概率论与数理统计各章重点知识点汇总--最新版

第一章 概率论的基本概念

一.基本概念

随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.

必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算

1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.

2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.

3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.

4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.

5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.

6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .

运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A I Y = B A B A Y I = 三. 概率的定义与性质

1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;

(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),

P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质

(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .

(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,

P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .

(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n

()()()

()

+∑

+

∑

-

∑=≤<<≤≤<≤=n

k j i k j i n

j i j i n

i i n A A A P A A P A P A A A P 111

21Y ΛY Y

…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )

四.等可能(古典)概型

1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.

2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率

1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).

2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).

P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,

当P(A)>0, P(B i )>0时,

. 六.事件的独立性

1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立? P(B)= P (B|A) .

2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.

3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1

()()()()

k

k

i i i i i i A P A P A P A A A P ΛΛ2

1

2

1

=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.

第二章 随机变量及其概率分布

一.随机变量及其分布函数

1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.

2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:

(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1

1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞

=k k p .

2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤x

X k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,

其跳跃值为p k =P{X=x k } .

3.三种重要的离散型随机变量的分布

(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0

(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()k

n k p p k n --???

? ??1(k=0,1,2,…,n) (0

λ-e k k !

(k=0,1,2,…) (λ>0)

三.连续型随机变量

1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x

?∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).

2.概率密度的性质

(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ?∞

∞-dx x f )(=1 ;

(3) P{x 1

1

)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .

注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布

(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ???=-0

)(1a b x f 其它b x a << .

(2)X 服从参数为θ的指数分布.()???=-0

/1θθx e

x f 00≤>x x 若若 (θ>0).

(3)X~N (μ,σ2

)参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σ

μσ

π--=

x e x f -∞0.

特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度

2

221)(x e x -=

π

? , 标准正态分布函数 ?=

Φ∞--x

t dt e x 2221)(π

, Φ(-x)=1-Φ(x) .

若X ～N ((μ,σ2), 则Z=

σ

μ

-X ~N (0,1), P{x 1

σμ-2x )-Φ(

σ

μ

-1x ).

若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数

若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.

若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数

若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f k

y X k

∑??

其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .

(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其

概率密度为 ()()()()

?

??'=0y h y h f y f X Y 其它βα<

其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .

如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .

第三章 二维随机变量及其概率分布

一.二维随机变量与联合分布函数

1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.

对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质

(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.

(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 . (3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1

P{x 1

二.二维离散型随机变量及其联合分布律

1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.

2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .

(2)归一性 ∑∑=i j

ij p 1 .

3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x y

y ij i j p

三.二维连续型随机变量及其联合概率密度

1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=??∞-∞-y x

dudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=??∞

∞-∞

∞-dxdy y x f .

(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则y

x y x F y x f ???=)

,(),(2

(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则??=∈G

dxdy y x f G y x P ),(}),{(.

四.边缘分布

1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)

2.二维离散型随机变量(X,Y)

关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞

=1

j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11

=∑∞

=?i i p .

关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1

i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11

=∑∞

=?j j p .

3.二维连续型随机变量(X,Y)

关于X 的边缘概率密度f X (x)=?∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=?∞

∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ?∞

∞

-),( 归一性1)(=?∞

∞

-dy y f Y

五.相互独立的随机变量

1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.

2.离散型随机变量X 和Y 相互独立?p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.

3.连续型随机变量X 和Y 相互独立?f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布

1．二维离散型随机变量的条件分布

定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称

P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }

为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.

第四章 随机变量的数字特征

一.数学期望和方差的定义

随机变量X 离散型随机变量

连续型随机变量

分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)

数学期望(均值)E(X) ∑∞

=1i i i p x (级数绝对收敛)

?

∞

∞-dx x xf )((积分绝对收敛)

方差D(X)=E{[X-E(X)]2

} []∑-∞

=1

2

)(i i i p X E x ?-∞

∞-dx x f X E x )()]([2

=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞

=1)((级数绝对收敛) ?∞

∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)

标准差σ(X)=√D(X) .

,}{},{j

j

i j j i p p y Y P y Y x X P ?=====

,}{},{?

=====i j i i j i p p x X P y Y x X P

二.数学期望与方差的性质

1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .

2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .

3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .

4. D(X) = 0

? P{X = C}=1 ,C 为常数.

三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0

n p (1- p)

3.X~ π(λ) λ λ

4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12

5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2

6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念

随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }

随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…

随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }

第六章 样本和抽样分布

一.基本概念

总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.

统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：

样本均值∑==n i i X n X 1

1 样本方差()

∑--==n i i X X n S 122

11 样本标准差S

样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 1

1( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n

i k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)

二.抽样分布 即统计量的分布

1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则

X ~ N (μ, σ2 /n) .

2.χ2

分布 (1)定义 若X ～N (0,1

) ,则Y =∑=n

i i X 1

2~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.

(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .

②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则

2

2

)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.

(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足

αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({2

2/122/212n Y n Y P n Y P n Y P Y 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.

3. t 分布

(1)定义 若X~N (0,1 ),Y~ χ2 (n),且X,Y 相互独立,则t=n

Y X

~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.

②X ～N (μ,σ2 )时, n

S X μ

-~ t (n-1) . ③两个正态总体

相互独立的样本 样本均值 样本方差

X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1

X S 12

Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22

则 2

1211

1)()(n n S Y X w +

---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212

222112

-+-+-=n n S n S n S w

(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足

αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P

的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).

4.F 分布 (1)定义 若U~χ2

(n 1), V~ χ2

(n 2), 且U,V 相互独立,则F =2

1

n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为

(n 1,n 2)的F 分布.

(2)性质(条件同3.(2)③)

22

21

2221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)

(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足

)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>

ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P Y

的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .)

.(1

),(12211n n F n n F αα=

-

第七章 参数估计

一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .

X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.

1.矩估计法

先求总体矩?????===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμΛΛΛ解此方程组,得到???

??===),,,(),,,(),,,(2121222111k

k k k k μμμθθμμμθθμμμθθΛΛΛ,

以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量???

????===∧

∧

∧

),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A ΛΛΛθθθθθθ,

若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法

若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==n

i k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθΛΛ为似然函数.取使似然函数达到最大值的

∧

∧∧k θθθ,,,21Λ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.

若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由

似然方程组 0=??i L θ 或 对数似然方程组 0ln =??i

L

θ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准

(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧

θ称为参数θ的无偏估计量.

不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,

(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧

θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧

θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计

1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤

(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a

待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间

μ σ2

已知 n

X σμ

-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2

未知 n

S X μ

-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 2

2

)1(σS n -~ χ2(n-1) ))

1()1(,)1()1((22/12

2

2/2

-----n S

n n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2

其它参数 W 及其分布 置信区间

已知

22

21,σσ

2

22

1

2

1

21)

(n n Y X σσμμ+

--- ~ N(0,1) )(2

22

1

21

2

n n z Y X σσα

+

±-

未知

2

2221σσσ== 2

12111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )1

1)2((21212n n S n n t Y X w

+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.

(2) μ 1,μ 2未知, W=

2

2

212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为

))

1,1(1,)1,1(1(212/1222

1212/2221----?-n n F S S n n F S S αα

注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论重要知识点总结

概率论重要知识点总结 概率论重要知识点总结 第一章随机事件及其概率 第一节基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点： （1）可重复性 （2）多结果性 （3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件发生必然导致事件B发生，则称B 包含A，记为，则称事件A与事件B 相等，记为A＝B。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 事件的积：称事件“事件A与事件B 都发生”为A 或AB。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为A－B。用交并补可以表示为互斥事件：如果A，B两事件不

能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事件：称事件“A不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质：事件运算律：设A，B，C为事件，则有： （1）交换律：AB=BA，AB=BA A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A(BC)＝(AB)(AC)ABAC （4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率 概率的公理化体系：第三节古典概率模型1、设试验E 是古典概型,其样本空间Ω个样本点组成.则定义事件A 的概率为的某个区域，它的面积为μ(A)，则向区域上随机投掷一点，该点落在区域假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作乘法公式： P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设第五节事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A、B 满足P(AB)=相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A、B、C，若P(AB)=两两独立独立的性质：若A 均相互独立总结： 1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。 2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，应

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k

(完整word版)新版毛概前六章知识点整理(背诵版)

第一章毛泽东思想及其历史地位 第一节毛泽东思想的形成和发展 形成发展的历史条件 ●时代条件 俄国十月革命开辟了世界无产阶级社会主义革命的新时代，是毛泽东思想产生的时代条件和国际背景。 ●社会条件 近代中国半殖民地半封建社会的基本国情和中国革命的特殊性，是毛泽东思想产生的社会条件。 ●物质基础 新的社会生产力的增长和工人运动的发展为毛泽东思想的产生和形成提供了物质基础。 近代中国新的社会生产力主要指近代工业和代表先进生产力的工人阶级。 ●理论条件 新文化运动的兴起和马克思主义的传入与传播，为毛泽东思想的产生和形成准备了思想理论条件。 ●实践基础 中国共产党领导的人民革命是毛泽东思想产生和形成的实践基础。 形成发展的过程（※选择题） 初步形成：提出并阐述农村包围城市武装夺取政权的思想 《中国社会各阶段的分析》、《湖南农民运动考察报告》《中国的红色政权为什么能够存在？》、《井冈山的斗争》、《星星之火可以燎原》、《反对本本主义》 成熟：系统阐述新民主主义革命理论；1945年七大写入党章 《中国革命和中国共产党》、《新民主主义论》、《论联合政府》 继续发展：人民民主专政理论、社会主义改造理论、正确处理人民内部矛盾的理论 《论人民民主专政》《论十大关系》《关于正确处理人民内部矛盾的问题》 第二节毛泽东思想的主要内容和活的灵魂 主要内容：新民主主义革命理论、社会主义革命和社会主义建设理论、革命军队建设和军事战略的理论、政策和策略的理论、思想政治工作和文化工作的理论、党的建设理论 活的灵魂：贯穿于毛泽东思想各个组成部分的立场、观点和方法，是毛泽东思想的活的灵魂，他们有三个基本方面，即实事求是，群众路线，独立自主 实事求是，就是一切从实际出发，理论联系实际，坚持在实践中检验真理和发展真；深入实际了解事物的本来面目，把握事物内的必然联系，按客观规律办事；清醒认识和准确把握我国基本国情 群众路线，就是一切为了群众，一切依靠群众，从群众中来到群众中去；人民群众是历史的创造者；人民是推动历史发展的根本力量；坚持全心全意为人民服务的根本宗旨；保持党同人民群众的血肉联系 独立自主，就是坚持独立思考，坚定不移维护民族独立，捍卫国家主权；坚持中国的事情必须由中国人民自己处理；坚持独立自主的和平外交政策，坚定不移走和平发展道路

概率论知识点总结

概率论总结 目录 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结 第一章随机事件和概率 第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结 果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。 在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体 样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。 基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等 若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。 若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。 定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。 定义：积事件 称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。 定义：差事件 称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差 事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。 定义：互不相容事件或互斥事件 如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。 定义6：逆事件/对立事件 称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。

概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_

习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{

解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册标准答案详解

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

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第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件

概率论知识点总结

概率论知识点总结 第一章 随机事件及其概率 第一节 基本概念 随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。 随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。 不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算（就是集合的关系和运算） 包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ?或B A ?。 相等关系：若A B ?且B A ?，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。 事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。 事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。 用交并补可以表示为B A B A =-。 互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A ＋B 。 对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事件的性质： Ω=?Φ=?B A B A ,。 事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ?=? B A B A ?=? 第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1 （3）可数可加性： ????n A A A 21两两不相容时

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

毛概重要考点知识点梳理

毛概重要考点知识点梳理 1.1938年，毛泽东在党的六届六中全会上作了《论新阶段》的政治报告，这是党首次明确提出：“马克思主义中国化”的重大命题。 2.马克思主义只有与本国国情相结合、与时代发展同进步、与人民群众共命运。 3.把马克思主义基本原理同中国革命、建设和改革的实践结合起来，同中国的优秀历史传统和优秀历史文化结合起来。 4.实事求是、群众路线、独立自主是毛泽东思想活的灵魂。 5.中国特色社会主义理论体系始终坚持将群众路线作为根本工作路线，强调一切为了群众、一切依靠群众，从群众中来、到群众中去。 6.毛泽东强调马克思主义必须同中国实际相结合，在理论上阐述了中国革命的新道路，这标志着毛泽东思想开始形成。1945年党的七大，毛泽东思想被确立为党的指导思想。 7.毛泽东思想的历史地位：马克思主义中国化第一次历史性飞跃的理论成果；中国革命和建设的科学指南；党和人民的宝贵精神财富。 8.党的十一届六中全会通过的《历史决议》，对毛泽东和毛泽东思想的历史地位作出了科学的、符合客观实际的评价。 9.1997年，十五大正式使用“邓小平理论”概念，并作为党的指导思想写入党章。 10.党的十六大将“三个代表”重要思想写入党章，实现了党的指导思想的又一次与时俱进。 11.党的十八大将“科学发展观”确立为党必须长期坚持的指导思想并写入党章。 12.中国特色社会主义理论体系，紧紧围绕什么是社会主义、怎样建设社会主义，建设什么样的党、怎样建设党，实现什么样的发展、怎样发展这三大基本问题展开。 13.党的思想路线是一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验真理和发展真理。 14.实事求是是党的思想路线的实质和核心。 15.改革开放三个有利于的标准：是否有利于发展社会主义社会生产力、是否有

毛概知识点最全总结

3.如何认识中国革命走农村包围城市、武装夺取政权道路的必要性及其重大意义？ 必要性：①由近代中国的社会性质决定的 ②由中国革命的动力决定的 ③由敌我力量的对比和布局决定的 意义：中国革命道路理论，是党运用马克思主义的立场、观点和方法，分析、研究和解决中国革命具体问题的光辉典范，对于推进马克思主义中国化具有中药店方法论意义。 4.如何理解新民主主义革命的三大法宝及其相互关系？ 把统一战线、武装斗争、党的建设比作三个主要的法宝； 统一战线和武装斗争是中国革命的两个基本特点，是战胜敌人的两个基本武器。统一战线是实行武装斗争的统一战线，武装斗争是统一战线的中心支柱，党的组织则是掌握统一战争和武装斗争这两个武器以实行对敌冲锋陷阵的英勇战士。 第三章 1.怎样理解党在过渡时期的总路线 党在过渡时期的总路线和总任务，是要在一个相当长的时期内，逐步实现国家的社会主义工业化，并逐步实现国家对农业、对手工业和对资本主义工商业的社会主义改造。党在过渡时期的总路线的主要内容被概括为“一化三改”，“一化”即社会主义工业化，“三改”即对个体农业、手工业和资本主义工商业的社会主义改造。“一化”是“主体”，“三改”是“两翼”，两者相辅相成，相互促进。 2.我国社会主义改造的基本经验有哪些？ ①坚持社会主义工业化建设与社会主义改造同时并举 ②采取积极引导、逐步过渡的方式 ③用和平的方法进行改造 3.如何理解新民主主义社会的过度性质？ ①从中华人民共和国成立到社会主义改造基本完成，新民主主义社会不是一个独立的社会形态，而是由新民主主义想社会主义转变的过渡性的社会形态 ②在我国新民主主义社会中，社会主义的因素不论在经济上还是在政治上都已经居于领导地位，但非社会主义因素仍有很大的比重 ③新民主主义体系是属于社会主义体系的 第四章 1.党在社会主义道路的初步探索中取得了哪些重要的理论成果？ ①调动一切积极因素为社会主义服务的思想 ②正确认识和处理社会主义社会的矛盾思想 ③走中国工业化道路的思想 ④初步探索的其他理论成果 2.党对社会主义建设道路的初步探索有哪些经验和教训？ ①必须把马克思主义与中国实际相结合，探索符合中国特点的社会主义建设道路 ②必须正确认识社会主义社会的主要矛盾和根本任务，集中力量发展生产力 ③必须从实际出发进行社会主义建设，建设规模和速度要和国力相适应，不能急于求成 ④必须发展社会主义民主 ⑤必须坚持党的民主集中制和集体领导制度，加强执政党建设 ⑥必须坚持对外开放，不能关起门来搞建设，要借鉴和吸收人类文明的共同成果建设社会主义 第5章

高中数学概率统计知识点总结

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高中数学概率统计知识点总结 一、抽样方法 1．简单随机抽样 2．简单随机抽样常用的方法：（1）抽签法；⑵随机数表法。 3．系统抽样：K （抽样距离）=N （总体规模）/n （样本规模） 4．分层抽样： 二、样本估计总体的方式 1、用样本的频率分布估计总体分布 （1）频率分布直方图的画法；（2）频率的算法；（3）频率分布折线图；（4）总体密度曲线；（5）茎叶图。 茎叶图又称“枝叶图”，它的思路是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个主干（茎），将变化大的位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）众数、中位数、平均数的算法；（2）标准差、方差公式。 3、样本均值：n x x x x n +++= 21 4、．样本标准差：n x x x x x x s s n 2 22212)()()(-++-+-== 三、两个变量的线性相关 1、正相关 2、负相关 正相关：自变量增加，因变量也同时增加（即单调递增） 负相关：自变量增长，因变量减少(即单调递减) 四、概率的基本概念 （1）必然事件（2）不可能事件（3）确定事件（4）随机事件 （5）频数与频率（6）频率与概率的区别与联系 必然事件和不可能事件统称为确定事件 1他们都是统计系统各元件发生的可能性大小； 2、频率一般是大概统计数据经验值，概率是系统固有的准确值； 3频率是近似值，概率是准确值

概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案

. 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=

10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）

《概率论与数理统计》袁荫棠 中国人民大学出版社 课后答案 概率论第一章

概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.08 121)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3 ,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网

00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网

毛概知识点整理

第一章 （一）马克思主义中国化的科学内涵（P3-4） 克思主义中国化就是将马克思主义基本原理同中国具体实际相结合，不断形成具有中国特色的马克思主义理论成果的过程。 一、马克思主义在指导中国革命、建设和改革的实践中实现具体化。 二、把中国革命、建设和改革的实践经验和历史经验上升为马克思主义理论。 三、把马克思主义植根于中国的优秀文化之中。 （二）马克思主义中国化两大理论成果的关系（P4-7） 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系，是马克思主义中国化的两大理论成果。 方面，毛泽东思想所蕴含的马克思主义的立场、观点和方法，为中国特色社会主义理论体系提供了基本遵循；另一方面，毛泽东思想关于社会主义建设的理论，为开创和发展中国特色社会主义作了重要的理论准备。 其次，中国特色社会主义理论体系在新的历史条件下进一步丰富和发展了毛泽东思

想。 最后，毛泽定思想和中国特色社会主义理论体系都是马克思列宁主义在中国的运用和发展。 （三）毛泽东思想活的灵魂（P13） 毛泽东思想是马克思主义在中国的运用和发展，是实践证明了的关于中国革命的正确的理论原则和经验总结，是中国共产党集体智慧的结晶。其活的灵魂是：实事求是、群众路线、独立自主。（选择） 实事求是，就是一切从实际出发，理论联系实际，不断地深化对中国国情的认识，找出适合中国情况的革命和建设道路。 群众路线，就是一切为了群众，一切依靠群众，从群众中来，到群众中去。 独立自主，就是坚持独立思考，走自己的路，就是坚定不移地维护民族独立、捍卫国家主权，把立足点放在依靠自己力量的基础上，同时积极争取外援，开展国际经济文化交流，学习国外一切对我们有益的先进事物。 （四）实事求是的科学内涵（P27-29） 党的思想路线是一切从实际出发，理论联系实际，实事求是，在实践中检验和发展真理。 1.“一切从实际出发”，就是“看问题不要从抽象的定义出发，而要从客观存在的事实出发，从分析这些事实中找出方针、政策、方法来”。 2.“理论联系实际”，就是善用马克思主义的立场、观点和方法，进一步从中国历史和现实的实际的认真研究中，在各方面作出合乎中国需要的理论创造。 3.“在实践中检验真理和发展真理”，就是依客观上社会实践的结果如何判定认识或理论是否是真理，而不是依主观上觉得如何而定。 4.“实事求是”，是党的思想路线的实质和核心。（选择） （五）中国特色社会主义体系的主要内容和历史地位（P18-23） 主要内容： 中国特色社会主义的思想路线； 建设中国特色社会主义总依据理论； 社会主义本质和建设中国特色社会主义总任务理论； 社会主义改革开放理论； 建设中国特色社会主义总布局理论； 实现祖国统一的理论； 中国特色社会主义外交和国际战略理论； 中国特色社会主义建设的根本目的和依靠力量； 国防和军队现代化建设理论； 中国特色社会主义建设的领导核心理论 历史地位： 第一，马克思主义中国化第二次历史性飞跃的理论成果 第二，新时期全党全国各族人民团结奋斗的共同思想基础 第三，实现中华民族伟大复兴中国梦的根本指针 （六）正确理解实事求是是马克思主义中国化两大理论成果的精髓（P29-31） 首先，实事求是贯穿于马克思主义中国化两大理论成果形成和发展的全过程。 其次，实事求是体现于马克思主义中国化两大理论成果基本内容的各个方面。 最后，实事求是是渗透于马克思主义中国化两大理论成果的方法论原则。 反例：文化大革命，大跃进 第二章（简答题）

概率论与数理统计教程(茆诗松)

2004年7月第1版 2008年4月第10次印刷 第一章 随机事件与概率 1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验. 1.1.2 样本空间 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元. 1.1.3 随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件. 1.1.4 随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 1.1.7 事件域 定义1.1.1 设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的集合类.如果?满足： (1) Ω∈?； (2)若A ∈?，则对立事件A ∈?； (3)若A n ∈?,n =1,2,…，则可列并 A n ∞n =1∈?. 则称?为一个事件域，又称为σ代数. 在概率论中，又称(Ω,?)为可测空间. 1.2 概率的定义及其确定方法 1.2.1 概率的公理化定义 定义1.2.1设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件A ∈?，定义在?上的一个实值函数P (A )满足： (1)非负性公理 若A ∈?，则P A ≥0； (2)正则性公理 P Ω =1； (3)可列可加性公理 若A 1,A 2,…,A n 互不相容，有 P A i ∞i =1 = P A i ∞ i =1 则称P (A )为事件A 的概率，称三元素(Ω,?,P )为概率空间. 第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布 2.1.1 随机变量的概念 定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X =X (ω)称为随机变量. 2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称

概率论与数理统计同步习题册3.1版参考答案(2015) (1)

《概率论与数理统计》同步习题册参考答案 第一章 1.1节 1. (1) {|0,1,2, ,},k k n n n =为小班人数; (2) }10|),{(2 2 ≤+≤y x y x ; 2. (1) C B A ; (2) C AB ; (3) C B A C B A C B A ++; (4) C B A ??; (5) ABC BC A C B A C AB +++; (6) ABC -Ω.(7) ABC 3. (1) (3) (4) (5) 成立. 1.2节 1. 0.1. 2. 85. 3. 8 3 ,61,21. 4. 0.2. 1.3节 1. !13!2!2!2!3. 2. 21 13. 3. 43,407 4.161,169,166. 5. 43 . 1.4节 1. 4/1,3/1. 2. 13. 3. 300209,209 64. 4. 9548 ,3019. 1.5节 1. 0.48. 2. 10.90.950.80.316-??=. 3. 0.896. 4. 7 3,74. 第一章 自测题 一. 1. 52. 2. )(1,0q p +-. 3. 21,32. 4. 31; 5. 32 . 6. 4. 7. 2711. 8. 52. 9. 8.0. 10. 0.94. 11. 30 11. 二. 1. A. 2. C. 3. B. 3. A. 4. A. 5. A. 三. 1. 6612111-,62461211?C ,6 246121112??C . 2. 53,43,103,53. 3. 49 40. 4. 999.004.01>-n ，n=3. 5. 0.253, 94/253. 6. 1/4. 7. 0.24, 0.424. 第二章 2.1节 1. ) 12(21100-， 31. 2. 101)2(==X P ，10 9 )3(==X P . 3. 3185(),0,1,2,3k k A P X k k A +===. 4. （1）1,21=-=b a ，（2）161. 5. 2=a ，0,4 9 22,41-. 6. 3 32?? ? ??. 2.2节 1. (1) 523,212, (2) 6133. 2. 44.64*4=178.26. 3. 256 . 4. 34. 5. 3 1. 2.3节 1. 20 119192021818207.03.07.03.07.0++C C . 2. 20=n , 3.0=p .