近世代数课后习题详细答案5
近世代数课后习题参考答案
第五章扩域
1扩域、素域
1. 证明：F(S)的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域.
证一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为 a
1) 若a,b ^送 则一定有a ^ …^n)
b FCh’ z —m)易 知 a-b FC'1^'2^ - n, -l/：2^' , -m 但
F(「1,〉2,n, L 2…，F) V
从而 b-a ，、 2) 若 a,b V ,且 b = 0 则 —b ? FCJ ：2,…,'-m) 从而有 ab d FC-1^-2^ : n, -1, -2/' , F) 7
2单扩域
1.令E 是域F 的一个扩域，而 a ? F 证明a 是F 上的一个代数元，并且 F(a) =F
证 因a-a=0故a 是F 上的代数元.其次，因a ，F ,故
F(a) F 易见 F(a)二 F ，从而 F (a)二 F
2i +1
2 ?令F 是有理数域?复数i 和2—1在F 上的极小多项式各是什么?
3 .详细证明，定理3中 a 在域F 上的极小多项式是 p(x)
证 令山是F(x)中的所有适合条件
f(a)=0的多项式作成f (x)的集 合.
1) -k 是F(x)的一个理想
(i )若 f(x),g(x)
：h 则 f (a) =0, g(a) =0 因而 f (a) -g(a) = 0 故 f (x) -g(x)山 ii )若f (x) ?山，h(x)是F (x)的任一元 那么 h(a)f(a) =0 则 h(x)f (x)山
2) 是一个主理想
设 p (x)是山中a !的极小多项式
2i +1 i 一1
F(i)与F( )是否同构？ i — 1 1,
在F 上的极小多项式为x 2 - x ? 5
2i +1 2
因F(i) =F( ) 故这两个域是同构的.
i T 2i 1 i -1
那么，对山中任一f(X)有
f (x) =P i(x)q(x) r(x)
这里r(x) =0或r(x)的次数
但f(a)二P i(a)q(a) R(x)
因f(a) = 0, p i(a) =0 所以r(a) = 0
若r(x)=0 则与p1x是a的极小多项式矛盾.
故有f(x) = p1 (x)q(x)因而=(p1(x)
(3)因p(a)=0 故p(x) ■-
R(x)| p(x) 因二者均不可约，所以有p(x)=a?(x)
又p(x), p i(x)的最高系数皆为1那么a =1 这样就是p(x) = R (x)
4.证明：定理3中的F(a) = K
证设f ? K,,则在定理3的证明中，K = K'之下有.
n n
f a n x - a n」x 川…川-a
但 a—；x, a i Q 故必f ^a n：n ' a n/n」a。
这就是说k FG ) 因而F(a)二K
3代数扩域
1?令E是域F的一个代数扩域，而「是E上的一个代数元，
证明圧是E上的一个代数元
证因为：?是F上的代数元
所以Q + …+e n a n
又因为E是F的代数扩域，从而FGc，…編) 是F的代数
扩域，再
有a是F(e°,e,…e n)上的代数元，故FCeneJeOua)
FG，e,…，e n」,e n )的有限扩域，由本节定理1 ,知FG,q, ,e n4,e n/)
是F的有限扩域，因而是F的代数扩域，从而a是F上的一个代数元.
2?令F ,E和L是三个域，并且F二二E，假定
(I : F)
而E的元「在F上的次数是n,并且(m,n) =1
证明：.在I 上的次数也是1
证设(I (〉)： I =r
因为 I (：?)二丨二F
由本节定理1 (I (a): F) =rm
另一方面，因为(F(cc) :F)|(I (a) :F
仍由本节定理！ ！
即有nrm
但由题设知 (m,n)=1 故nr
又：?在I 上的次数是r ，因而其在I 上的极小多项式的次数是1
:-在I 上的次数是n ，因而其在F 上的极小多项式的次数是 n
由于〉在上的极小多项式能整除 :-在F 上的极小多项式
所以r 岂n
因而r = n
3 ?令域！的特征不是2, E 是F 的扩域，并且
(E ：F)=4
证明存在一个满足条件 F I E 的E 的二次扩域 F 的充分与必要条是:
(E:F)=4，而〉在F 上的极小多项式是x 4 - ax 2 b
证充分性：
件的的二次扩域必要性: 由于存在I 满足条件F I E 且为F 的二次扩域
即(1: F) =2因此可得((E :1) =2
我们容易证明，当 F 的特征不是2时，且
则而！在！上的极小多项式是！
同样 E = I (a)而［在x 2 - f 上的极小多项式是 这样 12 二 f , f ? F,
：2 =i,i I
那么 i 2 二 f ,2 2f ,f^ f 22
所以〉4 =i 2由于：?在F 上的极小多项式为 x 4 ax 2 b
故a 2 F F 及 a F F2(：
2) 因而(F(a 2)：F)=1 所以
(F(a 2)：F)=2 由本节定理1知：
这就是说，F(a)是一个满足条
2^2 ： f； '-2
= 2fj 2 f1 f^ f2^-2 令-2 f1 b = fj 一f22 f
同时可知a,b均属于F ?.工4- a^2? b = 0 由此容易得到E=F(a0
4.令E是域F的一个有限扩域，那么总存在E的有限个元:‘，―,…：m 使E 二F(〉I，〉2,…：m)
证因为E是F的一个有限扩域，那么把E看成F上是向量空间时，则有一个
基宀二辽厂一二订显然这时
E =F(：1，： 2；：m)
5 ?令F是有理数域,，看添加复数于F所得扩域"
E^F(23,2^i) E2二F(23,23wi)
证明(F(23) =2,(巳：F) =6
证易知上的极小多项式是!
即(F(23):F -3
同样23上的极小多项式是即乍疔(23)) =4
2 2
X4— 23X2 2 ?
2?
由此可得((E i : F) =6,伍：F) =12
4多项式的分裂域
1?证明：有理数域F上多项式x4 1
其中a是x41的一个根的分裂域是一个单扩域F(a)
4 丄
证X 1的4个根为
『2丄i』2 J2 n/2 寸‘2丄iU‘2』2 血a^T V，a^T-T，a^-y T，a^_W
又印=a'；a2 - -aJ,a3 _ -
a
所以F(&,印￡2￡3) = F(a)
2 ?令F是有理数域，x3- a是F上一个不可约多项式，而a是x3- a
的一个根，证明F(a)不是x3- a在F上的分裂域.
证由于a是x3-a的一个根，则另外两个根是a；,a；2，这里；，；2是
x2x 1的根若F (a)是X’ - a的在H上的分裂域那么a ：, a F (a)这样，
就是F二F(；)二F(a)由3。 3定理！有但
(F(；):F)|(F (a)F) 此为不可能.
3.令P i(x), P2 (x),…,P m(x)是域F上m个最高系数为1的不可约多项式，证明
存在F的一个有限扩域F(ai,a2,…,a m)，其中色在F上的极小多项式是p(x)
证令f (x) = p i(x),P2 (x)，…,P m(x)由本节定理2 f (a)在F上的分裂
域E存在，根据4.3定理3, 知E是F上的有限扩域，取p i(x)的根a i则有
F F(a i, a?, a m) E
因E 是F的有限扩域，故F(a1,a2/ a m也是F的有限扩域，显然P i(x) !
是a i在F上的极小多项式.
4?令p是一个特征为素数p的域，F二p(a)是p的一个单扩域，
而a是p[x]的多项式x p—a的一个根，p(a)是不是x p-a在F上的分裂域？
证因：?是x p- a的根
故a p-a=O 即a「p
由于P的特征为素数！
所以x p-a = x p
因此pC )是x p- a在P上的分裂域
5有限域
1.令F是一个含p n个元的有限域，证明，对于n是每一个因数m 0 ,存在并且只存在F的一个有p m个元的子域L
证因为m是n的因数，所以(p n-1) = (p m-1)
m n
那么x p -1是x p「X的因式，
p m p m
但x p-x在F中完全分裂，所以x p-x在F中也完全分裂，那么F
P m
中含有x p-x的p m个根，由这p m个根作成F —个子域L .
m
又因为x p-x在F中的分裂域只有一个，所以F中有p m个元的子L 只有一个.
2 ?—个有限域一定有比它大的代数扩域.
证设F是有q个元的有限域.