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1.1 空间向量及其运算 --提高练(解析版)

1.1 空间向量及其运算--提高练

一、选择题

1．（2020·辽宁葫芦岛市高二期末）在下列结论中： ①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；

②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面； ③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；

④已知空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ，z 使得p xa yb zc =++. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】A

【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错，

三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两共面，但它们不是共面向量，故③错．根据空间向量基本定理，,,a b c 需不共面，故④错．综上，选A ．

2．（2020广东湛江市高二期末）如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC '上，且2BM MC '=，则下列向量中与OM 相等的向量是（）

A ．172

263AB AD AA '-++

B ．151

263

AB AD AA '-++

C ．

112

263

AB AD AA '++ D ．

111

263

AB AD AA '-+ 【答案】C

【解析】因为2BM MC '=，所以2

BM BC '=，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，

OM OB BM =+'23OB BC =+'12()23DB AD AA =++'

12()()23

AB AD AD AA =-++

112

263

AB AD AA '=

++，故选：C 3．（2020江西宜春市高二期中）在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）

A ．1223

EF AC AB AD →

→→→=+-

B ．112223EF A

C AB A

D →

→→→

=--+

C ．112223

EF AC AB AD →→→→

=-+

D ．112223

EF AC AB AD →→→→

=-+-

【答案】B

【解析】在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，

所以EF EB BA AF →→→→

=++1223AB AC AB AD →→→→

??=--+ ???112223

AC AB AD →→→=--+，

即112223

EF AC AB AD →

→→→

=--+.故选：B.

4．己知1e ，2e ，3e 是空向单位向量，且满足12231

e e e e ?=?=，若向量()1231b e e λλ=+-，R λ∈.则3e 在b 方向上的投影的最大值为（） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】易得123,,e e e 是空间中两两夹角为60°的单位向量.如下图，

构造棱长为1的正四面体O ABC -，使得123,,OA e OB e OC e ===，

在射线OA 上取点D ，使得133OD OA e ==

设b OP =，则()1,b OP tOD t OB t R ==+-∈，由三点共线知P 在直线BD 上. 由定义知3e 在b 方向上的投影33cos ,e b e =3cos ,cos ,b e OP OC =

作点C 在平面OAB 上的射影G .由最小角定理，当且仅当向量OP 与向量OG 同向时，,OP OC 最小，

cos ,OP OC 最大.即max

cos ,cos ,3

OP OC

OG OC ==

.故选：D. 5．（多选题）下列命题是真命题的是（） A ．若||a b |=|，则,a b 的长度相等而方向相同或相反

B ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

C ．若两个非零向量AB 与C

D 满足0AB CD +=，则AB CD

D ．若空间向量AB ，CD 满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > 【答案】BC

【解析】A. 若||||a b =，则,a b 的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；

B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；

C. 若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则AB CD =-，所以AB CD ∥，所以该选项正确；

D. 若空间向量AB ，CD 满足||||AB CD >，且AB 与CD 同向，AB 与CD 也不能比较大小，所以该选项错误.故选：BC

6．（多选题）（2020福建莆田一中高二期末）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

A ．平面11D A P ⊥平面1A AP

B ．1AP D

C ?不是定值 C ．三棱锥11B

D PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥

【答案】ACD

【解析】A.因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ?平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B.11111111

()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ?=+?=?+? 11112

cos 45cos901212

AA DC A P DC =+=??

=，故11AP DC ?=，故B 不正确； C.1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D.111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，11

11A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ?平面11A D P ，所以

11DC D P ⊥，故D 正确.故选：ACD

二、填空题

7．如图在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若记→

→

=AB a ，AD b →→=，AC c →→=，则AG →

=______.

【答案】111244

a b c →→→++

【解析】在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，

则AG AB BG →→→

=+12AB BE →

→=+11()22AB BC BD →→→=+?+1()4

AB AC AB AD AB →→

→→→=+-+-

111442AB AC AD AB →

→→→=++-111244

AB AD AC →→→

=++.

8．在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，则异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______.

【答案】

. 【解析】画出对应的正四面体,设棱长均为1则

()()11

222DM DA AM c a b a b c =+=-+

+=+-.,又()

11222

CN AN AC a b a b =-=-=-. 又1

a b a c b c ?=?=?=

.设异面直线DM 与CN 所成角为θ则()()2222cos 33

22a b c a b DM CN DM CN

θ+-?-?=

?? 22

11212

222412

a a

b a b b a

c b c -+

--+-?+?--?+?=

. 9．已知空间向量PA ，PB ，PC 的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60?.点G 为ABC 的重心，若

PG xPA yPB zPC =++，x ，y ，z R ∈，则x y z ++=__________；PG =__________.

【答案】1; 5

. 【解析】

取AC 的中点D ，()()

22213332PG PB BG PB BD PB PD PB PB PA PC PB ??=+=+

=+?-=+?+-

???

111

333

PA PB PC =++，又PG xPA yPB zPC =++，空间向量PA ，PB ，PC 的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60?

111

===1333

x y z x y z ++=，，，，1x y z ++= ()

2222222111133331

2223

1111123212232213322253PG PA PB PC PA PB PC

PA PB PC PA PB PC PB PA PC =++=++=+++?+?+?=

+++???+???+???=

10．（2020上海复旦附中高二期中）已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为2020，过其底面中心O 作动平面α交线段PC 于点S ，交,PA PB 的延长线于,M N 两点，则

111

PS PM PN

++的取值范围为__________

【答案】32020??

????

【解析】设,,PM x PN y PS z ===.则PA PA PM x

?,PB PB PN y

?,PC PC PS z

由O 为底面ABC 中心, ()

PO PA AO PA AB AC =+=+

?+ ()()

133

PA PB PC

PA PB PA PC PA ++??=+-+-=

?? 111333z PA PB

PM PN PS x y =??+??+??333z

PA PB PC PM PN PS x y =?+?+? 又因为,,,S M N O 四点共面,所以

1333z

PA PB PC x

=且2020PA PB PC ===.

所以

202020202020+1333z x y +=，即1113

+z 2020

x y += 即

11132020

PS PM PN ++=.

三、解答题

11．试证：若坐标平面内的三点A ，B ，C 共线，O 为坐标原点，则存在三个均不为零的实数l ，m ，n ，使得0lOA mOB nOC ++=，且0l m n ++=，反之也成立. 【答案】见解析

【解析】证明：①若0l m n ++=(),,0l m n ≠，则1m n l l --=，∴1m n l l

-=+. 又0lOA mOB nOC ++=， ∴()

1m n n n n n OA OB OC OB OC OB OB OC OB BC l l l l l l ??

-=+-=+-=- ??

?， ∴n OA OB BC l -=-

，∴n

BA BC l

=-，∴A ，B ，C 三点共线. ②若A ，B ，C 三点共线，则存在常数λ，使()0 1BA BC λλλ=≠≠且， ∴()

OA OB OC OB λ-=-，∴()10OA OB OC λλ+--=，

令1l =，1m λ=-，n λ=-，则由0λ≠且1λ≠，知l ，m ，n ，不为零， ∴0lOA mOB nOC ++=，且0l m n ++=.

12.（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，四棱锥S ABCD -的底面是矩形，,2,1AB a AD SA ===，且SA ⊥底面ABCD .

（1）求向量CS 在向量SA 上的投影；

（2）若线段BC 上存在异于,B C 的一点P ，使得PS PD ⊥，求 a 的最大值. 【答案】（1）1-；（2）1. 【解析】

（1）连接,AC SA ⊥平面,ABCD AC

平面ABCD

,SA SC ∴⊥

故向量CS 在向量SA 上的投影为：||cos()||cos ||1CS ASC CS ASC SA π-∠=-∠=-=- （２）连接,

AP SA ⊥平面,ABCD DP ?平面ABCD

SA DP ∴⊥，又,PS PD SA SP S ⊥=

DP ∴⊥平面SAP ，又AP ?平面ADP

AP PD ∴⊥

设2BP m CP m =∴=-

2222,(2)AP a m DP a m ∴=+=+-2222(2)4a m a m ∴+++-=

222a m m ∴=-

02m <≤，

当1m =时，a 的最大值为１．