数列不等式的证明方法

数列不等式证明的几种方法

数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能考查学生对知识的综合理解与运用的能力。这类交汇题充分体现了“以能力立意”的高考命题指导思想和“在知识网络交汇处”设计试题的命题原则。下面就介绍数列不等式证明的几种方法，供复习参考。

一、巧妙构造，利用数列的单调性

例1. 对任意自然数n，求证：。

证明：构造数列

。

所以，即为单调递增数列。

所以，即

。

点评：某些问题所给条件隐含数列因素或证明与自然数有关的不等式问题，均可构造数列，通过数列的单调性解决。

二、放缩自然，顺理成章

例2. 已知函数，数列的首项，以后每项按如下方式取定：曲线处的切线与经过（0，0）和两点的直线平行。

求证：当时：

（1）；

（2）。

证明：（1）因为，所以曲线处的切线斜率为。

又因为过点（0，0）和两点的斜率为，所以结论成立。（2）因为函数

，

所以，即，因此

；

又因为。

令，且。

所以

因此，

所以

点评：本题是数列、函数、不等式、解析几何、导数等多知识点的综合题，在证明过程中多次运用放缩，放缩自然，推理逻辑严密，顺理成章，巧妙灵活。三、导数引入，更显神威

例3. 求证：

证明：令，且当时，，所以

。要证明原不等式，只须证

。

设，

所以。

令，

所以。

设，

所以上为增函数

所以，即

所以

同理可证

所以。对上式中的n分别取1，2，3，…，，得。

点评：导数进入中学数学新教材，为解决数列与不等式的交汇问题展示了新的思路和广阔的空间，其解题方法新颖独特，尤其是对数、指数次幂形式出现的一类问题，更显导数在解题中的工具性和独特的神威。

四、裂项求和，简捷明了

例4. 设是数列的前n项和，且

（1）求数列的首项，及通项；

（2）设，证明。

解：（1）首项（过程略）。

（2）证明：将，

得，

则

点评：本题通过对的变形，利用裂项求和法化为“连续相差”形式，从而达到证题目的，整个证题过程简捷明了。

五、独辟蹊径，灵活变通

独辟蹊径指处事有独创的新方法，对问题不局限于一种思路和方法，而是善于灵活变通，独自开辟新思路、新方法。

例5. 已知函数。设数列，数列满足

（1）求证：；

（2）求证：。

证明：（1）证法1：由

令，则只须证；易知，只须证。

由分析法：

。

因为，，

所以，得证。

证法2：由于的两个不动点为。又，所以

所以

所以

，

由上可求得，

因此只需证，

即证：

又