(时间管理)第二章连续时间傅里叶变换
第二章连续时间傅里叶变换
1周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS
(1)狄义赫利条件:于同壹个周期内,间断点的个数有限;极大值和极小值的
数目有限;信号绝对可积。
(2)傅里叶级数:正交函数线性组合。
正交函数集能够是三角函数集或复指数函数集,函数周期为T1,角频率为。
(3)任何满足狄义赫利条件周期函数均可展成傅里叶级数。
(4)三角形式的FS:
(i)展开式:
(ii)系数计算公式:
(a)直流分量:
(b)n次谐波余弦分量:
(c)n次谐波的正弦分量:
(iii)系数和统称为三角形式的傅里叶级数系数,简称傅里叶系数。
(iv)称为信号的基波、基频;为信号的n次谐波。
(v)合且同频率的正余弦项得:
和分别对应合且后n次谐波的余弦项和正弦项的初相位。
(vi)傅里叶系数之间的关系:
(5)复指数形式的FS:
(i)展开式:
(ii)系数计算:
(iii)系数之间的关系:
(iv)关于n是共扼对称的,即它们关于原点互为共轭。
(v)正负n(n非零)处的的幅度和等于或的幅度。
(6)奇偶信号的FS:
(i)偶信号的FS:
;;
(实,偶对称);;
(ii)偶的周期信号的FS系数只有直流项和余弦项。
(iii)奇信号的FS:
;;;
(纯虚,奇对称);;
(iv)奇的周期信号的FS系数只有正弦项。
(7)周期信号的傅里叶频谱:
(i)称为信号的傅里叶复数频谱,简称傅里叶级数谱或FS谱。
(ii)称为信号的傅里叶复数幅度频谱,简称FS幅度谱。
(iii)称为傅里叶复数相位频谱,简称FS相位谱。
(iv)周期信号的FS频谱仅于壹些离散点角频率(或频率)上有值。
(v)FS也被称为傅里叶离散谱,离散间隔为。
(vi)FS谱、FS幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线,分别表示FS频谱的值、幅度和相位
(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线,反映了各谐波处FS频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。
(viii)称为单边谱,表示了信号于谐波处的实际分量大小。
(ix)称为双边谱,其负频率项于实际中是不存于的。正负频率的频谱幅度相加,才是实际幅度。
(8)周期矩形脉冲序列的FS谱的特点:
(i)谱线包络线为Sa函数;
(ii)谱线包络线过零点:(其中为谱线间隔):
,或,
即当时,。
(iii)于频域,能量集中于第壹个过零点之内。
(iv)带宽或只和矩形脉冲的脉宽有关,而和脉高和周期均无关。(定义为周期矩形脉冲信号的频带宽度,简称带宽)
(9)周期信号的功率:
(10)帕斯瓦尔方程:
2非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)
(1)信号f(t)的傅里叶变换:
是信号的频谱密度函数或FT频谱,简称为频谱(函数)。
(2)频谱密度函数的逆傅里叶变换为:
(3)称为FT的变换核函数,为IFT的变换核函数。
(4)FT和IFT具有唯壹性。如果俩个函数的FT或IFT相等,则这俩个函数必
然相等。
(5)FT具有可逆性。如果,则必有;反之亦然。
(6)信号的傅里叶变换壹般为复值函数,可写成
(i)称为幅度频谱密度函数,简称幅度谱,表示信号的幅度密度随频率变
化的幅频特性;
(ii)称为相位频谱密度函数,简称相位谱函数,表示信号的相位随频率变化的相频特性。
(7)FT频谱可分解为实部和虚部:
(8)FT存于的充分条件:时域信号绝对可积,即。
注意:这不必要条件。有壹些且非绝对可积的信号也有FT。
(9)FT及IFT于赫兹域的定义:
;
(10)比较FS和FT:
3典型非周期信号的FT频谱
(1)单边指数信号:
幅度谱:
相位谱:
单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。
图1(a)单边指数信号(b)幅度谱(c)相位谱
(2)偶双边指数信号:
,为实偶函数。
幅度谱:
相位谱:
偶双边指数信号及其频谱如图2所示。
图2(a)偶双边指数信号(b)频谱
(3)矩形脉冲信号:(脉宽为 、脉高为E)
,为实函数。
幅度谱:
相位谱:
矩形脉冲信号及其频谱如图3所示。
图3(a)矩形脉冲信号(b)频谱
矩形脉冲FT的特点:
(i)FT为Sa函数,原点处函数值等于矩形脉冲的面积;
(ii)FT的过零点位置为;
(iii)频域的能量集中于第壹个过零点区间之内
(iv)带宽为或,只和脉宽有关,和脉高E无关。
信号等效脉宽:
信号等效带宽:
图4(a)信号的等效脉宽(b)等效带宽
(4)符号函数:不满足绝对可积条件,但存于FT。
幅度谱:
相位谱:
符号函数及其频谱如图5所示。
图5(a)符号函数(b)频谱
(5)冲激信号:
均匀谱/白色谱:频谱于任何频率处的密度均是均匀的。
强度为E的冲激函数的频谱是均匀谱,密度就是冲激的强度。
(6)
于处有壹个冲激,该冲激来自中的直流分量。
单位阶跃信号及其幅度谱如图6所示。
图6单位阶跃函数及其幅度谱
4FT的性质
(1)线性性:
线性性包括:齐次性;叠加性。
(2)奇偶虚实性:
偶偶
奇奇
实偶实偶(FT可变为余弦变换)
实奇虚奇(FT可变为正弦变换)
实信号的FT:(实信号可分解为:实偶+实奇)
实部是偶函数,虚部是奇函数:实实偶+j实奇
偶共扼对称:
幅度谱为偶函数,相位谱为奇函数:实实偶EXP(实奇)
虚信号的FT具有奇共扼对称性:
偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称:。
实信号或虚信号的FT幅度谱偶对称,幅度谱函数是偶函数。
(3)反褶和共轭性:
(4)对偶性:
傅里叶正逆变换的变换核函数是共轭对称的:;
表示按自变量ω进行傅里叶变换,结果是t的函数。
IFT能够通过FT来实现。
FT的对偶特性:
若为偶函数,则;
若为奇函数,则。
(5)尺度变换特性:
此性质表明:时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩。
(6)时移特性:
时移不影响幅度谱,只于相位谱上叠加壹个线性相位。
和尺度变换特性综合:
(7)频移特性:
和尺度变换特性综合:
频谱搬移:时域信号乘以壹个复指数信号后,频谱被搬移到复指数信号
的频率位置处。利用欧拉公式,通过乘以正弦或余弦信号达到频谱搬移
目的。
(8)微分特性:
时域微分:
频域微分:
如果连续运用微分特性,则
(9)积分特性:
时域积分:
如果于处有界(或),则
频域积分:
(10)卷积定理:
时域卷积定理:
频域卷积定理:
(11)时域关联性定理:
若是实偶函数,则。此时,关联性定理和卷积定理壹致。
自关联的傅里叶变换:。即函数的自关联函数和其幅度谱的平方是壹对
傅里叶变换对)。
(12)帕斯瓦尔定理:
5周期信号的FT
(1)正余弦信号的FT:
余弦信号和正弦信号的频谱如图7所示:
图7余弦信号和正弦信号的FT
(2)壹般周期信号的FT:
(i)设周期为的周期信号于第壹个周期内的函数为,则
(ii)周期单位冲激序列的FT:
(a)FT的对偶性()
(b)冲激串FS为:
(c)FT的线性性
(iii)壹般周期信号的FT:
(iv)
(v)关系图:
图8非周期信号FT和周期信号FS/FT比较
6抽样信号的FT
(1)抽样信号的FT:
(2)理想抽样前后信号频谱的变化如图9所示:
(3)结论1:按间隔进行冲激串抽样后信号的傅里叶变换,是周期函数,是原
函数傅里叶变换的分之壹按周期所进行的周期延拓。
(4)结论2:时域离散 频域周期
图9理想抽样信号的FT
7抽样定理
(1)抽样定理:要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间
连续信号(即抽样不会导致任何信息丢失),必须满足:信号是频带受
限的(信号频率区间有限);采样率至少是信号最高频率的俩倍。
(2)概念(名词):
抽样周期:进行理想采样的冲激串的周期。
抽样频率:
抽样角频率:
奈奎斯特率:无失真恢复原信号条件允许的最小抽样率或
奈奎斯特间隔:所允许的最大抽样周期
奈奎斯特频率(折叠频率):信号经采样后,采样率的壹半(或)
奈奎斯特区间:或
(3)性质:于连续信号的抽样满足抽样定理时,奈奎斯特频率是信号频率的
上限。
(4)从抽样信号恢复原始信号的方法:
(i)理论上:
(ii)工程上:将通过截止频率为、放大倍数为的低通滤波器。