课题：课本(七上)将军饮马及其拓展————最短路径问题导学案

课题：课本（七上）将军饮马及其拓展————最短路径问题导学案

夏格庄中心中学 陈翠庆

【学习目标】：能利用轴对称、勾股定理解决简单的最短路径问题，体会图形 的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．数形结合的思想

【学习重点：】 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线 段最短”问题．利用勾股定理构造直角三角形，求最短距离

学案说明：1、要求：请先独立思考解题思路和方法，然后小组合作交流，派代表说出思路及解决办法，或提出疑问

2、带*号的题可作为课后题

【学习过程】

一、基础知识回顾

1、轴对称的性质：_________________________________.

2、线段的性质：两点之间，_________最短.三角形三边的关系

3、勾股定理：____________________________________.

4、常见的轴对称图形有哪些？

二、问题探究 活动一（作一次轴对称）

如图，A 、B 是分别在河异侧的两村庄，现要在河边修建一个水泵站向两村庄送水，水泵站建在何处才能使所用水管最短？

问题2（七年级上册课本第48页第5题古希腊有名的将军饮马问题）如图，直线l 是草原上的一条河。将军从草原的A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察。那么走什么样的路线行程最短呢？请在图中画出最短路线，并说明理由

小结：1、问题1中的点A 、B 是定点，点P 是在直线l 上的 点，当点P 运动到使线段AP 、BP 在 直线上时，PA+PB 最小

_ _

B

2、利用轴对称把问题2中的A 、B 在直线l 同侧问题转化为 问题

变式1

如图所示,P 和Q 为⊿ABC 边AB 与AC 上两点在BC 上求作一点M.使∠PQM 得周长最小

变式2如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE ＝3，BE ＝1，P 是AC 上的动点，则⊿BEP 周长的最小值是________．

【问题3】

如图所示，两个村庄A 、B 在铁路CD 两侧，且CD= 40千米，AC

⊥CD 于C,BD ⊥CD 于B,AC=20千米，BD=10千米，则两个村庄的距离是 千米

小结：构造直角三角形，利用 ，求最短距离变式1

如图，两个村庄A 、B 在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米．现要在河边CD 上建造一水厂，向A 、B 两村送自来水．

(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短(请你在图中设计出水厂的位置)；

(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

.P

. Q

C

B A

变式2

如图，圆柱形玻璃杯(无盖)高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为

变式4

如图，已知A、B两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发．

（1）汽车行驶到什么位置时离A村最近？写出此点的坐标．

（2）汽车行驶到什么位置时离B村最近？写出此点的坐标．

（3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？求出最短的距离之和。你还能求出该点的坐标吗？

问题4火眼金睛辨得清

1、如图，小河边有两个村庄A、B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水。

（1）若要使水厂到A、B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使水厂到A、B村的水管最省料

，应建在什么地方？

*2、如图，A和B两个村庄在一条河的两岸(河两岸平行)，为了使A、B两村的交通更加便利，现要在河上建一座桥．要求这座桥要垂直于河岸，同时到两村的距离相等．应如何设计，请画图说明．

活动二（作两次轴对称）

问题5

(1)如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点

M

、N，连接PM，PN；

（2）若P1P2=5cm，则△PMN的周长为______．

（3）观察若点P是定点，（1）中的作法，使线段PM、PN、MN在一条直线上，此时△PMN的周长最______

变式1如图点P是∠AOB内一点，在边OA、OB分别求作一点C、D使△PCD的周长最小

变式2如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地 OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？变式3如图，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，分别交OA、OB于点M、N，连接PM，PN；

O

M

N

（1）若P 1P 2=8cm ，则△PMN 的周长为_____．

（2）求证：△O P 1P 2 是等腰三角形．

（3）若∠AOB=45°, P 1P 2=8cm ，求∠AOB 的大小和OP 的长

（4

在2

*1分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接PM ，PN ；

（1）若P 1P 2=8cm ，则△PMN 的周长为_____．

（2）求证：△O P 1P 2 是等腰三角形．

（3）若∠AOB=45°, P 1P 2=8cm ，求∠AOB 的大小和OP 的长

（4）小颖说，因为∠P 1O P 2=2∠AOB,且O P 1= OP 2=OP,若∠AOB 大小不变,则点P 离点O 越近△PMN 的周长越小。你认为她说的有道理吗？ 课外变式训练

*1、如图连接AB,若 △AOB 是锐角三角形，当点P 是边AB 上一动点，当P 运动到何处时，在边OA 、OB 上能分别求作一点C 、D 使△PCD 的周长最小

B B

*2、若△ABC 是边长为2

的等边三角形，

分别在三边上求作点P 、M 、N 使△PMN 周长

最小，并求这个最小值

*【中考链接】

1、 （09湖北荆门）一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴

分别交于点A （2，0），B （0，4）．

（1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D(1,2)， P 为OB 上一动点，

求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．

2、恩施州2008年数学中考第二十题 如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ,ED ⊥、EC .已知AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x. (1)用含x 的代数式表示AC

＋CE 的长；

(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?

中考数学必会几何模型：将军饮马模型

将军饮马模型 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点 模型 作法 结论 l B A 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线 l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小． l P A B 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． P A ＋PB 的最小值为AB l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小． l P B' A B 作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． P A ＋PB 的最小值为AB ' l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线 l 上找一点P ，使得PA PB -最大． l P A B 连接AB 并延长交直线l 于点 P ，点P 即为所求作的点． PA PB -的最大值为 AB l A B 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线 l 上找一点P ，使得PA PB -最大． l B' A B P 作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点 P ，点P 即为所求作的点． PA PB -的最大值为 AB '

l A B 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小． l P A B 连接AB ，作AB 的垂直平分线 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点． PA PB -的最小值为0 模型实例 例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ． E B C A D P 解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称， ∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3 例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动 点，则PA PB - 的最大值是多少？ D P P A' B 解答：

将军饮马

将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小

D B C A A N 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值 2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____． 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值

M B D A D A Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。 即在直线AC 上求一点N ，使DN+MN 最小 2．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．2 6 C ．3 D ． 6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 4．如图，四边形ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值；

轴对称将军饮马问题

将军饮马问题教案 教学设计 【教材分析】 本节内容的地位与作用 最短路径问题是中考热点问题之一，本课是在初二上学期，学生学完了轴对称、勾股定理、位置与坐标、一次函数等章节后以课本上数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．主要是运用数形结合和思想，综合轴对称、线段的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题，该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路。使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣。 【学情分析】从我平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，只懂得机械的重复做题，浪费的大量的时间和精力，再加上来自社会、家长和老师的压力较大，学生学的辛苦，毫无快乐可言．而家长对我们教学的质量的要求较高，不但要学习成绩好，还要孩子学的轻松，玩的高兴．所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，避免死做题，读死书，以达到“教”是为可不教的目的．我班为平行班，代表了年级的平均水平，学生基础尚可，自觉性较强，学习努力，所以本节课设计为一堂学法研究课，旨在让学生学会思考，感受学习的快乐，体验成功． 教学目标： 【知识技能】 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感 悟转化思想． 2.能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题。 【过程与方法】．培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。 【情感与态度】进一步培养好奇心和探究心理，更进一步体会到数学知识在生活中 重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 难点：在实际题目中会运用最短路径模型灵活解决问题。 【教学关键】 运用好数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。 【教学策略】利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。

最短距离问题将军饮马

第一讲 转化思想 一、线段和、差 “牧童放牛”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”，在最近几年的中招试题及竞赛中，该问题经过不同的转化及演变，一 一浮现在我们的眼前，使我们目不暇接，顾此失彼。因此，我们有必要作一下总结，找出其中的规律，以做到屡战屡胜的效果。 原题：如图，一位小牧童，从A 地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？ 延伸一：某供电部门准备在输电主干线L 上连接一个分支线路，分支点为M ，同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电。已知两个居民小区A 、B 分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。 （1）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？ （2）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？此时分支点M 与A1的距离是多少千米？ ?A ?B ? A ? B ? B ? A ? A ’ ? B ’ ? A ’ ? B ’ L L

延伸二：如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值是多少？ 延伸三：如图，A 是半圆上一个三等分点，B 是弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点， ⊙O 的半径为1，求AP+BP 的最小值。 延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD 中,∠DAB=600，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点，则EF+BF 的最小值是多少？ 延伸五：在直角坐标系XOY 中x 轴上的动点M （x,0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=? A B M N O P x A B C D M N A B C D E F ? ?

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想. 三、学生学情诊断 八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上. 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.

初中数学之将军饮马的6种模型(培优)

初中数学之将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△P AB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形P AQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 二、常见题目 类型一、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值 解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， 则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH= 在直角△BHE中，BE

2．如图，在锐角△ABC中，AB =BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 3．如图，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值 解：作AB关于AC的对称线段AB'，过点B'作B'N⊥AB，垂足为N，交AC于点M，则B'N= MB'+MN = MB+MN. B'N的长就是MB+MN的最小值，则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2， ∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。∴AN = 1，在直角△AB'N中，根据勾股定理B'N 类型二、正方形 1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。 即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。 解：故作点D关于AC的对称点B，连接BM，交AC于点N。则DN＋MN＝BN＋MN＝BM。线段BM的长就是DN＋MN的最小值。在直角△BCM中，CM＝6，BC＝8，则BM＝10。故DN＋ＭＮ的最小值是10

初中数学将军饮马问题的六种常见题型汇总

第 6 页 共 10 页 初中数学将军饮马问题的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1. 如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠ MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ， Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小

第 6 页 共 10 页 6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小 二、常见题目 【1】、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，AE =2，求EM +EC 的最小值 解： ∵点C 关于直线AD 的对称点是点B ， ∴连接BE ，交AD 于点M ，则ME +MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1， BH =22BC CH -=2263-=33 在直角△BHE 中，BE =22BH EH - =22(33)1+=27 2．如图，在锐角△ABC 中，AB =42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点， 则BM +MN 的最小值是____． 解：作点B 关于AD 的对称点B '，过点B '作B 'E ⊥AB 于点E ，交AD 于点F ，则线段B 'E 长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt △AEB '中，根据勾股定理得到，B 'E = 4

将军饮马的六种模型

第 1 页 共 10 页 将军饮马的六种常见模型 将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 2.如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使P A +PB 最小。 3.如图，点P 是∠MON 内的一点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使△P AB 的周长最小 4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形P AQB 的 周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使P A 与点P 到射线OM 的距离之和最小

6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小 二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC中，AB= 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，AE=2，求EM+EC 的最小值 解：∵点C关于直线AD的对称点是点B， ∴连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， 则EH = AH–AE = 3–2 = 1， BH = 22 BC CH -=22 63 -=33 在直角△BHE中，BE = 22 BH EH - =22 (33)1 +=27 2．如图，在锐角△ABC中，AB =42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____． 解：作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E⊥AB于点E，交AD于点F，则线段B'E长就是BM ＋ＭＮ的最小值在等腰Rt△AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4 第 2 页共10 页

将军饮马—最短路径最小值问题 教案

将军饮马—最短路径最值问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对

几何最值之将军饮马(知识点总结)

几何最值之将军饮马 一、将军饮马问题背景 诗中隐含着一个有趣的数学问题，如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出 1.两点之间线段最短 2.垂线段最短 通常在求最值的时候我们会借助于几何三大变化，轴对称、平移、旋转变换进行线段的转移，从而转化成两大核心原理进行最值求解。

二、 将军饮马问题题型 1. 将军饮马--单动点求最值 问题1：如图，在直线l 上找一点P ，使得PA PB +的值最小？ 问题解决：如下图，由两点之间线段最短可知，当点A P B 、、三点共线时，PA PB +最小，即线段AB 的长度。 问题2：如图，A B 、两点在直线l 上方，在直线l 上找一点P ，使得PA PB +的值最小？ 问题解决：当A B 、两点在直线l 同侧时，PA PB +的长度是一条折线，要求PA PB +的最小值必须通过一定方法化折为直。如下图，作点B 关于直线l 的对称点'B 。PA PB +的长度转化为'PA PB +的长度。

故点'A P B 、、三点共线时，PA PB +最小，即线段'AB 的长度。 问题3：如图，A B 、两点在直线l 上方，在直线l 上找一点P ，使得||PA PB -的值最大？ 问题解决：||PA PB -的值最大如何求，可以联想到三角形三边关系。利用两边之差小于第三边可知，||PA PB AB -≤。如下图，故点A B P 、、三点共线时，||PA PB AB -=，此时取到最大值，即线段AB 的长度。 问题4：如图，A B 、两点在直线l 的异侧，在直线l 上找一点P ，使得||PA PB -的值最大？ 问题解决：这种情况||PA PB -的最大值和之前的解决方案是一样的，如下图，通过作点B 关于直线l 的对称点'B ，将||PA PB -转化成|'|PA PB -。

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总(20200708010955)

八年级数学将军饮马问题专题练习汇总 1.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。 2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。 3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。 4.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。 5.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______。 6.如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。如果B为反比例函

数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上存在一点P，使PA+PB最小，则P点坐标为_______。 7.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜 相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm． 拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题 如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 _________。 拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点 Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为 _________。 拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题 在BC,CD上 如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°， 分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ ANM=_______°

最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计复习过程

最短路径问题——将军饮马问题及延伸 湖南省永州市双牌县茶林学校 熊东旭

最短路径问题 教学内容解析： 本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。 教学目标设置： 1、能利用轴对称解决最短路径问题。 2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。 3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。 教学重点难点： 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 学情分析： 1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。 2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学条件分析: 在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。 教具准备：直尺、ppt 教学过程： 环节教师活动学生活动设计意图 一 复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如 何用学过的数学知识解释这个 问题？ 2.这样的问题，我们称为“最 短路径”问题。 1、两点之间，线段最短。 2、两边之和大于第三边。 从学生已经学 过的知识入 手，为进一步 丰富、完善知 识结构做铺 垫。 二探究新知1.探究一： 【故事引入】：唐朝诗人李颀在 《古从军行》中写道：“白日登 山望峰火，黄昏饮马傍交河．” 诗中就隐含着一个有趣的数学 问题，古时候有位将军，每天 从军营回家，都要经过一条笔 直的小河。而将军的马每天要 到河边喝水，那么问题来了， 问题：怎样走才能使总路程最 短呢？ 认真读题，仔细思考。 将实际问题中的“地点” “河”抽象为数学中的 “点”“线”，把实际问题 抽象线段和最小问题。 从异侧问题入 手，由简到难， 逐步深入。

(完整版)将军饮马问题

将军饮马问题一一线段和最短 1.如图，直线I和I的异侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 2.如图，直线I和I的同侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。 3.如图，点P 是ZMON内的一点，分别在0M , ON上作点A, B。使△PAB的周长最小。

离之和最小 4.如图，点P, Q为/MON内的两点，分别在OM, ON上作点A, B。使四边形PAQB 的周长最小。 5.如图，点A是/MON外的一点，在射线 离之和最小。 OM上作点P , 使PA与点P到射线ON的距 6.如图，点A是/MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距

、常见题目 Parti、三角形 1.如图，在等边厶ABC中，AB=6 , AD丄BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点, 且AE=2，求EM+EC的最小值 2 .如图，在锐角厶ABC中，AB=42 , Z BAC= 45。，启AC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝V BM+MN的最小值是_____ 。 3 .如图，△ ABC 中，AB=2 , Z BAC=30。，若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN 的值最小，则这个最小值

Part2、正方形1.如图，正方形ABCD的边长为8 , M在DC上，丐DM = 2 , N是AC上的一动点, DN + MN的最小值为_________ 。即在直线AC上求一点N,使DN+MN最小。 2 .如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P,使PD+ PE的和最小，则这个最小值为（） A. 23 B . 26 C . 3 D . 6

2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总

2020 年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总 ---- 将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？ 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： 1. 定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题． 2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． 3. 定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． 4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径． 问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。 涉及知识】“两点之间线段最短” ，“垂线段 最短” ，“三角形三边关系” ，“轴 对称” 平移”． 出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正 方形、 圆、坐标轴、抛物线等． 解题思 路】 “化曲为直” 题型一：两定一动，偷过敌营。

例1：如图， AM⊥ EF， BN⊥EF，垂足为 M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝ 4m， P 是 EF 上任 意一点，则 PA＋ PB的最小值是 m． 分析： 这是最基本的将军饮马问题， A， B是定点， P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点 A关于 EF的对称点 A'，根据两点之间，线段最短，连接A'B，此时A'P＋PB即为 A'B，最短．而要求 A'B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答： 作点 A关于 EF的对称点 A'，过点 A'作A'C⊥BN的延长线于 C．易知A'M＝AM＝NC ＝5m，BC＝9m，A'C ＝MN＝ 12m，在 Rt△A'BC中， A'B＝15m，即PA＋PB的最小值是 15m． 例2：如图，在等边△ ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC，E是AC 上的一点， M是AD 上的一点， 且 AE = 2 ，求 EM+EC 的最小值 解：点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，连接 BE，交 AD 于点 M ，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BH ⊥AC 于点 H， 则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3 在直角△ BHE 中，BE = BH2 + HE2 = (3 3)2 + 12 = 2 7

2018年数学中考专题复习—— 将军饮马

l A l B A B' l l B A l P 第六章 将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+ PB 的最小。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。 作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+PB 的最小值为AB ′。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使 PA PB -最大。 连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的 最大值为AB 。

l l A P E D C B A A 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使 PA PB -最大。 作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA PB -的 最大值为AB ′。 模型实例 例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角 线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。 例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？

八上最短路径问题(将军饮马)

最短路径问题 练习 一．选择题（共4小题） 1．（2016秋房山区期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2015秋通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=6，CD 是△ABC的一条高线．若E，F分别是CD和BC上的动点，则BE+EF 的最小值是（） A．6 B．3C．3D．3 3．（2014秋昌平区期末）如图，等边△ABC的边长为6，E是AC边上一点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点．若AE=2，则EP+CP 的最小值为（）

A．2 B．C．4 D． 4．（2011秋东城区期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB 内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（） A．30°B．45°C．60°D．90° 二．填空题（共5小题） 5．（2016秋门头沟期末）如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值为． 6．（2014春海淀期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，BF平分∠ABC交AD于F，P是BF上任意一点，∠ABC=60°，AB=4，则PE+PA的最小值为．

7．（2011秋昌平期末）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=6，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则△P1OP2的周长为；若OA上有一动点M，OB上有一动点N，则△PMN的最小周长为． 8．（2011秋海淀期末）已知点A（﹣2，3）和点B（3，2），点C是x 轴上的一个动点，当AC+BC的值最小时，则点C的坐标为．9．（2010秋东城期末）已知如图所示，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为． 三．解答题（共15小题） 10．（2014东城二模）我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题： 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB 最小． 我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB′．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然

初中数学：将军饮马问题习题

将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 当两定点A、 B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。连接AB交直线l 于点P，点P即为所求作的点。 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA+PB最小。 A B l 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点 P，使PA PB 最大。 A 作点 B 关于直 线l 的 对称点 B′，连 接AB′ 交直线 于点 P，点P 即为所 求作的 点。 连接AB并延长交直线l 于点P，点P 即为所求作的点。 模型 1 定直线与两定点 模型 A l 作法结论 PA+ PB 的最 小。 PA+PB 的最小 值为AB′。 PA PB 的最大 值为AB。

l B 当两定点A、B在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P，使PA PB 最大。 作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′并延长交直线于点P，点P 即为所求作的点。 PA PB 的最 大值为AB′。B

模型实例 例 1．如图，正方形 ABCD 的面积是 12，△ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，则 PD+PE 的最小值为 。 例 2．如图，已知△ ABC 为等腰直角三角形， AC=BC=，4 ∠ BCD=15°， P 为 CD 上的动点，则 PA PB 的最大值是多少？ 热搜精练 1．如图，在△ ABC 中， AC=BC=，2 ∠ ACB-90°， D 是 BC 边的中点， E 是 AB 边 上一动点，则 EC+ED 的最小值是 。 D C B

八上距离最短问题(将军饮马及其变形)

距离最短问题 两点一线 例1.在直线l上求一点P，使PA+PB的值最小． 1.如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球?为什么? 2.台球是一项高雅的体育运动。其中包含了许多物理学、几何学知识。图①是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边。经过一次反弹后再撞击F球。他应将E球打到AB边上的哪一点,请在图①中用尺规作出这一点H,并作出E球的运行路线;(不写画法。保留作图痕迹) 一点两线 例2.如图,要在两条街道AB、CD上设立两个邮筒,K处是邮局.邮递员从邮局出发,从两个邮筒里取出信件后再回到邮局,则邮筒应设在何处,方能使邮递员所走的路程最短?请说出其中的数学道理.

1.在直线l1,l2，上分别求点M，N，使△PMN的周长最小． 2.如图,P为∠AOB内一定点,M、N分别是射线OA、OB上一点,当△PMN周长最小时,∠OPM=50°,则∠AOB=( ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 3.如图,∠AOB=30°，P是∠AOB内的一点，且OP=6cm，.M、N分别是射线OA、OB上一点,求△PMN周长得最小值. 两点两线 例3.如图，牧区内住着一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他家的帐篷.l1是草地的边沿，l2是一条笔直的河流.每天清晨，牧民都要从马厩牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河岸边去饮马，然后回来帐篷B处.请你为牧民设计一条最短的行走路线. 1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在边AB，AC上找到点E，F，使四边形PEFQ的周长最小。

初中数学优质专题：将军饮马

l A l l B A l l B A l P 第六章 将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型1 定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。 连接AB 交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+ PB 的最小。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA+PB 最小。 作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线于点P ，点P 即为所求作的点。 PA+PB 的最小值为AB ′。 当两定点A 、B 在直线l 连接AB 并延长交直线 PA PB 的最大值为AB 。

l l A P E D C B A 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA P B -最大。 l 于点P ，点P 即为所 求作的点。 当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使PA PB -最大。 作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′并延长交直线于点P ，点P 即为所求作的PA PB -的 最大值为AB ′。 模型实例 例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形， 点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。

P D C B A E D C B A A （3 例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PA PB 的最大值是多少？ 热搜精练 1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边 上一动点，则EC+ED 的最小值是 。 2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值。

最短路径(将军饮马)问题

最短路径（将军饮马）问题与拓展 相关定理或公理：①线段公理：两点之间，线段最短。由此可以推出两边之和大于第三边； ②垂线段性质：垂线段最短。 问题提出： 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。 如图，将军在观望烽火后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后 再走到B 点的营地。怎样走才能使总的路程最短？ 模型【1】一定直线，异侧两定点 已知：直线l 和它异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小 模型【2】一定直线，同侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小 模型【3】两定直线，两定点 已知：∠MON 内部有两点P 、Q ，在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使四边形PQBA 周长最小 模型【4】两定直线，一定点 已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使△PAB 周长最小 模型【5】两定直线，一定点 已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使AB ＋PB 最小 注意：模型4与模型5的联系与区别 变式：线段之差最大问题 模型【6】一定直线，同侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱PA －PB ︱最大 模型【7】一定直线，异侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱PA －PB ︱最大 造桥选址问题 利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。 原题再现 如图1，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。（人教版八年级上册第86页） 变式拓展 模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段，同侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线求作一条线段CD （长度不变），使AC ＋CD ＋DB 最小 巩固练习 1、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAD ＝110°，在BC 上存在一点M ，在CD 上存在点N ，使△AMN 的周长最短，则∠MAN 的度数为 ； 2、如图，Rt △ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5， BD 平分∠BAC ，点E 、F 分别为BD 、BC 上的动点， 连接CE 、EF ，则C E ＋EF 的最小值是______ 3、如图，若AP ＝4，∠CAB ＝30°，在AB 上有一动点M ， AC 上有一动点N ，则 PMN 周长的最小值是____________ 4、如图，△ABC 在平面直角坐标系中，且A (1，3)、B (－4，1)、 若M （a-1，0）、N （a ，0） ，当BM ＋ l A B M O N P 第1题图 D C B A D C A B E F