(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
结构优化设计
structural optimal design (optimum structural design)
参考书：1. 孙靖民：机械优化设计，机械工业出版社，2003
2. 孙德敏：工程最优化方法和应用，中国科大出版社，1997
3. 施光燕：最优化方法，高教出版社，1999
绪论
1. 内容
基本概念：
结构(structure) 广义—系统组成；
窄义—承受载荷、维持系统几何形状不变的部分，如梁杆板壳及其组合。结构是用来支承有效载荷的。
设计(design) 完成一项新产品、新工程前的方案构思（如大小、尺寸、形状、材料、工艺过
程等）。数据—数字化--CAE
优化(optimization) 从几种方案中选出最好的—优选；从设计空间中的无数种方案中用计算
机选出最好的—优化。 2. 工程中的优化问题
1） 桥梁
2） 等强度梁，铁塔 3） 飞机、航天器
4） 其他领域（控制、化工）
3. 发展史: 牛顿，计算机， 钱令希；MATLAB —优化工具箱；遗传算法
MATLAB —面向工程的高级语言 Optimization Toolbox 主要功能：
1） 线性规划 x c T
b
Ax ?≤min —— ()
b A
c lp x ,,*
=
2） 二次规划 ??
?
??+≤x c x H x T T b Ax 21min —— ),,,(*b A c H qp x =
一、
概述（入门实例）
一、 举例 1. 人字架优化
已知：2B=152cm, T=0.25cm, E=2.1×105Mpa, ρ=7.8×103kg/m 3, σ=420Mpa, 2F=3×105N
求：min [m(D,h)] 满足强度和稳定要求 解：变量 D,h
载荷 ()
h
h B
F
F F 2
122
1cos /+==θ--单杆内力
应力 (
)
hTD
h B F A F πσ2
1
22
1+==
临界应力 )
(8)
(2
2222h B D T E A F e e ++==πσ 强度条件 y σσ≤
(
)
hTD
h
B F π2
122
+y σ≤
稳定条件 e σσ≤
(
)
hTD
h
B F π2
122
+)
(8)
(2
2222h B D T E ++≤
π
目标函数：2
12
2)(22),(min h B TD AL h D m +==πρρ
● 解析法：2
12
2)(22),(min h B TD AL h D m +==πρρ
不考虑稳定条件，由强度条件建立D,h 关系
极限情况 y h D σσ=),(Th
h B F D y πσ2
/122)(+=→→
h
h B F h B TD AL h m y 2
22
1
2
2
2)(22)(+?=+==σρπρρ 012)(22=???? ?
?-=h B F dh h dm y σρcm B h 76*
==→→ cm D 43.6*
=
校核稳定条件 ),(),(*
***h D h D e σσ≤，没问题。
● 图解法 p6
2. 汽车减振
设计变量 ()T
c c c k k k x 321321,,,,,=
目标函数 ),,,(3211Λ&&k k k z mim →
3. 管理
p94 甲 9公斤， 3工时， 4千瓦， 600元
乙 4 10 5 1200 360公斤/天，300工时/天，200千瓦/天
211200600m ax x x +→
200
5430010336049212121≤+≤+≤+x x x x x x 4. 求解非线性方程组
例 方程组： 0)(1=x f M
0)(=x f n
∑==n
i i x f x F 1
2
)()(min
二．数学模型（mathematical model ）
1）设计变量(design variables) ()T
n x x x x Λ21,=
2） 目标函数(objective function) ()x f m in
3） 约束(constrains ) s.t. ()0=x h i ()m i ,,2,1Λ= 0)( x x x 21,= ())1200600(m in 21x x x f +-= s.t. (subject to) 2005403001030 36049212121≤-+≤-+≤-+x x x x x x 作业： 二. 数学基础 矢量代数，数学规划 （一）方向导数和梯度 1. 方向导数（direction derivative ） ● 偏导数 ()() 1 2010201100 1 ,,lim 10 x x x f x x x f x f x x ?-?+=??→? ● 方向导数 ()() d x x f x x x x f d f d x ?-?+?+=??→?20102201100 ,,lim ()()d x d x x x f x x x x f d ????+-?+?+= →?1 220102201100 ,,lim ()()d x x x x f x x x f d ???-?++ →?2 22010220100 ,,lim 22 11 cos cos 0 θθx x x f x f ??+ ??= ??? ?????? ? ??????=2121 cos cos ..0 θθx x f x f ()d x f T ??=0 定义：梯度 （gradient ）()??? ? ??????=?=2100)(x f x f x f x g 单位向量()T d 21cos .cos θθ= 结论：方向导数等于梯度与该方向的单位向量的点积。 推广：n 维向量 .()()T n x f x f x f x f x g ??? ? ????????=?=Λ,, 2 1 00 ()T n d θθθcos cos cos 21Λ= ()d x g d f T ?=??0 2. 梯度的性质 ● 梯度是向量； ● 函数沿梯度方向变化最大；()()d g g d x g d f T ???=?=???cos 10 ● 等值线（面） ()c x f = ● 沿等值线（面）的切线方向函数变化率最小（=0）；沿等值线（面）的法线函数变 化率最大。 （二）Taylor 级数—Taylor series 1. 一元函数 ()Λ+?''+ ?'+=2000! 21 )()()(x x f x x f x f x f 2. 二元函数 ()()()()()Λ Λ+????+??+=+?? ???????+?????+???+???+ ???+=x x H x x x g x f x x f x x x x f x x f x x f x x f x f x x f T T x x x x x 000222 2 22121221 21 22 2 11 0212 1 2 21,0000 0 ()0 2222 12 2122 1 20x x f x x f x x f x f x H ??? ??? ????????????????= 3. 多元函数 ()()()()Λ+????+??+=x x H x x x g x f x f T T 0002 1 ()() T x x x x n f f f x g 0 21,,0Λ= ()0 2 1 2221 2121110x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n f f f f f f f f f x H ??????????????=Λ M ΛM M ΛΛ--Hess 矩阵 （三）极（小）值条件 1. 一元函数 ()()0 00>''='x f x f 驻点，极小，极大 2. 二元函数 0..021==x x f f 011>x x f ； 02 2122 111>x x x x x x x x f f f f 3. 多元函数 ● 梯度为零； ● Hess 矩阵正定的（各阶主子式的行列式大于零）。 （四）凸规划—convex programming 1. 全局最优和局部最优（极值）--global optimum and local optimum 2. 凸集—convex set 几何解释：图 任选 A x ∈1， A x ∈2， 10≤≤α， 有线段 ()[]A x x ∈-+211αα 则 A 为凸集。 凸集的性质： ● A 为凸集，α为实数，则αA 也是凸集； ● A 、B 为凸集, 则 B A +也为凸集； ● A 、B 为凸集, 则A,B 的交集也是凸集。 3. 凸函数 函数)(x f 在定义域),(b a 内是凸函数的必要条件是：域内任选21,.x x ，有 [])()1()()()1()(2121x f x f x f x f f αααα-+≤-+ 4. 凸性条件 函数在定义域内是凸函数的条件是Hess 矩阵正定或半正定。 5. 凸规划 定义：目标函数)(x f 和约束方程m j x g j Λ,2,1),.(=都是凸函数。 性质： ● c x f ≤)(的区域为凸集； ● m j x g j Λ,2,1,.0)(=≤ 所围成的区域是凸集。 ● 凸规划有唯一的极小值—全局极小值。 例题：542)(12 22 122 14 1+-++-=x x x x x x x f 22042442211213121=+==-+-=x x f x x x x f x x --〉4,..2* 2*1==x x 2 42 412''1 221''2211=-=+-=x x x x f x f x x f 0) 4,2(''''2 2 12 11>x x x x x x f f f f 作业 1 判断凸性 ● 10223)(212 221+--+=x x x x x f ● 122)(1212221++-+=x x x x x x f 2 判断凸规划 ● 122)(m in 212221+-+=x x x x x f 1)(......04)(...... 01)( (2122) 22 1121≤-+=≤-+==--=x x x g x x x g x x x h t s ● 3 建立数学模型 二. 一维优化（搜索）方法 （一）概述 1. 一维问题：多维问题优化问题可分解为很多个一维优化问题—沿某个方向优化问题。 2. 非凸规划问题的优化方法 ● 网格法 * )(.min x x f i →，缩小区间，继续搜索。 ● Monte Carlo 方法 b i a i i x x x )1(αα-+=， 10≤≤i α， 随机数。 比较各次得到的*j x 得解* x ● 遗传算法(专题) （二）区间消去法（凸函数） 1. 搜索区间的确定：高—低--高（b a f f f <>）则 区间内有极值。 2. 区间消去法原理：在区间 [a, b] 内插两个点a 1, b 1 保留有极值点区间，消去多余区间。 []b a f f a a ,121→> [] 121,b a f f a a →< ?21→=a a f f 缩短率：L L L ?-= λ （三）0.618法 1. Fibonacci 法—理想方法，不常用。 2. 黄金分割法（0.618法） ● 原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短 率λ相同。左右对称。 l l ?-= 1λ λλ-=12 618034.02 4 11=++-= λ ● 程序：p52 （四）插值方法 1. 抛物线法 原理：任意插3点：321βββ<< 算得：()11βf y =； ()22βf y =； ()33βf y = 要求：321y y y <> 设函数)(x f 用经过3点的抛物线2 210)(x a x a a x P ++=代替，有 12 12110y a a a =++ββ 22 22210y a a a =++ββ 3232310y a a a =++ββ 解线代数方程 ?? ????????=?????????????????? ? ?321210233222 211111y y y a a a ββββββ 解得： ()()()()()() 1332213 212131322ββββββββββββ----+-+-= y y y a ()()() ()()() 1332213 2212212321322 21 ββββββββββββ----+-+-= y y y a 212*a a x p -=≈β()()() ()()()3 212131323 22122123213222y y y y y y ββββββββββββ-+-+--+-+-= 程序框图p57 2. 3次曲线插值方法 已知：b a <； 0)(<'a f ； 0)(>'b f 。 设：近似曲线 D a x C a x B a x A x P +-+-+-=)()()()(2 3 C a x B a x A x P +-+-=')(2)(3)(2 0)(='x P ??? ? ? ?-±-+=A AC B B a x p 332 取正号得极小值 方程： )(a f D = )()()()(23b f D a b C a b B a b A =+-+-+- )(a f C '= )()(2)(32b f C a b B a b A '=+-+- 解出A,B 3. 牛顿法（已知导数） 作业： 推导3次曲线插值法 四 无约束优化方法(unconstrained optimization methods) （一） 引言 1. 必要性：存在少量无约束问题；有约束问题可以变为无约束问题。 2. 策略：多维问题变为多个一维问题 选初始点0x 搜索方向d )(.min )(.min 0d x f x f α+→； α--优化步长（因子） d x x 101α+= （二） 梯度法(gradient method)—最速下降法 1. 原理：取 )(x g d -= ● 则 )(1k k k k x g x x α-=+ ● 图示 ● 相邻两个方向相互垂直 )(.m in ))((.m in )(.m in 1k k k k k x g x f x f α?α=-=+ 0)()()(1=?='+K T k k x g x g α? 2. 算例 2 2214)(.m in x x x f +=； T x )2,2(0= 应有 T x )0,0(*= 解：??????=2182)(x x x g ； ? ?????=1640 g 0001.g x x α-= )()162(4}42()(221α?αα=-+-=x f ()0='α?, 157.20=α ()? ?? ???-=??????-??????=-=0923.0476.1164157.2220001x g x x α 图p62 继续，()()211211121.m in m in )(x x f g x x x g →→=→-=→αα?α ??????-=738.0952.21g ，..293.11=α，…? ?? ???=222.0222.02 x ，… 经7次迭代可接近极值点（0，0），5 10-<ε 3. 框图 p63 4.方法特点 ● 远离极值点收敛快，近则慢； ● 方法简单，编程容易。 坐标变换—椭圆变圆； ()2 22 12211.5,.y y y f x y x y +=→== 坐标轮换法（椭圆主轴与坐标轴一致，简单） (三) 牛顿法（Newton —Raphson 法） 1. 一元函数 Λ+-''+ -'+=2))((2 1 ))(()()(k k k k k x x x f x x x f x f x f 极值条件 0))(()()(=-''+'='k k k x x x f x f x f 解得 )()(11k k k k x f x f x x '''-=-+ 图解（切线法） 2. 多元函数 )()()(2 1 )()()()()(k k T k k k k x x x H x x x x x g x f x x f -??-+-?+=≈? 极小值 0)()()()(=-?+='k k k x x x H x g x ? 解得： )().(11k k k k x g x H x x -+-= ● 牛顿方向：)().(1 k k k x g x H d --= ● 例题p64 ● 特点：收敛快，牛顿方向改进了梯度方向 a.要求二阶导数，矩阵求逆 b.只适宜凸规划问题 3. 方法改进 ● 和梯度法结合； ● 阻尼牛顿法 [] )()(1 1k k k k k x g x H x x -+-=α 4. 框图p65 （四）共轭方向法(conjugate direction method) 1. 共轭方向 二次函数 c x b x H x x f T T ++= 2 1)( （4-1） H --正定对称，有极小值。等值线（面）是椭圆（球） 。对二元二次函数 一维搜索 0001d x x α+= 1x 是极值点，其方向导数为0，应与等值线相切，与梯度方向垂直。有 ()0.010 1 ==??d x g d f T x 要求找2x 不沿梯度方向，直指* x ，有 111*d x x α+= 由（4-1）知 ()b x H x g +=11 极值点 ()0* * =+=b x H x g () 0.)()(111111*=+=++=d H x g b d x H x g αα 上式左乘T d 0得 0..10=d H d T -------加权正交 称10,d d 为共轭方向。 定义：对多元函数 0..=j T i d H d ； j i d d ,--共轭方向（向量） 2. 共轭方向的性质 ● n 维问题最多只有n 个独立的共轭向量； ● 共轭向量是线性无关的； ● n 维问题沿共轭向量方向搜索，最多n 次到达极值点。 3. Gram —Schmidt 方法 ● 任意选择一组线性无关n 个n 维向量系110,,,-n v v v Λ； ● 令 00v d = 01011d v d β+= 由 () 001010=+d v H d T β 得 0 01 010d H d v H d T T -=β 令 ∑=++++ =k r r r k k k d v d 0 )1(11β 由 () 0)1(1=+++r r k k T r d v H d β ； k r ,,1,0Λ= 得 r T r k T r r k d H d v H d 1 )1(++-=β 4. 算例 p68 5. 特点：求二阶导数，共轭方向法不常用。 （五）共轭梯度法(conjugate gradient method) 1. 相邻两点的梯度差 二次函数 c x b x H x x f T T ++= 2 1)( 一维搜索 k k k k d x x α+=+1 相邻位移 k k k k d x x α=-+1 相邻梯度 b x H g k k +=++11 b x H g k k += k k k k k k d H x x H g g ?=-=-++α)(11 左乘共轭得： 0)(1=?=-+k T j k k k T j d H d g g d α 结论：相邻梯度差与共轭向量正交。 2. 共轭梯度法步骤 1) 选定0x ，计算00g d -= 计算 0001.d x x α+= 2）找共轭方向 0011d g d β+-= 共轭条件：()0011=-?g g d T ()()001 01=-?+-g g d g T β 得： 2 2100110g g g g g g T T =??=β 02 2111d g g g d +-= 1112.d x x α+= 递推公式 k k k k k d g g g d 2 2111++++-= 证明：00g d -= 02 2111d g g g d + -= 001122d d g d γγ++-= 共轭条件 0)()(0100112=-++-g g d d g T γγ 0)()(1200112=-++-g g d d g T γγ 注意210,,g g g 相互正交，解得 12 1 221βγ-=- =g g 2 2110g g ? =γγ 得 12 1 2222d g g g d +-= 穷举下去得递推公式 3. 算例 p73 4. 框图 p72 5. 特点 作业：1. 222125)(m in x x x f +=? 2. 60410)(21212 221+---+=x x x x x x x f T x )2,2(0= T x )0,0(0= （六） 变尺度法 1. 引言 ● 坐标变换 ● 二次函数 c x b x G x x f T T ++''= '2 1)( 令 x Q x =' Q 为尺度变换矩阵 有 x GQ Q x x G x T T T 2 1 21='' 因H 为正定对称矩阵，存在Q ，使得 I GQ Q T = I G QQ T =； H G QQ T ==-1 --尺度矩阵 2. 变尺度矩阵的建立 ● 牛顿法 k k k k k g G x x 11-+-=α k k k k k g H x x α-=+1 1-≈k k G H --不用求逆得到，在迭代中逐步趋近。 ● k H 正定对称； ● k k k E H H +=+1。 k E --校正矩阵； ● 满足拟牛顿条件 k k k k x x g g G -=-++-111)( k k k k k x x g g H -=-+++111)( ● 迭代公式 k k k s y H =+1 k k k g g y -=+1； k k k x x s -=+1 Λ→→+=→→-=→=→→2001100001000x E H H g g H x x I H g x α ?=k E 3. 框图 p77 4. DFP (Davidon —Fletcher--Powell)算法 T k k k T k k k k v v u u E βα+=--待定 代入拟牛顿条件 k k k k k y H s y E -= k k k k T k k k T k k k y H s y v v u u -=+).(βα k k k k T k k k k T k k k y H s y v v y u u -=+..βα 因为待定，可取 k k T k k k s y u u =.α k k k T k k k y H y v v -=.β 又因 k T k k T k y v y u .,..是数量，可取 k k s u =； k k k y H v = 4、最优点、最优值和最优解 答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作: x * = [x1* , x2* , x3* , . . . , x n *]T 使该设计点的目标函数F (x*)为最小，点x*称为最优点(极小点)。相应的目标函数值F (x*) 称为最优值(极小值)。一个优化问题的最优解包着最优点(极小点)和最优值(极小值) 。把最优点和最优值的总和通称为最优解。 或： 优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x €R n s.t. g u (x)w 0,u= 1,2,... ,m； h v (x) = 0,v= 1,2,... ,p 机械优化设计习题及参考答案 1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12T n x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l ==L ()0 (1,2,)j g x j m ≤=L 2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的 形式：?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f ρ 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]2 1[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。 （1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。 （2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。 2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向和数值。 解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ?。求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下： ()??? ???-=????? ?+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2 221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p ? 2-3.试求目标函数()2 221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下 降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向是 ??????-=??????-+-=?????? ??????????-=-?=====462446)(0 121210 1210 2121x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量是： 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点是 百度文库 《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 、用最速下降法求 2 2 2 2 的最优解时，设X （0）T ，第一步迭代 1 1 ＝[,] 1 f(X)=100(x - x ) +(1- x ) 的搜索方向为 [-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。 3、当优化问题是 __凸规划 ______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高趋势。 5、包含 n 个设计变量的优化问题，称为n 维优化问题。 、函数 1 X T HX B T X C 的梯度为HX+B 。 6 2 7、设 G 为 n×n 对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量0，d1，满足 (d0 T1 ，d ) Gd =0 则 d0、d1之间存在 _共轭_____关系。 8、设计变量、约束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数 f (x1 , x2 ) ，若在 x 0 ( x10 , x20 ) 点处取得极小值，其必要条件是梯 度为零，充分条件是海塞矩阵正定。 10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11 、用黄金分割法求一元函数 f ( x) x2 10 x 36的极小点，初始搜索区间 [ a,b] [ 10,10] ，经第一次区间消去后得到的新区间为[,] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件目标函数、 13、牛顿法的搜索方向 d k= ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 2 2 表示成 1 X T HX T X C 的形 1 +x2 -x1x2-10x1-4x2+60 2 B 式。 15、存在矩阵 H，向量 d ，向量 d ，当满足(d1)TGd2=0 ，向量 d 和向量 d 1 2 1 2 是关于 H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子 r 数列，具有由小到大趋于无穷特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 机械优化设计习题及参考答案 1-1、简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答:优化问题的数学模型就是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后,优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量[]12 T n x x x x =使 ()min f x → 且满足约束条件 ()0 (1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤= 2-1、何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？ 答:二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式:?? ??????????????=??+??=??2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d f 令xo T x f x f x f x f x f ?? ????????=????=?21]21[)0(, 则称它为函数f(x 1,x 2)在x 0点处的梯度。 (1)梯度方向就是函数值变化最快方向,梯度模就是函数变化率的最大值。 (2)梯度与切线方向d 垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度)0(x f ?方向为函数变化率最大方向,也就就是最速上升方向。负梯度-)0(x f ?方向为函数变化率最小方向,即最速下降方向。 2-2、求二元函数f(x 1,x 2)=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最 大的方向与数值。 解:由于函数变化率最大的方向就就是梯度的方向,这里用单位向量p 表 示,函数变化率最大与数值时梯度的模)0(x f ?。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向与数值,计算如下: ()??????-=??????+-=???? ??????????=?120122214210x x x x f x f x f 2221)0(?? ? ????+??? ????=?x f x f x f =5 ????? ???????-=??????-=??=5152512)0()0(x f x f p 2-3、试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降 方向,并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解:求目标函数的偏导数 212 21124,46x x x f x x x f +-=??-=?? 则函数在X 0=[1,0]T 处的最速下降方向就是 ??????-=??????-+-=????????????????-=-?=====462446)(0121210 121021 21x x x x x x x x x f x f X f P 这个方向上的单位向量就是: 13]2,3[4 )6(]4,6[T 22T -=+--==P P e 新点就是 ????? ???????-=+=132133101e X X 新点的目标函数值 优化设计案例分析 优化设计是在给定的设计指标和限制条件下,运用最优化原理和方法,在电子计算机上进行自动调优计算,从而选定出最优设计参数,使设计指标达到最优值。该最优设计参数就是一个最优设计方案。所谓设计指标,就机械设计而言,一般是指重量轻、能耗小、刚性大、成本低等;所谓限制条件,是指强度要求、刚度要求、尺寸范围要求等。 设计变量选择 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。在充分了解设计要求的基础上，根据各设计参数对目标函数的影响程度分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。注意各设计变量应相互独立，避免耦合情况的发生，否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。 目标函数与约束的确定 对于一般机械，可按重量最轻或体积最小建立目标函数；对应力集中现象突出的构件，以应力集中系数最小为目标；对精密仪器，应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数。约束条件是就工程设计本身而提出的对设计变量取值范围的限制条件，目前尚无一套完整的评价方法来检验哪些约束是必须，哪些约束是可忽略的，通常是凭经验取舍，不可避免会带来模型和现实系统的不相吻合。在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。 数学模型确立 数学模型越精确，设计变量越多，维数越大，建模越复杂，优化进程越慢；但数学模型忽略过多元素，则难以确切凸现结构的特殊之处。故要结合工程实际和优化设计经验，把握与研究目标相关程度大的因素，尽可能的建立确切、简洁的数学模型。然后通过基于统计理论的检验方法———t 检验/F 检验/ X2检验/ 拟合优度检验等，分析模型的置信区间，对模型有效性进行评价，提高模型的准确度。 下面以机票销售策略案例进行说明 某航空公司每天有三个航班服务于A, B, C, H四个城市,其中城市H是可供转机使用的, 三个航班的出发地-目的地分别为AH, HB, HC,可搭乘旅客的最大数量分别为120人, 100人, 110人, 机票的价格分头等舱和经济舱两类. 经过市场调查,公司销售部得到了每天旅客的相关信息, 见表1. 该公司应该在每条航线上分别分配多少头等舱和经济舱的机票? 第一、填空题 1.组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。 2.可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其 指标的确定 。 3.多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段 、 偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。 4.各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。 5.建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映 工程实际问题 的基础上力求简洁 。 6.系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、 混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。 7. 函数f(x 1,x 2)=2x 12 +3x 22-4x 1x 2+7在X 0=[2 3]T 点处的梯度为 ，Hession 矩阵为 。 （2.）函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ????，海赛矩阵为2442-???? -?? 8.传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。 9.串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。 10.与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。 11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。 12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定。 13.对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。 14.加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从 正态分布 。 15.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 模型求解 两方面的内容。 17.无约束优化问题的关键是 确定搜索方向 。 18.多目标优化问题只有当求得的解是 非劣解 时才有意义，而绝对最优解存在的可能性很小。 19.可靠性设计中的设计变量应具有统计特征，因而认为设计手册中给出的数据 《机械优化设计》复习题及答案 一、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位 置。 14、将函数 f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60 表示成 C X B HX X T T ++2 1的形式 。 15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 由小到大趋于无穷 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求 。 机械优化设计案例1 1. 题目 对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设计。 2.已知条件 已知数输入功p=58kw ，输入转速n 1=1000r/min ，齿数比u=5，齿轮的许用应力[δ]H =550Mpa ，许用弯曲应力[δ]F =400Mpa 。 3.建立优化模型 3.1问题分析及设计变量的确定 由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。 单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为： ] 3228)6.110(05.005.2)10(8.0[25.087)(25.0))((25.0)(25.0)(25.02221222122212222122121222 212221202 22222222121z z z z z z z z z z z g g z z d d l d d m u m z b bd m u m z b b d b u z m b d b z m d d d d l c d d D c b d d b d d b v +++---+---+-=++++- ----+-=πππππππ 式中符号意义由结构图给出，其计算公式为 b c d m u m z d d d m u m z D m z d m z d z z g g 2.0) 6.110(25.0,6.110,21022122211=--==-=== 由上式知，齿数比给定之后，体积取决于b 、z 1 、m 、l 、d z1 和d z2 六个参数，则设计变量可取为 T z z T d d l m z b x x x x x x x ][][21165 4321 == 3.2目标函数为 min )32286.18.092.0858575.4(785398.0)(26252624252463163212 51261231232123221→++++-+-+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 3.3约束条件的建立 1）为避免发生根切，应有min z z ≥17=，得 第一、填空题 1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。 2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-?? ? ??? ，海赛矩阵 为2442-?? ? ? -?? 3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。 4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。 5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。 6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。 7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收 敛速度较 慢 。 8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定 9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。 10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩 11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题 12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。 13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。 14.数学规划法的迭代公式是 1k k k k X X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长 15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。 16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 二、名词解释 第一章习题答案 1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。检验员每错检一件，工厂损失2元。现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人？ 解：（1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ?? ????=? ??? ??二级检验员一级检验员 21x x ； （2）建立数学模型的目标函数； 取检验费用为目标函数，即： f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25*0.02x 1 +8*15*0.05x 2 ） =40x 1+ 36x 2 （3）本问题的最优化设计数学模型： min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3· s.t. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0 g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0 g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤0 1-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。欲选择一组设计变量T T n D d x x x ][][2 32 1 ==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥， 簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。试建立该优化问题的数学模型。 注：弹簧的应力与变形计算公式如下 3 22234 881 ,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解： （1）确定设计变量； 根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ????? ? ????=??????????n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数； 取弹簧重量为目标函数，即： f (X ) = 322 12 4 x x rx π （3）本问题的最优化设计数学模型： 《机械优化设计》复习题及答案 、填空题 1、用最速下降法求f(X)=100(x2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X (°)=[-0.5,0.5]T，第一 步迭代的搜索方向为[-47;-50]_________________ 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因 子 ________ 。 3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。 5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。 1 6、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。 2 7、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d0，d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。 8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为 零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。 10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作 用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数f (x) x2 10x 36的极小点，初始搜索区间 [a,b] [ 10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、 13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ，其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。 14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10x1-4x2+60 表示成-X T HX B T X C 的形 2 式 ________________________ 。 15、存在矩阵H，向量d1，向量d2,当满足(d1)TGd2=0 ，向量d1和向量d2是关于H共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子r数列，具有____________ 由小到大趋于无穷 ________________ 特点。 17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 求 _____________ 。 机械优化设计复习题 一、单项选择题 1.机械优化设计中，凡是可以根据设计要求事先给定的独立参数，称为（ ） （P19-21） A ． 设计变量 B ．目标函数 C ．设计常量 D ．约束条件 2.下列哪个不是优化设计问题数学模型的基本要素（ ）（P19-21） A ．设计变量 B .约束条件 C .目标函数 D .最佳步长 3.凡在可行域内的任一设计点都代表了一允许采用的方案，这样的设计点为（ ） （P19-21） A .边界设计点 B .极限设计点 C .外点 D .可行点 4.当设计变量的数量n 在下列哪个范围时，该设计问题称为中型优化问题 （P19-21） A .n<10 B .n=10~50 C .n<50 D .n>50 5. 机械最优化设计问题多属于什么类型优化问题（ ）（P19-24） A .约束线性 B .无约束线性 C .约束非线性 D .无约束非线性 6. 工程优化设计问题大多是下列哪一类规划问题（ ）（P22-24） A .多变量无约束的非线性 B .多变量无约束的线性 C .多变量有约束的非线性 D .多变量有约束的线性 7. n 元函数在()k x 点附近沿着梯度的正向或反向按给定步长改变设计变量时，目 标函数值（ ）（P25-28） A .变化最大 B .变化最小 C .近似恒定 D .变化不确定 8.()f x ?方向是指函数()f x 具有下列哪个特性的方向（ ）（P25-28） A . 最小变化率 B .最速下降 C . 最速上升 D .极值 9. 梯度方向是函数具有（ ）的方向 （P25-28） A ．最速下降 B ．最速上升 C ．最小变化 D ．最大变化率 10. 函数()f x 在某点的梯度方向为函数在该点的（）（P25-28） A .最速上升方向 B .上升方向 C .最速下降方向 D .下降方向 11. n 元函数()f x 在点x 处梯度的模为（ ）（P25-28） A .f ?= B .12...n f f f f x x x ????=++??? C .22212()()...()n f f f f x x x ????=++??? D .f ?=12.更适合表达优化问题的数值迭代搜索求解过程的是（ ） （P25-31） A ．曲面或曲线 B ．曲线或等值面 C ．曲面或等值线 D ．等值线或等值面 13.一个多元函数()f x 在*x 点附近偏导数连续，则该点为极小值点的充要条件 （ ）（P29-31） A.*()0f x ?= B. *()0G x = C. 海赛矩阵*()G x 正定 D. **()0G()f x x ?=，负定 机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．() *0F X ?= B. ()* 0F X ?=,() *H X 为正定 C ．() *0H X = D. ()* 0F X ?=,() *H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 2 1+5x 22，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2-6=0,则目 标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解 时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k) 为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k) 为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)= AX X 21T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 9.多元函数F(X)在点X * 附近的偏导数连续，?F(X * )=0且H(X * )正定，则该点为F(X)的 （ ）。 A.极小值点 B.极大值点 C.鞍点 D.不连续点 10.F(X)为定义在n 维欧氏空间中凸集D 上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X)正定，则称F(X)为定义在凸集D 上的（ ）。 、绪论 1. 思考题 1.何为约束优化设计问题 ?什么是无约束优化设计问题 ?试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类？ 2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分?写出一般形式的数学模型。 3.机械优化设计的过程是怎样的 ?它与常规的机械设计有什么不同 ? 4.怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解？ 5.试简述优化算法的迭代过程。 6.何为可行域？为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小?当优化问题中有—个等式约束时 可行域是什么 ?当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么?当 n 维优化问题中有 n 个等式约束时可 行域是什么？ 7.什么是内点、什么是外点 ?在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗?为什么 ? 8.试写出第一节中第三个问题的数学模型。 9.目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么？ 2.习题 1.设计一容积为 V 的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。 2.当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S 时，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答： ①属于几维的优化问题？ ②是线性规划还是非线性规划？ 3.欲造容积为 V 的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗最少？试写出其数学模型。 4.试求直径为 D 的圆内所有内接三角形面积中的最大值。 5?在曲面f l（X l,X2,X3）=0上找一点P l,在曲面f2（X l,X2,X3）=0上找一点卩2,使得P l与卩2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。 6?有一薄铁皮，宽b=14cm，长L=24cm，制成如图2-9所示的梯形槽，求边长 X和倾斜角a为多大时，槽的容积最大？试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。 7?欲制一批如图 2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱的容积为 2m3,问如何确定a、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数学模型。 8?—根长I的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大,试写出这一优化问题的数学模型。 9?某厂生产A、B两种产品：A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700元；B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个，获利润1200元。但计划规定可用煤 3600kN、电200度、劳动 日 300 个,试问 A、 B 各生产多少桶时利润最大？列出其教学模型,并说明属于何种数学规划问题? 10.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所 机械优化设计实例 压杆的最优化设计 压杆是一根足够细长的直杆，以学号为p值，自定义有设计变量的 尺寸限制值，求在p一定时d1、d2和l分别取何值时管状压杆的体积或重 量最小？（内外直径分别为d1、d2）两端承向轴向压力，并会因轴向压力 达到临界值时而突然弯曲，失去稳定性，所以，设计时，应使压应力不 超过材料的弹性极限，还必须使轴向压力小于压杆的临界载荷。 解：根据欧拉压杆公式，两端铰支的压杆，其临界载荷为：I——材料的惯性矩，EI为抗弯刚度 1、设计变量 现以管状压杆的内径d1、外径d2和长度l作为设计变量 2、目标函数 以其体积或重量作为目标函数 3、约束条件 以压杆不产生屈服和不破坏轴向稳定性，以及尺寸限制为约束条件，在外力为p的情况下建立优化模型： 1） 2） 3） 罚函数： 传递扭矩的等截面轴的优化设计解：1、设计变量： 2、目标函数 以轴的重量最轻作为目标函数： 3、约束条件： 1）要求扭矩应力小于许用扭转应力，即： 式中：——轴所传递的最大扭矩 ——抗扭截面系数。对实心轴 2）要求扭转变形小于许用变形。即： 扭转角： 式中：G——材料的剪切弹性模数 Jp——极惯性矩，对实心轴： 3）结构尺寸要求的约束条件： 若轴中间还要承受一个集中载荷，则约束条件中要考虑：根据弯矩联合作用得出的强度与扭转约束条件、弯曲刚度的约束条件、对于较重要的和转速较高可能引起疲劳损坏的轴，应采用疲劳强度校核的安全系数法，增加一项疲劳强度不低于许用值的约束条件。 二级齿轮减速器的传动比分配 二级齿轮减速器，总传动比i=4，求在中心距A最小下如何 分配传动比？设齿轮分度圆直径依次为d1、d2、d3、d4。第一、二 级减速比分别为i1、i2。假设d1=d3,则： 七辊矫直实验 罚函数法是一种对实际计算和理论研究都非常有价值的优化方法，广泛用来求解约束问题。其原理是将优化问题中的不等式约束和等式约束加权转换后，和原目标函数结合成新的目标函数，求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。考虑到本优化程序要处理的是一个兼而有之的问题，故采用混合罚函数法。 一）、优化过程 （1）、设计变量 以试件通过各矫直辊时所受到的弯矩为设计变量： （2）、目标函数 ~机械优化设计复习试 题与答案 https://www.wendangku.net/doc/a85614488.html,work Information Technology Company.2020YEAR 机械优化设计复习题 一.单项选择题 1．一个多元函数()F X 在X * 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ） A ．()*0F X ?= B. ()*0F X ?=,()*H X 为正定 C ．()*0H X = D. ()*0F X ?=,()*H X 为负定 2.为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n 维问题来说，复合形的顶点数K 应（ ） A ． 1K n ≤+ B. 2K n ≥ C. 12n K n +≤≤ D. 21n K n ≤≤- 3．目标函数F （x ）=4x 21+5x 2 2，具有等式约束，其等式约束条件为h(x)=2x 1+3x 2- 6=0,则目标函数的极小值为（ ） A ．1 B ． 19.05 C ．0.25 D ．0.1 4.对于目标函数F(X)=ax+b 受约束于g(X)=c+x ≤0的最优化设计问题，用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ(X,M (k) )为( )。 A. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递增正数序列 B. ax+b+M (k){min ［0,c+x ］}2，M (k)为递减正数序列 C. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递增正数序列hn D. ax+b+M (k){max ［c+x,0］}2，M (k)为递减正数序列 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10C.11.B 12.C 13A 14.B 15.B 16 D 17.D 18.A 19.B.20.D 21.A 22.D 23.C 24.B 25.D 26.D 27.A 28.B 29.B 30.B 5.黄金分割法中，每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ ）。 A.0.382 B.0.186 C.0.618 D.0.816 6.F(X)在区间［x 1,x 3］上为单峰函数，x 2为区间中一点，x 4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x 4-x 2>0,且F(x 4)>F(x 2)，那么为求F(X)的极小值，x 4点在下一次搜索区间内将作为( )。 A.x 1 B.x 3 C.x 2 D.x 4 7.已知二元二次型函数F(X)=AX X 21T ，其中A=?? ????4221，则该二次型是( )的。 A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定 8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。 A.递增负数序列 B.递减正数序列 C.递增正数序列 D.递减负数序列 《机械优化设计》复习题 一、填空 1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。 2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。 3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。 4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。 5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。 6、函数 C X B HX X T T ++2 1的梯度为 HX+B 。 7、设G 为n ×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。 8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。 9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯 度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。 10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。 11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间 ]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。 12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位置。 14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成 C X B HX X T T ++2 1的形式 。 15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。 16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r 数列，具有 由小到大趋于无穷 特点。 一、绪论 1.思考题 1.何为约束优化设计问题什么是无约束优化设计问题试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类 2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分写出一般形式的数学模型。 3.机械优化设计的过程是怎样的它与常规的机械设计有什么不同 4.怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解 5.试简述优化算法的迭代过程。 6.何为可行域为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小当优化问题中有—个等式约束时可行域是什么当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么当n维优化问题中有n个等式约束时可行域是什么 7.什么是内点、什么是外点在优化设计中内点和外点都可以作为设计方案吗为什么 8.试写出第一节中第三个问题的数学模型。 9.目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么 2.习题 1.设计一容积为V的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。 2.当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为S时，怎样设计可使油箱的容量最大试列出这个优化问题的数学模型，并回答： ①属于几维的优化问题 ②是线性规划还是非线性规划 3.欲造容积为V的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消耗最少试写出其数学模型。 4.试求直径为D的圆内所有内接三角形面积中的最大值。 5.在曲面f1(x1,x2,x3)=0上找一点P1，在曲面f2(x1,x2,x3)=0上找一点P2，使得P1与P2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。 6.有一薄铁皮，宽b=14cm，长L=24cm，制成如图2-9所示的梯形槽，求边长x和倾斜角α为多大时，槽的容积最大试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的优化设计问题。 7.欲制—批如图2-12所示的包装纸箱，其顶和底由四边延伸的折纸板组成。要求纸箱的容积为2m3，问如何确定a、b和c的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数学模型。 8.一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化问题的数学模型。 9.某厂生产A、B两种产品：A每桶需用煤90kN、电4度、劳动日3个，获利润700元；B每桶需用煤40kN、电5度、劳动日10个，获利润1200元。但计划规定可用煤3600kN、电200度、劳动日300个，试问A、B各生产多少桶时利润最大列出其教学模型，并说明属于何种数学规划问题 10.某厂生产两种机器，两种产品生产每台所需钢材分别为2吨和3吨，所需工时数分别为4千小时和8千小时，而产值分别为4万元和6万元。如果每月工厂能获得的原材料为100吨，总工时数为120千小时。现应如何安排两种机器的月产台数，才能使月产值最高。试写出这一优化问题的数学机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)
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