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圆锥曲线中的离心率专题复习 - 教师版(答案)

圆锥曲线中的离心率专题复习 - 教师版(答案)
圆锥曲线中的离心率专题复习 - 教师版(答案)

圆锥曲线中离心率复习专题

一、求值

(一)利用定义(此时无招胜有招)

例.设椭圆的两个焦点分别为12,F F ,过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若12F PF 为

Ex1.已知长方形ABCD ,AB =4,BC =3,则以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点的椭圆的

12

Ex2.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角

形MF 1F 2,若边MF 11+

Ex3.如图,1F 和2F 分别是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两个

焦点,A 和B 是以O 为圆心,以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△AB F 2是等边三角形,则双曲线的离心率

3+

(二)列方程求离心率的值

例1.设直线L 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,L 与C 交于A ,B 两点,

AB 为C 的实轴长的2倍,则C 例2.设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐

例3.过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线

的两条渐近线的交点分别为,B C .若1

2

AB BC =

【解析】对于(),0A a ,则直线方程为0x y a +-=,直线与两渐近线的交点为B ,C ,

22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ??- ?

++--??

,则有 22

222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ??=-=- ?

--++??

,因22

2,4,AB BC a b e =∴=∴=

Ex1.在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的焦距为2c ,以O 为圆心,a 为半径的

圆,过点(a 2

c ,0)作圆的两切线互相垂直,则离心率

Ex2.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 的渐近线方程为y =±4

3x ,5

3

Ex3.已知双曲线22

212x y a -

=(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,23

3

变.已知双曲线22

221x y a b -=(a >0,b >0)的一条渐近线为y=kx(k >0),离心率,且双曲

线过点(4,1)2

13

y -= Ex4.设双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离

解:设切点00(,)P x y ,则切线的斜率为0'

0|2x x y

x ==.由题意有

00

2y x x =又2001y x =+

解得: 2

01,2,b x e a =∴

=== Ex5.已知椭圆E 的方程为22

221x y a b

+=(0a b >>),AB 是它的一条倾斜角为135°的弦,

且M(2,1)是弦AB 的中点,则椭圆E 的离心率为 .

(三)利用第二定义

例.已知双曲线()22

2210,0x y C a b a b

-=>>:的右焦点为F ,过F C

于A B 、两点,若4AF FB =,则C 的离心率为 .

65

变.已知椭圆C :22221x y a b +=(a>b>0F 且斜率为k (k>0)

的直线于C 相交于A 、B 两点,若3AF FB =,则k = . (四)利用点在曲线上

例1.已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,

且BF 2FD =uu r uu r ,则C 的离心率为 .答案:2

3

例2.如图,在平面直角坐标系xoy 中,1212,,,A A B B 为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的四个

顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T ,线段

OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率

为 .

【解析】 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方程。 直线12A B 的方程为:1x y

a b

+=-; 直线1B F 的方程为:

1x y c b +=-。二者联立解得:2()(,)ac b a c T a c a c

+--, 则()

(

,)2()

ac b a c M a c a c +--在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上, 22222

22

()1,1030,1030()4()

c a c c ac a e e a c a c ++=+-=+-=--,

解得:5e = 二、求取值范围

一般来说,求椭圆或双曲线的离心率的取值范围,通常可以从两个方面来研究:一是考虑几何的大小,例如线段的长度、角的大小等;二是通过设椭圆(或双曲线)点的坐标,利用椭圆或双曲线本身的范围,列出不等式. (一)基本问题

例.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦点为1F ,2F ,两条准线与x 轴的交点分别为M N ,,

若12MN F F 2≤,则该椭圆离心率的取值范围是 .1?

????

Ex1.设1a >,则双曲线22

22

1(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是 .

Ex2.已知双曲线122

22=-b

y a x (a>0,b<0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双

曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 .[2,+∞)

(二)数形结合

例.已知椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1,F 2,若该椭圆上存在一点P ,使得∠F 1PF 2

=60°,则椭圆离心率的取值范围是 .1[,1)2

Ex1.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=的点

M 总在椭圆内部,则椭圆

离心率的取值范围是 .(0,2

(三)利用焦半径的取值范围

例1.已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -,若双

曲线上存在一点P 使

1221sin sin PF F a

PF F c

=,则该双曲线的离心率的取值范围是 .

(1,

1)

例2.已知椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0),F 为其右焦点,右准线与x 轴的交点为A ,若在椭圆上

存在一点P ,使得AP 的中垂线过点F ,则该椭圆离心率的取值范围是 .1[,1)2

变:已知椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,若椭圆的右准线上存在一点P ,

使得PF 1的中垂线过点F 2,则椭圆离心率的取值范围是 .

Ex1.双曲线22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,

则双曲线离心率的取值范围为 .(]

1,3

Ex2.已知椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1,F 2,若该椭圆上存在一点P ,使得

1

2

PF e PF =,则该椭圆离心率的取值范围是

.1,1)

(四)利用点坐标的取值范围

例1.设A 是椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)长轴上的一个顶点,若椭圆上存在一点P ,使得AP ⊥

OP ,则该椭圆离心率的取值范围是

.(2

三、综合练习

1. 已知直线1y x =-+与椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点,且OA OB ⊥(O 为坐标

原点)

,若椭圆的离心率1[2e ∈,则a 的最大值为 .

2. 已知双曲线22

221x y a b -=(a >0,b >0)的焦距为2c ,离心率为e ,若点(1,0),(1,0)-到直线

1x y a b

-=的距离之和4

5S c ≥,则e 的取值范围为 .

3. 已知双曲线的中心在原点,离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42

=的准线重合,

则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 .

4. 若椭圆

2212x y m

+=的离心率为12,则m= . 5. 已知1F ,2F 分别为22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的左、右焦点,P 为双曲线右支上任一

点,若

2

12

PF PF 的最小值为8a ,则该双曲线的离心率的取值范围是 .13e <≤

6. 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上有一点M ,12,F F 是椭圆的两个焦点,若

2212M F M F b

?=,则椭圆的离心率是

. 7. 设F 是椭圆22

221(0,0)x y a b a b

+=>>的左焦点,若椭圆上存在点P ,使得直线PF 与圆

222x y b +=相切,当直线PF 的倾斜角为

23π时,此椭圆的离心率是

. 7

圆锥曲线的离心率问题专题训练

圆锥曲线的离心率问题专题训练 1.若椭圆1222=+m y x 的离心率等于2 1,则m = . 2.已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ,则双曲线的离心率为 。 3. 过双曲线焦点且垂直于对称轴的直线与双曲线交于A 、B 两点,若|AB|为双曲线实轴长的2倍,则双曲线的离心率为 。 4.已知 F 1 、F 2是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点,椭圆上存在一点P ,使得 S ⊿F 1PF 2=23b ,则该椭圆的离心率的取值范围是 。 5.若点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点,F 1、F 2为左右两个焦点,且|PF 1|=6|PF 2|,则椭圆离心率的取值范围为 。 6.若点P 为双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点,F 1、F 2为左右两个焦点,且|PF 1|=6|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 。 7.分别过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点F 1、F 2所作的两条直线21l l 、的交点总在椭圆内部,,则该椭圆的离心率的取值范围为 。 8.双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 左右两个焦点为F 1、F 2,以F 1F 2为一边向上作正三角形PF 1F 2,两边与双曲线的交点恰为所在边的中点,则双曲线的离心率为 。 9.若点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点,A 、B 为长轴的左右顶点,PA 、PB 的斜率之积为3 2-,则椭圆的离心率是 。 10.抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l ,l 与双曲线)0(1222 >=-a y a x 交于A 、B 两点。若三角形FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率为 。

18个基础的圆锥曲线专题

1、设椭圆22:1221x y E a a +=-,其焦点在x 轴上,若其准焦距(焦点到准线的距离)3 4 p =,求椭圆的方程. 2、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>的离心率2e =,其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直径)1d =,,12F F 为两焦点,P 是E 上除长轴端点外的任一点,12F PF ∠的角平分线PM 交长轴于(,0)M m ,求m 的取值范围. 3、设椭圆22: 1(0)22 x y E a b a b +=>>的离心率1 2e =,,12F F 为两焦点,椭圆E 与y 轴的交点为(0,3)A ,求三角形的面积?12 S F AF =? 4、如图,设椭圆22 :1(0)22x y E a b a b + =>>,,M N 为长轴顶点,过左焦点F 、斜率为k =l 交椭圆E 于A B 、两点,若2FA FB =,求?S FAM S FBN ?=? 5、设椭圆22:1(0)22x y E a b a b +=>>,其离心率e =d = 求

椭圆E 的方程.② 两条焦直径(过焦点的弦)AB 与CD 互相垂直.求 11?AB CD += 6、设椭圆22 :13627 x y E +=,左焦点为F ,在椭圆上任取三个不同点123P P P 、、,使得21223313P FP P FP P FP π ∠=∠=∠=,求: 111?123 FP FP FP ++= 7、如图所示,椭圆()221:116 9 x y E ++=,过原点的两条直线交圆于ABCD , AD 与 CB 的延长线相交于M ,AC 与DB 的延长线相交于N ,求MN 所在的直线方程. 8、设椭圆22 :1(0)22x y E a b a b +=>>,过右焦点的直线:0l x y +=交E 于A B 、两点,P 为AB 中点. ⑴若OP 的斜率为:1 2 k = ,求椭圆E 的方程; ⑵若直线:0m x y --=交E 于C D 、两点,AD 与BC 相交于Q ,求Q 点的坐标. 9、设椭圆22 :1168x y E +=的长轴端点为A B 、, 与y 轴平行的直线交椭圆E 于P Q 、两点,PA QB 、的延长线相交于S 点,求S 点的轨迹. 10、已知抛物线2:2(0)P y px p =>,F 为P 的焦点,M 为P 上任一点,l 为过M 点的切线,求证:FM 与l 的夹角等于l 与x 轴的夹角.

圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)

圆锥曲线专题 求离心率的值 师生互动环节 讲课内容:历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一:根据定义式求离心率的值 在椭圆或双曲线中,如果能求出c a 、的值,可以直接代公式求离心率;如果不能得到c a 、的值,也可以通过整体法求离心率:椭圆中221a b a c e -==;双曲线中22 1a b a c e +==.所以只 要求出 a b 值即可求离心率. 例1.(2010年全国卷2)己知斜率为1的直线l 与双曲线C :()22 22100x y a b a b -=>,>相交于 D B 、两点,且BD 的中点为)3,1(M ,求曲线C 的离心率. 解析:如图,设),(),(2211y x D y x B 、,则 12 2 1221=-b y a x ① 1222 222=-b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+--+-b y y y y a x x x x ③ 又因为)3,1(M 为BD 的中点,则6,22121=+=+y y x x ,且21x x ≠,代入③得

13222121==--=a b x x y y k BD ,解得322 =a b ,所以231122=+=+=a b e . 方法点拨:此题通过点差法建立了关于斜率与a b 的关系,解得22 a b 的值,从而整体代入求出离 心率e .当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程,根据韦达定理可得),(21b a x x ?=+, 2),(=b a ?或者),(21b a y y ω=+,6),(=b a ω从而解出22 a b 的值,最后求得离心率. 【同类题型强化训练】 1.(呼市二中模拟)已知中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为032=±y x ,则双曲线的离心率为( ). 313. A 213. B 315. C 2 10.D 2.(衡水中学模拟)已知中心在原点,焦点在x 轴上的一椭圆与圆222)1()2(r y x =-+-交于 B A 、两点,AB 恰是该圆的直径,且直线AB 的斜率2 1 -=k ,求椭圆的离心率. 3.(母题)已知双曲线)0(1:22 >=-m y m x C ,双曲线上一动点P 到两条渐近线的距离乘积为21, 求曲线C 的离心率. 【强化训练答案】 1.答案:由双曲线焦点在x 上,则渐近线方程0=±ay bx ,又题设条件中的渐近线方程为 032=±y x ,比较可得32=a b ,则3 13 941122=+=+=a b e . 2.答案:设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ,),(),,(2211y x B y x A ,则 1221221=+b y a x ① 122 2 222=+b y a x ② ①-②整理得 0) )(())((2 212122121=+-++-b y y y y a x x x x ③ 因为AB 恰是该圆的直径,故AB 的中点为圆心)1,2(,且21x x ≠

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习:圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题(教师版)

圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题 【高考要求】 1.熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,并灵活运用它们解决相关的问题。 2.掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略; 3.灵活运用教学中的一些重要的思想方法(如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学)解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的离心率(a,b,c )适合的不等式(组),通过解不等式组得出离心率的变化范围; (3)函数值域求解法:把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 (1)数形结合的思想方法。一是要注意画图,草图虽不要求精确,但必须正确,特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置;二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来,反之应由代数量确定几何特征,三要注意用几何方法直观解题。 (2)转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化,实际问题向数学问题的转化,动点与不动点间的转化。 (3)函数与方程的思想,如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 (4)分类讨论的思想方法,如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,抛物线2C 的顶点在原点, 准线与双曲线1C 的左准线重合,若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥,则双曲线1C 的 离心率为( ) A B C D .解:由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ,∴ 方程为2 2 4a y x c =;

圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上,过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB , 切点为 A 、 B , 求证:直线AB 恒过一定点,并求出该定点的坐标; 解:设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ,x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过,的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得:082121=--ax x 同理可得:2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得,又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为,2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012 x x y y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M (-1,0)关于直线0l 的对称点为N ,直线PN 恒 过一定点G ,求点G 的坐标。 解:直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??,解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+

圆锥曲线离心率专题

圆锥曲线离心率专题训练 1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值范围是() A. [,1) B. [,1) C. (0,] D. (0,] 2.二次曲线时,该曲线离心率e的范围是( ) A.B.C. D. 3.椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的范围是() A. [,1) B. (,1) C. [,) D. (0,) 4.双曲线的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是() A. (﹣∞,0)B.(﹣3,0) C. (﹣12,0) D. (﹣60,﹣12) 5.设F1,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率的取值范围是() A. B. C.D. 6.已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值范围() A.B.C.D. 7.已知椭圆x2+my2=1的离心率,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是() A. (0,) B. (,) C. (,) D. (,1) 9.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率e的取值范围是 ( ) A.B.C.D. 10.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以A,B为焦点,且过点D的双曲线的离心率为e1;以C,D为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1+e2的取值范围为( ) A.[2,+∞)B.(,+∞)C. [,+∞) D. (,+∞)

圆锥曲线离心率专题

. . .. . 圆锥曲线离心率专题训练 1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值围是() A. [,1)B. [,1) C. (0,] D. (0,] 2.二次曲线时,该曲线离心率e的围是() A.B.C.D. 3.椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的围是() A. [,1)B. (,1) C. [,) D. (0,) 4.双曲线的离心率e∈(1,2),则k的取值围是() A.(﹣∞,0)B.(﹣3,0)C.(﹣12,0)D.(﹣60,﹣12) 5.设F1,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率的取值围是()A.B.C.D. 6.已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值围()A.B.C.D. 7.已知椭圆x2+my2=1的离心率,则实数m的取值围是() A.B.C.D. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值围是() A. (0,)B. (,) C. (,) D. (,1) 9.椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率e的取值围是()A.B.C.D.

10.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以A,B为焦点,且过点D的双曲线的离心率为e1;以C,D为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1+e2的取值围为() A.[2,+∞)B.(,+∞)C. [,+∞) D.(,+∞)11.已知双曲线的焦距为2c,离心率为e,若点(﹣1,0)与点(1,0)到直线 的距离之和为S,且S,则离心率e的取值围是() A.B.C.D. 12.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,则椭 圆离心率e的取值围是() A.B.C.D. 13.已知方程x3+2ax2+3bx+c=0(a,b,c∈R)的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线的离心率,则 的取值围是() A.B.C.D. 14.已知椭圆上到点A(0,b)距离最远的点是B(0,﹣b),则椭圆的离心率的取值围为()A.B.C.D. 15.已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上,它的一条渐近线与x轴的夹角为α,且,则双曲线的离 心率的取值围是() A.B.C.(1,2)D. 16.已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5:1,则双曲线离心率的取值围是() A. (1,]B. (1,) C. (2,] D.(,2]

圆锥曲线离心率专题

圆锥曲线离心率专题训练 1.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则椭圆离心率的取值范围是() A. [,1)B. [,1) C. (0,] D. (0,] 2.二次曲线时,该曲线离心率e的范围是() A. B. C. D. 3.椭圆焦点在x轴上,A为该椭圆右顶点,P在椭圆上一点,∠OPA=90°,则该椭圆的离心率e的范围是() A. [,1) B. (,1) C. [,) D. (0,) 4.双曲线的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是() A.(﹣∞,0)B.(﹣3,0) C. (﹣12,0)D. (﹣60,﹣12) 5.设F1,F2为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率的取值范围是() A. B. C.D. 6.已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处,其重心是椭圆的一个焦点,求该椭圆离心率e的取值范围( ) A. B. C. D. 7.已知椭圆x2+my2=1的离心率,则实数m的取值范围是() A. B.C.D. 8.已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,左、右焦点分别为F1,F2且它们在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),则该椭圆的离心率的取值范围是() A. (0,) B. (,) C. (,) D. (,1) 9.椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率e的取值范围 是() A. B. C. D.

10.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以A,B为焦点,且过点D的双曲线的离心率为e1;以C,D为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1+e2的取值范围为() A. [2,+∞) B.(,+∞)C. [,+∞) D.(,+∞) 11.已知双曲线的焦距为2c,离心率为e,若点(﹣1,0)与点(1,0)到直线 的距离之和为S,且S,则离心率e的取值范围是() A. B. C. D. 12.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,若存在点P为椭圆上一点,使得∠F1PF2=60°,则椭圆离 心率e的取值范围是() A.B. C. D. 13.已知方程x3+2ax2+3bx+c=0(a,b,c∈R)的三个实根可分别作为一椭圆,一双曲线、一抛物线的离心率,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 14.已知椭圆上到点A(0,b)距离最远的点是B(0,﹣b),则椭圆的离心率的取值范围为() A.B.C. D. 15.已知双曲线的中心在原点,焦点x轴上,它的一条渐近线与x轴的夹角为α,且,则双曲线的离心率的取值范围是() A. B. C. (1,2) D. 16.已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2,点P在双曲线上,∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5:1,则双曲线离心率的取值范围是() A. (1,]B. (1,) C. (2,] D.(,2]

高考数学 考前30天冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线(下)理(教师版)

【名师备考建议】 鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点,名师给出以下四点备考建议: 1、主观形成圆锥的知识结构;椭圆、双曲线、抛物线,在这三类曲线身上是有很多的基本性质具 有相关性,因此,在复习备考的过程中,应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识,形成一张深刻记忆的知识列表;同时对基本的题型也要有一定的把握; 2、认真研究三年高考的各种题型;由于圆锥曲线的难度系数较高,不易把握,但仍然有理可循; 复习备考的过程中,无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向,至于从何研究,可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示,努力理清每一道问题的思路、做法,这样可以有效的培养解题意识; 3、熟练掌握部分题型的解题模式;三轮复习中,由于做题的经验得到一定的积累,多多少少对题 目的解题方法和手段有了一定的认识,比如,直线与圆锥曲线的问题,大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题,这是一种模式;再比如,圆锥曲线的探究性问题,可以先采用一些特殊值进行计算,得到结论以后加以证明;这都是必须熟练掌握的解题模式; 4、调整对待圆锥曲线的心理状态;由于圆锥曲线问题的综合性较强,并且经常作为倒二题出现, 这就要求学生合理的分配自己的时间;如果实在无法求解,无须在此问题上进行逗留,以免失去了做压轴题和检查的时间;对于优等生来说,必须精益求精;对于中等生来说,只需尽其所能;对于差等生来说,一定不必强求. 【高考冲刺押题】 e=,椭圆上的点到焦点【押题6】已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率 2 M m,且与椭圆C交于相异两点,A B,且的最短距离为2,直线l经过y轴上一点(0,) =. 3 AM MB

圆锥曲线离心率专题 历年真题

1.(福建卷)已知双曲线(a >0,b <0)的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2] C.[2,+∞) D.(2,+∞) 2.(湖南卷)过双曲线M:的左顶点A 作斜率为1的直线,若与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( ) A. B. C. D. 3.(辽宁卷)方程的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率 4.(全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2b 2 =1的一条渐近线方程为y =43x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )32 5.(陕西卷)已知双曲线x2a2-y22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为 A.2 B. 3 C.263 D.233 6.(全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) (A )(B )(C )(D ) 7.(广东卷)若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为,则m=() (A)(B)(C)(D) 8.(福建卷)已知F 1、F 2是双曲线 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是()

A.B.C.D. 9.[全国]设双曲线的焦点在轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率()A.B.C.D. 10.(福建理)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率是() A.B.C.D. 11.(重庆理)已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为:() A.B.C.D. 12.(福建卷11)又曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A.(1,3)B. C.(3,+)D. 13.(江西卷7)已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D. 14.(全国二9)设,则双曲线的离心率的取值范围是() A.B.C.D. 15.(陕西卷8)双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为 的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为()

智行数学-圆锥曲线(带答案,教师专用)

智行数学-圆锥曲线(带答案,教师专用) 一、单选题(注释) 1、已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则此双曲线的方程为()A.B.C.D. 2、F1,F2是双曲线的左、右焦点,过左焦点F1的直线 与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若,则双曲线的离心率是() A.B.C.2 D. 3、在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点,则弦的长等于( ) A.B.C.D. 4、已知圆M经过双曲线的两个顶点,且与直线相切,则圆M方程为() A.B. C.D. 5、已知椭圆的焦点,,是椭圆上一点,且是, 的等差中项,则椭圆的方程是() A.B. C.D. 6、以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为 A.B.C.D. 7、若 k 可以取任意实数,则方程 x 2 + k y 2 =" 1" 所表示的曲线不可能是()A.直线B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线 8、方程的两个根可分别作为的离心率。 A.椭圆和双曲线B.两条抛物线C.椭圆和抛物线D.两个椭圆

评卷人得分 二、填空题(注释) 10、若一条抛物线以原点为顶点,准线为,则此抛物线的方程为 . 11、双曲线的渐近线方程是_▲____ 13、中心在坐标原点,焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为 . 14、椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当 的周长最大时,的面积是. 17、若点是以为焦点的双曲线上一点,满足,且 ,则此双曲线的离心率为▲ . 评卷人得分 三、解答题() 与直线相切,是 抛物线上两个动点,为抛物线的焦点,的垂直平分线与轴交于点,且. (1)求的值; (2)求点的坐标; (3)求直线的斜率的取值范围. 19、已知抛物线,为抛物线的焦点,椭圆;(1)若是与在第一象限的交点,且,求实数的值; (2)设直线与抛物线交于两个不同的点,与椭圆交于两个 不同点,中点为,中点为,若在以为直径的圆上,且 ,求实数 的取值范围. 20、(本小题满分12分) 已知定直线l:x=1和定点M(t,0)(t∈R),动点P到M的距离等于点P到直线l距离的2倍。(1)求动点P的轨迹方程,并讨论它表示什么曲线; (2)当t=4时,设点P的轨迹为曲线C,过点M作倾斜角为θ(θ>0)的直线交曲线C

圆锥曲线离心率的求法已

圆锥曲线离心率的求法 学习目标 1、掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法; 2、培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力; 学习重难点 重点:椭圆、双曲线离心率的求法; 难点:通过回归定义,结合几何图形,建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确定离心率 教学过程: 复习回顾:圆锥曲线离心率的概念 一、求离心率 探究一:利用定义直接求a,c 例1.已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于. 练习1:在正三角形ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,则以B、C为焦点,且过D、E的双曲线的离心率为( ) A. 5 3 -1 +1 +1 B. 探究二:构造关于e的(a,b,c的齐次)方程

例2.已知椭圆22 221(0)y x a b a b +=>>的上焦点为F ,左、右顶点分别为12,B B , 下顶点为A ,直线2AB 与直线1B F 交于点P ,若22AP AB =,则椭圆的离心率为___________ 练习2、双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,过F 1作 倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点,若MF 2垂直于x 轴,则双曲线的离心率为 ( ) 探究三:以直线与圆锥曲线的位置关系为背景,设而不求确定e 的方程 例3.椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a>b >0),斜率为1 点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,→OA +→OB 与求e 二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围) 1、直接根据题意建立,a c 不等关系求解. 例4、已知双曲线122 22=-b y a x

圆锥曲线经典结论总结(教师版)

椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和 A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.

圆锥曲线中离心率及其范围地求解专题(教师版)

圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1.熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,并灵活运用它们解决相关的问题。 2.掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略; 3.灵活运用教学中的一些重要的思想方法(如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学)解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决: (1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系; (2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线等)列出所讨论的离心率(a,b,c )适合的不等式(组),通过解不等式组得出离心率的变化围; (3)函数值域求解法:把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 (4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思; (5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于: ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标; ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题; (6)构造一个二次方程,利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 (1)数形结合的思想方法。一是要注意画图,草图虽不要求精确,但必须正确,特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置;二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来,反之应由代数量确定几何特征,三要注意用几何方法直观解题。 (2)转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化,实际问题向数学问题的转化,动点与不动点间的转化。 (3)函数与方程的思想,如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 (4)分类讨论的思想方法,如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,抛物线2C 的顶点在原点, 准线与双曲线1C 的左准线重合,若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥,则双曲线1C 的离 心率为( ) A . B C D . 解:由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ,∴ 方程为2 2 4a y x c =;

专题 圆锥曲线的离心率(学生版)

专题五 第二讲 离心率专题 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点,对于求圆锥曲线离心率的问题,通常有两类:一是求椭圆和双曲线的离心率;二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围,属于中低档次的题型,对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说,求椭圆(或双曲线)的离心 率,只需要由条件得到一个关于基本量a 与b 或a 与c 的其次式,从而根据221c b e a a ==-(这是椭圆)2 21c b e a a ==+(这是双曲线),就可以从中求出离心率.但如果选择方法不恰当,则极可能“小题”大作,误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出,一针见血,其实不然,对于这类题,用最淳朴的定义来解题是最好的,此时无招胜有招! 一、求椭圆与双曲线离心率的值: (一)、用定义求离心率问题: 122121(05,, 221A. B. C. 2 2 D. 21F F F P F PF ?例、全国Ⅲ)设椭圆的两个焦点分别为、过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点若为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) --- 【强化训练】1.在ABC △中,AB BC =,7cos 18 B =- .若以A B ,为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e =. 2、已知正方形ABCD ,则以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_________; 3、已知长方形ABCD ,AB =4,BC =3,则以A 、B 为焦点,且过C 、D 两点的椭圆的离心率为。

4.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2,若边MF 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是() A .324+ B .13- C .213+ D .13+ 5、如图,1F 和2F 分别是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点, A 和B 是以O 为圆心,以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交 点,且△AB F 2是等边三角形,则双曲线的离心率为( ) (A )3(B )5(C ) 2 5(D )31+ (二)、列方程求离心率问题:构造a 、c 的齐次式,解出e 根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 例2、如图,在平面直角坐标系xoy 中,1212,,,A A B B 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点,F 为其右焦点,直线12A B 与直线1B F 相交于点T ,线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点,则该椭圆的离心率为. 变式:设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( )(A )3 (B )2 (C )5 (D )6 【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

文科圆锥曲线专题练习及问题详解

文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,12PF F ?是底角为30的等腰三 角形,则E 的离心率为( ) () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想,是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形, ∴322c a = ,∴e =3 4 , ∴0260PF A ∠=,212||||2PF F F c ==,∴2||AF =c , 2.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,AB =;则C 的实轴长为( ) ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为:4x =,设等轴双曲线方程为:222x y a -=,将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2, ∴C 的实轴长为4,故选C. 3.已知双曲线1C :22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2,则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点:圆锥曲线的性质 解析:由双曲线离心率为2且双曲线中a ,b ,c 的关系可知a b 3=,此题应注意C2的焦点在y 轴上,即(0,p/2)到直线x y 3=的距离为2,可知p=8或数形结合,利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 (A ) 2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ,从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=,由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==,所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠=

最新圆锥曲线轨迹问题(教师版)

第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题(教师版) 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程,这是解析几何的一大课题:一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质;另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程,而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤:建设现代化(检验) 建(坐标系)设(动点坐标)限(限制条件,动点、已知点满足的条件)代(动点、已知点坐标代入)化(化简整理)检验(要注意定义域“挖”与“补”) 求轨迹方程的的基本方法:直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1.直接法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y 的等式,就得到轨迹方程,这 种方法称之为直接法; 例1、已知直角坐标系,点Q (2,0),圆C 方程为 12 2=+y x ,动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ,求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ,则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时,方程为54x =,表示一条直线。 当1≠λ时,方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图,圆1O 与圆2O 的半径都是1,124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN , (M N ,分别为切点),使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系,并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点,12O O 所在直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则1(20)O -, ,2(20)O ,. 由已知2PM PN =,得222PM PN =. 因为两圆半径均为1,所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ,,则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-, 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O

全国高考数学复习微专题:离心率问题

圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质,一方面刻画了椭圆,双曲线的形状,另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。 一、基础知识: 1、离心率公式:c e a = (其中c 为圆锥曲线的半焦距) (1)椭圆:()0,1e ∈ (2)双曲线:()1,+e ∈∞ 2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 (1)椭圆:2 2 2 a b c =+, ① 2a :长轴长,也是同一点的焦半径的和:122PF PF a += ② 2b :短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 (2)双曲线:2 2 2 c b a =+ ① 2a :实轴长,也是同一点的焦半径差的绝对值:122PF PF a -= ② 2b :虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 3、求离心率的方法:求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系(只需找出其中两个参数的关系即可),方法通常有两个方向: (1)利用几何性质:如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形),那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系,进而两条焦半径与a 有关,另一条边为焦距。从而可求解 (2)利用坐标运算:如果题目中的条件难以发掘几何关系,那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示,再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题:在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑: (1)题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求:例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”,则可考虑该点坐标用,,a b c 表示,且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口

(2)若题目中有一个核心变量,则可以考虑离心率表示为某个变量的函数,从而求该函数的值域即可 (3)通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式,进而解出离心率 注:在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求:椭圆:()0,1e ∈,双曲线:()1,+e ∈∞ 二、典型例题: 例1:设12,F F 分别是椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,线 段1PF 的中点在y 轴上,若1230PF F ∠=o ,则椭圆的离心率为 ( ) A . 33 B .36 C .13 D .16 思路:本题存在焦点三角形12PF F V ,由线段1PF 的中点在y 轴上,O 为12F F 中点可得 2PF y ∥轴,从而212PF F F ⊥,又因为1230PF F ∠=o ,则直角三角形12PF F V 中, 1212::2:1:3 PF PF F F =,且 1212 2,2a PF PF c F F =+=,所以 12122323 F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案:A 小炼有话说:在圆锥曲线中,要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件,如果图中存在其它中点,则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。 例2:椭圆 () 22 2 102312x y b b +=<<与渐近线为20x y ±=的双曲线有相同的焦点12,F F ,P 为它们的一个公共点,且1290F PF ∠=o ,则椭圆的离心率为________ 思路:本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点,设122F F c =,在双曲线中, '''' 1 ::2:1:52 b a b c a =?=,不妨设P 在第一象限,则由椭圆定义可得:

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