n项展开式的项数

N项展开式的项数

高中数学讲义 求二项式的展开项

微专题82 求二项式展开后的某项 一、基础知识： 1、二项式() ()n a b n N * +∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ，从恒等式中我们可以发 现这样几个特点 （1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开 （4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C L 称为二项式系数，二项式系数的和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意 味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。 3、系数：是指该项经过化简后项前面的数字因数 注：（1）在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数。二项式系数是展开式通项公式中的 r n C ，对于确定的一个二项式，二项式系数只由r 决定。而系数是指展开并化简后最后项前面 的因数，其构成一方面是二项式系数，同时还有项本身的系数。例如：()5 21x +展开式中第三项为()3 2 2 3521T C x =??，其中2 5C 为该项的二项式系数，而()3 2 23 352180T C x x =??= 化简后的结果80为该项的系数

求展开式系数的六种常见类型

求展开式系数的六种常见类型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)() (*∈+N n b a n 型 例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T += 1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4 410(C =840,故选A 。 例2．8)1(x x - 展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2 388 88 1)1()1(--+-=- = ，由题意得52 3 8=-r ， 则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1 ()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令 0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为33 4 2C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1 ()2(x x x x ++-的展开式中常数项 等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10

二项展开式,求展开式中的指定项

1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数 ()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数， 式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式 定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而 项的系数有时可为负． 知识内容 求展开式中的指定项

④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出， 二项式系数与项的系数是不同的概念． ⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r r n C a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素， 只要知道其中四个即可求第五个元素． ⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值． 2．二项式系数的性质 ⑴杨辉三角形： 对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算． 杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质： () n a b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自 变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ． 当6n =时，()f r 的图象为下图： 这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

二项式定理中展开式系数的六种类型

二项式定理中展开式系数的六类题型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）

十秒钟求二项展开式常数项

十秒钟求二项展开式常数项 Sunshine33 让人意想不到的解法，直接写出二项展开式的常数项！ 1. 求315 2 1()x x + 展开式中的常数项. 一般解法：3154551151521()(),45509,r r r r r r T C x C x r r x --+==-=?= 所以9 15C 即为答案. ◆(速解法) 只看x 的次数（就是看x 是几次方，次数的正负我们不管） x 的次数之比3:2→（调换位置）2:3:5 (2+3=5,所以写5,5的下方写上15) （根据对应比例相等写上） 6:9：15 所以答案是 615C （变式）求315 2()b ax x + 展开式中的常数项. 解：a 是第一个的系数，b 是第二个的系数，答案为6 15 C 69a b 2. 求20 ( 展开式中的常数项. 解：11:2:33:2:512:8:2032=→?，故答案为12 20 C 128a b 3. 1 )n x 展开式中存在常数项，n 可能是（ ） A . 6 B. 7 C. 8 D. 9 解：1 :11:33:1:43=→，n 一定是4的倍数，选择C. 4. 求4921 ()x x +展开式中的常数项. 解：4:2=2:1 1:2:33:6:9→?，故答案为39C

◆ 高考题 1.（2008山东，理）12 (x 展开式中的常数项为 B.1320 一般解法：364123 112 12()((1)r r r r r r r T C x C x --+==-,由36409,3r r -=?= 993 1212(1)220C C ∴-=-=- 故选C. ◆（速解）11:3:11:3:43:9:123 =→?，故答案为3 3912 1(1)220C -=-g g 2.(2008湖北，文2) 31021 (2)2x x -的展开式中常数项是 B.1052 C.1 4 解：3:22:3:54:6:10→?，故答案为4 461011052()22 C -= g g , 选B 3.（2008江西，文8） 10101 (1)(1)x x ++展开式中的常数项为 A ．1 B ．12 10()C C ．120C D ．1020C 解：10101020 11(1)(1)(2)x x x x ++=++=, 11 :1:11:1:210:10:2022=→?,故答案是D 4.（2007浙江，文6）91 )x 的展开式中常数项是 .36 C 解：1 :11:22:1:36:3:92=→?,故答案为66391(1)84C -=-g g ,选C

求二项式的展开项

求二项式展开后的某项 一、基础知识： 1、二项式()()n a b n N *+∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们 可以发现这样几个特点 （1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开 （4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的 和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。

高中数学求展开式中的特定项

高中数学求展开式中的特定项 1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项 式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念． 知识内容

二项式定理中展开式系数的六种类型

二项式定理六类题型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）

题型06 二项展开式的参数求值、常数项、条件项、分配系数法(解析版)

【秒杀题型一】：确定二项展开式中的参数 『秒杀策略』：根据条件列出等式，解得所要求的参数。 秒杀公式：二项展开式的各种题型关键是利用通项求．．．．．．．．．．．．．．．．．．r ，．r =．外层指数差．．．．．/．内层指数差。．．．．．． ()N n m bx ax +展开式中求．．．．．t x 的系数，则有．．．．．．n m t Nm r --=。． 1.(2014年新课标全国卷II13)10)(a x +的展开式中，7x 的系数为15，则=a 。 【解析】：根据条件列出等式，解得所要求的参数，得2 1=a 。 2.(高考题)4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数a =_______。 【解析】：根据条件列出等式，解得所要求的参数，得2=a 。 3.(高考题)设常数a R ∈，若52a x x ??+ ?? ?的二项展开式中7x 项的系数为10-，则=a 。 【解析】：根据条件列出等式，解得所要求的参数，得2-=a 。 4.(2017年山东卷)已知()n x 31+的展开式中含有2 x 项的系数是54，则n = 。 【解析】：根据条件列出等式，解得所要求的参数，得4=n 。 【秒杀题型二】：二项展开式中的常数项 『秒杀策略』：写出通项，令指数为零，确定r ，代入。 1.(2013年天津卷 )6 x ?- ? 展开式中的常数项为 。 【解析】：r r r r r r x C x x C T 236621661---+=???? ??-=，4=r ，常数项为15。 2.(2013年辽宁卷)使得n x x x )1 3(+)(+∈N n 的展开式中含有常数项最小的n 为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】：选B 。 3.(高考题)在6)2(x x -的二项展开式中，常数项等于 。

二项式定理中展开式系数的六种常见类型--学生版

二项式定理中展开式系数的六种常见类型 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10 三 、 ),()()(*∈++N m n d c b a m n 型 例5．72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。 例6．()()811x x -+的展开式中5x 的系数是（ ） （A ）14- （B ）14 （C ）28- （D ） 28 四 、)()(*∈++N n c b a n 型 例7．5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 五 、1()()()(,,1)m m n a b a b a b m n N m n +*++++++∈≤< 型 例8．在62)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，2x 项的系数是 。 例9．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3 的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121

二项式定理中展开式系数的六种常见类型

二项式定理中展开式系数的六种常见类型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10

算项式展开式中常数项的简便方法

一个计算二项式展开式中常数项的简便方法 重庆市万盛区田家炳中学 程林书 在计算二项式展开式中的常数项时,常利用通项公式 1r n r r r n C a b T -+=,将含字母的项合并后,利用未知数的指数为0,求出r, 再代入通项公式计算出常数项. 例如: 求8(2x + 展开式中的常数项. 常规解法是:由通项公式得: 818()2r r r r x C T -+==488 382r r r C x -- 令4803 r - = 得 6r = 故常数项为668 7872C T -== 上述解法的关键是求r .事实上,对任意的二项式() p m n q l a b x x +, 其中,,,0a b R ab ∈≠, p 与q 互质,m 与l 互质,如果存在常数项,设其为第 1r +项,则 ()1 p n r mr r n r r q l r n C a x b x T --+==()p n r mr n r r r q l n a b C x --+ 设 ()0p n r mr q l -+= 则 1p n l n r mq pl mq pl ==-- 而 mq pl 恰好是二项式两项中未知数x 的指数比.因此r 可由指数比来确定:2 x 中x 的指数是1, x 的指数是13 ,它们的比值是3:1,由于其和是8,故二项式两项的指数比是6:2,从而6r =,故常数项为 668 78 72 C T -== 例2 判断下列二项式展开式中是否有常数项.若有求出常数项. (1)16 (2)(2007天津高考文12) 9 2 1 ()x x +

分析(1)中指数比为11:3:223 = 不存在两个整数,比值为3:2,其和为16,从而不存在常数项. (2)中指数比为1:2其和为9, 从而指数比为3:6, 3r = 3 4984C T == 例3 (2007安徽高考理12)若3 (2n x 的展开式中有常数项. 则最小正整数n 等于_______. 分析:指数比为1 3:6:112:218:3 (2) == ==则n 的可能值为7,14,21 ……最小为7. 例4 (2007全国卷I 理10) 2 2 1x x ??- ??? 的展开式中常数项为15,则(n = ) :3A :4B :5C :6D 分析:指数比为2:14:26:3......===其和为n ,则n 的可能值为3,6,9……从选择支来看,3n =时,常数项为2 3C ≠15 ,故6n =选D .

求二项展开式特定项的简便方法

介绍一个求二项展开式特定项的简便方法 求二项展开式的特定项是高考数学试题中的常见题型，由二项展开式的通项公式，有 (a ＋b )n 的展开式的第r ＋1项为T r ＋1=C r n a n － r b r ． ① 若令a =1，则得(1＋b )n 的展开式的第r ＋1项为T r ＋1=C r n b r ． ② 同①式相比，显然②式更为简单，于是我们得到以下求二项展开式特定项的简便方法： 在求(a ＋b )n 的展开式的特定项时，我们可以将二项式(a +b )n 中的前一项a (或b )从括号 内提出来，变为a n (1+b a )n ，从运算简化． 例1 (1992?全国文) ( x 2－3x 8的展开式中常数项是 ( ) (A) －28 (B) －7 (C) 7 (D) 28 解：( x 2－3x )8＝2－8x 8(1－243x -)8，依题意，令－43r ＝－8，得r ＝6．故所求的常数项为28·C 68·26＝14 C 28＝7，选(C)． 例2 (2004·江苏卷) (2x ＋x )4的展开式中x 3的系数是 ( ) (A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 48 解：(2x ＋x )4＝x 2(1+2x )4， 依题意，只要求展开式(1+2x )4的x 项的系数，显然，系数为C 24·22，即24，选(C)． 例3 (2004·浙江卷)若n x x )2 (3+展开式中存在常数项，则n 的值可以是 (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 解：n x x )2 (3+＝2n x (1+25 6x -)n ，则后一个展开式第r +1项的x 的指数为－5 6r ，依题意，n 2－56r ＝0，所以n ＝10r 3 ．因为n 是正整数，所以r ＝3k (k ＝1，2，3···)． 选(C)． 例5(1993?全国) 由 (3x +32)100展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有( ) (A) 50项 (B) 17项 (C) 16项 (D) 15项 解：(3+32)100＝350(1+21/331/2)100， 依题意，只须32r 与23r 同时为整数，且0≤r ≤100． ∴r 为6的倍数．由r 为6的倍数，[100÷6]＝16 及 r ＝0．所以系数为有理数的共有17项，选(B)．

教本探源求二项展开式的某项或某项的系数

教本探源求二项展开式的某项或某项的系数 ——谈组合推导法的应用 湖南攸县第一中学 洪开科 关键词：组合推导法，通项公式，二项式定理，二项展开式，某项或某项的系数，某项的二项式系数，选取性，有序性 求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点，每年的高考题都有一定的题目出现，人们往往利用二项式定理的通项公式去解决，却忽视了推导二项式定理的原理，组合计数推导法，这是伟大的物理学家数学家牛顿在1665年推导二项式定理方法，我命名为命名为“组合计数推导法”，简称组合推导法，多项式的乘法本质是其结果由每个括号中取一项相乘的所有单项式合并同类项得到的。教材中二项式定理的推导就是将(a+b )n 看成n 个a+b 相乘，从每个括号中取一项（非a 即b ）相乘的所有单项式合并同类项得到的，按取b 的个数分为n +1类，不取b 的是C n 0a n ；取1个b 的是C n 1a n-1b ，…，取r 个b 的是C n r a n-r b r ，…，取n 个b 的是C n n b n ，这就是组合推导法。理解了这个方法二项式定理就可信手拈来了，也可按取a 的个数分为n +1类写出来。 应用组合推导法求二项展开式的某项或某项的系数要注意三点： 第一是选取性，二项式的两项怎样选取（各取几个）才能构成所求的项。 第二是有序性，(a+b )n 的展开式第r+1项是取r 个b （同时取n-r 个a ），这里的a 、b 不能互换。 第三是项、项的系数与二项式系数的区别，某项要把这一项全部写出来，某项的系数只写这一项的系数不要带字母（即把每个字母当作数1），某项的二项式系数就是相应的组合数C n r 。 一、直接求二项展开式的某项或某项的系数. 1．(2014年高考湖南卷)51(2)2x y -的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．20 解析：12x 要取2个，故x 2y 3的系数为22351()(2)2 C -= -20，故选A. 2．(2014年高考全国大纲卷) 8 的展开式中x 2y 2的系数是 .(用数字作答) 要取4个，故x 2y 2系数是C 84(-1)4=70. 3．(2010年高考四川卷)6 (2的展开式中的第四项是 . 解析：依题 - 3个，故第四项是T 4＝33361602(C x =-

十秒钟求二项展开式常数项

十秒钟求二项展开式常数项 让人意想不到的解法，直接写出二项展开式的常数项！ 1. 求31521()x x +展开式中的常数项. 一般解法：3154551151521()(),45509,r r r r r r T C x C x r r x --+==-=?= 所以915C 即为答案. ◆(速解法) 只看x 的次数（就是看x 是几次方，次数的正负我们不管） x 的次数之比3:2→（调换位置）2:3:5 (2+3=5,所以写5,5的下方写上15) （根据对应比例相等写上） 6:9：15 所以答案是 615C （变式）求3152 ()b ax x +展开式中的常数项. 解：a 是第一个的系数，b 是第二个的系数，答案为615 C 69a b 2. 求203()b a x x +展开式中的常数项. 解：11:2:33:2:512:8:2032 =→?，故答案为1220C 128a b 3. 31()n x x +展开式中存在常数项，n 可能是（ ） A . 6 B. 7 C. 8 D. 9 解：1:11:33:1:43 =→，n 一定是4的倍数，选择C. 4. 求4921()x x +展开式中的常数项. 解：4:2=2:1 1:2:33:6:9→?，故答案为39C

◆ 高考题 1.（2008山东，理）1231()x x - 展开式中的常数项为 A.-1320 B.1320 C.-220 D.220 一般解法：3641231121231()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,由36409,3r r -=?= 9931212(1)220C C ∴-=-=- 故选C. ◆（速解）11:3:11:3:43:9:123 =→?，故答案为339121(1)220C -=- 2.(2008湖北，文2) 31021(2)2x x -的展开式中常数项是 A.210 B.1052 C.14 D.-105 解：3:22:3:54:6:10→?，故答案为4461011052()22 C -= , 选B 3.（2008江西，文8） 10101(1)(1)x x ++展开式中的常数项为 A ．1 B ．1210()C C ．120 C D ．1020C 解：10101020111(1)(1)(2)()x x x x x x ++=++=+, 11:1:11:1:210:10:2022 =→?,故答案是D 4.（2007浙江，文6）91()x x -的展开式中常数项是 A.-36 B.36 C.-84 D.84 解：1:11:22:1:36:3:92 =→?,故答案为66391(1)84C -=- ,选C 5. （2007全国Ⅰ，理10）21()n x x -的展开式中，常数项为15，则n= A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解：2:11:2:3→，n 必是3的倍数，排除B ，C 验证选项A ，假设A 对，常数项为11231(1)315C -=≠ ，排除A ，选D

二项展开式

二项展开式（一） 【课堂教学】 教学目标：正确理解二项式定理，能准确地写出二项式展开式；会区分项的系数 与项的二项式系数；熟练掌握二项式定理的基本问题――通项公式及其应用 重点内容：展开二项式 难点内容：二项展开式以及通项公式的应用 教学过程： 一、 预习检查： 1、要点提问： (1) 二项式定理的内容什么？二项展开式的特点是什么？（从指数、系数、项数的变化趋势考虑） (2)项的二项式系数与项的系数有什么区别和联系？ (3)二项展开式的通项是什么？它是二项展开式的第几项？ 2、练习展示：(学生板演) 二、 重点讲解： 1、二项式定理： n n n n n n n n n n y C y x C y x C x C y x ++++=+-- 222110)(=∑=-n k k k n k n y x C 0, (+∈N n )， 特例：1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ 2、二项式展开式：上式右边的多项式叫做_________；其中的________叫做二项 式系数 它的特点： (1)项数：共n+1项 (2)系数：第k+1项的二项式系数是k n C ),2,1,0(n k = (3)指数：n y x )(+的展开式中，x 、y 的指数变化趋势分别是n 减少到1、1增加到n ，但指数和为n 3、二项式通项：k k n k n k y x C T -+=1 ),2,1,0(n k =叫展开式的通项,是第k+1项。 三、 典例补充： 例1、展开二项式8)2(x x - 例2、(1)__________124221211=+++++--n n n n n n n n C C C C ； (2)___________3)1(27931321=-++-+-n n n n n n n C C C C ；

高考数学复习-二项式定理中展开式系数的六种常见类型

高考数学 二项式定理中展开式系数的六种常见类型 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10 解析：5)1(x -中3x 的系数35C -=10-, 6)1(x --中3x 的系数为

高中数学：求二项展开式的系数最大项

高中数学：求二项展开式的系数最大项 例、（1）求展开式中系数最大项；（2）求 展开式中系数最大项。 解：（1）设第项系数最大，则有 （*） 即， 得到，解得，所以，所以系数最大项为第六项。 这道题目是一道比较典型的求系数最大项的例题。这里有几个问题： ①如果系数最大项是最后一项，则无意义，如果系数最大项是第一项，则无意义，显然用 并不合适， ②系数最大项是不是有且仅有一项？ ③所列条件只是求出了系数比前后两项系数都大的项，有没有可能有另外更大的最大值呢？现在我们研究对于的二项展开式，设第项系数最大

则（*） 可以解得。 若系数最大项为最后一项，则得到，例如求二项展开式系数最大项时，因为，所以系数最大项是最后一项。若系数最大项为第一项，则 得到，例如求二项展开式系数最大项时，因为，所以系数最大项是第一项。 因为中不符合系数最大项是第一项或最后一项的特点，所以用 解答没有问题，这样我们解决了问题①；又因为，我们同时可以得出一个结论：形如（）二项展开式系数最大项最多只有两项，这样也解决了问题②；对于问题③，这里我们碰到一个问题，以前特别是在碰到函数问题时，其实我们求最大值并不是这样求的，所以这里必须说明，如果最大值是另外一个值，那么显然应该满足（*）式，也可以从（*）式解出来，但（*）式没有解出别的值，所以（*）式解出的就是最大值。这样我们解决了问题③。（2）对于二项展开式，我们知道奇数项的系数为正，

但经过观察我们只要比较第五项系数和第七项系数大小，结论从略。但是不是只能用这种观察的方法呢，有没有一般的方法呢？ 如果对于一般情况（）， 从（*） 可以解得，我样可以判断对于 （）它的二项展开式项的系数的增减性一定是先增后减，所以如果和是连续两个整数，那么其中那个偶数就是我们要求的r，若和不是整数， 如果介于它们之间的整数是偶数，那就是我们要求的r，如果是奇数，那么只要将项左右两项系数进行比较就可以了。

高考数学复习：二项式定理中展开式系数的六种常见类型

高考数学复习：二项式定理中展开式系数的六种常见类型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x -的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(* ∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10

二项式定理(通项公式)

二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++= ，即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++= ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同 时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f