简单几何图形的面积计算

第二讲 简单几何图形的面积计算

一．常用的基本公式：

1．正方形的边长为a ，则正方形的面积是S =a 2；

2．长方形的长与宽分别是a 、b ，则长方形的面积是S =a ×b 。

3．平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积是S =a ×h 。

4．三角形的三条边长分别为a 、b 、c ，在它们上的高分别是h a 、h b 、h c ，

则三角形的面积S =a ×h a ÷2= b ×h b ÷2= c ×h c ÷2。

5．梯形的上底为a ，下底为b ，高为h ，则梯形的面积是(a +b )×h ÷2。

6．圆的半径为r ，则圆的面积是S =π×r 2。其中π=3.…。

二．几种常用的求面积的方法：

1．直接利用公式计算；

2．列出方程求图形的面积；

3．添加辅助线计算图形面积；

4．利用割补的办法变化图形，计算图形的面积。

5．用相等面积变换计算图形的面积。（同底等高问题，等底等高问题）

三．例题讲解：

例1．如图，一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个长方形的面积分别是15、18、

30公顷，则图中阴影部分的面积是 公顷。

解：由题意知，a ×c =15，b ×c =18，b ×d =30，

所以a ×d =(a ×c )×(b ×d )÷(b ×c )=15×30÷18=25(公顷)。

例2．如图所示，三角形ABC 是直角三角形，ACD 是以A 圆心，AC 为半径的扇形，图中阴影部分的面

积是 。（π取）

6cm

6cm D C B

A

解：阴影部分的面积是三角形面积减去扇形的面积，

三角形ABC 的面积=6×6÷2=18，扇形的面积是圆的面积的八分之一，

所以扇形面积是π×6×6÷8=×π=，

所以阴影部分的面积是18–=（平方厘米）。

例3．如图所示，ABCD 是一个长方形，BC =9厘米，CD =6厘米，且三角形ABE 、三角形ADF 和四边形

AECF 的面积彼此相等，则三角形AEF 的面积是 。

C

解：长方形ABCD 的面积是9×6=54（平方厘米），它被分成三个面积相等的图形，

所以三角形ABE 的面积=三角形ADF 的面积=18（平方厘米），

设BE =x 厘米，则6×x ÷2=18，x=6厘米，设DF =y 厘米，则9×y ÷2=18，y =4厘米，

所以CE =9–6=3厘米，CF =6–4=2厘米，所以三角形CEF 的面积是3×2÷2=3（平方厘米）。三角形AEF

的面积是18–3=15（平方厘米）。

例4．如图所示，三角形ABC 是直角三角形，AB 是圆的直径，且AB =20厘米，如果图中阴影I 的面积

比阴影II 的面积大7平方厘米，那么BC 长多少厘米（π=）

III

I

II C

B A

解：图形I 加上图形III 的面积是半圆的面积=π×10×10÷2=50π=157（平方厘米），

图形II 加上图形III=三角形ABC 的面积=BC ×20÷2=10×BC ，

又图形I 的面积比图形II 的面积大7平方厘米，

所以157–10×BC =7，BC =(157–7)÷10=15(厘米)。

例5．如图所示，ABCD 是边长为9厘米的正方形，M 、N 分别为AB 和BC 边的中点，AN 、CM 相交于点O ，则四边形AOCD 的面积是 平方厘米。

O

N M D C

B A

解：连接OB ，

因为M 是AB 的中点，所以三角形AMO 的面积=三角形BMO 的面积，

同理三角形BON 的面积=三角形CON 的面积，

而三角形ABO 的面积等于三角形BCO 的面积，

所以AMO BMO BNO S

S S ==，又三角形ABN 的面积=9×÷2=（平方厘米）， 所以AMO BMO BNO

S S S ===÷3=（平方厘米）， 四边形ABCD 的面积=×4=27（平方厘米）。

所以四边形AOCD 的面积=9×9–27=54（平方厘米）。

例6．如图所示，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E ，且AF =CE ，BG =DE ，当四边形ABCD 的面

积是25平方厘米时，三角形EFG 的面积是 平方厘米。

C

解：如图，连接AG 、GC ，因为AF =CE ，

所以三角形AFG 的面积=三角形CEG 的面积（等底等高），

所以三角形EFG 的面积=三角形AGC 的面积。

又BG =DE ，所以三角形ABG 的面积=三角形ADE 的面积，三角形CBG 的面积=三角形CDE 的面积。（等底

等高）

于是三角形AGC 的面积=四边形ABCD 的面积。

所以三角形EFG 的面积=四边形ABCD 的面积=25平方厘米。

例7．如图所示，两个边长均为2厘米的正方形，其中一个正方形的某一顶点恰好在另一正方形的中

心，且图中两个阴影三角形的面积相等。则这两个正方形不重合部分的面积和是 平方厘米。

解：不难看出，图中两个阴影部分的形状完全一样，即把其中一个阴影部分绕正方形的中心位置旋转

90度，正好与另一个阴影部分重合。

所以这两个正方形的重合部分是正方形面积的四分之一。

每个正方形的不重合部分的面积是2×2÷4×3=3（平方厘米），

所以两个正方形不重合部分的面积和是6平方厘米。

例8．求图中阴影部分的面积。（π=）

45°

45°45°45°

4厘米

解：这是一个轴对称图形，单独求阴影部分的面积时，中间那两小块不好求，如果把左边的部分绕底

部最长线段的中点旋转180度，就可以得到这样一个图形。

45°45°

45°45°

45°

45°

4厘米

这时阴影部分是半个圆减去了中间一个等腰直角三角形。

圆的半径是2厘米，半圆的面积是π×2×2÷2=（平方厘米）。

中间那个等腰直角三角形的直角边是2厘米，所以三角形面积是2×2÷2=2（平方厘米）。

于是阴影部分的面积是–2=（平方厘米）。

例9．如图所示，直线CF 与平行四边形ABCD 的AB 边相交于E 点，如果三角形BEF 的面积为6平方厘

米，则三角形ADE 的面积是 平方厘米。

D F

E

C

B A

解：连接AC ，因为ABCD 是平行四边形，C 点与D 点到AB 的距离相等，

所以三角形AED 的面积=三角形AEC 的面积。

有BC 平行于DF ，所以A 点、F 点到BC 的距离相等，

三角形ABC 的面积=三角形FBC 的面积，它们都去掉三角形EBC ，

有三角形AEC 的面积=三角形BEF 的面积，

所以三角形AED 的面积=三角形BEF 的面积=6平方厘米。

练习题

1．如图所示，ABCG 和CDEF 分别是边长为10厘米和12厘米的正方形，则图中阴影部分的面积是 平方厘米。

D

E

C

2．如图所示，ABCD 是长方形，弧DF 和DE 是分别以A 、C 为圆心，AF 、CD 为半径画出的。则图中阴

影部分的面积是 平方厘米。

6

3．如图所示，图中平行四边形的面积是48平方厘米，高为6厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米。

4．如图所示，正方形ABFD 的面积是100平方厘米，直角三角形ABC 的面积比直角三角形CDE 的面积

大30平方厘米，则线段DE 的长是 厘米。

B

5．如图所示，长方形ABCD 的面积是36平方厘米，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上

任意一点，则图中阴影部分的面积是平方厘米。

D

6．如图所示，C、D是半圆弧AB上的两个三等分点（即AC弧、CD弧和BD弧的长度都相等），已知圆的半径是6厘米。则图中阴影部分的面积是平方厘米。（π=）

7．两个四边形都是正方形，而且外边大正方形的边长是4厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米。

8．如图所示，ABCD是平行四边形，AC为对角线，且EF平行于AC，如果三角形ADF的面积是10平方厘米，那么三角形CDF的面积等于平方厘米。

9．如图所示，三角形ABC的各边上分别取AD、BE、CF各等于AB、BC、CA长度的三分之一，如果三角形DEF的面积是2平方厘米，则三角形ABC的面积是平方厘米。

参考答案

1．50；

2．；

3．9；

4．4；

5．18；

6．；

7．8；

8．10；

9．6．