怎么证明面面平行

条据书信 怎么证面面平行

怎么证面面平行 怎样证明面面平行线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。线面垂直→线线垂直线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。 面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。 2 证明：∵平面α∥平面β

∴平面α和平面β没有公共点 又a在平面α上，b在平面β上 ∴直线a、b没有公共点 又∵α∩γ=a，β∩γ=b ∴a在平面γ上，b在平面γ上 ∴a∥b. 3 用反证法 命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β 证明:假设AB不平行于β 则AB交β于点P，点P∈β 又因为P∈AB，所以P∈α α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。 4 【直线与平面平行的判定】 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 【判断直线与平面平行的方法】 (1)利用定义：证明直线与平面无公共点; (2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行; (3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个

(完整版)线面平行证明的常用方法

线面平行证明的常用方法 张磊 立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨： 方法一：中位线型：找平行线。 例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析： 如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线 例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF. 分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD 与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。 方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已 知平面平行的平面 例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。 例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE. 如图⑷ 如图⑸ 如图⑹ E B A D C G F F y C B E D A S z _ M _ D _ A B _ O E P E D C B O A B C D E F N M

例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ； (2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC . 方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 （或找空间一组基底）及平面的法向量。 例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ； 分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。 证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz -． 设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ???? ? ????? ，，，，，， 02b EF a ??=- ?? ?u u u r ，，． 因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向 量为n r =（0，1，0） 则：02b EF n a ??=- ?? ?u u u r r g g ，，（0，1，0）=0 因此 EF n ⊥u u u r r 所以EF ∥平面SAD ．

立体几何线面、面面平行的证明

Q D C B A P C 1 B 1 A 1D 1 D C B A D A 1 C 1 C B 1 B 理科数学复习专题 立体几何 线面平行与面面平行专题复习 【题型总结】 题型一 小题：判断正误 1. a 、b 、c 是直线，,,αβγ是平面，下列命题正确的是_____________ α αβ βααβαβαγαγββααα////a ,//a //a //,//a ////a ,//a ////,////a //,//a //a //,//a b b b b c c b b 则⑥则⑤则④则③则②则① 归纳：_______________________________________ 题型二 线面平行的判定 1、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，E 、F 分别是ＰＢ，ＰＣ的中点，求证：EF 归纳： 3、在正方体中，Ｅ，Ｆ分别为C1D1和BC 的中点， 求证： FE 1111111//. ABCD A B C D AB D C BC -在正方体中，求证：平面平面11111111111,,:(1)//;(2)//. ABC A B C D AC BC AB D D AC B DA BC D -2、如图已知正三棱柱中，点为的中点求证平面为的中点，求证：平面平面111ABC A B C -AB AC =,,M N P 11,,BC CC BB 1//A N AMP

【综合练习】 一、选择题 1、直线和平面平行是指该直线与平面内的（ ） (A)一条直线不相交 (B)两条直线不相交 (C)无数条直线不相交(D)任意一条直线都不相交 2、已知a b ||,αα?，则必有（ ） ()||(),A a b B a b 异面 (),C a b 相交 (),D a b 平行或异面 3、若直线a,b 都与平面?平行，则a 和b 的位置关系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)异面 (D)平行或相交或是异面直线 4.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的 ( ) A ．①④ B ．①⑤ C ．②⑤ D ．③⑤ 5．下列命题正确的是 （ ） A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 6. 以下命题（其中a ，b 表示直线，?表示平面） ①若a ∥b ，b ??，则a ∥? ②若a ∥?，b ∥?，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥?，则a ∥? ④若a ∥?，b ??，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ ） 个 个 个 个 二、解答题 1．如图，E D ,分别是正三棱柱111ABC A B C -的棱1AA 、11B C 的中点， 求证：1//A E 平面1BDC ； 2、如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=1，点E 是PC 的中点，作EF PB 交PB 于点

怎么证明面面平行

怎么证明面面平行线面垂直：1.一条线与平面内两条相交直线垂直 2.一条线在一个平面内，而这个平面与另外一个平面垂直，那么这条线与另外一个平面垂直面面垂直：一条线与平面内两条相交直线垂直，且有一个平面经过这条线 2 证明：∵平面α∥平面β ∴平面α和平面β没有公共点 又a 在平面α上，b 在平面β上 ∴直线a、b没有公共点 又∵α∩γ=a，β∩γ=b ∴a在平面γ上，b 在平面γ上 ∴a∥b. 3 用反证法 命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β 证明:假设AB不平行于β 则AB交β于点P，点P∈β 又因为P∈AB，所以P∈α α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。 4 【直线与平面平行的判定】 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 【判断直线与平面平行的方法】 (1)利用定义：证明直线与平面无公共点; (2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行; (3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个 5 用反证法 命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β 证明:假设AB不平行于β 则AB交β于点P，点P∈β 又因为P∈AB，所以P∈α α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。 6 线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

高中立体几何证明线面平行的常见方法

D A 1 A F 高中立体几何证明线面平行问题（数学作业十七） (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ； 2、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证： （Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 3、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点, 证明: //EB PAD 平面; (2) 利用三角形中位线的性质 4、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、 BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。 5、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE （第1题图） A B C D E F G M

6．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1； （3） 利用平行四边形的性质 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为 BB 1的中点，求证： D 1O//平面A 1BC 1; 8、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2 1 DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ； (4)利用对应线段成比例 9、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且 SM AM =ND BN ， 求证：MN ∥平面SDC （5）利用面面平行 10、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1 ）求证：BE ⊥ 平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；

面面平行的证明

面面平行的证明判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 反证：记其中一个平面内的两条相交直线为a，b。假设这两个平面不平行，设交线为l，则a∥l(过平面外一条与平面平行的直线的平面与该平面的交线平行于该直线)，b∥l，则a∥b，与a，b相交矛盾，故假设不成立，所以这两个平面平行。 2 证明：∵平面α∥平面β ∴平面α和平面β没有公共点 又a 在平面α上，b 在平面β上 ∴直线a、b没有公共点 又∵α∩γ=a，β∩γ=b ∴a在平面γ上，b 在平面γ上 ∴a∥b. 3 用反证法 命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β 证明:假设AB不平行于β 则AB交β于点P，点P∈β 又因为P∈AB，所以P∈α α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。 4 【直线与平面平行的判定】 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 【判断直线与平面平行的方法】 (1)利用定义：证明直线与平面无公共点; (2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行; (3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个 5 用反证法 命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β 证明:假设AB不平行于β 则AB交β于点P，点P∈β 又因为P∈AB，所以P∈α α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。 6 证明：∵平面α∥平面β ∴平面α和平面β没有公共点 又a 在平面α上，b 在平面β上 ∴直线a、b没有公共点 又∵α∩γ=a，β∩γ=b ∴a在平面γ上，b 在平面γ上 ∴a∥b. 证明：∵平面α∥平面β ∴平面α和平面β没有公共点

证明平行垂直知识点整理

八、三个公理 公理1、判断直线在平面内的依据或者说判定公理。 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 该性质是判定直线在平面内的依据，用集合符号表示为： lα。依据直线在平面内，可以判断点在平面内，即A∈l,lαA∈α. 公理2、判断点在直线上的依据，要判断直线经过点只要证明点在以该直线为供公交线的两个平面内即可。 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 用集合符号表示为：A∈α，A∈βα∩β=α且A∈α。 由此易知，如果两个平面有两个公共点，那么这两个平面相交于由这两点确定的一条直线，即 α∩β=AB。 依据两平面相交的意义，可以判断点在直线上，即A∈α，A∈β，α∩β=αA∈α。 公理3以及三个推论、确定为一个平面的依据。（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线 1.经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。 2．经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 3．经过两条相交直线，有且只有一个平面。 4．经过两条平行直线，有且只有一个平面。 所以在判断或证明时要有针对性地找到依据进行处理。 证明线共点问题基本步骤是：1、两条相交点为A，2、利用A在以另外直线为交线的两个平面上，3、从而确定A在另外直线上。主要依据公理二。 证明线共面问题基本步骤是：1、两条直线或三个不共线点确定一个平面，2、利用公理一说明其他直线在这平面上，3、从而确定直线确定一个平面上。主要依据公理一，三及推论。 对于符号语言判断题，尽可能作出图形或演示出位置进行判断推理。 九、16个定理的记忆 1、平行传递性同类平行具有传递性2个定理 ⑴线 ⑵面 2、平行与垂直的传递性同类平行与异类垂直具有传递性4个定理

用向量证明线面平行

用向量证明线面平行面垂直就是说直线是面的法向量。单位法向量当然平行这条直线，不过要排除与0向量的讨论。0向量与任何向量都平行。但0向量不垂直与面。 比如单位法向量是(x,y,z)直线的方向向量是m=(a,b,c) 那么m=a(x,y,z) 这不完全对。 比如单位法向量是(0,1,0)，难道m=0吗? 只能是a≠0是可以这样。 面面平行：可以证明两个平面的法向量平行。 不过不一定是单位法向量，单位法向量是模等于1的法向量，其实只需证明两平面的法向量垂直就可以了。 当然你要证明分别平行于两平面的直线平行， 或平行一平面的直线与另一平面的法向量垂直也未尝不可。 2 三维空间上一平面上一活动点钟(x,y, z) 而(m,n,p )是在原点与平面的垂线的交点, 我们得[(x,y,z) - (m,n,p) ] * (m,n,p) = 0 m(x-m)+n(y-n)+p(z-p)=0 mx+ny+pz=m^2+n^2+p^2 所以 ax+by+cz=d 中的a=m, b= n, c=p , d=m^2+n^2+p^2= 原点与平面的垂直距离 x+y+z=1是一个面它垂直和相交(1,1,1) 这支向量 [1,8,-3]×[4,-5,9]≠[0,0,0] 所以两直线的方向向量不平行 即两直线不平行 但是书后的答案说两直线是平行的。。。 你确定题没有写错吗? 其实直线很简单 [x,y,z]=[4,-3,2]+ t[1,8,-3] 表示通过点[4,-3,2]，沿着方向[1,8,-3]延伸 而[1,8,-3]跟[4,-5,9]方向不一样，两直线不平行 平行向量 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。 加法运算 AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O 为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。 |a+b|≤|a|+|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点(三角形法则) 数乘运算 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当

关于线面,面面平行证明题

. 线面，面面平行证明 一．线面平行的判定 1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 3.符号表示为：,,////a b a b a ααα??? 二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 符号语言:_____________________________________________________________________ 选择题 1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）. A. 1l ∥α B. 2l ?α C. 2l ∥α或2l ?α D. 2l 与α相交 2．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是（ ）. A. b ∥α B. b 与α相交 C. b ?α D. b ∥α或b 与α相交 4．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB ?α 5．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ ）. A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有，或只有一个 D. 有无数个 6 .已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系 ( ) A ｂ∥α B ｂ与α相交 C ｂ?α D ｂ∥α或ｂ与α相交 7．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题： ① ////m m αββα????? ② //////m n n m β β? ??? ③ ,m m n n αβ?? ????异面 其中假命题有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为 ( ) A ｌ?α B ｌ?α C ｌ≠α D ｌ∩α＝? 9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 异面 D 平行或相交或异面 10．下列命题中正确的是( ) ① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行

线面-面面平行证明题

线面，面面平行证明 ．线面平行的判定 1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行 . 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 . 3. 符号表示为： a , b ,a//b a// ．面面平行的判定定理 : 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 , 则这两个平面平行 符号语言 : ____________________________________________________________________________ 选择题 1已知直线ll 、l2,平面a , ll 〃 12 , ll II a ,那么12与平面a 的关系是（ ） A. 11 /a B. 12 a C. 12/ a 或12 a D. 12 与a 相交 2.以下说法（其中 a , b 表示直线， 表示平面） ①若 a /b ,b , 则 a / ②若 a / ，b /， 则 a /b ③若 a /b ,b / ，则 a / ④若 a / ，b ， 则 a /b 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2 个 D. 3 个 3?已知a , b 是两条相交直线，a // ，贝y b 与 的位置关系是（ ）. A. b // B. b 与相交 C. b a D. b I 或b 与相交 4. 如果平面 外有两点A 、B ,它们到平面 的距离都是a ,则直线AB 和平面 的位置关系一定是 A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB 5. 如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点 M 且与a, b 都平行的平面（ ）. A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有,或只有一个 D. 有无数个 6 .已知两条相交直线a 、b,a//平面a,贝Ub 与平面a 的位置关系 （） A b// a B b 与a 相交 C b a D b// a 或b 与a 相交 7.不同直线m ，n 和不同平面，，给出下列命题： // m//n m// n// ① m ② m// m m, n 异面 ③ n 其中假命题有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 &若将直线、平面都看成点的集合，则直线1//平面a 可表示为 9.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 A 平行 B 相交 C 异面 10. 下列命题中正确的是 （ ） ① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行 , 则这两个平面平行 ② 若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行 ,则这两个平面平行 ③ 若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面 ,则这两个平面平行 ④ 若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面 , 则这两个平面平行 A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ A 1 a B 1 a C 1^a D 1Aa= （ ） D 平行或相交或异面

总结证明线面平行的常用方法

B C D A 1 B 1 C 1 D 1 图２ A F E G α a b A 图1 总结证明线面平行的常用方法 空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下： 方法一、反证法 【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理） 已知：,,a b a αα??∥b ，如图1． 求证：a ∥α． 【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明． 【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α?，∴a A α=． 下面只要说明a A α=不可能即可． ∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又a A α=， ∴,A a A β∈∈． 又b ,A αα?∈， ∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α?，这与已知a α?相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α． 方法二、判定定理法 【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件． 【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且1 2 EF CD = 又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且11 2 D G CD = ∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =

线面,面面平行证明题

线面，面面平行证明 一．线面平行的判定 1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 3.符号表示为：,,////a b a b a ααα??? 二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 符号语言:_____________________________________________________________________ 选择题 1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）. A. 1l ∥α B. 2l ?α C. 2l ∥α或2l ?α D. 2l 与α相交 2．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是（ ）. A. b ∥α B. b 与α相交 C. b ?α D. b ∥α或b 与α相交 4．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB ?α 5．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ ）. A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有，或只有一个 D. 有无数个 6 .已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系 ( ) A ｂ∥α B ｂ与α相交 C ｂ?α D ｂ∥α或ｂ与α相交 7．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题： ① ////m m αββα? ???? ② //////m n n m β β? ??? ③ ,m m n n αβ?? ????异面 其中假命题有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为 ( ) A ｌ?α B ｌ?α C ｌ≠α D ｌ∩α＝? 9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 异面 D 平行或相交或异面 10．下列命题中正确的是( ) ① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行 A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④

怎样证明面面平行

怎样证明面面平行线线平行→线面平行如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 线面平行→线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 线面平行→面面平行如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 面面平行→线线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 线线垂直→线面垂直如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 线面垂直→线线平行如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 线面垂直→面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。线面垂直→线线垂直线面垂直定义：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。 面面垂直→线面垂直如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 三垂线定理如果平面内的一条直线垂直于平面的血现在平面内的射影，则这条直线垂直于斜线。 2 证明：∵平面α∥平面β ∴平面α和平面β没有公共点 又a 在平面α上，b 在平面β上 ∴直线a、b没有公共点 又∵α∩γ=a，β∩γ=b ∴a在平面γ上，b 在平面γ上 ∴a∥b. 3 用反证法 命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β 证明:假设AB不平行于β 则AB交β于点P，点P∈β 又因为P∈AB，所以P∈α α、β有公共点P，与命题α∥β不符，所以AB∥β。 4 【直线与平面平行的判定】 定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 【判断直线与平面平行的方法】 (1)利用定义：证明直线与平面无公共点; (2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行; (3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个 5 用反证法 命题：已知α∥β，AB∈α,求证：AB∥β 证明:假设AB不平行于β 则AB交β于点P，点P∈β

面面平行证明题

1 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 2 如图，空间四边形ABCD ,平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于E 、F 、G 、H ． 求证：四边形EGFH 为平行四边形； 3 如图，αβγ∥∥，直线a 与b 分别交α，β，γ于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ， 求证：AB DE BC EF = ． A B C D E F α β γ a b P E A C B D F A E B H F D G C

4 如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，11C D ，1AD ，BD 的中点． （１） 求证：PQ //平面11DCC D ． （２） 求PQ 的长． （３） 求证：EF //平面11BB D D ． 5 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别棱是1CC ，11C D ，1D D ， CD 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN //平面11B BDD ． 6 如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且 AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶． 求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ； （２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //． 1 A A D G F 1D 1C E C N B H 1 B A 1 A P D Q B E C F 1D 1C 1 B A M B N C P E D

面面平行的证明及应用(人教A版)(含答案)

面面平行的证明及应用（人教A版） 一、单选题(共6道，每道12分) 1.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A.若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B.若m∥n，，则α∥β C.若m∥n，m∥α，则n∥α D.若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平面与平面平行的判定 2.已知α，β，γ是三个不同的平面，a是一条直线，有下列四个命题： ①；②；③；④．其中错误的是( ) A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 答案：B

解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平面与平面平行的判定 3.已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件： ①α内不共线的三点到β的距离相等； ②m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥β； ③m，n是两条异面直线，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β．其中可以判定α∥β的是( ) A.① B.② C.③ D.①③ 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：平面与平面平行的判定 4.在直三棱柱中，，M，N分别是的中点，给出以下三个结论：①；②； ③．其中正确的有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定 5.在如图所示的多面体中，已知四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是矩形， ED⊥平面ABCD，连接AC，交于点．下列结论：①平面BCF∥平面AED；②AO是四棱锥A-BDEF的高；③．其中正确的是( )

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平面与平面平行的判定 6.如图，在正方体中，O是底面ABCD的中心，P是的中点，若Q 是上的点，则当时，点Q满足的条件是( )

立体几何线面面面平行的证明

立体几何线面面面平行的证明 线面平行与面面平行专题复习 ① a//b,b//c 贝 U all c ② a// ,b// 贝Ua//b ③ // , // 贝 U // ④ a// ,a// 贝U // ⑤ a// , // 贝Ua// ⑥a// ,a//b 则b// 归纳: ___________________________________________________ 题型二 线面平行的判定 1、如图，在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 就是矩形,E 、F 分别就是PE 证:EF// 面 P AD 归纟内 _________________________________________________________ 3、已知：点就是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， Q 就是PA 的中点，求证:PC//平面BQD 、 归纳： _________________________________________________________ 3、在正方体中，E , F 分别为C1D1与BC 的中点， 求证:FE// 面 BB1DD1 归纳： _________________________________________________________ 小结1:证明线面平行的方法常常转化为面外线与面内线 平行，而证明两线平行的方法常有 ： 题型二、面面平行的判定 1 2、如图,已知正三棱柱ABC ABQ 中，点D 为AG 的中点，求证： 理科数学复习专题 立体几何 【题型总 结】 题型一小题：判断正误 1、 a 、b 、c 就是直线, 就是平面,下列命题正确的就是 _______________ 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求证：平面 AB 1D 1 // 平面 C 1 BC. ,PC 的中点，求 C P 题型四面面平行的应用 1、女口图，在直三

高中数学 线面、面面平行的判定与性质(教师版)

线面、面面平行的判定与性质（教师版） 知识回顾 1．线面平行的判定 （1）直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ?α，b ?α，且a ∥b ?a ∥α． 2．线面平行的性质 直线与平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号语言描述： ? ??? ?a ∥α a ?ββ∩α＝ b ?a ∥b ． 3. 面面平行的判定 （1）平面α与平面β平行的定义：两平面无公共点． （2）直线与平面平行的判定定理： 下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(m ，n 为直线，α，β为平面)，则此条件应为m ，n 相交． ? ????m ?α n ?α m ∥βn ∥β ?α∥β 4．面面平行的性质 平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号表示为： ? ??? ?α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b ?a ∥b ． 题型讲解 题型一 利用三角形中位线证明线面平行 例1、如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点.

求证：SA∥平面MDB. 答案:证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB. 例2、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心， 求证：MN∥平面PB1C. 答案证明：如图，连结AC， 则P为AC的中点，连结AB1， ∵M、N分别是A1A与A1B1的中点， ∴MN∥AB1. 又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C. 例3、如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD． 求证：EF∥平面PBC．

证明面面垂直

证明面面垂直以二面交线上任意一点为垂足向二面各引一条与交线垂直的直线,如果两直垂直则二面也垂直 1.建立坐标系，最实用，但是麻烦，计算量大 2.先证一个平面里的一条直线与另一个面垂直，那么这两个平面垂直 2 证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 2 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂

证明面面平行的方法

证明面面平行的方法 证明面面平行的方法利用向量方法判断空间位置关系,其难点是线面平行与面面垂直关系问题.应用下面的两个定理,将可建立一种简单的程序化的解题模式.定理1设MA→、MB→不共线,PQ→=xMA→+yMB→(x,y∈R),则①P∈平面MAB PQ平面MAB;②P平面MAB PQ∥平面MAB.定理2设向量AB→、AC→不共线,DE→、DF→垂直于同一平面的两个平面互相平行 这个是错误的，比如立方体相邻三个面，两两垂直，显然不符合你说的平行条件，证明面面平行可以用垂直于同一直线来证，但垂直于同一平面是错的 2 1,线面垂直到面面垂直，直线a垂直于平面1，直线a平行与或包含于平面2，所以平面1垂直于平面2 2，(最白痴的一个)平面1垂直于平面2，平面1平行于平面3，所以平面3垂直于平面2 3，通过2面角的夹角，如果2面角的夹角是90度，那么两个平面也是垂直的 这些方法前面都要通过其他方法证明，一步步才能证到这儿，譬如方法1，要先证明线面垂直，所以你也得知道线面垂直的证法有哪些。学立体几何，重要的是空间感，没事多揣摩揣摩比划比划，把每个定理的内容用图形表示出来，并记在脑子中，这样考试的时候才能看到

图和题就会知道用什么定理了，熟记并熟练掌握哪些定理的运用才行。还有像这样比较好，证明每个东西都有哪些方法，有几种途径，那么做题的时候想不起来用哪个就可以根据题目条件一步步排除，并选择对的方法，一般老师上课都会总结的。还是好好听课吧~~ 3 判定： 平面平行的判定一如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 平面平行的判定二垂直于同一条直线的两个平面平行。 性质： 平面平行的性质一如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 平面平行的性质二如果一条直线在一个平面内，那么与此平面平行的平面与该直线平行。 这五个条件?哪五个? 判定一中：两条相交的直线是可以确定一个平面的，所以“两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。” 判定二中。如果一个直线垂直与一个平面，那么直线垂直于平面内的所有直线，则有垂直于同一条直线的两个平面平行。 4 线线平行证2条线成倍数就行，倍数属于R线面平行找面的法向量，它的法向量与线平行就OK面面平行先找两个面的法向量，只要2个