多边形及平面镶嵌讲义

多边形的平面镶嵌

多边形的平面镶嵌 郝易 18号一、1.概念： 从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌。 2.正n边形的镶嵌： 可找出规律：正n边形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180÷n度。若（n-2）*180÷n能整除360，那么它就能来进行镶嵌，若不能，则不能用其进行镶嵌。 由此可以看出，只有正三角形、正方形、正六边形这三个正n边 形可以进行镶嵌。

二、三角形的平面镶嵌 因为三边形四个角和为 180度。所以只要把 不同的角往一个点 凑，这样两个就可以进行 平面镶嵌。 三、四边形的平面镶嵌 因为四边形四个角和为 360度。所以只要把 不同的角往一个点 凑，就可以进行 平面镶嵌。 四、五边形的平面镶嵌 设在一个顶点处，有n个角。若n > = 4 ，4 * 108 > 360 ，不能平面镶嵌。 若n < 4 ，3 * 108 < 360 ，不能平面镶嵌。 由此得出：五边形不能平面镶嵌。 五、六边形的平面镶嵌 正六边形一个角的度数为120度。120\360， 所以正六边形可以平面镶嵌，如图：

对边相等的六边形也可以平面镶嵌： 六、两种正多边形的平面镶嵌 ①正三角形和正方形 设需要用正三角形m个，正方形n个 60m+90n=360 2m+3n=12 m=(12-3n)/2 m=3 n =2 ②正三角形和正六边形 设需要用正三角形m个，正六边形n个60m+120n=360 m+2n=6

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多边形的平面镶嵌 郝易18号一、1.概念： 从数学的角度看，用不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺；通常把这类问题叫做用多边形的平面镶嵌。 2.正n边形的镶嵌： 可找出规律：正n边形，内角和是（n-2）*180度，一个内角的度数是（n-2）*180+n度。若（n?2）*180+n能整除360,那么它就能来进行镶嵌，若不能，则不能用其进行镶嵌。 由此可以看出，只有正三角形、正方形、正六边形这三个正n边 形可以进行镶嵌。

二、三角形的平面镶嵌因为三边 形四个角和为180度。所以只要 把不同的角往一个点 凑，这样两个就可以进行平面镶 嵌。 三、四边形的平面镶嵌因为四 边形四个角和为360度。所以只 要把不同的角往一个点 凑，就可以进行平面镶嵌。 四、五边形的平面镶嵌 设在一个顶点处，有n个角。若n > = 4 , 4 * 108 > 360 , 不能平面镶嵌。 若n <4 , 3 * 108 < 360 ,不能平面镶嵌。 由此得出：五边形不能平面镶嵌。 五、六边形的平面镶嵌 正六边形一个角的度数为120度。120\360, 所以正六边形可以平面镶嵌，如图：

对边相等的六边形也可以平面镶嵌: 六、两种正多边形的平面镶嵌 ①正三角形和正方形 设需要用正三角形m个，正六边形n个60m+120n=360

正八边形 n 个 m=6-2n n =2,1 m=2,4 ③正方形和正八边形 设需要用正方形m 个, 90m+135n=360 2m+3n=8 m=(8-3n)/2 n =2 m =1 两种正多边形的平面镶嵌公式： xm+yn=360 如果m 、n 没有正整数解，则这两种正多边形不能平面镶嵌。 如果有，则可以平面镶嵌，m, n 分别表示每种正多边形的个

多边形和正多边形镶嵌一对一辅导讲义(20200919163720)

一对一个性化辅导讲义 学科：数学任课教师：授课时间：20 14 年月日(星期) 姓名年级七性别学习内容多边形复习上课次数2学1、理解多边形及正多边形的定义? 习2、了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角. 目标3、掌握多边形的内角和、外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题 . 难占 八、 、重点：多边形的内角和、外角和公式及其应用? 重占 八、 、难点：多边形的内角和、外角和公式及其应用? 一、中考知识清单 (一)多边形的概念， 1、如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形， 记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写) D C A <〉C E O A B B(1)(2) 图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为 一般地，，记为n边形，又称多边形。 2、连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条 对角线，n边形有- n(n 3) 条对角线, 2 从同一个顶点出发的对角线有(n —3)条。 3、多边形的内角和公式。 民 - 一 -— \\、、 1 i " 儿 (1) n边形的内角和等于?这是因 为，从n边形的一个顶点出 发, 可以 引条对角线，它们将此n边形分为个三角形. 而这些三角形的内角和的总和就是此n边形的内角和，所以，此n边形的内角和等于180°x (2)请按下面给出的思路，进行推理填空.

如图，在n边形A1A2A3…A n-l A n内任取一点0,依次连结____________ 、_______ 、______ 、……、 ______ 、 _____ ?则它们将此n边形分为_______ 三角形，而 这些三角形的内角和的总和，减去以0为顶点的一个周角就是此多边形的内角和?所以，n边形的内角和=180°X ____________ -( ) = ( ) X 180°. (二)用正多边形拼地板 (1 )正n边形的每一个内角等于________ ，每一个外角等于_______ (2) ___________________________ .正三角形的内角度数为 _____ ,正方形的内角度 数为 ___________________________ ，正五边形的内 角度数为_______ ,正六边形的内角度数为_________ ,正八边形的内角度数为 ________ 正十二边形的内角度数为_________ 。三角形的内角和为 _________ ,四边形的内角和为 (3) .定义：用一些 __________ 的多边形把平面的一部分, 叫做平面镶嵌。它的特点是相邻的多边形之间既不________ 又不 _______ ，严丝合缝。 (4) .平面镶嵌的条件是：拼接在同一个顶点处的各个多边形的内角之和等 二、典例分析 1 ?一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定/ A应等于90°，/ B、/ D应分别是30 ° 和20°，李叔叔量得/ BCD=142 °，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？

多边形与平面图形的镶嵌

中考数学第一轮复习 多边形与平面图形的镶嵌 ?课前热身 1?一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形的边数是 2.若正六边形的外接圆半径为4，则此正六边形的边长为 3.若一个正n边形的一个外角为36°,则n等于（ 、10 4.若正多边形.的中心角为20°，那么它的边数是 5.从多边形一个顶点可作17条对角线，则这个多边形内角和为度. 【参考答案】1.4 2.4 3.D 4.18 5.3240 ?考点聚焦 知识点 多边形多边形的内角和和外角和平面图形的镶嵌 大纲要求 1. 了解多边形的内角和与外角和公式和正多.边形的概念 2. 了解平面图形的镶嵌，掌握简单的镶嵌设计考查重点和常考题型求多边形的边数、内角和、外角和及正多边形的角、边长及半径、边心距，以正五边形、正六边形为常见，多见于填空题和选择题, ?备考兵法 多边形的内角和随边数的增加而增加，但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 0. ?考点链接 1.四边形有关知识 n边形的内角和为.外角和为 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 外角和增加 n边形过每一个顶点的对角线有条，n边形的对角线有条. 2.平面图形的镶嵌

A. 4 B . 5 C. 6 D. 7 ⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个 就拼成一个平面图形. ?典例精析 【答案】 【答案】 例3 （浙江嘉兴） 在四边形ABCDK / D= 60°,/ B 比/ A 大20°,/ C 是/ A 的2倍，求 / A ,/ B,/ C 的大小. 【分析】知识点：四边形内角和是 360。，通过列方程解应用题 解：设 N A =x (度)，则 /B =x +20 , N C =2x . 根据四边形内角和定理得， X +（x +20） +2X +60 =360 . 解得，x 时, ⑵只用一种正多边形铺满地面, 请你写出这样的一种正多边形 例1 （浙江宁波） 如图，/ 1,/ 2, / 3,/4 是五边形 ABCDI 的外角，且/ 1 = / 2=/3= / 4= 70°，则/ AED 勺度数是（ B. 108° C. 105° D. 100° 【分析】 知识点: 多边形的内角和（ n — 2）x 180 °，外角的和是 360 °。 例2 （山东烟台） 现有四种地面砖, 它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正 八边形, 且它们的边长都相等.同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式 .有 ( ) A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 【分析】 知识点：两个正多边形的内角中各取一个内角的和是 360 °。 ???厶=70°, N B =90°, N C =140°. ?迎考精炼 一、选择题 1.（湖北黄冈 ）一个多边形的内 角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ A. 110°

多边形与平面图形的镶嵌

多边形与平面图形的镶嵌 ◆课前热身 1.一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形的边数是 2．若正六边形的外接圆半径为4，则此正六边形的边长为． 3.若一个正n边形的一个外角为36°，则n等于（） A、4 B、6 C、8 D、10 4．若正多边形的中心角为200，那么它的边数是__________． 5．从多边形一个顶点可作17条对角线，则这个多边形内角和为度． 【参考答案】1.4 2.4 3.D 4.18 5.3240 ◆考点聚焦 知识点 多边形多边形的内角和和外角和平面图形的镶嵌 大纲要求 1.了解多边形的内角和与外角和公式和正多边形的概念 2.了解平面图形的镶嵌，掌握简单的镶嵌设计 考查重点和常考题型 求多边形的边数、内角和、外角和及正多边形的角、边长及半径、边心距，以正五边形、正六边形为常见，多见于填空题和选择题， ◆备考兵法 多边形的内角和随边数的增加而增加,但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 o． ◆考点链接 1. 四边形有关知识 ⑴ n边形的内角和为．外角和为． ⑵如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加， 外角和增加． ⑶ n边形过每一个顶点的对角线有条，n边形的对角线有条． 2. 平面图形的镶嵌 ⑴当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，

就拼成一个平面图形. ⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________． ◆ 典例精析 例1（浙江宁波）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED 的度数是（ ） A ．110° B ．108° C ．105° D ．100° 【分析】知识点：多边形的内角和（n －2）×180°，外角的和是360°。 【答案】D 例2（山东烟台）现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ ） A ．2种 B ．3种 C ．4种 D ．5种 【分析】知识点：两个正多边形的内角中各取一个内角的和是360°。 【答案】B 例3（浙江嘉兴）在四边形ABCD 中，∠D ＝60°，∠B 比∠A 大20°，∠C 是∠A 的2倍，求∠A ，∠B ，∠C 的大小． 【分析】知识点：四边形内角和是360°，通过列方程解应用题. 解：设x A =∠（度），则20+=∠x B ，x C 2=∠． 根据四边形内角和定理得，360602)20(=++++x x x ． 解得，70=x ． ∴?=∠70A ，?=∠90B ，?=∠140C ． ◆迎考精炼 一、选择题 1. (湖北黄冈)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 1 2 3 4 D C B A E

多边形与平面图形的镶嵌

多边形与平面图形的镶嵌 ?课前热身 1. 一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形的边数是 ______ 2. _____________________________________________________________ 若正六边形的外接圆半径为4，则此正六边形的边长为_____________________________________________________ . 3. 若一个正n边形的一个外角为36°,则n等于（） A 4 B、6 C 、8 D 、10 4. __________________________________________________ 若正多边形■的中心角为200，那么它的边数是__________________________________________________________ . 5?从多边形一个顶点可作17条对角线，则这个多边形内角和为 _________________ 度. 【参考答案】1.4 2.4 3.D 4.18 5.3240 ?考点聚焦 知识点 多边形多边形的内角和和外角和平面图形的镶嵌 大纲要求 1. 了解多边形的内角和与外角和公式和正多边形的概念 2. 了解平面图形的镶嵌，掌握简单的镶嵌设计 考查重点和常考题型 求多边形的边数、内角和、外角和及正多边形的角、边长及半径、边心距，以正五边形、正 六边形为常见，多见于填空题和选择题， ?备考兵法 多边形的内角和随边数的增加而增加，但多边形的外角和随边数的增加没有变化，外角和恒为360 0. ?考点链接 1. 四边形有关知识 ⑴n 边形的内角和为___________________ .外角和为____________ . ⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加________ , 外角和增加___________ . ⑶n边形过每一个顶点的对角线有_________________ 条，n边形的对角线有 ____________ 条.

多边形的镶嵌

综合与实践：多边形的镶嵌教学设计 教学目标 1、了解平面图形镶嵌的含义，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计. 2、通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六变形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的设计.. 3、经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发培养学生的创新思维,培养学生动手操作，自主探索的能力. 4、使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值。 教学内容分析 从数学的角度看，用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，通常把这类问题叫做多边形的平面镶嵌。 学情分析 学生已经学习了三角形的内角和，多边形的内角和等知识，学生要经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力，获得分析问题的方法，对于今后的学习具有重要意义。 教学过程 生活中数学知识处处可见，学习数学要能把生活知识数学化，也要能把数学知识生活化。生活中常见的地板、地砖、墙砖的铺设，或实用，或简洁，或美观，或有趣。接下来让我们先欣赏生活中的场景。 欣赏

理解 以上地砖、地板的铺设蕴含着怎样的数学知识呢？ 地砖，地板我们可以抽象成数学中的平面图形——多边形。我们对多边形进行平移，旋转，先在多边形的某个顶点“绕铺”，然后展开。地板、地砖分正反面，这里不能使用翻折（轴对称变换）,翻折使正反面不一致。是不是所有的多边形都可以通过平移、旋转“绕铺”、展开呢？我们先看如下正多边形的问题。 一、正方形的镶嵌 1、绕正方形一顶点“绕铺”： （1）平移法 如图所示： （2）旋转法 如图所示： 2、通过整体平移展开 如图所示： A A D A 依向量DC 平移 D D 依向量AF 平移 GA 平移

《平面图形的镶嵌》教案

《平面图形的镶嵌》教案 教学内容分析：本节课是八年级下册第二十二章第九节内容，属于“实践与综合应用”这一学习范畴。平面图形的镶嵌在现实生活中随处可见。由于这一内容是现实的且有一定的实践性，所以能够让学生充分感受到“数学来源于生活”，进一步认识到学习数学的必要性，利于激发学生的兴趣，使学生乐于参与其中；由于该问题的解决，需要综合应用前面所学内容“三角形”、“生活中的轴对称”、“图形的平移与旋转”、“四边形”、“多边形内角和外角的和”等知识，是学生对所学平面图形有关知识的一次综合应用，问题的这种综合性既能检查学生对旧知识的掌握程度，又能加深学生对所学内容的理解，进一步认识学习的价值；由于解决这一问题需要师生、生生之间的合作与交流，利于发展学生的合作与交流的意识与能力；由于本节课学生需要经历观察、归纳、猜想、实验、推理及应用的全过程，既能丰富学生的活动经验，又能获得课题学习的基本模式，对于今后的学习具有重要的指导意义。 教学目的：1、在实验与探究的学习活动中，理解平面图形镶嵌的含义、本质及平面图形镶嵌的条件。 2、通过动手操作与合作交流，积累数学活动的经验，发展学生的合作交流、实践操作及推理 能力。 3、通过平面图形镶嵌图案的设计，培养学生综合运用知识的能力和审美情趣。 教学重点：1、平面图形镶嵌的本质及条件的探究。 2、掌握课题学习的基本模式：现实生活中的问题——确立研究课题——搜集相关材料——提 出研究子问题——归纳猜想、实验探究（推理、证明）——应用研究成果——形成研究报告。教学难点：平面图形镶嵌的本质。 教学准备：1、学生准备：（1）正三、四、五、六、七边形纸片。（2）生活中平面图形镶嵌的图片。 2、教师准备：平面图形镶嵌的图片及课件。 出示课题：《平面图形的镶嵌》 ：下面这个图形是镶嵌吗？ 像这样，用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，叫做平面答1：图片中的地砖都是铺得平平的，地砖的大小是一样的，顶点在一个点

综合与实践《多边形的镶嵌》教案

19.4综合实践活动 平面图形的镶嵌 教学目标： 知识与技能： 1、理解平面图形镶嵌的含义、本质及平面图形镶嵌的条件。 2、能自行设计几种平面镶嵌的图案。 过程与方法： 1、让学生经历探索多边形的镶嵌的过程，知道可以平面镶嵌， 并能运用这几种图形进行简单的平面镶嵌设计。 2、通过动手操作与合作交流，积累数学活动的经验，发展学生 的合作交流及实践操作能力。 情感态度与价值观： 1、通过合作学习，动手实验，提高学生的学习热情，感受学习 的乐趣。 2、通过平面图形镶嵌图案的设计，培养学生综合运用知识的能 力和审美情趣。 教学重点：平面图形镶嵌的实质及条件的探究。 教学难点：运用两种正多边形进行平面镶嵌。 教学准备：1、学生准备： （1）正三、四、五、六边形纸片及任意的三角形、四边形、五边形纸片若干。（2）生活中平面镶嵌的图片。 2、教师准备：平面图形镶嵌的图片及课件。 教学过程：

教学 步骤 教师活动学生活动设计意图 一、创设情境，引出课题问1：在现实生活中，我们所见到的地 面、墙面乃至于艺术设计，常常都是由 一些图形拼接而成的。请同学们欣赏下 列图片，说一说这些图形都有怎样的共 同特征？ 出示课题：《19.4 平面图形的镶嵌》 问2：这些图形拼成一个平面图案的共 同特征是什么？ 平面镶嵌的定义：像这样，用形状、大 小完全相同的平面图形进行拼接，使图 形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一 片，叫做平面图形的镶嵌。 多边形镶嵌的条件： 每个顶点处几个角的和为360° 学生展示课前收集的平面镶嵌图 案。 答1：图片中的地砖都是铺得平平的， 地砖的大小是一样的，顶点在一个点 处，不重叠在一起。 答2：拼接处不能有空隙也不能重叠。 1、让学生感受 到生活中处处 有数学，体现了 自然中、游戏中 都蕴含着美妙 的数学知识。 2、突出平面图 形镶嵌的特征： 无空隙、不重 叠。 二、提出问题，操作探究一 一种正多边形镶嵌问题的研究 问：你能提出哪些有价值的数学问 题供本节课研究呢？ 学生提出的问题有很多，但我们要 引导学生提出并研究以下问题： 1、问题一：探索用同一种正多边形 镶嵌的规律。 问1：猜一猜，哪些正多边形通过 拼接能进行平面的镶嵌？ 问2：请利用课前准备好的若干正 三角形、正四边形、正五边形、正六边 形纸片，动手操作，验证自已的猜想。 看哪个组拼得又快又好，然后展示他们 的成果。 提出的研究问题可能是： 1、如果只用同一种正多边形镶嵌， 那么这样的正多边形可能有哪些？ 2、这些镶嵌与哪些数学知识有关？ …… 答1：正三角形、正方形、正六边形、 正七边形、…… 动手操作后得到的作品： 1、利用动手操 作、小组合作， 加深对平面图 形镶嵌的理解。 2、培养学生的 合情推理能力， 领会镶嵌的基 本原理，发挥教 师的引导者和 合作者的作用。 3、让学生经历 猜想、实验、推 理的过程，品尝 成功的乐趣。

用正多边形瓷砖镶嵌地面

用正多边形瓷砖镶嵌地面 观察一些建筑物的地面，可以发现这些地面常常是用一种或几种正多边形瓷砖铺砌而成，你知道用哪些正多边形瓷砖可以镶嵌地面吗？ 一、用同一种正多边形瓷砖镶嵌地面 例1为迎接大学生冬季运动会，某市正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是（ ） 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 A B C D 分析：当用n 块内角为x°的同一种正多边形围绕一点拼在一起时，则有nx°=360°，此时有n=x 360，由于n 为正整数，所以x 只能为60，90，120．也就是正多边形中只有正三角形（内角为60°），正方形（内角为90°），正六边形（内角为120°）才能单独镶嵌地面，而其它的同一种正多边形瓷砖不能单独镶嵌地面． 解：选C ． 提示：用一种正多边形瓷砖可以镶嵌地面，这种正多边形只能是正三角形，正方形，正六边形中的一种． 二、用两种正多边形瓷砖镶嵌地面 例2 在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能镶嵌地面的是（ ） A ．①③④ B ．②③④ C ．①②③ D ．①②④ 分析：假设用x 块正三角形瓷砖与y 块正方形瓷砖可以镶嵌．则60°x+90°y=360°，即2x+3y=12，由于x ，y 为正整数，只有当x=3，y=2时2x+3y=12成立，所以用3块正三角形瓷砖和2块正方形瓷砖可以镶嵌地面；同样的方法可以知用2块正三角形瓷砖和2正六边形瓷砖或用4块正三角形瓷砖和1块正六边形瓷砖可以镶嵌地面；用2块正八边形瓷砖和1块正方形瓷砖可以镶嵌地面；用

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多边形&平面镶践

我们知道，任意四边形的内角和都等于360°.所以用一批形状大小完全相同但不规则的四边形瓷砖也可以铺成无空隙的地板.用任意相同的三角形可以铺满地面吗？请同学们拼拼看. 3、用两种或两种以上的正多边形拼地板问题 我们已经知道，有些相同的正多边形能够铺满地面，而有些则不行.实际上我们还看到有不少用两种以上边长相等的正多边形组合成的平面图案.这个问题实质上是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成周角”的问题. 【习＜14 5依】 _、选择题： Ln边形所有对角线的条数是（） ，啰 2.如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是（ B. 2k+l C. 2k+2 D. 2k-2 3.若把一个多边形的顶点数增加一倍，它的内角和是2520°,那么原多边形的顶点数为（ 4.下列命题中，正确的有（） %1没有对角线的多边形只有三角形 %1内角和小于外角和的多边形只有三角形 %1边数最少的多边形是三角形 %1三角形的外角和小于任何一个多边形的外角和 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5.某中学新科技馆铺设地面，己有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是（） A正方形B正六边形C正八边形D正十二边形 6.某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）

A正方形B矩形C正八边形D正六边形 7.下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是正（）边形. A.三B、五C、六D、八 8.下列图形中，不是凸多边形的是（）

平面图形的镶嵌

平面图形的镶嵌 课中习任务单 罗外初中实验部王少萍 学习目标： 1. 通过探索平面图形镶嵌的条件，理解镶嵌的概念和特点。 2. 经历动手拼、相互交流、展示成果等活动，引导学生解决使用一种正多边形镶嵌的条件。 3. 能用实验的方法寻找多边形镶嵌的条件，培养学生积极动手，从中感受数学活动的乐趣和数学美的魅力。 学习重难点： 重点：探究用一种多边形镶嵌的条件。 难点：学生通过数学实验的方法发现多边形镶嵌的条件。 课中习任务单 一：小组展示 平面图形镶嵌的特点是：； ； ； 二：小组合作，动手实验探镶嵌 活动1：探究仅用一种正多边形的镶嵌 请同学们结合课前习的结果进行小组合作，再次玩一玩拼图游戏，完成以下的实验报告，并选派代表汇报实验探究的结果。

【实验步骤与观察记录】 【实验结果】 1、、、能单独镶嵌，不能单独镶嵌。 2. 有没有办法可以直接判断哪些正多边形可以单独镶嵌，哪些正多边形不可以单独镶嵌呢？

活动2：探究两个正多边形的镶嵌 1. 小组合作探究，用边长相等的正三角形与正六边形组合，能镶嵌成一个平面图案吗？如果能，请将拼接结果拍照上传，并说明使用正多边形的个数和理由。 2. 小组合作探究，正三角形可以与正方形拼接成一个平面镶嵌图形吗？说明使用正三角形，正方形的个数以及理由。 三课堂小结： 本节课你的收获是： ； ； ；

课后习 1.下列正多边形中，不能铺满地面的是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正七边形 2.张山的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，为了保证铺地面时既没缝隙，又不重叠，所购瓷砖不能是（） A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正八边形 3.用正三角形作平面镶嵌，同一顶点周围，正三角形的个数为__________个. 4.若在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n 的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 5.在下列四种边长均为a的正多边形中：①正方形；②正五边形；③正六边形； ④正八边形.能与边长为a的正三角形作平面镶嵌的正多边形有( ) A. 4种 B.3种 C.2种 D.1种 6.下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为( ) 7.现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列说法中不能镶嵌成一个平面图案的是( ) A.正方形和正六边形 B.正三角形和正方形 C.正三角形和正六边形 D.正三角形、正方形和正六边形 8.设计自己小组的LOGO 请同学们任意选择两种平面图形设计一个镶嵌图形作为自己小组的图标。

多边形的平面镶嵌导学案

数学活动——多边形的平面镶嵌 学习目标： 1．理解平面镶嵌的概念。 2．理解多边形能够平面镶嵌的条件；体会从特殊到一般，从简单到复杂的研究问题的思路与方法。 3.积极参加数学活动，在数学活动中培养敢于动手，体验获得成功的乐趣，建立学好数学的信心， 学习重点： 探究多边形镶嵌的条件。 学习过程： 一、感受生活中的数学问题 看到这些生活中的的图片你有没有想过一些数学问题？ 二、探索新知，解决问题 1.结合刚才欣赏的美丽图案，你能说说对镶嵌的理解吗？ 2.探究正多边形能平面镶嵌的条件 活动1 请用给出的一种正多边形模板绕着一个顶点铺满平面，哪种可以？哪种不可以？ 你还能不能找到可以单独镶嵌平面的正多边形？ 从活动中你得到了什么结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿活动2 请用给出的两种正多边形模板绕着一个顶点铺满平面。你能拼出几种图案？ 从活动中你得到了什么结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

3. 探究任意多边形能平面镶嵌的条件 活动3 任意剪出一些形状、大小相同的三角形纸板，拼拼看，它们能否镶嵌成平面图案？ 活动4 任意剪出一些形状、大小相同的四边纸板，拼拼看，它们能否镶嵌成平面图案？ 由以上活动，多边形的平面镶嵌必须满足什么条件？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、巩固训练 1.不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为（） A．正八边形和正方形 B．正五边形和正十边形 C．正六边形和正三角形 D．正六边形和正八边形 2.用正三角形和正六边形作平面镶嵌，在一个顶点周围，可以有几个正三角形和几个正六边形？ 四、课堂小结 解决本节课中的问题，用到了什么数学知识？你有了哪些收获？ 五、课堂检测 某足球场需铺设草皮，现有正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形6种形状的草皮，请你帮助工人师傅选择两种草皮来铺设足球场。 六、课后作业 请你用正三角形、正方形、正六边形三种图案设计一个能铺满整个地面的美丽图案。

第四节 正多边形和圆及镶嵌

第四节 正多边形和圆及镶嵌 知识网络 一、?? ???? ??? ??? 正多边形与圆的关系定理 圆与正多边形正多边形有关概念及计算 弧长、扇形、弓形的面积 圆的有关计算 圆的面积及周长 一、选择题 1.【05临沂课改】如图，顺次连结圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD ，若BD ＝10 ， DF ＝4，则菱形ABCD 的边长为 A. 4 C. 6． D. 9． 2.【05遂宁课改】如图，A B C 内接于⊙O ，0 100BOC ∠=，那么，A ∠=（ ） 度 Ａ、50 Ｂ、200 Ｃ、100 Ｄ、150 二、填空题 1.【05丽水】如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，过点D 的切线交 BA 的延长线于点E ，若∠ADE=25°， 则∠C= 度． （第18题）

2.【05嘉兴】如图，ABCD 是各边长都大于2的四边形， 分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧（弧的端点分别在四边形的相邻两边上），则这4条弧长的和是___________ 3.【05武汉】如图，中，，AC ＝2，AB ＝4，分别以AC 、BC 为 直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 。 4.【05杭州】四个半径均为r 的圆如图放置,相邻两圆交点之间的距离也等于r ,不相邻 两圆圆周上两点间的最短距离等于2,则r 等于 ,图中阴影部分面积等于 .(精确到0.01) 5. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（4，4），则 该圆弧所在圆的圆心坐标为 。 6.Rt ABC 90C AC BC a A B C ?∠=?==如图，在中，，，分别以、、为圆心， 以 为半径画弧 ，三条弧与边所围成的阴影部分面积为 。12 A C A B 7.【05锦州】如图是一个俱乐部的徽章.徽章的图案是一个金色的圆圈，中间是一个矩形，矩形中间又有一个蓝色的菱形，徽章的直径为2cm ，则徽章内的菱形的边长为__ __cm. 8.【05台州】外接圆半径为r 的正六边形周长为 .

正多边形的平面镶嵌

正多边形的平面镶嵌 在用正多边形进行平面镶嵌时，设一个顶点处有边数分别为n 1、n ２、n ３、…n m 的正多边形， 令3≤n 1≤n ２≤n ３≤…≤n m ，则 31≥11n ≥21n ≥31n ≥…≥m n 1。 根据平面镶嵌定义得： 1 01180)2(n n ?-＋202180)2(n n ?-＋30 3180)2(n n ?-＋…＋m m n n 0180)2(?-＝0360， 整理为： 11n ＋21n ＋31n ＋…＋m n 1 ＝22-m ，∴3m ≥22-m ，∴m ≤6,又22-m ＞0，即m ＞2, ∴2＜m ≤6，∴正整数m ＝3，4，5，6 ⑴ m ＝3时， 13n ≥11n ＋21n ＋31 n ＝21，∴n 1≤6, ∴n 1＝3，4，5，6， （ⅰ）n 1＝3时， 22n ≥21n ＋31n ＝61，∴n 2≤12，又2 1 n ＜61，即n 2＞6， ∴n 2＝7， 8， 9，10， 11， 12 ∴n ＝42，24，18，15，分数，12 (ⅱ) n 1＝4时， 22n ≥21n ＋31n ＝41，∴n 2≤8，又 21 n ＜41，即n 2＞4 ∴n 2＝5， 6， 7， 8 ∴n 3＝20，12， 28 ，8 (ⅲ) n 1＝5时， 22n ≥21n ＋31 n ＝10 3，∴5≤n 2≤320， ∴n 2＝ 5， 6， ∴n ＝10，7.5，

（ⅳ）n 1＝6时，22n ≥21n ＋31n =3 1，∴6≤n 2≤6， ∴n 2＝6 ∴n ＝6 ⑵ m ＝4时， 14n ≥11n ＋21n ＋31n ＋4 1n ＝1,∴3≤n 1≤4, ∴n 1＝3，4， （ⅰ）n 1＝3时， 23n ≥21n ＋31n ＋41n =3 2 ，∴3≤n 2≤29，∴n 2＝3，4 同理n 2＝3时，n 3＝4， 5， 6 n 4＝12，分数，6 (ⅱ) n 1＝4时， 23n ≥21n ＋31n ＋ 41n ＝43,∴4≤n 2≤4, ∴n 2＝4, ∴32n ≥31n ＋4 1 n ＝21 ∴4≤n ３≤4, ∴n 3＝4， ∴n 4＝4 ∴m ＝4时，共有4组解 ⑶ m ＝5时， 15n ≥11n ＋21n ＋31n ＋41n ＋51 n ＝2 3，∴3≤n 1≤310，∴n 1＝3，

正多边形的镶嵌规律

正多边形的镶嵌规律(学生小论文) (2009-04-27 22:10:48) 转载 分类：学生作品 标签： 杂谈 鹿城区临江中学程健力 学习了《美妙的镶嵌》，我知道镶嵌的两个基本特征：(1)拼接点处的各个角之和等于360度.(2)拼接边相等.课后老师布置了作业——请同学们设计一个镶嵌图形. 这是一个非常好的作业，老师没有规定用什么图形进行镶嵌，可以任意选择图形.于是课堂上老师给我们展示了许多美丽的镶嵌图形，便浮现在我的脑海中. 这些镶嵌图形，有的是单一多边形进行镶嵌，也有的几种多边形进行镶嵌；有的是一般多边形进行镶嵌，有的是正多边形进行镶嵌.到底是怎样的正多边形可以进行镶嵌呢？ 一、探索单种正多边形镶嵌问题. 能够镶嵌的条件之一是，拼接点处的几个角的和为360°。用单一正多边形进行镶嵌，就是要求几个正多边形的内角的和为360°.如下表：

通过上表，我发现：要使正多边形能够进行镶嵌，必须是整数.而且我们说几个多边形能够镶嵌，当然是至少有3个多边形进行镶嵌，3个以下是不可能的.因为，多边形(这 里一般是指凸多边形)的内角都是锐角，小于180度.于是：≥3 两边同时乘以n-2(∵n>2，∴n-2>0)得，2n≥3(n-2) 解得，n≤6 这样看来，表格中六边形以上的多边形是不可能进行单独镶嵌的，而能够进行单独镶嵌的多边形只有三种： (1)6个正三角形； (2)4个正四边形；

(3)3个正六边形. 二、探索两种正多边形镶嵌问题. 镶嵌的关键是内角的度数，所以对正多边形的内角度数必须要有所了解.为了弄清n取何值时中是整数，我在Excel中输入公式，输出60度到179度之间的正多边形内角度数，结果表示如左表，取其中内角度数是整数的多边形内角度数，结果表示成右表： 由表格可知中，当n是3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360，时，是整数，共22个. 在上述的22种正多边形中可以两个组合进行镶嵌,共有以下几种: (1)正三角形与三边以上的正多边形镶嵌.

《平面图形的镶嵌》教案

《平面图形的镶嵌》教案 教学内容分析:本节课就是八年级下册第二十二章第九节内容,属于“实践与综合应用”这一学习范畴。平面图形的镶嵌在现实生活中随处可见。由于这一内容就是现实的且有一定的实践性,所以能够让学生充分感受到“数学来源于生活”,进一步认识到学习数学的必要性,利于激发学生的兴趣,使学生乐于参与其中;由于该问题的解决,需要综合应用前面所学内容“三角形”、“生活中的轴对称”、“图形的平移与旋转”、“四边形”、“多边形内角与外角的与”等知识,就是学生对所学平面图形有关知识的一次综合应用,问题的这种综合性既能检查学生对旧知识的掌握程度,又能加深学生对所学内容的理解,进一步认识学习的价值;由于解决这一问题需要师生、生生之间的合作与交流,利于发展学生的合作与交流的意识与能力;由于本节课学生需要经历观察、归纳、猜想、实验、推理及应用的全过程,既能丰富学生的活动经验,又能获得课题学习的基本模式,对于今后的学习具有重要的指导意义。 教学目的:1、在实验与探究的学习活动中,理解平面图形镶嵌的含义、本质及平面图形镶嵌的条件。 2、通过动手操作与合作交流,积累数学活动的经验,发展学生的合作交流、实践操作及推理能力。 3、通过平面图形镶嵌图案的设计,培养学生综合运用知识的能力与审美情趣。 教学重点:1、平面图形镶嵌的本质及条件的探究。 2、掌握课题学习的基本模式:现实生活中的问题——确立研究课题——搜集相关材料——提出 研究子问题——归纳猜想、实验探究(推理、证明)——应用研究成果——形成研究报告。 教学难点:平面图形镶嵌的本质。 教学准备:1、学生准备:(1)正三、四、五、六、七边形纸片。(2)生活中平面图形镶嵌的图片。 2、教师准备:平面图形镶嵌的图片及课件。 预计时间(分) 教学 内容教师活动学生活动教学评价 4分一、 创 设 情境, 引 出 课 题问1:在现实生活中,我们所见到的地面、 墙面乃至于服装面料,常常都就是由一 些图形拼接而成的。请同学们展示课前 收集的镶嵌图案,并观瞧老师搜集到的 一些生活中地砖图片,说一说这些图形 都有怎样的共同特征？ 出示课题:《平面图形的镶嵌》 问2: 下面这个图形就是镶嵌不？ 像这样,用形状、大小完全相同的平 面图形进行拼接,使图形之间没有空隙, 也没有重叠地铺成一片,叫做平面图形 的镶嵌。 学生展示课前收集的平面镶嵌图 案。 答1:图片中的地砖都就是铺得平平 的,地砖的大小就是一样的,顶点在一 个点处,不重叠在一起。 答2:不就是,地砖之间不能有空隙。 1、让学生感受 到生活中处处 有数学。 2、突出平面图 形镶嵌的特征: 没有空隙、不重 叠。 3、训练学生的 观察力。 15分二、 提 出 问题, 单种正多边形镶嵌问题的研究 当然,镶嵌平面的图形还有很多,自 然值得研究的问题也有许多了！ 问:您能提出哪些有价值的数学问 提出的研究问题可能就是: 1、如果只用同一种正多边形镶嵌, 那么这样的正多边形可能有哪些？ 2、这些镶嵌与哪些数学知识有关？ 1、培养学生提 出问题的意识。