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第六章无穷级数

学习目的和要求

学习本章，要求读者掌握常数项级数收敛和发散的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数、p级数和调和级数的收敛性；正项级数收敛的判别法则及判定交错级数收敛性的莱布尼兹判别法；掌握幂级数的概念和运算，熟

悉常用函数的幂级数展开式，并会用间接法将一些简单函数展成幂级数，求出其收敛半径和收敛区域．

第一节常数项级数

1．常数项级数的定义

则式子

设已给数列

或其简写叫做无穷级数,记前无限增具有有限的极限S.

大时，若数列

若没有极限，就称无穷级数发散.

例如：几何级数则

当

无极限.

时，则级数

从而可得如下结论：若几何级数的公式比

收敛．若

，则此级数发散.

2．无穷级数的基本性质

(1)若级数，则每一项乘以一个不为零

的常数

(2)设有两个收敛级数：

则级数

收敛于和

(3)在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化．

(4)收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和S．

要求读者了解上述基本性质的证明，并熟练运用上述诸性质．

(5)常数项级数收敛的必要条件：若级数趋于无穷大时，

必趋近于零．

它的一般项

因而若级数的一般项不趋于零，则级数一定发散，但反之不然，亦即如果级数的一般项趋于零，则级数未必收敛．

例如：调和级数

其一般项但它是发散的.

(6)级数

称为级数收敛。

3．正项级数收敛的判别法(要求读者能熟练使用下列判别法)

)则称为正项级数，有如下收敛判别

若级数的每一项均为正数(即

法：

(1)比较判别法设有两个正项级数若级数

也发散．

，

(2)比值判别法设正项级数的后项与前项之比值的极限等于

则当

<1时级数收敛，>1时级数发散，=1时待定．

4．莱布尼兹判别法

，则交错级数

若交错级数满足条件：1)

收敛，且其

和的近似值时，误差

5．绝对收敛和条件收敛

若级数各项的绝对值所成的级数收敛,则级数收敛，并称这样的级数叫做绝对收敛级数．

如果级数收敛，而它的各项取绝对值所成的级数发散，则称级数

为条件收敛级数.

第二节幂级数

形为的级数称为幂级数，而常数

叫做幂级数的系数.

1．幂级数的收敛半径

时幂级数绝对收敛，而当时，幂

对幂级数，必有数R，使当

级数发散，数R被称为收敛半径．

幂级数的收敛半径可如下求得：

设极限是幂级数相邻两项的系数.

[例] 求幂级数的收敛半径．

解因为

则收敛半径

2．幂级数的运算

设已知两幂级数：

其收敛区间分别为，则有如下运算法则：

(1)加法运算

两个幂级数相加或相减后所得到的幂级数至少在原来两个收敛区间中较小的区

内是收敛的，其和差依次为

间

．

(2)乘法运算

在区间(-R,R)内成立．

(3)微分运算

在幂级数收敛区间(-A，A)内任意一点x处，有

也就是说，幂级数在其收敛区间内可逐项微分，且收敛半径不变

(4)积分运算

在幂级数收敛区间(一A，A)内任意一点x处，有

也就是说，幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，且收敛半径不变.

第三节泰勒公式与泰勒级数

1．泰勒公式

如果函数内具有直到 n+1阶的导数，则当

可以表示为

次多项式与一个余项的

其中之间的某个值．

若取0，则泰勒公式变为麦克劳林公式:

2．泰勒级数

具有各阶导数则称级数

设函数

的泰勒级数．若的泰勒公式的余项无限增大时极

为函数

限为零，则上述

3.常用函数的麦克劳林展开式

4．类似地，有上述函数的麦克劳林级数为

5．用间接法将一些简单函数展成幂级数

[例]将数

的幂级数.

解因

,而

故得

第六章无穷级数

例1：

例2：

例3：

例4：

例5：

例6：

根据极限形式的比较审敛法，可知（B）中级数是收敛的；

例7：

例8：

第一步，根据级数收敛必要性粗略观察是否有若有,则得出级数

发散结论，否则进行下一步。

例9：判断交错级数的敛散性，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛。

例10：

例11：

例12：

例13：

例14：

第六章无穷级数

单元测试

一、选择题

1、若已知级数收敛，

是它的前n项部分和，则它的和是（）

2、级数收敛的充分必要条件是（）

3、

是级数收敛的（）

A、充分条件

B、必要条件

C、充要条件

D、无关条件

4、级数的和S=（）

5、若正项级数发散，则一定有（）

6、若级数发散，则（）

7、下列级数中收敛的是（）

8、下列级数中收敛的是（）

9、在下列级数中发散的是（）

10、在下列级数中发散的是（）

11、下列级数中，发散的集数是（）

12、级数满足何条件时，该级数必收敛()

13、若级数收敛，则必有下列何式成立（）

14、在下面级数中，绝对收敛的级数是（）

15、在下面级数中，绝对收敛的级数是（）

16、幂级数的收敛区间是（）

17、幂级数的收敛区间是（）

18、的收敛区间是()

19、幂级数的收敛区间是（）

20、幂级数的和函数是（）

21、的和函数是（）

22、幂级数的和函数是（）

23、幂级数，的和函数是（）

24、函数在 x=1处展成的泰勒级数是（）

教材第六章习题解答

第六章化学动力学习题解答 1．回答问题：（1）什么是基元反应(简单反应)和非基元反应（复杂反应）？基元反应和平时我们书写的化学方程式（计量方程式）有何关系？（2）从活化分子和活化能角度分析浓度、温度和催化剂对化学反应速率有何影响。【解答】（1）化学反应进行时，反应物分子（或离子、原子、自由基）在碰撞过程中，只经过一步直接转化为生成物分子的反应，称为基元反应。由一种基元反应组成的总反应，称为简单反应。由两种或两种以上基元反应所组成的总反应，是非基元反应，称为复合反应。基元反应是反应机理最简单的反应，化学方程式是一个宏观的总反应。（2）一定温度下，气体分子具有一定的平均能量，具体到每个分子，则有的能量高些有的低些。只有极少数的分子具有比平均值高得多的能量，它们碰撞时能导致原有化学键破裂而发生反应，这些分子称为活化分子。活化分子所具有的最低能量与分子的平均能量之差称为简单碰撞的活化能，简称活化能。对一定温度下的某一特定反应，反应物分子所占的分数是一定的。因此单位体积内的活化分子的数目与单位体积内反应分子的总数成正比，当反应物浓度增大时，单位体积内分子总数增多，活化分子的数目也相应增多。于是单位时间内有效碰撞次数增多，反应速度加快。温度升高不仅使分子间碰撞频率增加，更主要的是使较多的分子获得能量而成为活化分子。结果导致单位时间内有效碰撞次数显著增加，从而大大加快了反应速率。升高温度可使活化分子的分数增加。催化剂能加快化学反应速率的实质，主要是因为它改变了反应的途径，降低了反应的活化能，相应地增加了活化分子的分数，反应速率也就加快。 2．设反应A+3B →3C 在某瞬间时3()3-=?c C mol dm ，经过二秒时3()6-=?c C mol dm ，问在二秒内，分别以A 、B 和C 表示的反应速率A B C υυυ、、各为多少？

第十二章无穷级数复习题

一: 选择题 1.lim 0n n u →∞ =是级数1 n n u ∞ =∑收敛的【 B 】 (A)充分条件（B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.若级数1 n n u ∞ =∑收敛于S ,则级数11 ()n n n u u ∞ +=+∑ 【 C 】 (A)收敛于2S （B ）收敛于12S u + (C) 收敛于12S u - (D)发散 3.级数 111113 35 57 79 + + + +???? 【 B 】 (A)发散（B ）收敛且和为 12 (C) 收敛且和为2 (D) 收敛且和为1 4.设a 为非零常数,且级数1 n n a r ∞ =∑ 收敛,则【 D 】 (A)1r < （B ）1r ≤ (C) r a ≤ (D) 1r > 5.部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞ =∑收敛的【 C 】 (A)充分条件（B ）必要条件 (C) 充要条件 (D)既非充分又非必要条件 6.下列结论正确的是【 A 】 (A)若2 1 n n u ∞ =∑,21 n n v ∞ =∑都收敛,则21 ()n n n u v ∞ =+∑收敛 (B) 若1 n n n u v ∞ =∑收敛,则21 n n u ∞ =∑,2 1 n n v ∞ =∑都收敛 (C) 若正项级数1 n n u ∞ =∑发散,则1n u n ≥ (D) 若1 n n u ∞ =∑收敛,且n n u v ≥,则1 n n v ∞ =∑发散 7.判别交错级数1111112221 2 123 3 3 n n - + - ++ - +- - - 的敛散性时下列说法中正确的是【 D 】 (A)因lim 0n n u →∞ =,故收敛 (B)因lim 0n n u →∞ =,且1n n u u +>,故由莱布尼兹判别法知级数收敛

高数第七章无穷级数知识点

高数第七章无穷级数知识点 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第七章无穷级数一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散；级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足条件l U U n n n =+∞→1 lim ：当1l 时，级数发散（或+∞=l ）；当1=l 时，无法判断。 5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞ =1n n U ，满足条件λ =∞→n n n U lim ：当1<λ时，级数收敛；当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）；当1=λ时，无法判断。注：当1,1==λl 时，方法失灵。

6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且 l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散性的级数) 若+∞<

第十二章无穷级数A同步测试卷教学文案

第十二章无穷级数A 同步测试卷

第十二章无穷级数同步测试A 卷一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．下列级数中，收敛的是（） 2100111111 () 22223++++++++L L L A n 2111111()23100222 ++++++++L L L n B 211111 ()(1)()()2222+++++++L L n C n 2111111 ()(1)()23222++++++++++L L L L n D n 2．设1 ∞ =∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（） 1 ()lim ,1+→∞=

4. 设常数0>k ，则级数1 21 (1)∞ -=+-∑n n k n n （）. ()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关. 5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0) ()2(2)πππππ≤≤?=? -≤≤?x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （）. () ()()2()02 π ππA B C D 二、填空题(每小题4分，共20分) 6. 级数111 ( )23∞ =+∑n n n 的和为 . 7. 幂级数21 12(3) ∞ -=+-∑ n n n n n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数1 211 1 (1)2,5∞ ∞ --==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1 ∞ ==∑n n u . 9．将1 ()2= -f x x 展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a . 三、解答题(共65分) 11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为1 1ln(1)(1) ∞ -=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得11 2ln 3(1)∞ -==-∑n n n n . 12. （8 分）讨论级数2∞ =n . 13. （8分）求级数2012!∞ =+∑g n n n n x n 的和函数.

高等数学第十二章级数

第十二章级数一、本章提要 1．基本概念正项级数，交错级数，幂级数，泰勒级数，麦克劳林级数，傅里叶级数，收敛，发散，绝对收敛，条件收敛，部分和，级数和，和函数，收敛半径，收敛区间，收敛域． 2．基本公式 )1()(x f 在0x x =处的泰勒级数系数：)(00x f a =，! ) (0)(k x f a k k = ； (2)傅里叶系数： ππ ππ11()cos d (0,1,2,),()sin d (1,2,)ππ n n a f x nx x n b f x nx x n --= ===?? ． 3．基本方法比较判别法，比值判别法，交错级数判别定理，直接展开法，间接展开法． 4．定理比较判别定理，比值判别定理，交错级数判别定理，求收敛半径定理，幂级数展开定理，傅里叶级数展开定理．二、要点解析问题1 有限个数相加与无穷个数相加有什么区别和联系？何谓无穷级数的和？解析有限个数相加与无穷个数相加是有本质区别的．为了叙述方便，称前者为有限加法，后者为无限累加．我们知道有限个数相加之和是一个确定的数值，而无穷个数相加只是一种写法，即沿用了有限加法的符号来表示无限累加．我们不可能用有限加法的方法来完成无限累加，尤其是无限累加未必是一个确定的数值．另外，有限加法中的结合律和交换律在无限累加中也不一定成立．但是，无限累加与有限加法又是紧密联系的．我们在研究无限累加时，是以有限加法(部分和)为基础的，即从部分和出发，讨论其极限是否存在．若极限存在，则无限累加有和，也就是无穷级数有和(收敛)，其和等于这个极限值；否则，无限累加无和，当然，无穷级数也无和(发散)．由此看出，级数的收敛与发散，反映了无穷多个数累加的趋势．级数收敛就是无穷多个数累加可以得到一个确定的数值．一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书上只就和是否存在，即级数是否收敛给出一些判别法则．例1 我们考察著名的波尔查诺（Bolzano ，B ．）级数的求和问题．设 +-+-=1111x ，则有：解一 0)11()11(=+-+-= x ；解二 1)11()11(1=-----= x ；解三 x x -=+-+--=1)1111(1 ，于是12 x = ．这些矛盾的结果，在历史上曾使人怀疑过数学的精确性不可靠．柯西指出：以上解法犯了墨守成规的错误，即把有限的结合律、交换律以及有限项总存在代数和的观念照搬到无限项的运算之中．柯西的研究，澄清了那个时代对无限运算的糊涂观念，引起了思想解放，其实级数 ∑∞ =--1 1 ) 1(n n 是发散的．

微积分第七章-无穷级数

第七章无穷级数一、本章的教学目标及基本要求：（1）理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质和收敛的必要条件。（2）掌握几何级数与p —级数的收敛性。（3）会用正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。（4）会用交错级数的莱布尼茨定理。（5）了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。（6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。（7）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。（10）掌握函数α )1(),1ln(,cos ,sin ,x x x x e x +-的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。（11）了解傅氏级数的概念以及函数展开成傅氏级数的狄利克雷定理，会将定义在],[l l -上的函数展开成傅氏级数，会将定义在],0[l 上的函数展开成正弦级数与余弦级数，会写出傅氏级数的和的表达式。二、本章教学内容的重点和难点：重点：无穷级数的收敛与发散，正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径与收敛区间的求法．难点：正项级数的审敛法，幂级数展开，傅立叶级数展开． §7.1 常数项级数的概念及性质一、内容要点 1、常数项级数概念：常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项； 2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件：性质1：若级数∑∞= 1 n n u 收敛于和s ，则级数∑∞ =1 n n ku 也收敛，且其和为ks ．(证明) 性质2：若级数 ∑∞=1 n n u 、∑∞= 1 n n v 分别收敛于和s 、σ，则级数()∑∞ =+1 n n n v u 也收敛，且其和为s ±σ．(证明) 性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．(证明) 性质4：若级数∑∞ = 1 n n u 收敛，则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．(证明)；性质5(级数收敛的必要条件)：若级数 ∑∞ = 1 n n u 收敛，则它的一般项u n 趋于零，即

热学答案第六章完整版

6.2 解: 6.3 解: 6.4 解: 内能增量: T C M U v ?= ?μ 对于单原子分子理想气体,R C v 2 3= ,所以, ) (125131.82 310J U =??? =? 所吸收的热量 )(84209125J A U Q -=-=-?= (负号表示该过程放热) 该过程的摩尔热容量为: )(4.8K mol J T M Q C ?-=?= μ 6.5 解: (1)由 p a V = 可得:2 2V a p = 系统对外界做功: );11( 2 1 2 2 2' 1 2 1 2 V V a dV V a pdV A V V V V - == = ?? (2)对理想气体,有:112 212 V p V p T T = 利用(1)可得:1,1.1 22 12 11 2 <∴ <= T T V V V V T T 所以温度降低了. 6.6 解:

6.8 解: 6.9 解: (1)若体积不变,氢所吸收的热量完全变为内能增加量,即: ) (12,K C M Q T T C M Q V V == ?∴?= μ μ (2)若温度不变, 氢所吸收的热量完全变为对外做的功,即: ) (90.0,11.0ln ,ln 2 11211 .0121 1 21 21atm V V p p e V V RT M Q V V Q V V RT M A == =∴== ∴== μ μ (3)若压强不变,吸热变为内能增加,同时又对外作功,始末温度改变: ); (6.8K C M Q T T C M Q p p == ?∴?= μ μ 体积改变: )(10 6.43 2 11 22m V T T V -?== 6.10 解: 6.11 解: 6.12 解:??+= =dT bT a dT C H T T mp )(2 1 6.13 解: 6.14 解:在p-V 图上做出过程曲线,如下图实线:虚线是等温线,表示初末状态等温.

第七章无穷级数

第七章无穷级数本章有四个问题： 1．数项级数敛散性； 2．幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3．求和函数； 4．将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法一基本概念 1. 级数收敛：令121 n n n k k s u u u u ==+++=∑ ，若lim n n s s →∞ =，则称级数 1 n n u ∞ =∑收敛，若不然，则称 1 n n u ∞ =∑发散； 2．绝对收敛：若1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为绝对收敛； 3. 条件收敛：若 1 n n u ∞ =∑发散，而 1 n n u ∞ =∑收敛，则称 1 n n u ∞ =∑为条件收敛；二基本结论 1．级数 1 n n u ∞ =∑收敛的必要条件lim 0n n u →∞ =。 2. 等比级数1 n n aq ∞ =∑的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。 3. p 级数 11 p n n ∞ =∑，当1p >时，收敛；当1p ≤时，发散。三基本方法 1．正项级数敛散性的判别方法（1）比较判别法：一般形式：若n n u v ≤（n N >），则若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑收敛；若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑ 发散。极限形式：如果0n v ≠，且 lim n n n u l v →∞=，（I ）当0l <<∞时，则 1n n u ∞ =∑和 1 n n v ∞ =∑具有相同的敛散性。（II ）当0l =时，则 1 n n v ∞ =∑收敛， 1 n n u ∞=∑也收敛。（III ）当l =∞时，则 1 n n u ∞ =∑发散， 1 n n v ∞ =∑也发散。

第十二章数项级数习题课

第十二章数项级数习题课一概念叙述 1． ∑∞ =1 n n u 收敛于S ?部分和数列{}n S 收敛于S ?S S n n =∞ →lim 2．n u ∑收敛的柯西准则?0,0,,,N m n N ?ε>?>?>有12m m n u u u +++++<ε ． 3． n u ∑发散的柯西准则?0ε? N ?，0()m N ?>，0p ?，有 0210000ε≥++++++p m m m u u u 二疑难解析与注意事项 1．有人说，既然一个级数是无限多个数“相加”的结果，而数的加法满足交换律和结合律，所以在一个级数中，可以任意交换项的次序，也可以任意加括号．这种说法对吗？答：不对．一个收敛级数，适当改变项的次序以后，可能得到一个发散级数；即使得到的仍收敛级数，其和也可能与原级数的不同．这就是无限项相加与有限项相加的质的不同．（条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数；条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数．）当然，如果仅仅交换一个级数的有限项的次序，则级数的敛散性不变．（去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性；级数的敛散性与级数的有限个项无关，但当收敛时其和可能是要改变的．）如果一个级数是正项级数或是绝对收敛的级数，则可以任意改变一个级数的项的次序，其收敛性不变，且和也不变．（绝对收敛的级数任意重排后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数.）类似地，一个收敛级数可以任意加括号，加括号后的级数与原来的级数有相同的收敛性与相同的和；（在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和．）但一个发散级数，经适当添加无限个括号后，可能变成一个收敛级数．有一种特殊情形，如果添加括号后，每个括号中的项都保持同一正，负号，则所得级数与原级数同收敛，且和（如有的话）也不变． 2.级数n u ∑，n v ∑，()n n u v +∑的敛散性有何联系？答：1）若n u ∑与n v ∑都收敛，则()n n u v +∑收敛，且()n n n n u v u v +=+∑∑∑； 2）若n u ∑与n v ∑中有一个收敛有一个发散，则()n n u v +∑发散； 3）若n u ∑与n v ∑都发散，则()n n u v +∑可能收敛可能发散．例如，11,n n ??- ???∑∑都发散，但110n n ?? -= ??? ∑收敛， 11,n n ∑∑都发散，但112n n n ?? += ??? ∑∑发散．

第十二章无穷级数

第十二章无穷级数 1下列无穷级数中发散的无穷级数是（） A.∑ ∞ =+1 n 2 2 1n 3n B. ∑ ∞ =+-1 n n 1n )1( C. ∑ ∞ =--3 n 1 n n ln )1( D. ∑ ∞ =+1 n 1n n 32 2.设幂级数∑∞ --1 )3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（） A ．∑ ∞ =++15312n n n B ．∑ ∞ =--+11)1(1n n n C ．∑ ∞ =-15 1 n n D ．∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 4．设正项级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（） A ．∑∞=+1 100n n u B ．∑∞=++1 1)(n n n u u C ．∑∞ =1 )3(n n u D ．∑∞ =+1 )1(n n u 5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（） A.()∑ ∞ =+11 1 n n n B. ∑ ∞ =??? ??+13101n n C. ∑ ∞ =?? ? ??+12 110 1 n n n D. ∑ ∞ =+11 3 2n n n 6.无穷级数∑∞ =023n n n 的前三项和S 3=( ) A.-2 B. 419 C.8 27 D. 8 65 7.幂级数1! n n x n ∞ =∑的和函数为（） A.1x e - B.x e C.1x e + D.2x e + 8.已知幂级数()n 1 1n n a x ∞ =+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1 1 !n n ∞ =∑ 的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1 f x -?=?? , , 0x x ππ -≤≤≤＜

(完整版)高数第七章无穷级数知识点,推荐文档

第七章无穷级数一、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）： 1、形如∑∞ =-11 n n aq 的几何级数（等比级数）：当1p 时收敛，当1≤p 时发散。 3、? ≠∞ →0lim n n U 级数发散；级数收敛 lim =?∞ →n n U 4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数 ∑∞ =1 n n U ，满足条件l U U n n n =+∞→1 lim ： ①当1l 时，级数发散（或+∞=l ）； ③当1=l 时，无法判断。 5、根值判别法（适用于含有因式的n 次幂）：若正项级数∑∞ =1n n U ，满足条件λ =∞ →n n n U lim ： ①当1<λ时，级数收敛； ②当1>λ时，级数发散（或+∞=λ）； ③当1=λ时，无法判断。注：当1,1==λl 时，方法失灵。 6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）

推论：若∑∞ =1n n U 与∑∞ =1 n n V 均为正项级数，且l V U n n n =∞→lim （n V 是已知敛散性的级数) ①若+∞<

第十二章无穷级数(解题方法归纳)

第十二章解题方法归纳一、正项级数敛散性的判定方法 1. 一般项极限不趋于零则级数发散? 2. 比较审敛法 3. 比较审敛法的极限形式 4. 比值审敛法 5. 根值审敛法 1. 一般项极限不趋于零则级数发散例1判定级数a n s = 1 ? 2s ? 3s ? 「n s *11 (s 0)的敛散性. n 4 『方法技巧』无论是正项级数还是任意项级数，判定其敛散性时一般第步都是验证一般项的极限是否为零. 2. 比较审敛法 n a 2n 1 a 1 ln 3 n 的敛散性. 由于lim n s =邑学0，所以总n s 发散. n =1 00 a n 判定级数二诗 (a 0)的敛散性. 当a 1时, n a 2n 1 a n a 2n 1 a n a '2n a

1 ，则 n 4. 比值审敛法解 lim n u n =lim 也芋=—lim(1 —)n n 存 * f 2n 2 n 、任意项级数敛散性的判定 lim W = lim 山 n ?：V n r‘ U n 二 lim —二 lim x 3 — (3) J ：In n J ：ln x 二 lim 2 x 门：31 n x x 「：：二 lim —— = lim —=::， J 和6 由比较审敛法的极限形式得 1 发散. 例4判定级数 v n!e 的敛散性. n n U n 1 n 1 n (n 1)!e n 解 lim J =lim n 1 F u n F (n +1) 无法断言原级数是否收敛，但 e >1，从而u n 单调递增且5 = e,故m U n 0 n n ：! n 5.根值审敛法例5判定级数二(n 1)n 2n n n 2 的敛散性. (n 1)n 2 故由根值审敛法知二(n 1)n n n 2 nm 2 n 发散. 例6试研究级数曰 a 1 a n (a - 0)是绝对收敛、条件收敛还是发散. oO a 解先考虑级数nd 畀的敛散性.