小升初——排列组合综合应用

板块一：排列

两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同。如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列。

排列的基本问题是计算排列的总个数。

从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做P n m或A n m。

根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：

步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；

步骤2：从剩下的(n－1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n－1)种方法；

……

步骤m：从剩下的[n－(m－1)]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有n－(m－1)＝n－m＋1种方法；由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是n·(n－1)·(n－1)……(n－m＋1)，即P n m＝n(n －1)(n－1)……(n－m＋1)，这里，m≤n，且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘。

板块二：组合

一般地，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关。如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。

从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数。

记作C n m或

m

n

?? ???

。

接下来研究如何求组合数。举个例子，从3个不同元素a，b，c的当中取出2个元素的组合数是多少？由于从3个不同元素中取出2个的排列数可以求得，我们可以考察一下组合数与排列数的关系，从3个不同元素a，b，c中取出2个元素的组合与排列的关系如下：

a，b a，b；b，a

b，c b，c；c，b

a，c a，c；c，a

从上面可以看出，每一个组合对应着2个排列。因此，求从3个不同的元素中取出2个元素的排列数，可以分为以下两步：

第一步：考虑从3个不同元素中取出2个元素的组合，由组合数公式，有C32种取法；

第二步：对每一个组合中的2个不同元素作全排列，有P22种排法。

根据乘法原理，P32＝C32×P22。因此，组合数C32＝P32÷P22＝(3×2)÷2＝3。

在数学中可以把a÷b(b≠0)记作a

b

，其中a叫做分子，b叫做分母，所以

2

23

32

2

P

C

P

=

小升初——排列组合综合应用

一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数P n m 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有C n m 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有P n m 种排法。 根据乘法原理，得到P n m ＝C n m ·P m m 。因此，组合数 (1)(2)(1)(1)(2)321

m m

n n

m m nP n n n n m C P m m m ?-?--+==?-?-??…………

这个公式就是组合数公式。

用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？

一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？

⑴把7盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位。 ⑵串起其中4盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位。

(2007年台湾第十一届小学数学世界邀请赛)将A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七位同学在操场排成一列，其中学生B 与C 必须相邻。请问共有多少种不同的排列方法？

从4名男生，3名女生中选出3名代表。 ⑴不同的选法共有多少种？

⑵“至少有一名女生”的不同选法共有多少种？

⑶“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？

小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？

测试题

1．某小组有12个同学，其中男少先队员有3人，女少先队员有4人，全组同学站成一排，要求女少先队员都排一起，而男少先队员不排在一起，这样的排法有多少种？

2．用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？

3．丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、姐姐一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？

4．学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？

5．在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？

答案

1．解析：

把4个女少先队员看成一个整体，将这个整体与不是少先队员的5名同学一块儿进行排列，

有6

6654321720

P=?????=种排法。

然后在七个空档中排列3个男少先队员，有3

7765210

P=??=种排法，

最后4个女少先队员内部进行排列，有4

4432124

P=???=种排法。

由乘法原理，这样的排法一共有720210243628800

??=种。

2．解析：

由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；

十位上的数可以从剩下的5张中选一张，有5种选法；

百位上的数再从剩下的4张中选一张，有4种选法。

由乘法原理，一共可以组成35460

??=个不同的偶数。

3．解析：

由于奶奶必须站在中间，那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，是一个全排

列问题，且4

n=。由全排列公式，共有4

4432124

P=???=种不同的站法。

4．解析：

要熄灭的是除两端以外的2盏灯，但不相邻。

可以看成有10盏灯，共有9个空位，

在这9个空位中找2个空位的方法数就是熄灭2盏灯的方法数，

那么熄灯的方法数有2

998

36 21

C

?

==

?

种。

5．【解析】

由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题。

第一题中，4个小题中选做3个，有3

4432

4 321

C

??

==

??

种选法；

第二题中，3个小题中选做2个，有2

332

3 21

C

?

==

?

种选法；

第三题中，2个小题中选做1个，有1

22

2 1

C==种选法；根据乘法原理，一共有43224

??=种不同的选法。

排列组合问题教师版

二十种排列组合问题的解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理． 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理． 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事． 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或 是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法； 然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有1 4C 种排法； 最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法； ∴由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443

学而思小升初排列组合(排列组合三宝)

1．排列组合的意义与计算方法 2．排列组合三宝：捆绑法、插空法、挡板法 (★★☆) 8月26日晚上师资组刚到蜜桃仙谷，大家都很兴奋。王雨洁、夏川、杨秀情、谷运增、崔兆玉、刘丽娜、兰海等高年级的七位老师想站在一块儿合个影，这个时候争执出现了： ⑴雨洁觉得：7个人随便站成一排，她认为这样简单公平； ⑵夏川认为：7个人可以站成两排，前3后4，这样看起来比较美观； ⑶兰海固执：自己必须站在正中间，因为自己的脑瓜长的比别人更圆一些； ⑷兆玉发言：自己和丽娜站两端，“我们俩宽度一样，这样比较对称” ⑸秀情老师：“我和阿增不站两端，其余的随便排，快点，不要磨叽！” (★★☆) 高年级组的7位老师继续照相，这次排队有了新的讲究：雨洁、夏川、丽娜三位美女老师强烈要求必须相邻，任谁劝都不听，这时候只见摄像师老段拿着一根绳子嘿嘿阴笑着就走过来了：我能很快解决你们这样一共有几种排队方式的问题。 (★★☆) 刚才的事儿影响了照相的进度。嘿，在这段时间里老杨和谷老师打起来了，还把谷老师的耳朵给咬了……海哥在劝架的过程由于处理不当和老杨、谷老师同时起了矛盾，3人带着情绪照相，强烈要求：互不相邻(秀情：下一步就是把海哥的鼻子给啃下来)，这样还有几种排队的方式？

(★★☆) 7个人照完相，集体已经讨论好晚饭的事儿了，大家一致决定从我们7人中推选出3个人来去买晚饭，其余人在这儿围着篝火唱个舞、跳个歌啊什么的。推选三个人去买饭，有几种选法？ (★★★☆) 饭终于买回来了，这时候海哥、老杨、兆玉买回来了20个桃子，只见海哥悄悄地说：咱们7人悄悄的分了，每人至少一个(假定桃子一模一样)到底有多少种分法呢？ 1．由数字1，2，3，4，5可以组成 ______个没有重复数字的正整数？ 2．(2010年10月西城区实验中学小升初试题)三个老师和五个学生排成一列照相，如果要求三个男同学不相邻，两个女同学必须相邻，而三个老师必须相邻，那么一共有______种不同的排法。 3．个位比十位大，十位比百位大的三位数共有______个？ 4．在图中1×5的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的5个数，要求填入的数各不相 同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大。共有______种不同的填法。 1．排列组合意义与计算方法 排列：解决有多少种排队方式的问题； A 要排队的个数总数=A 往前乘的个数开头 组合：解决有多少种组队方式的问题； =A C A 要组队的个数要组队的个数总数要组队的个数总数要组队的个数

小学五年级奥数专题之排列组合题一及答案

1、7个人站成一排，若小明不在中间，共有_______________种站法；若小明在两端，共有_________________种站法。 2、4个男生2个女生共6人站成一排合影留念，有________________种不同的排法；要求2个女生紧挨着有________________种不同的排法；如果要求2个女生紧挨着排在正中间有____________________种不同的排法。 3、A、B、C、D、E、F、G七位同学在操场排成一列，其中学生B与C必须相邻，请问共有________________________种不同的排法。 4、6名小朋友A、B、C、D、E、F站成一排，若A、B两人必须相邻，一共有________________________种不同的站法；若A、B两人不能相邻，一共有________________________种不同的站法；若A、B、C三人不能相邻，一共有________________________种不同的站法。 5、10个相同的球完全分给3个小朋友，若每个小朋友至少得1个，那么共有__________________种分法；若每个小朋友至少得2个，那么共有__________________种分法。 6、小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有______________________种不同的吃法。 7、5个人站成一排，小明不在两端的排法共有__________________种。 8、停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有________________________种不同的停车文案。 9、将3盆同样的红花和4盆同样的黄花摆放在一排，要求3盆红花互不相邻，共有____________________种不同的放法。 10、12个苹果分给4个人，每人至少1个，则共有____________________种分法。 11、四年级三班举行六一儿童节联欢活动，整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成，请问如果要求同类型的节目连续演出，那么共有____________________种不同的出场顺序。

高中数学排列组合难题十一种方法教师版

高考数学排列组合难题解决方法 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有 m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素， 再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法

小学奥数~排列组合

5 数的一半，即 A = 60 种，选 B . 奥数解排列组合应用题 排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握， 实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效 途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略 . 1.相邻问题捆绑法 :题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排 列. 例 1. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 A, B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的 排法种数有 A 、60 种 B 、48 种 C 、36 种 D 、24 种 解析：把 A, B 视为一人，且 B 固定在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，A 4 = 24 种， 4 答案： D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列， 再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种 解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为 A 5 种，再用甲乙去插 6 个空位有 A 2 种，不同的排 5 6 法种数是 A 5 A 2 = 3600 种，选 B . 5 6 3.定序问题缩倍法 :在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数 的方法. 例 3. A, B, C , D, E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边（ A, B 可以不相邻）那 么不同的排法种数是 A 、24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、120 种 解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列 1 2 5 4.标号排位问题分步法 :把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步 再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6 种 B 、9 种 C 、11 种 D 、23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填 入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3 ×1=9 种填法，选 B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务， 第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有C 2 C 1C 1 = 2520 种，选C . 10 8 7

六年级下册数学-小升初平面图形组合专项试题-s1-人教版

-小升初平面图形组合专项试题-人教版 一、解答题（题型注释） （1 ） （2） 2.仔细数一数,填一填。 （1）右图是由个小三角形拼成的。 （2）右图有个三角形。 （3）右图共有个正方形。 3.根据游戏的需要，幼儿园阿姨用两个长8米、宽4米的长方形地垫先后 拼成一个长方形游戏垫和一个正方形游戏垫（如图所示），拼成的长方形 游戏垫和正方形游戏垫的周长分别是多少？ 4.如图，长方形中，，，三角形的面积为 平方厘米，求长方形的面积． 5.如图在中，,求的值． 6.请你画出已学过的4种图形，使它们的面积相等，并计算出它们的面积． 7.为了迎接“六?一”儿童节，学校做了一幅长方形的宣传画，长7米，宽50分 米．这幅宣传画的周长和面积各是多少？ 8.如下图，在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求 三角形ABC的面积。 9.如下图，是一块长方形草地，长方形的长是14米，宽是12米。中间有三条宽为2 米的道路，两条是长方形，一条是平行四边形。则草地的面积有多大？ 10.如图（1）（2）（3）（4）都是由9个边长为1厘米的正方形组成的3×3平方厘 米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为，，和，则，，ABCD:2:3 BE EC=:1:2 DF FC=DFG2 ABCD A B C D E F G ABC △ 1 2 DC EA FB DB EC FA === GHI ABC △的面积 △的面积 I H G F E D C B A

和中最小的与最大的和是多少平方厘米？

参数答案 1. （1） 解： （2） 解： 【解析】1.根据题干的要求画图相应图形。 2. （1）4 （2）3 （3）5 【解析】2. 3.解：拼成长方形的周长是：（8+8+4）×2 =20×2 =40（米） 答：拼成的长方形游戏垫的周长是40米． 拼成后正方形的周长是： 8×4=32（米） 答：拼成的正方形游戏垫的周长是32米 【解析】3.用两个长8米，宽4米的长方形，拼成一个大长方形，这个大长方形的长是（8+8）米，宽是4米；拼成正方形的边长是8米，然后根据长方形的周长公式：C=（a+b）×2，正方形的周长公式：C=4a，代入数据解答即可． 4.72【解析】4.连接，． 因为，，所以 ． 因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形 的面积是平方厘米． 5. 1 7 【解析】5. 连接BG,设1份，根据燕尾定理, ,得(份)，(份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以 如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线. 6.16平方厘米 AE FE A B C D E F G :2:3 BE EC=:1:2 DF FC= 3111 () 53210 DEF ABCD ABCD S S S =??= V长方形长方形 1 2 AED ABCD S S = V长方形 11 ::5:1 210 AG GF==510 AGD GDF S S == V V 12 AFD S= V 1 6 AFD ABCD S S = V长方形 ABCD 72 I H G F E D C B A BGC S △ =::2:1 AGC BGC S S AF FB == △△ ::2:1 ABG AGC S S BD DC == △△ 2 AGC S= △ 4 ABG S= △ 7 ABC S= △ 2 7 AGC ABC S S = △ △ 2 7 ABH ABC S S = △ △ 2 7 BIC ABC S S = △ △ 72221 77 GHI ABC S S --- == △ △

小学奥数~排列组合

奥数解排列组合应用题 排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种 解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种 解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排 法种数是52 5 63600A A =种，选B . 3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数 的方法. 例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是 A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种 解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列 数的一半，即5 51602 A =种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种 解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. 例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是 A 、1260种 B 、2025种 C 、2520种 D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务， 第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110 872520C C C =种，选C .

高考数学专题七：排列组合二项式定理教师版教师原创 全国通用

高考数学专题七：排列、组合、二项式定理 一、高考考试说明 计数原理 （１）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题． （２）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （３）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （４）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 二、核心知识点归纳： 一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 １．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第１类方案中有m种不同的方法，在第２类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同方法． ２．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第１步有m种不同的方法，做第２步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 注意： １．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的． ２．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的． 二、排列与组合 １．排列与排列数 （１）排列： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出

m个元素的一个排列． （２）排列数： 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A错误!. ２．组合与组合数 （１）组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． （２）组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C错误!. ３．排列数、组合数的公式及性质 注意： １．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关． ２．计算A错误!时易错算为n（n—１）（n—２）…（n—m）． ３．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数． ４．排列问题与组合问题的识别方法：

六年级下册数学试题-小升初排列与组合应用题及答案16-人教版

评卷人得分 一、解答题（题型注释） 1.口袋中有1，2，3，4四个球，任意摸出2个球，有几种可能的结果？ 2.用4、6、8、0四个数字组成多少个没有重复的四位数？ 3.有A、B、C、D四位同学排成一行表演节目，C固定排在左起第三的位置，一共有多少种不同的排法？请你列出来。 4.中午食堂准备了三种菜，分别是豆腐、芹菜和红烧肉。就餐时至少选一种，最多选三种，一共有多少种不同的搭配方法？ 5.(1)用下面4张数字卡片能组成多少个不同的两位数? 739 4 (2)如果用下面4张卡片,能组成多少个不同的四位数呢? 039 4 6.一种小彩灯,由红、黄、绿三种颜色组成。用灯的亮灭表示不同的信号。一共可以表示多少种不同的信号? 7.快餐店规定：一份盒饭可以配一个荤菜和一个素菜。想一想，用下面的菜配盒饭，有多少种不同的配菜方法？ 8.按下面的要求,用0、1、5、7这几个数字写出没有重复数字的小数。 (1)小于1而小数部分是三位的数字。

(2)大于5而小数部分是三位的数字。 9.春节期间,小军、小刚、小丽与小红之间互相拜年。 (1)他们4人每2人通一次电话,一共通了多少次? (2)如果他们互相寄一张节日贺卡,一共寄了多少张? 10.一枚硬币连续掷三次，试着列出各种可能的结果。 11.用0、1、2、3这四个数字，能组成多少个不同的两位数，写下来。 12.用2、3、5、7组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是单数的两位数? 13.用2、5、8这三个数字排成一个三位数,使它是2的倍数,共有几种排法? 14.用2、7、0和小数点可以组成哪些不读“零”的一位小数？请将它们写出来。 15.按要求从0、2、5和9这4个数字中选出3个，组成三位数。 ①组成的数是2的倍数。 ②组成的数是5的倍数。 ③组成的数是偶数。 答案 1.一次摸出两个球，可能有（1，2）、（1、3）、（1、4）、（2、3）、（2、4）、（3、4），共6种可能； 答：有6种可能的结果。 【解析】1.一次摸出两个球，可能有（1，2）、（1、3）、（1、4）、（2、3）、（2、4）、（3、4），共6种可能出现的结果；据此解答。 2. 3×3×2×1=18(个) 答：用4、6、8、0四个数字组成18个没有重复的四位数。 【解析】2.先确定千位上的数字，有三种可能，再确定百位上的数字，有三种可能，然后确定十位上的数字，有两种可能，最后确定个位上的数字。 3.6种 ABCD ADCB BACD BDCA DBCA DACB 4.只选一种菜有3种方法，选两种菜有3种方法，选三种菜有1种方法，一共有7种方法。 5.(1)12个(2)18个 6.8种 7.6种 【解析】7.解：2×3=6(种)答：有6种不同的配菜方法。荤菜有2种，素菜有3种，用乘法计算配菜的种类即可。 8.(1)0.157 0.175 0.517 0.571 0.715 0.751

小学奥数专题排列组合

?排列问题题型分类： 1.信号问题 2.数字问题 3.坐法问题 4.照相问题 5.排队问题 ?组合问题题型分类： 1.几何计数问题 2.加乘算式问题 3.比赛问题 4.选法问题 ?常用解题方法和技巧 1.优先排列法 2.总体淘汰法 3.合理分类和准确分步 4.相邻问题用捆绑法 5.不相邻问题用插空法 6.顺序问题用“除法” 7.分排问题用直接法 8.试验法 9.探索法 10.消序法 11.住店法 12.对应法 13.去头去尾法 14.树形图法 15.类推法 16.几何计数法 17.标数法 18.对称法

分类相加，分步组合，有序排列，无序组合 ?基础知识（数学概率方面的基本原理） 一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法， 在第一类办法中有M1中不同的方法， 在第二类办法中有M2中不同的方法，……， 在第N类办法中有M n种不同的方法， 那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。 二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤， 完成第一步有n1种不同的方法， 完成第二步有n2种不同的方法，…… 完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法， 那么完成此项任务共有ｎ １×ｎ ２ ×……×ｎ ｋ 种不同的方法。 三.两个原理的区别 ?做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。 每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) ?做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步 骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同

人教版的高中的数学《排列组合的》教案设计

排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．

2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法． (2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A 村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图 这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一

(word完整版)小升初奥数—排列组合问题

小升初奥数—排列组合问题 一、 排列组合的应用 【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。 【解析】 （1）775040P =（种）。 （2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×6 6P =1440(种)． （4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ?= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ?=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）. （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。 【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9， 那么确保打开保险柜至少要试几次？ 【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3， 3；2，2，2，3六种。 第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择； 第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312?=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择． 综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次． 【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个 数字都不相同的时刻一共有多少个? 【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不 同的数字，所以有2 6P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有2 7P 种选法，所以共有2 6P ×27P =1260种选法。 从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。 【例 4】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： ⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端；

小学奥数--排列组合教案

小学奥数-----排列组合教案 加法原理和乘法原理 排列与组合:熟悉排列与组合问题。运用加法原理和乘法原理解决问题。在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题:问题一：从 A 地到 B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有 4 班，汽车有 3 班，轮船有 2 班。那么从 A 地到 B 地共有多少种不同的走法？问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有 3 条道路（如下图）。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。加法原理：完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m 1 种不同的方法， 在第二类方法中有m 2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n 种不同的方法， 那么完成这件工作共有N＝m 1＋m 2 ＋m 3 ＋…＋m n 种不同方法。 运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m 1 种方法，完成第 二个步骤有m 2种方法，…，完成第N个步骤有m n 种方法，那么，完成这件工作 共有m 1×m 2 ×…×m n 种方法。 运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N 步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。 这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。 运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。小学阶段只学习两个原理的简单应用。 【例题一】每天从武汉到北京去，有 4 班火车，2 班飞机，1 班汽车。请问：每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同的走法？ 【解析】运用加法原理，把组成方法分成三类：一类乘坐火车,二类乘坐飞机,三类乘坐洗车.

人教版高中数学排列组合教案设计

实用文档 排列与组合 一、教学目标 1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论． 2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同． 三、活动设计 1.活动：思考，讨论，对比，练习． 2.教具：多媒体课件． 四、教学过程正 1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．

实用文档 2．新课 我们先看下面两个问题． (l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 板书：图 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法． 一般地，有如下原理： 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m种不同的方法，……，21在第n 类办法中有m种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m十m2n1十…十m种不同的方法．n(2) 我们再看下面的问题： 由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 板书：图

六年级下册数学-小升初排列与组合应用题及答案22-人教版

2.它们有几种排队方法？ 3.用2、6、4可以组成几个不同的三位数？分别是多少？（每个数中的数字不能重复） 4.4个同学要进行一场乒乓球比赛，每2个人打一场球。一共要打多少场？ 5.老师买来5种颜色的铅笔作奖品，每位“文明少年”可以选2支不同颜色的铅笔。 每人有几种选择方法？ 6.小明要往鱼缸里放一些鱼，有三种不同种类的鱼，至少放一种，最多放三种，一共有多少种不同的搭配方法？ 7.小宇、小轩和小乐相约一起到小明家,四人见面后,每两人之间都握一次手,他们一共握了多少次手? 8.妈妈为小红准备的早餐是:一块面包、一盒牛奶、一个鸡蛋,小红要把它们吃完,可以有多少种不同顺序的吃法? 9.小芳上新华书店,选中了三种图书,最少买1本,最多买3本,有多少种不同的购买方法?用画“√”表示购买方法,完成下表。(每种书只买1本)

10.学校乒乓球队有男队员4名,女队员3名。 （1）男队举行比赛,每两名队员要比赛一场,一共要比赛多少场? （2）选1名男队员和1名女队员参加混合双打比赛,共有多少种不同的选法? 11.春节期间,小军、小刚、小丽与小红之间互相拜年。 (1)他们4人每2人通一次电话,一共通了多少次? (2)如果他们互相寄一张节日贺卡,一共寄了多少张? 12.小红有两张20元和两张10元的人民币,她能用这四张纸币组成多少种不同的币值? 13.一枚硬币连续掷三次，试着列出各种可能的结果。14.妈妈一共烤了5片面包，要分给梅梅、乐乐、爸爸和自己，如果他们四人每人至少分得1片面包，那么一共有几种分法？

参数答案 1. 根据题意连线可知： 赛了4场，则分别与B、C、D、E各赛了一场； 由于D只赛了一场，所以这场是和A赛的； B赛了3场，所以B分别与A、C、E号各赛了一场， 所以此时E与A和B各赛了一场，共2场。 【解析】1.根据赛制及每人比赛的场数之间的逻辑关系进行分析是完成本题的关键。 2. ①鹿、羊、猫；②鹿、猫、羊；③羊、鹿、猫； ④羊、猫、鹿；⑤猫、鹿、羊；⑥猫、羊、鹿。 答：它们有6种排队方法。 【解析】2.三只动物排队，有六种排法，分别是鹿、羊、猫；鹿、猫、羊；羊、鹿、猫；羊、猫、鹿；猫、鹿、羊；猫、羊、鹿。 3. 264、246、426、462、624、642 答：用2、6、4可以组成6个不同的三位数，分别是264、246、426、462、624、642。 【解析】3.由题意可以知道要求可以组成多少个三位数，就是求2、6、4三个数字的排列顺序。 4. 4×3÷2=6(场) 答：一共要打6场。 【解析】4.先确定一个人，有四种可能，然后从剩下的三个人中选一个，有三种可能，两者不能重复。 5.5+4+3+2+1=10种 答：每人有10种选择方法。 【解析】5.老师买来5种颜色的铅笔作奖品，每位“文明少年”可以选2支不同颜色的铅笔。每人有几种选择方法，列式为4+3+2+1=10种。 6.只放一种鱼有3种方法，放两种鱼有3种方法，放三种鱼有1种方法，一共有7种方法。 【解析】6. 略 7.6次 【解析】7. 略 8.6种 【解析】8. 略 9.表略,7种 【解析】9. 略 10.(1) 4×(4-1)÷2=6(场) 答:一共要比赛6场。 (2) 4×3=12(种) 答:共有12种不同的选法。 【解析】10. 略 11.(1)6次(2)12张 【解析】11. 略 12.6种

六年级奥数试题-排列组合(教师版)

第十九讲排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 P． 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做m n 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1 n-)种方法； n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1

…… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有 11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????L L （）（）　． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?．

小升初奥数—排列组合问题

小升初奥数—排列组合问题 一、 排列组合的应用 【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。 【解析】 （1）775040P =（种）。 （2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）. （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×6 6P =1440(种)． （4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ?= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ?=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）. （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。 【例 2】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9， 那么确保打开保险柜至少要试几次？ 【解析】 四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3， 3；2，2，2，3六种。 第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择； 第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312?=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择． 综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次． 【例 3】 一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个 数字都不相同的时刻一共有多少个? 【解析】 设A :BC DE 是满足题意的时刻，有A 为8，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不 同的数字，所以有2 6P 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有2 7P 种选法，所以共有2 6P ×27P =1260种选法。 从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。 【例 4】 4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法： ⑴ 甲不在中间也不在两端； ⑵ 甲、乙两人必须排在两端； ⑶ 男、女生分别排在一起；