课题：向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. ( a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = b，b = a，a + b = 0 （3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b 3求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点o，作= a，= b 则= a b 即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 注意：1 表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数 2 用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + ( b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一. 2．探究：

向量加法运算及其几何意义(教学设计)(精选、)

2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量； 2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算；二、过程与方法： 1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． [教学重点] 向量加法定义的理解；向量加法的运算律． [教学难点] 向量加法的意义一、复习回顾，新课导入 1．物理学中，两次位移, OA AB的结果与位移OB是相同的。 2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？ 3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。二、师生互动，新课讲解 1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC += 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a 例1（课本P81例1）已知向量a,b，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b。作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b. 作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。变式训练1：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ 2．归纳： 1.两个向量的和仍是一个向量。 2.当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|. 3.当a与b共线时， (1)若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|. (2)若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 3. 向量加法的运算律探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？要求学生画图进行探索. （1）如图作ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，

向量的加减乘除运算

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. 向量的加法OB+OA=OC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 向量的减法 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向；向量的数乘当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 4、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos 〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）； (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方.

向量的加法及其几何意义

向量的加法及其几何意义一、教材分析高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。二、学生学习情况分析学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。三、设计理念

教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。四、教学目标根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。

空间向量及其加减运算专题训练

A . a + b — c B . — a — b +c C . — a + b + c D . — a + b — c 解析：选 C.由于CD = CB +BA + AD = CB — AB +AD = b — a + c , 所以 C D = — a + b + c . 3.在正方体ABCD-A i B i C i D i 中，下列选项中化简后为零向量的 A. AB + A I D I + C i A i B .AB —A C+ BE B I C. AB + AD + AA i D .A C +CB 1 解析：选 A.在 A 选项中，AB +A ；D i + CA i = (AB +AD) + CA = AC + CA = 0. 4.设有四边形ABCD,O 为空间任意一点，且AO + O B = D O + OC, 全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解）空间向量及其加减运算专题训练 [A 基础达标] 1.在空间四边形OABC 中，OA +A B — CB 等于（） A .OA B .A B C.OC D .A C 解析：选 C.OA + A B — CB= OB — CB = BC — BO = OC. 2.已知空间四边形 ABCD 中，AB = a , CB = b , AD = c ,则CD 等

则四边形ABCD是（）

全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解） A .平行四边形B.空间四边形 C.等腰梯形解析：选A.由于AO+ A B, D O+O C=D C, 所以AB=DC,从而|AB|=|D C|,且AB与CD不共线, 所以AB DC, 所以四边形ABCD是平行四边形. 5 .已知平行六面体ABCD-A'B'CD 贝y下列四式中错误的是 ① AB—CB = AC:② A厅 =AB + B B ~C C + CC :③ AT C = CC ;@AB+ BB^ +BC+ C C C = A F . A.① c.③ 解析：选D.AB—CB=AB+BC=AC,①正确; A B+B"C+C C = A B+ B C+ C C=A C ,②正确; ③显然正确；AB+ B B+B C+CC=AB + BC+CC=AC,④错. 6 .式子(AB—CB)+CC I运算的结果是______ . 解析：(AB—CB)+ CC I =(AB+BC) + CC I=AC+CC I = AC I. 答案：A C I 7.给出下列几个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量; ②若|a|= |b|，则a, b的长度相等，方向相同或相反;

向量减法运算及其几何意义(教学设计)

2．2．2向量减法运算及其几何意义（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。 2.向量的加法与减法互为逆运算。二、过程与方法： 1．经历向量减法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点：向量减法定义的理解。教学难点：向量减法的意义．教学过程：一、复习回顾 1、向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律： 2、在四边形中，CB BA AD ++= . 二、师生互动，新课讲解： 1、用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = b ， b = a ， a + b = 0 （3）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a b = a + ( b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2、用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 3、求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a b ∵(a b ) + b = a + ( b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ，作= a ， AB = b A B D C O a b B a b a b

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版

《向量的加法运算及其几何意义》教案教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：=+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：=+ （4）船速为，水速为，则两速度和： AC =+ 二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C A B C A B C

2021年高中数学3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析人教A版选修2_1

3.1.1 空间向量及其加减运算 [目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义． [重点] 空间向量加减运算及其几何意义． [难点] 向量加减运算由平面向空间的推广．知识点一空间向量的有关概念 [填一填] 1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模． 4．几类特殊向量 [答一答] 1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量． 2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以

理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的． 3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量． (2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同．知识点二空间向量的加减运算 [填一填] [答一答] 4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的． 5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线． 1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行． 2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量． 3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．

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