大学物理 第七章_稳恒电流的磁场

第七章 稳恒电流的磁场 风怡湘 辛卯年

§7-1 磁场 磁感应强度 磁力线 磁通量

一、磁感应强度

大小：qV

F B max =

， 方向：沿V F

?max 方向（规定为沿磁场方向）。

二、磁力线

（1）磁力线是闭合的。这与静电场情况是截然不同的。磁场为涡旋场。

（2）磁力线不能相交，因为各个场点B

的方向唯一。

三、磁通量

定义：通过某一面的电力线数称为通过该面的磁通量，用m Φ表示。

（7-1）

磁通量单位：SI 制中为Wb （韦伯）。

对于闭合曲面，因为磁力线是闭合的，所以穿入闭合面和穿出闭合面的磁力线条数相等，故0=

Φm ，即

闭合曲面7-2）

此式是表示磁场重要特性的公式，称为磁场中高斯定理。

§7-2 毕奥——沙伐尔定律

一、毕奥——沙伐尔定律

（矢量式）―――――――――――――――――――――――（7-3） 说明：（1）毕奥——沙伐尔定律是一条实验定律。 （2）l Id

是矢量，方向沿电流流向。

（3）在电流元延长线上0=B d 。（4）实验表明：迭加原理对磁感应强度也适用。整个导线在P 点产生的B

为

7-4） 二、磁场计算

1、直载流导线

设有一段直载流导线，电流强度为I ，P 点距导线为a ，求P 点B

=？

解：如图所示，在AB 上距O 点为l 处取电流元l Id ，l Id 在P 点产生的B d

的大小为

2

s i n 4r I d l dB θπμ=，

B d 方向垂直指向纸面（r l Id ?方向）。同样可知，AB 上所有电流元在P 点产生的B d

方向均相同，所以P

点B

的大小即等于下面的代数积分

2

0sin 4r

Idl dB B AB

θ

πμ?

?=

=

，

统一变量，由图知

θ

θπsni a a

r =

-=

)

sin(，θθπactg actg l

-=-=)(

θ

θ

θθθθd a d a d a dl 2

2

2

sin csc )csc (=

=-?-=

??=

?=

?2

1

2

1

sin 4sin sin sin 402

22

θθθθθ

θπμθ

θθθ

π

μd a

I

a

d a I

B

)

cos (cos 4210θθπμ-=

a

I

，B 垂直指向纸面。

讨论：（1）∞→AB 时，01=θ，πθ=2，

a I B πμ20

=。 （2）对无限长（A 在O 处），

21πθ=，πθ=2，a I B πμ40

=。 强调：（1）()210cos cos 4?θπμ-=a

I

B 要记住，做题时关键找出a 、1θ、2θ。

（2）1θ、2θ是电流方向与P 点用A 、B 连线间夹角。

2、薄金属板

如图所示，一宽为a 的薄金属板，其电流强度为I 并均匀分布。试求在板平面内距板一边为b 的P 点的B

。

解：取P 为原点，x 轴过平板所在平面且与板边垂直，在x 处取窄条，视为无限长载流导线，它在点产生

B d

的方向为：垂直纸面向外，大小为

x dx

a

I x

dI

dB πμπμ220

0=

=

（均匀分布） 所有这样窄条在P 点的B d 方向均相同，所以求B

的大小可用下面代数积分进行：

a

a b a

I

ax

Idx

dB B b

a b

+=

==

?

?+ln

2200πμπμ。

强调：（1）无限长载流导线产生磁场a

I

B πμ20=

。

（2）迭加方法要明确。

3、载流圆线圈

如图所示，半径为R 的载流圆线圈，电流为I ，求轴线上任一点P 的磁感应强度B

。

解：取x 轴为线圈轴线，O 在线圈中心，电流元l Id 在P 点产生的B d

大小为

)2(4sin 42

020πθπμθπμ===r Idl r Idl dB 设⊥l d 纸面，则B d 在纸面内。B d 分成平行x 轴分量//B d 与垂直x 轴分量⊥B d

。在与l Id 在同一直径上的

电流元'

l Id 在P 点产生的//'B d 、⊥'B d ，由对称性可知，⊥'B d 与⊥B d 相抵消，可见，线圈在P 点产生垂直x 轴的分量由于两两抵消而为零，故只有平行x 轴分量。

0=⊥B

，

2

3)

(2244sin 4cos 4cos 2

2

203

020

2

020

2

020

2

0//R x IR

R r

IR

r

R r

dl I

r

dl I

r

Idl

dB B B R

R

R

+=

?=

?=

=

=

=

=?

?

?

?μππμπ

μβπ

μαπμαπππ

B

的方向沿x 轴正向。

讨论：（1）x=0处， π

μ20I

B =

。 （2）x>>R ， 3

202π

μI R B =

。

（3）线圈左侧轴线上任一点B 方向仍向右。 强调：N 匝线圈：()

2

32

2

2

02R

x NI R B +=

μ。

4、载流螺线管的磁场

已知导线中电流为I ，螺线管单位长度上有n 匝线圈，并且线圈密绕，求螺线管轴线上任一点的B

。

解：如图所示，螺线管的纵剖图。此剖面图设在纸面内。在距P 点为x 处取长为dx ，dx 上含线圈为ndx 。因

为螺线管上线圈饶得很密，所以，dx 段相当于一个圆电流，电流强度为Indx 。因此宽为dx 的圆线圈产生的B d

大小为：

2

32

3)

(2

)

(22

2

2

2

2

2

x R Indx R x R dI

R dB +?

=

+=

μμ。

所有线圈在P 点产生的B d

均向右，所以P 点B 为

??

?+=

+?

=

=

AB

AB

R x

dx

In R R x dx In R dB B 2

1

2

1

)

(2

)

(22

2

2

02

22

0μμ，

???-==θθθd R dx Rctg x 2

csc ，

)

cos (cos 2

sin 12

csc csc 2

1202

203

3

2

202

1

2

1

θθμθ

θμθ

θθμθθθθ-=

-?

=

-=

???

In

d R

In

R R d R In

R B

讨论：螺线管无限长时，πθ=1，02=θ，const

In B ==0μ。半无限长：如B 在无穷远处，A 轴线上的

一点有2

1π

θ=，02=θ，nI B 02

1μ=?。

5、如图所示，在纸面上有一闭合回路，它由半径为1R 、2R 的半圆及在直径上的二直线段组成，电流为I 。

求（1）c 圆心O 处0B ＝？ (2)若小半圆绕AB 转

180，此时O 处0'B ＝？ 解：由磁场的迭加性知，任一点B

是由二半圆及直线段部分在该点产生的磁感应强度矢量和。此题中，因为O

在直线段沿长线上，故直线段在O 处不产生磁场。

(1)小线圈在O 处产生的磁场大小为：1

00221R I B μ=小（每长度相等的圆弧在O 处产生的磁场大小相同）；

方向：垂直纸面向外。

大线圈在O 处产生的磁场大小为：2

00221R I B μ=

大；方向：垂直纸面向里。

]

11[

4

2

1

0000R R I

B B B -

=

-=?μ大小 方向：垂直纸面向外。

(2)0'

B ,可知

???==大大小小0'

00'0B B B B ，

小0'B 、大0'

B 均垂直纸面向里。

]11[42

1000'0R R I B B B +=+==>μ’

大‘小 方向：垂直纸面向里。

§7-3 运动电荷的磁场

运动电荷的磁场

7-5） 例、设电量为+q 的粒子，以角速度ω做半径为R 的匀速圆周运动，求在圆心处产生的B

。 解：<方法一>按3

4r r V q B

?=πμ，运动电荷产生的B 为 3

4r

r

V q B ?=πμ， B 大小为：3

24r sin qVr B π

πμ=。 r=R ，ωR V =， ∴R

q B ωπμ40=。 方向：垂直纸面向外。 <方法二>

用圆电流产生B

的公式，由电荷运动，则形成电流。在此，+q 形成的电流流线与+q 运动的轨迹（圆周）重

合，且电流为逆时针方向，相当于一个平面圆形载流线圈。可知，B

的方向垂直纸面向外。根据平面圆形载流

线圈在其中心产生B 的大小公式，可求出B

的大小。

设运动频率为f ，可有

π

ω

2q

qf I ==R q I

B πω

μπ

μ4200=

=

?。

§7-4 安培环路定律

安培环路定律

7-6）

表明：B

沿一个回路积分等于此回路内包围电流的代数和的0μ倍。

说明：（1）如果l 不是平面曲线，载流导线不是直线，上式也成立。

（2）∑?=?内

L L

I l d B 0μ

，说明了磁场为非保守场（涡旋场）。

（3）安培环路定律只说明l d B L

??仅与L 内电流有关，而与L 外电流无关。对于B 是l 内外所有电流

产生的共同结果。

1、求如右图情况l d B L

??=？

解：由安培环路定律有：

00μμ==?∑?内

L L

I l d B

)2(12I I -。

2、无限长均匀载流直导体

有一无限长均匀载流直导体，半径为R ，电流为I 均匀分布，求B

分布。

解：由题意知，磁场是关于导体轴线对称的。磁力线是在垂直于该轴平面上以此轴上点为圆心的一系列同心圆

周，在每一个圆周上B 的大小是相同的。

（1）导体内P 处P B

=？

过P 点做以a 为圆心半径为a r 的圆周，aP 与轴垂直， 安培环路定律为

∑?

=?内

11

0L L I l d B μ （取过P 点的一电力线为回路1L

）

可知 P L L L L r B dl B Bdl

cos Bdl l d B π201

1

1

1

?===

=

????

?

,

2

2022

00][

1R

r I

r R

I

I P P

L μππμμ=?=∑内

2

202R r I

r B P

P μπ=??

即 P P r R

I

B 2

02πμ=

。

方向如图所示（与轴及P r 垂直）。

（2）导体外任一点Q 处Q B

=？

过Q 点做以O 为圆心，Q r 为半径的圆周，圆周平面垂直导体轴线，安培环路定律为：

∑?

=?内

22

0L L I l d B μ

可有：

Q L r B l d B π22

?=??

，I I L 002μμ=∑内

，

Q

Q r I

B πμ20= 。Q B 方向如图所示（与轴线及P r 垂直）。

3、螺绕环

如图所示，匀密地绕在圆环上的一组圆形线圈，形成螺线管。设环上导线共N 匝，电流为I ，求环内任一点B

=？

解：如果螺线管上导线绕的很密，则全部磁场都集中在管内，磁力线是一系列圆周，圆心都在螺线管的对称轴上。由于对称之故，在同一磁力线上各点的B 的大小是相同的。下面给出了螺线管过中心的剖面图。取P 所在磁力线为积分路径l ，

∑?

=?内

l l I l d B 02

μ

可知： Bl dl B cos dl B l d B l

l

l

===

???

?0

，

NI

Bl NI I l 000μμμ=?=∑内

即 l

NI

B 0μ=

l

NI

B P 0μ=

，方向在纸面内垂直OP.

讨论：（1）因为r 不同时，l 不同，所以不同半径r 处B

大小不同。

（2）当L 表示环形螺线管中心线的周长时，则在此圆周上各点B 的大小为nI L

NI

B 00μμ==

，

L

N n =

为单位长度上的匝数。

（3）如果环外半径与内半径之差<<环中心线的半径R 时，则可认为环内为均匀磁场（大小），即大小

均为nI L NI

B 00μμ==。 （4）环形螺线管中结果与无限长直螺线管中心轴线上B

的大小相同。

运用安培环路定律时的程序如下：

（1）分析磁场的对称性； （2）适选闭合回路（含方向）；

（3）求出?l d B L

=?? ，?I L =∑内

0μ （4）利用∑?=?内

L L

I l d B 0μ ,求出B

的值。

§9-6 带电粒子在外磁场中受力

一、磁场对运动电荷的作用

B 对带电粒子作用仅是对垂直B 运动的作用，受力为

??

??==⊥方向（正电荷）

方向：大小：B V sin BqV BqV F θ

7-7）

说明：（1）上式叫做洛仑兹力公式。它对正、负电荷都成立。q>0，F 沿B V ?方向；q<0，F

沿B V ?反

方向。

（2）B //V 时，0=F ；B V ⊥时，max F VB q F ==

。

（3）因为V F ⊥，所以，F

对带电粒子不做功。

（4）在均匀磁场中，B V ⊥：做圆周运动；V 与B

既不平行，也不垂直：做螺旋运动。 （5）在电磁场中运动电荷受力公式为：

qE B qV F +?=，

即 )E B V (q F +?= 。

§9-7磁场对载流导体的作用

一、安培定律

实验表明，载流导体在磁场中受磁场的作用力，而磁场对载流导体的这种作用规律是安培以实验总结出来的，故该力称为安培力，该作用规律称为安培定律。

二、安培定律的数学表述

电流元受力

7-8）

此式为安培定律的数学表达式

方向

沿方向：大小：B l d F d sin IBdl dF F d ?=?

说明：（1）?

??=0BIdl dF B //l d B

l d

⊥ 。 （2）对任意形状的载流导线和任意的磁场，B l Id F d

?=都成立。对于一段导线受力可表示为

???==L

B l Id F d F

。

三、计算举例

例9-14：如图所示，一无限长载流直导线AB ，载电流为I ，在它的一侧有一长为l 的有限长载流导线CD ，其

电流为2I ，AB 与CD 共面，且AB CD ⊥，C 端距AB 为a 。求CD 受到的安培力。

解：取x 轴与CD 重合，原点在AB 上。X 处电流元B dx I ?2，在x 处B

方向垂直纸面向里，大小为：

x I B πμ21

0=

dx

x I I dx x I I dF πμπμ290sin 22

102

10=

=

F d 方向：沿A B

方向。

CD 上各电流元受到的安培力方向相同，

∴CD 段受到安培力?=

F d F

可化为标量

积分，有

a

l a I I dx x

I I dF F l

a a

+=

==

??

+ln

222

102

10π

μπμ

F

方向：沿A B 方向。 注意：因为本题CD 处于非均匀磁场中，所以CD 受到的磁场力不能用与磁场中的受力公式计算，即不能用

BIl F =计算。

§9-8 磁场对载流线圈的作用

一、匀强磁场中情况

―――――――――――――――――――――――――（7-9）

M

的矢量式为：

7-10）

说明：（1）n IS P m

=，大小IS P m =，方向与线圈法向一致。m P 为磁矩（磁偶极矩）

（2）对N 匝线圈，n NIS P m

=。

（3）由（3）知，线圈在磁力矩作用下，它是趋于磁通量最大位置，即B n

→ 方向位置。

（4）B P M m

?=对任何平面线圈在匀强磁场中均成立。

§9-9 在磁介质时的安培环路定律

1、回顾

真空中 ?????=?=??

∑?L

l s

I l d B S d B 内环路定律)(00μ

2

7-11）

7-12）

式（9-13）为磁介质中的安培环路定律（此积分仅与传导电流有关），式（9-14）中的H

称为磁场强度。

说明： （1） H 为辅助量，无直接的物理意义，有意义的是B 。

（2）安培环路定律∑?=?I l d H L

利用与真空中∑?=?I l d B L

0μ 实验一样，求B 时，先求H

，

后求H B μ=。