2012考研数学一真题及答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请
将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1) 曲线221
x x y x +=-渐近线的条数 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)
()x
x
nx y x e e
e n =---,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )
(A) 1
(1)
(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -
(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )
(A) 若极限00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微
(B) 若极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微
(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在
(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在 (4)设2
sin (1,2,3)k x K e xdx k π
==?I 则有 ( )
(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<
(5)设1100C α?? ?= ? ???,2201C α?? ?= ? ??? ,3311C α?? ?=- ? ??? ,4411C α-?? ?= ? ???
,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα
(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -??
?= ? ???.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则
1Q AQ -= ( )
(A) 100020001?? ? ? ???(B) 100010002?? ? ? ???(C) 200010002?? ? ? ???(D)200020001?? ? ? ???
(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )
(A)
15 (B) 13 (C) 25 (D) 4
5
(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )
(A) 1 (B) 12 (C) 1
2
- (D)1-
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x = (10)
2
20
2d x x x x =-?
(11)(2,1,1)()|z
grad xy +y
=
(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=
++=≥≥≥，则2y ds ∑
=??
(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T
E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()
11
,,23
p AB P C p AB C =
== 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)
证明2
1ln cos 1(11)12
x x x x x x ++≥+-<<-
(16)
求函数22
2
(,)x y f x y xe +-
=的极值
(17)
求幂级数
220
44321n
n n n x n ∞
=+++∑
的收敛域及和函数 (18)
已知曲线(),
:(0),cos 2
x f t L t y t
π
=?≤<
?
=?其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2
f f t t π
=><<
若曲线L 的
切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。 (19)
已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周22+2x y x =到点(2,0)，再沿圆周22+4x y =到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分233d (2)d L
J x y x x x y y =++-?
(20)(本题满分 分)
设10010101,00100010a a A a a β????
???
- ??
?== ???
???
???? （I ）计算行列式;A
(II)当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解。 (21)
已知1
010
111001A a a ?????
?=??
-??-??
，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2 （1）求实数a 的值；
（2）求正交变换x Qy =将f 化为标准型. （22）
设二维离散型随机变量X 、Y 的概率分布为
1 2
0 14
14
1 0
13
2
112 0
112
（Ⅰ）求{}2P X Y =； （Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -. (23)
设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N u σ与2(,2)N u σ，其中σ是未知参数且0σ>。设
.Z X Y =-
(1)求Z 的概率密度2(,);f z σ （2）设12,,
,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ
（3）证明2σ为2σ的无偏估计量