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探索勾股数的规律

初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理: 三角形的三边a 、b 、c （a < b < c ）,由勾股定理可知：a 2

b 2

c 2，其中a 为勾，

b 为股,

c 为弦。若它们都为整数时，则它们称为一组数。如何求得一组勾股数呢勾股数有多少组呢为此我

们可以在以下四个方面来研究这些问题。

一、当勾为奇数时，探求勾股数的规律

1、列表，观察表中每组勾股数

2、归纳规律：）每组中

都是奇数;

(3) c = b+1 , c

于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2

+2n 、2n 2

+2n+1

3、证明：??? a 2 b 2

(2n 1)2 (2n 2

2n)2

2 . 2 2

??? a b c

二2n+1、2n 2

2n 、2n

2n 1 （n 为正整数）是一组勾股数。

4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式：（1）列表观察

勾股定理。如果直角

(2) a b c , b

a 2

由此可得第n 组当a=2n+1时b

a 2

(2n 1) 1 2

2n 2 2n

（n 为正整数）。

(2)归纳规律：略。当为正整数时，勾股数为:

化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、2n

2n 、2n 2

2n 1。

(3)证明过程：同前面的证明。

二、当勾为偶数是，探求勾股数的规律

2、归纳规律:

(1)、每组中a (勾)是偶数(第一组较特殊：勾比股大)

(3)、

由此可得第n 组中的a 2(n

1)时，则:

2 2

[或 c=b+2=(n 2n)+2二n 2n+2 ]，

于是有第n 组勾股数为2(n 1)、n 2

2n 、n

2n 2 ( n 为正整数)。

2 2 2 2 2

3、证明：

?/ a b [2( n 1)] (n 2n)

2 ,2 2

??? a b c

二2 (n+1 )、n

2n 、n 2

+2n+2 (n 为正整数)是一组勾股数。

三、运用配方法探求勾股数的规律

1、a (勾八b (股八c (弦)用含有 m 、n (两个不同的正整数且

m>n )的代数式表

示：

此时，它们也是一组勾股数。

2 2 2 2 2 2

(2)、

c,b

a 2 4

2、证明：??? a b (m n ) (2 m n)

a2 b2 c2

2 2 2 2

.m n、2mn、m n （m、n表示两个不同的正整数且m> n）是一组勾股数。

四、运用已知勾股数探求勾股数的规律

1、如果a、b、c是一组勾股数，那么na、nb、nc （n为正整数）也是一组勾股数。例如一组勾股数是3、4、5,当n=2时那么得到另一组勾股数为6、8、10。

2、证明：??? a2 b2 c2

.（na）2（nb）2 n2a2 n2b2

.如果a、b、c是一组勾股数，那么na、nb、nc （n为正整数）也是一组勾股数。

说明：在等腰直角三角形中因为a=b,因此a2 b2 2a2 c2得c . 2a，所以a、b、

c不可能都为整数。即等腰直角三角形三边长组成的不是一组勾股数。

综上所述得以下勾股数的四种表现形式：

★2n+1、2n2 2n、2n2 2n 1 （n为正整数）是一组勾股数。

★ 2 （n+1 ）、n2+2n、n2+2n+2 （n为正整数）是一组勾股数。

★m2 n2、2mn、m2 n2（m、n表示两个不同的正整数且m>n）是一组勾股数。

★如果a、b、c是一组勾股数，那么na、nb、nc （n为正整数）也是一组勾股数。我们从中任取一种形式来，给出其中字母所示符合条件的值时即可求得一组勾股数。

每种形式也可求出无数组勾股数，所以勾股数的组数也就是无数个了。

勾股数的规律

精选范本所谓勾股数，就是当组成一个直角三角形的三边长都为正整数时，我们就称这一组数为勾股数那么，组成一组勾股数的三个正整数之间，是否具有一定的规律可寻呢？下面我们一起来观察几组勾股数：规律一：在勾股数(3, 4, 5)、( 5，12，13)、( 7, 24, 25)( 9, 40，41)中，我们发现由(3, 4, 5)有： 3 2=9=4+5 由(5, 12, 13)有： 5 =25=12+13 由(7, 24, 25)有： 7 =49=24+25 由(9, 40, 41)有： 92=81=40+41. 即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式： 2 2 2 2 ???(2n+1) =4n+4n+仁(2n +2n ) + (2n+2n+1) 2 2 2 2 2 ???(2n+1) + (2n+2n ) = (2n+2n+1) (n 为正整数) 勾股数公式一：(2n+1, 2n 2+2n , 2n 2+2n+1)(n 为正整数) 等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式： 2 2 2 2 ???(2n ) =4n =2[ (n-1 ) + (n+1)] ???(2n ) + (n-1 ) = (n +1) (n 》2 且 n 为正整数) 勾股数公式二：(2n , n 2-1 , n 2+1)( n 》2且n 为正整数) 禾U 用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。规律二：在勾股数(6, 8, 26)中，我们发现由(6, 8, 10)有：由(8, 15, 17)有：由(10, 24, 26)有：即在一组勾股数中, 10)、( 8, 15, 17)、( 10, 24, 2 6 =36=2X( 8+10) 82=64=2X( 15+17) 2 10 =100=2X( 24+26) 当最小边为偶数时，它的平方刚好

苏科版八年级上册数学 3.4数学活动探寻勾股数教案

教学内容探寻“勾股数” 教学目标知识与能力1．理解勾股数定义，了解其中规律，会判断和构造勾股数过程与方法2．经历探索分析的过程，从特殊到一般发现部分勾股数的内在规律情感与态度3．感受数学规律的内在奥秘，激发探索数学的兴趣教学重点勾股数的特征教学难点利用勾股数特征构造勾股数教具学具多媒体课件白板教学过程教师活动学生活动设计意图一、数学史，引入新课一、勾股定理史中国古代勾股定理在初中课本中就学习过，其内容如下：“在直角三角形中，斜边（弦）的平方等于两直角边（短者叫勾，长者叫股）平方的和．” 约在公元前100年成书的我国现存最古的一部数学典籍《周髀算经》中记载，在公元前1100 多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了 “勾广三，股修四，弦隅五”，且在同一书中记载的荣方与陈子的问答中，更谈到由勾股求弦的一般方法是“勾股各自乘，并而开方除之”，可见已给出了普遍的勾股定理．正因为商高首先提出了勾股定理，不少人把该定理称之为商高定理．国外在商高定理的研究方面作出贡献的除中国古代数学家外，还有许多别的国家和民族的数学家，特别是古希腊、埃及、印度的数学家．公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前582年——前497年）是西方第一个证明勾股定理的人，国外常称其为毕达哥拉斯定理。阅读PPT，感受勾股定理。生活中蕴藏着很多有趣的知识，从中外数学史引入，鼓励学生善于观察，激发探索学习的乐趣。二、数学活动探索 1.活动引入满足关系的3个正整数，问题： 1.勾股数有多少？ 2.请尽可能多地写出来。 3.勾股数有规律吗？齐答勾股数概念学生随机作答，并展出，问题3进行探索。回顾勾股数概念三个问题，逐层递进，引出本节课的研究内容勾股数特征。

勾股定理知识点总结

第十七章勾股定理知识点总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A

常见的勾股数及公式

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.wendangku.net/doc/ae9792976.html, 勾股定理全章知识点归纳总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.wendangku.net/doc/ae9792976.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A