最小二乘法求解高斯函数拟和函数
拟和的高斯函数形式：
()2
()exp f x a cx
=?-
若干个测量点：
1212[,,......],[,,......]n n X x x x Y y y y ==
最小二乘法原则：
2
2
1
(())m in n
i
i i V
y
f x ==
-=∑
由于f(x)中有2个未知参数，a,c ，那么根据最小二乘法：
2
2
00V a
V c
??=?
?????=??? 即：
()()2
2
1exp exp 0n
i
i
i i cx y a cx =??---=?
?
∑
()()22
2
1
exp exp 0n i
i
i
i i x
cx y a cx =??---=?
?
∑
联立这两个方程解出a,c.
令()2exp i i x X -=，由第1式得：
()1
0n
c
c
i
i
i
i X y
aX =-=∑
，11
n
c
i i
i n
c
c
i i
i X y a X X ===
∑
∑
再根据第2式得（由于0a ≠，0c ≠）：()21
0n
c c i i i i i x X y aX =-=∑
2
21
1
n
n
c c c i
i
i i
i
i
i i x
X y a x X X
===∑∑，即：221
1
1
1
n
n
n
n
c c c c c c
i
i
i i
i
i
i i i i i i i i x X y X X
X
y x X X =====
∑∑∑∑
两边分别展开： 左边：
()()
222
2
2
22
2
121
112221
1
2
2
,1
n n
i
i
i i n
n n n i i n
i j j j
i j X
x
X y X X X x
X y x X y x X y X X x y ====++++++=
∑
∑∑
左边：
()()
222
2
2
2
2
2
11221
1221
1
2
2
,1
n
n
i
i
i i n n
n n i i n
i j i j
i j x
X
X y x X x X x X X
y X y X y X X x y ====++++++=
∑∑
∑
消去相同的项得：
()2
22
,1,0n
i j
i
j j i j i j
X X
x
x y =≠-=∑
根据22exp i i x X c ??-= ???
得：222221111222
exp exp exp i i i x x x x x X X c c c ??????
--=-?-=- ? ? ??????? 从而：
()222
2
2,1,2exp 0n
i j i j j i j i j x x x x y c =≠??---= ? ???
∑
高斯函数的一个重要性质
西南民族大学学报·自然科学版第33卷第2期 Journal of Southwest University for Nationalities ?Natural Science Edition Apr. 2007___________________________________________________________________ ___________________________ 收稿日期：2006-11-25 作者简介：付萍(1984-), 四川师范大学数学与软件科学学院2006级硕士研究生, 廖群英(1974-), 女, 河南师范大学副教授. 基金项目：四川省教育厅青年基金(2005B024)项目资助. 文章编号：1003-2843(2007)02-0295-04 高斯函数的一个重要性质 付萍1, 廖群英2, 李莎2 (1. 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066；2. 河南师范大学数学与信息科学学院, 河南新乡 453002) 摘 要： 从素数与合数两方面入手, 研究阶乘、整除及高斯函数三者间的关系, 归纳出高斯函数的一个重要性质：若n 是一个正整数, 则()()1!1n n n ?????+?? 是偶数. 关键词: 高斯函数; 素数; 合数 中图分类号: O156.1 文献标识码: A 1 引言 设x 为任一实数, 用[x ]表示不超过x 的最大整数, 称[x ]为高斯函数. 由定义立刻得到下列性质[1]： (1) [][]1x x x ≤<+, []1x x x ?<≤. (2) [][]n x n x +=+, n 是整数. (3) [][][]x y x y +≤+. (4) 当x 不是整数时, [][]1x x ?=??；当x 是整数时, [][]x x ?=?. (5) 若,a b 是任意两个正整数, 则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b ?????? . 1957年闵嗣鹤教授、严士健教授在文[1]中利用以上的性质(3)和(5)已解决了!n 的分解、组合数是整数等问 题. 2000年殷堰工老师[2]将!n 的标准分解式、 组合数是整数等结论很好地运用到数学竞赛中, 提供了解含阶乘整除问题的一种有效的方法. 本文进一步从素数与合数两方面入手, 对阶乘、整除及高斯函数三者间的关系进行分析, 最终得出高斯函数的一个重要性质, 即如下定理： 定理 设n 是一个大于零的整数, 则??????+?)1()!1(n n n 是偶数. 2 预备知识 为完成定理的证明, 先做以下的准备工作. 引理2.1[3](Wilson 定理) 设p 是素数, 则()()1!10mod p p ?+≡.
高斯函数
高斯函数 一、知识概要 1、定义:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数,也叫取整函数。显然,[]y x =的定义域就是R ,值域就是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之与,即[]()01x x a a =+≤<,因此,[]x x ≤[]1x <+,这里,[]x 为x 的整数部分,而{}[]x x x =-为 x 的小数部分。 2、性质 1、函数[]y x =就是一个分段表达的不减的无界函数,即当12x x ≤时,有[][]12x x ≤; 2、[][]n x n x +=+,其中n Z ∈; 3、[][]11x x x x -<≤<+; 4、若[][]x y n ==,则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<; 5、对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+; 6、若0,0x y ≥≥,则[][][]xy x y ≥; 7、[][][]1 x x x ?--?-=?-?? 8、若n N + ∈,则[]x x n n ????=?????? ??;当1n =时,[][]x x ??=??; 9、若整数,a b 适合a bq r =+(0,,b q r >就是整数,0r b ≤<),则a q b ?? =???? ; 10、x 就是正实数,n 就是正整数,则在不超过x 的正整数中,n 的倍数共有x n ?? ???? 个; 下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{}x 的图像与性质、 对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质与特征、 (1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在x y =的图形的下方、 (2)由[]x y =的性质知[]x 的图像就是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形、 可见函数[]x y =就是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a ) 定理2 设[]x x x f -=)(,则)(x f 就是一有界、周期为1的非单调函数,其图像如(b )、 例1、方 程 []1x x =-实数根的个数 例2、函数()f x 定义在R 上,对任意x R ∈,有(1)()f x f x +>,则函数()f x 在R 上就是否 为增函数,请说明理由。 例3、作出函数为[sin ]y x =的图像、 例4、定义函数[],1,y x n n x n n N * ==≤<+∈,若 315 22 y <<,求实数 x 的取值范围。 例5、已知{}n a 就是首项为1,公比为q 的等比数列,121231n n n n n n P a a C a C a C +=++++L * (,2)n N n ∈>,2[]0 242 n n n n n n Q C C C C =++++L ,(其中[]t 表示不超过t 的最大整数,如[2.3]2=),如果数列{ }n n P Q 有极限,求公比q 的取值范围。 例6、已知{}n a 就是首项为0a 的非常数等差数列,] 2 ] 2 2[2 40242[n n n n n n P a a C a C a C =++++L , 1 ]112 1 ]12 2[ 355132[ n n n n n n n Q C a a C a C a C -+-+=++++L ,其中[]t 表示不超过t 的最大整数,如 [2.3]2=),求n n P Q + 例7、定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1 [1.3]2=-=-，,当[0,)()x n n N *∈∈时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ; (1)求通项n a ;(2)求{}n a 的前n 项的与n S ;(3)求90 n a n +的最小值。 例8、解方程56157 85x x +-??=? ??? 例9、解方程[]3 33x x -= (x 不就是整数时) (x 就是整数时) ()a () b
高斯函数
高斯函数[x] 程乐根 1 一、定义 ,[][]R x R x x y x Z ∈=1、定义：设用表示不超过的最大整数。 通常称函数为取整函数，也叫高斯函数。显然，其定义域是，值域是。 {}=[]{}R [0,1)x x x y x x -=2、进一步，记则称函数为小数部分函数，它表示的是的小数部分， 显然，其定义域是，值域是。 2 二、高斯函数y=[x]的性质 121212121212**,1[]. [],,,[][]. ,[][],().,,[][][].,[][],(). [] ,[][],(). x R x x x y x x x R x x x x m Z m x m x x R x x R x x x x n N nx n x x R x x n N x R n n ?∈-<≤=?∈≤≤∈+=+∈∈+≥+∈≥∈∈=∈性质1：性质2：函数是不减的函数，即若则性质3：若则有其中性质4：若则性质5：若则其中性质6：若则其中3 二、高斯函数y=[x]的性质 **23,[1,][],![][][]... n N x x x n n n N n n n n p p p p ∈∈+++定理1：若是正实数，则在区间中内， 恰有个整数是的倍数。 定理2：：若则在的质因数分解式中， 质数的指数是4 三、函数y={x}的性质 *{}0. ,{}{},().,,, 0,{}{}. x x Z m Z m x x x R m aq r m Z a N m r r a a a =∈∈+=∈=+∈∈≤<=性质1：的充要条件是性质2：若则有其中性质3：若则53[] 3.(20) x x -=例1：解方程：第届莫斯科数学竞赛题6
高斯函数
高斯函数定理2 设f(x) x x，贝y f(x)是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b). 一、知识概要 1、定义：设x R，用x表示不超过x的最大整数。贝U y x称为高斯函数，也叫取整函数。显然， y x的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和， 即x x a 0 a 1，因此，x x x 1，这里，x为x的整数部分，而x x x 为x的小数部分。 2、性质 1、函数y x是一个分段表达的不减的无界函数，即当x1 x2时，有x1x2； 2、n x n x，其中n Z ; 3、x 1x x x 1; 4、若x y n ,则x n a, y n b,其中0a, b 5、对于「切实数x, y有x y x y ; 6、若x0,y0 ,则xy x y ; 7、x x 1(x不是整数时) x (x是整数时) 8若n N 5 x 则 x；当n 1时，x x n n 9、若整数a,b适合a bq r ( b 0,q,r是整数，Orb)，贝U - q ； b x 10、x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有 - 个； n 下面再来讨论高斯函数x的图像及x的图像和性质. 对于函数y x ,如何做出它的图像呢？我们先来分析一下高斯函数x的图像的基本性质和特征? (1) 由y x的性质知x的图形在y x的图形的下方? (2) 由y x的性质知x的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段，这组平行线段呈阶 梯形? 可见函数y x是一个不减(非单调)的非周期的函数，其图像如下(a) (b) 例1、方程[x] x 1实数根的个数 例2、函数f (x)定义在R上，对任意x R,有f(x 1) 为增函数， 请说明理由。 例3、作出函数为y [sin x]的图像. 例4、定义函数y x n, n x n 1, n N ,若— 2 f (x)，则函数f (x)在R上是否 x的取值范 围。
高斯函数有关的高考压轴题.doc
与高斯函数有关的高考压轴题 董永春 （成都戴氏高考中考肖家河总校数学组，四川成都，611000） 1高斯函数问题的提出 早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设用R,用[刘或表示不超过x的最大整数，并用〃｛” 〃表示兀的非负纯小数，则y = [x]称为高斯函数，也叫取整幣数。高斯函数[兀]的定义域是/?,值域为乙其图象是不连续的水平线段。在初中、尚屮数学竞赛屮经常岀现含有取整函数的问题。笔者在髙三复习时发现欧拉常数问题⑴在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。下面从一些考题去体会高斯函数。 2高斯函数有关的准备 我们只提出本文需要的一些性质x = [x] + x-l<[x]
对于③，市题意知—和益都是整数，故“+]=[——]>
高斯函数有关的高考压轴题
董永春 (成都戴氏高考中考肖家河总校数学组, 四川成都，611000) 1 高斯函数问题的提出 早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设x ∈R ，用 [x ]或int (x )表示不超过x 的最大整数，并用"{}x "表示x 的非负纯小数,则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。高斯函数[x ]的定义域是R ,值域为Z ,其图象是不连续的水平线段。在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。笔者在高三复习时发现欧拉常数问题[1] 在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。下面从一些考题去体会高斯函数。 2 高斯函数有关的准备 我们只提出本文需要的一些性质[]{}x x x =+，[]1x x x -<≤[]1x <+， 1101010n n x x -????-????表示取x 的各分位小数。 3 高斯函数有关问题的解决 例 1 （2012四川16）记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=， [0.3]1-=-。设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[ ][ ]()2 n n n a x x x n N *++=∈，现有下 列命题： ①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2； ②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥ 时，1n x >； ④对某个正整数k ，若1k k x x +≥ ，则n x =。 其中的真命题有_①__③___④______。（写出所有真命题的编号） 分析：①显然成立，对于②，取3a =，12343,1,3,1,...x x x x ====为摆动数列，②错。 对于③，由题意知n a x ?????? 和n x 都是整数，故1[]1[ ]222n n n n n a a x x x x x +??++?? ??=≥-
高斯函数
高斯函数[]X 的应用及其推广 郭胜红 （甘肃建筑职业技术学院，甘肃 兰州 730050） 摘 要 给出了高斯函数的定义、性质、函数图象的特征，讨论了其应用，并将其做了推广. 关键词 高斯函数,广义高斯函数 (一)高斯函数[]x 的一些性质 高斯函数[]x ,在数论中是一种极为重要的函数,但它的运用却并不仅限于在数论中,在数学的许多分支及其它学科领域中有广泛的应用,均显示了该函数的优越性.本文主要从高斯函数的定义出发类比讨论了广义高斯函数的一些基本性质及其有关的积分问题,并给了一些关于广义高斯函数的例子. 定义1 ,R x ∈[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数[]x y =称为高斯函数. 我们记{}[]x x x -=称为x 小数部分, {}10≤≤x . 由高斯函数的定义立刻可以得到如下简单的性质: 定理1 设R y x ∈,,我们有 (1) [][]1+≤≤x x x . (2) 若,y x ≤则[][]y x ≤. (3) [][]x n x n +≤+. (4) [][][]?? ??--∈-=-) (1 )(Z x x Z x x x (5) [][][]y x y x +≤+. (6) [][][]y x y x -≤-或[]1+-y x . (7) [][][][][]y y x x y x +++≥+22. 下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{} x 的图像和性质. 对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质和特征. (1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在 x y =的图形的下方. (2) 由[]x y =的性质知[]x 的图像是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形. 可见函数[]x y =是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下 (a) (a) 定理2 设[]x x x f -=)(，则)(x f 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如 (b). (b) (二)高斯函数的拓广 下面讨论广义高斯函数的问题 定义2 假定函数)(x f 为定义在区间I 上
高斯函数讲义-----学生用
高斯函数 一、 知识概要 1， 定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。 2，性质 1，函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2，[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3，[][]11x x x x -<≤<+； 4，若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5，对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6，若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥； 7，[][][]1 x x x ?--?-=? -?? 8，若n N + ∈，则[]x x n n ???? =? ????? ??；当1n =时，[][]x x ??=??； 9，若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ??=???? ； （x 不是整数时） （x 是整数时）
10，x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ?????? 个； 11，设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有： ()()12!m m m n n n p n p n p p p p +?????? =+++≤
高中数学竞赛讲义-高斯函数
§28高斯函数 数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中* ∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 1 1 ],[][ };{}{}{{];[][][；特别地， ].[][ b a n b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i n i i R x x x 1 1 ],[][ ；特别地， *∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]] [[ ][n x n x =，其中*∈+∈N n R x , .
例题讲解 1．求证：,2!211--=?k n n n 其中k 为某一自然数. 2．对任意的∑∞ =+* +=∈0 1].22[,K k k n S N n 计算和 3．计算和式.]503 305[ 502 的值∑==n n S 4．设M 为一正整数，问方程2 2 2 }{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？ 5．求方程.051][4042 的实数解=+-x x
高斯函数具有五个重要的性质
高斯函数具有五个重要的性质高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用.这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用.高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：(1)二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的.一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑.旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向. (2)高斯函数是单值函数.这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的. 这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真. (3)高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的.正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论.图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理).而所希望的图像特征(如边缘)，既含有低频分量，又含有高频分量.高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号. (4)高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ 表征的，而且σ 和平滑程度
的关系是非常简单的.σ 越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好. 通过调节平滑程度参数σ ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷. (5)由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现.二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积.因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长.2 函数的表达式和图形在这里编辑公式很麻烦，所以这里就略去了。可以参看相关的书籍，仅给出matlab 绘图的代码alf=3；n=7；%定义模板大小n1=floor((n+1)/2)；%确定中心for i=1：n a(i)=exp(-((i-n1).^2)/(2*alf^2))；for j=1：n b(i,j)=exp(-((i- n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf)；end end subplot(121),plot(a),title('一维高斯函数')subplot(122),surf(b),title('二维高斯函数')
高斯函数
v1.0 可编辑可修改 高斯函数 一、 知识概要 1、定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。 2、性质 1、函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2、[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3、[][]11x x x x -<≤<+； 4、若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5、对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6、若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥； 7、[][][]1x x x ?--?-=?-?? 8、若n N + ∈，则[]x x n n ???? =?????? ??；当1n =时，[][]x x ??=??； 9、若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ??=???? ； 10、x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ?????? 个； 下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{}x 的图像和性质. 对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质和特征. (1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在x y =的图形的下方. (2)由[]x y =的性质知[]x 的图像是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈 阶梯形. 可见函 数 []x y =是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像 如下(a ) 定理2 设[]x x x f -=)(，则)(x f 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b ). 例1、方程[]1x x =-实数根的个数 例2、函数()f x 定义在R 上，对任意x R ∈,有(1)()f x f x +>，则函数()f x 在R 上是否 为增函数，请说明理由。 （x 不是整数时） （x 是整数时） ()a () b
高斯函数
高斯函数 一、 定义 对于任意R x ∈，[]x 是不超过x 的最大整数，称[]x 为x 的整数部分。y=[]x 称为定义在实数集上的函数，即取整函数，又称为高斯函数。由定义知，[]x x ≤，故[]0≥-x x ，称[]x x -为x 的小数部分，记作{}x 。y={}x 称为x 的小数部分函数。 如[]23.2=，[]33.2-=-，[]025.0=； {}3.03,2=，{}7.03.2=-，{}25.025.0=，{}75.025.0=-。 二、性质 1、[]x y =的定义域为R ，值域为Z ；{}x y =的定义域为R ，值域为[)1,0。 2、[][]11+<≤<-x x x x 3、y=[x]是不减函数，即若21x x ≤，则[][]21x x ≤ 4、[x+n]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈N. 证明：因为n+x=n+[x]+{x}及0≤{x}<1, 所以n+[x]≤n+x 所以[x+y]≥[x]+[y] 说明：{x}+{y}≥{x+y}是显然成立的。 0≤{x}+{y}＜2 若{x}，{y}都小于1/2 一般地，[]∑∑==≥??????n i i n i i x x 1 1 ，R x i ∈，[][]x n nx ≥ 特别地，?? ? ???≥???? ??b a n b na ，N n ∈ 6、[][][]y x xy ?≥，其中+∈R y x ,，一般地有 []+==∈≥??? ???∏∏R x x x i n i i n i i ,1 1 特别地[][]x x n n ≤，+∈R x 7、[]?? ? ???=??????n x n x ，其中N n R x ∈∈, [][]x n nx =??????，?? ????=??? ???mn x n m x 证明：（1）因为[][]11+<≤<-x x x x 所以[][])1(+<≤x n nx x n ，由性质5， [][][])1(+<≤x n nx x n 所以[][][]1+<≤ x n nx x 因此[][]x n nx =?? ?? ??。 （2）将n x 代替x 得[][]x n nx =?? ?? ??； （3）以mn x 代替x 得?? ????=??? ???mn x n m x 三、定理 高斯函数 一、 知识概要 1、定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。 2、性质 1、函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2、[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3、[][]11x x x x -<≤<+； 4、若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5、对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6、若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥； 7、[][][] 1x x x ?--?-=?-?? 8、若n N + ∈，则[]x x n n ???? =?????? ??；当1n =时，[][]x x ??=??； 9、若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ??=???? ； 10、x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ?? ????个； 下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{}x 的图像和性质. 对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质和特征. (1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在x y =的图形的下方. (2)由[]x y =的性质知[]x 的图像是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形. 可见函数[]x y =是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a ) 定理2 设[]x x x f -=)(，则)(x f 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b ). 例1、方程[]1x x =-实数根的个数 例2、函数()f x 定义在R 上，对任意x R ∈,有(1)()f x f x +>，则函数()f x 在R 上是否 为增函数，请说明理由。 例3、作出函数为[sin ]y x =的图像. 例4、定义函数[],1,y x n n x n n N * ==≤<+∈,若 3152 2 y << ，求实数 x 的取值范围。 例5、已知{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列，121231n n n n n n P a a C a C a C +=++++ * (,2)n N n ∈>，2[] 0242n n n n n n Q C C C C =++++ ，（其中[]t 表示不超过t （x 不是整数时） （x 是整数时） ()a () b . 高斯函数 一、 知识概要 1、定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。 2、性质 1、函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2、[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3、[][]11x x x x -<≤<+； 4、若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5、对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6、若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥； 7、[][][]1 x x x ?--?-=?-?? 8、若n N + ∈，则[]x x n n ????=?????? ??；当1n =时，[][]x x ??=?? ； 9、若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ?? =???? ； 10、x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ?? ???? 个； 下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{}x 的图像和性质. 对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质和特征. (1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在x y =的图形的下方. (2)由[]x y =的性质知[]x 的图像是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形. 可见函数[]x y =是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a ) 定理2 设[]x x x f -=)(，则)(x f 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b ). 例1、方程[]1x x =-实数根的个数 例2、函数()f x 定义在R 上，对任意x R ∈,有(1)()f x f x +>，则函数()f x 在R 上是否 为增函数，请说明理由。 例3、作出函数为[sin ]y x =的图像. 例4、定义函数[],1,y x n n x n n N * ==≤<+∈,若 315 22 y <<，求实数 x 的取值范围。 （x 不是整数时） （x 是整数时） () a () b 高斯函数 函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中* ∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 1 1 ],[][ };{}{}{{];[][][；特别地， ].[][ b a n b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i n i i R x x x 1 1 ],[][ ；特别地， *∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]] [[ ][n x n x =，其中*∈+∈N n R x ,. 【证明】（1）—（7）略. （8）令Z m m n x ∈=,][，则1+≤≤ m n x m ，因此，)1(+<≤m n x nm .由于nm ， N m n ∈+)1(，则由（3）知，),1(][+<≤m n x nm 于是，.]] [[,1][m n x m n x m =+<≤故 证毕. 取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论. 定理一：* ∈+∈N n R x ,，且1至x 之间的整数中，有][n x 个是n 的倍数. 【证明】因n n x x n n x n x n x n x ?+<≤?+<≤ )1]([][,1][][即，此式说明：不大于x 而是n 的倍数的正整数只有这n x ] [个： .][,,2,n n x n n ? 定理二：在n ！中，质数p 的最高方次数是 .][][][)!(32 +++=p n p n p n n p 【证明】由于p 是质数，因此!n 含p 的方次数)!(n p 一定是1，2，…，n n ,1-各数中所含p 的方次数的总和.由定理一知，1，2，…，n 中有][ p n 个p 的倍数，有][2p n 个p 2的倍数，…，所以.][ ][)!(2 ++=p n p n n p 此定理说明：M p n n p ?=)!(!，其中M 不含p 的因数.例如，由于]7 2000 []72000[)!2000(72+= +…=285+40+5=330，则2000！=7330·M ，其中7 M . 定理三：（厄米特恒等式）][]1 []2[]1 [][,,nx n n x n x n x x N n R x =-+++++++∈∈ 则 【证法1】引入辅助函数 ].1[]2[]2[]1[][][)(n n x n n x n x n x x nx x f -+--+--+-+--= 因=+)1 (n x f …高斯函数
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