高三二轮复习之讲练测之练案【新课标版文科数学】1
高三二轮复习之讲练测之练案【新课标版文科数学】
专题二 函数与导数
1.练高考
1. 【高考陕西，文9】 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 【答案】B
【考点定位】函数的性质.
【名师点睛】1.本题考查函数的性质，判断函数的奇偶性时，应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再判断()f x 和()f x -的关系，函数的单调性可以通过导函数判断.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.
2. 【高考浙江，文5】函数()1cos f
x
x x
x ??
=-
???
（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取
x π=，则1
1
()()cos ()0f πππππ
π
=-
=--<，故选D.
【考点定位】1.函数的基本性质；2.函数的图象.
【名师点睛】本题主要考查函数的基本性质以及函数的图象.解答本题时要根据给定函数的解析式并根据给出的图象选项情况确定函数的基本性质，利用排除法确定正确的图象.本题属于容易题. 3.【高考天津，文8】已知函数2
2||,2
()(2),2
x x
f x x x ,函数()3(2)
g x f x ,则函数y ()()
f x
g x 的零点的个数为（）
(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A
【解析】当0x <时22x ->,所以()22f x x x =-=+,()2
2f x
x
-=,此时函数
()()()()2231f x g x f x f x x x -=+--=+-的小于零的零点为15
2
x +=-
;当02x ≤≤时()22f x x x =-=-,()222f x x x -=--= ,函数()()231f x g x x x -=-+-=-无零点;当2
x >时, ()()2
2f x x =-,()2224f x x x -=--=-,函数()()()2
224355
f x
g x x x x x -=-+--=-+大于2的零点为55
2
x +=
,综上可得函数y ()()f x g x 的零点的个数为2.故选A.
【考点定位】本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.
【名师点睛】本题解法采用了直接解方程求零点的方法,这种方法对运算能力要求较高.含有绝对值的分段函数问题,一直是天津高考数学试卷中的热点,这类问题大多要用到数形结合思想与分类讨论思想,注意在分类时要做到:互斥、无漏、最简.
4. 【高考新课标1，文10】已知函数1222,1
()log (1),1
x x f x x x -?-≤=?-+>?，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）
（A ）74-（B ）54-（C ）34-（D ）14
- 【答案】A
考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质
【名师点睛】对分段函数求值问题，先根据题中条件确定自变量的范围，确定代入得函数解析式，再代入求解，若不能确定，则需要分类讨论；若是已知函数值求自变量，先根据函数值确定自变量所在的区间，
若不能确定，则分类讨论，化为混合组求解.
5. 【高考陕西，文15】函数x
y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e
=-
【解析】()()(1)x
x
y f x xe f x x e '==?=+，令()01f x x '=?=-，此时1(1)f e
-=- 函数x
y xe =在其极值点处的切线方程为1y e
=- 【考点定位】：导数的几何意义.
【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率.
6. 【高考广东，文21】（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()2
1f x x a x a a a =-+---． （1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4
f x x
+
在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）1,2
??-∞ ??
?
；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，
()4f x x +
有一个零点2x =；当2>a 时，()4
f x x
+有两个零点．
综上所述，a 的取值范围是1,2
??-∞ ??
?
.
（2）()?????<++-≥--=a
x a x a x a
x x a x x f ,2)12(,12)(22
对于()x a x u 122
1--=，其对称轴为a a a x <-
=-=
2
1
212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；
对于()a x a x u 2122
1++-=，其对称轴为a a a x >+=+=
2
1
212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减.
综上所述，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.
结合图象不难得当2>a 时，)(x f y =与x
y 4
-=有两个交点. 综上所述，当2=a 时，()4f x x +
有一个零点2x =；当2>a 时，()4
f x x
+有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.
【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：①解方程法；②图象法． 2.练模拟
1. 【四川成都七中高高三上学期10月阶段考试（一）】设函数
则
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12 【答案】C
考点：分段函数求值，对数运算
2.【福建三明一中上学期高三第一月考12】函数y=x
sinx
,x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列中的( )
【答案】C
考点：函数的图象与性质．
【方法点睛】本题考查函数的图象与性质，属于中档题；已知函数的解析式，判定函数图象的形状时，一般通过解析式研究函数的定义域、单调性、值域、对称性、特殊值，再结合图象进行验证排除. 3.【成都七中高三阶段性测试】定义在(1,)+∞上的函数()f x 满足下列两个条件：（1）对任意的
(1,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立；（2）当(1,2]x ∈时，2()(2)f x x =-. 记函数
()()(1)g x f x k x =--，若函数()g x 恰有两个零点，则实数k 的取值范围（ ）
A ．[1,2)
B ．4[,2]3
C ．4(,2)3
D ．4[,2)3
【答案】D 【解析】
试题分析：因为对任意的(1,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立，且当(1,2]x ∈时，()2f x x =-，所以
()2f x x b =-+，(,2]x b b ∈．由题意得()(1)f x k x =-的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示
红色的直线与线段AB 相交即可（可以与B 点重合但不能与A 点重合），所以可得k 的范围为4[,2)3
.
4.【山西大学附中中学高三第一学期10月月考】若定义在R 上的函数)(x f 的
导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2
(2009)f e 的大小关系为（ ）
A.2)2009()2011(e f f >
B.2)2009()2011(e f f =
C.2)2009()2011(e f f <
D. 不能确定 【答案】A
5.【黄冈中学高三上学期期中考试】定义在R 上的函数()f x 满足：()1()f x f x '>-，(0)6f =，()
f x '是()f x 的导函数，则不等式()5x x
e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )
A ．()0,+∞
B ．()(),03,-∞+∞
C ．()(),01,-∞+∞
D ．()3,+∞
【答案】A 【解析】 试
题
分
析
：
由题意可知不等式为
()50
x x e f x e -->，设
()()()()()()()510x x x x x x g x e f x e g x e f x e f x e e f x f x '''=--∴=+-=+->????所以函数()g x 在
定义域上单调递增，又因为()00g =，所以()0g x >的解集为0x >
6.【山东师范大学附属中学高三上学期第二次模拟考试19】设函数()()()2
10x
f x ax x e
a =+-<
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当1a =-时，函数()()32
1132
y f x g x x x m ==++与的图像有三个不同的交点，求实数m 的范围. 【答案】（1）详见解析；（2）31
16
m e --
<<-. 试题解析：（1）()()()()2'[21]210x x f x ax a x e x ax a e a =++=++<
()121
'0,0,2f x x x a
===--
2分 ①()211,'022
x
a f x x e =-=-
≤，()f x 在(),-∞+∞上递减；4分 ②1210,2a x x -
<<<，()f x 在(),0-∞上递减；在10,2a ??-- ???上递增，在12,a ??
--+∞ ???
上递减6分
③211,2a x x <-
<，()f x 在1,2a ?
?-∞-- ??
?上递减；在12,0a ??-- ???上递增，在()0,+∞上递减7分
（2）1a =-，函数 ()()32
1132
y f x g x x x m ==
++与 的图像有三个不同的交点，等价于(
)
2
32
11132
x
m x x e x x -=-++
+有三个不同的根
12分
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值.
【方法点睛】1、函数单调性的判断：函数()y f x =在某个区间内可导，如果'
()0f x >，那么()y f x =在这个区间内单调递增；如果'
()0f x <，那么()y f x =在这个区间内单调递减.
2.函数的最大值和最小值：设函数()y f x =是定义在区间[,]a b 上的函数，()y f x =在区间(,)a b 内有导数，求()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.练原创
1.已知R m ∈，函数2|21|,1,
()log (1),1,
x x f x x x +
->?2()221g x x x m =-+-，若函数(())y f g x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A.3(0,)5
B.33(,)54
C.3
(,1)4
D.(1,3)
【答案】A 【解析】 试题分析：
函数()()???
??>-<+=1
1log 1
122x x x x x f 的图象如图所示，令()t x g =，()t f y =与m y =的图象最多有3个零点，
当有3个零点，则30< 1222-+-=m x x t ，则每一个t 的值对应2个x 的值，则t 的值不能为最小值，对称轴1=x ，则最小值 221221-=-+-m m ，由图可知，m t -=+121，则2 1 1--= m t ，由于1t 是交点横坐标中最小的，满足2221->--- m m ①30< 3 0< 2 ()x f x e >的解是（ ） A ．ln 4x > B ．0ln 4x << C ．1x > D ．01x << 【答案】A 3．函数|1|| |ln --=x e y x 的图象大致是（ ） 3 【答案】D 4.已知R 上的连续函数g(x)满足：①当0x >时，'()0g x >恒成立('()g x 为函数()g x 的导函数)；②对任意的x R ∈都有()()g x g x =-，又函数()f x 满足：对任意的x R ∈，都有(3)(3)f x f x =成立。 当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-。若关于x 的不等式2 [()](2)g f x g a a ≤-+对3 [3, 23]2 x ∈-+恒成立,则a 的取值范围是（ ） A 、a R ∈ B 、01a ≤≤ C 、131332424 a --≤≤-+ D 、0a ≤或1a ≥ 【答案】D 【解析】 试题分析：因为g(x)满足：①当0x >时，'()0g x >恒成立('()g x 为函数()g x 的导函数)；②对任意的 x R ∈都有()()g x g x =-，所以g(x)为R 上的偶函数且在[0,)+∞上是增函数，且有，()()g x g x = 所以，()() 2 3 2,[3,23]2 g f x g a a x ≤-+∈-+????恒成立()2 2f x a a ?≤-+恒成立，只要使得这定义域内() 2max 2f x a a ≤-+ 由(3)(3)f x f x =得：(23)()f x f x +=，即函数()f x 的周期23T =因为当[3,3]x ∈-时，3()3f x x x =-，求导得：() ()()2 2 ()3331311f x x x x x '=-=-=+- 当x 变化时，()f x '及()f x 的变化情况如下表： x 3- () 3,1- - 1 ()1,1- 1 ()1,3 3 ()f x ' + 0 0 + ()f x 增函数 2 减函数 2 增函数 由表可知，函数()f x 在[3,3]-上的最大值为()12f =，由函数的周期性知，函数()f x 在 3 [3,23]2 -+上的最大值为2； 由2 22a a ≤-+，得：22 220a a a a ≤-+?-≥ 解得：0a ≤或1a ≥，故选D. 5.已知函数.ln )(,2 1)(2 x e x g x x f == （1）设函数),()()(x g x f x F -=求)(x F 的单调区间； （2）若存在常数,,m k 使得m kx x f +≥)(对R x ∈恒成立，且m kx x g +≤)(对),0(+∞∈x 恒成立，则称 直线m kx y +=为函数)(x f 与)(x g 的“分界线”， 试问：)(x f 与)(x g 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)函数()x F 的单调减区间是（0，e ），单调增区间是（e ，＋∞）； （2）“分界线”的方程为：2 e y ex = - 试题解析： 解析：（1）由于函数()=x f 2 12 x ，()x e x g ln =， 因此()()()= -=x g x f x F 2 12 x x e ln -， 则'()e F x x x =-＝2x e x -＝ ()() ,(0,)x e x e x -+∈+∞，……3分 当< 当> x e 时，'()F x ＞0，所以()x F 在（e ，＋∞）上是增函数；……5分 因此，函数()x F 的单调减区间是（0，e ），单调增区间是（e ，＋∞） 高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图 1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( ) A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④ 2．有下列四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体； ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是( ) A．1B．2C．3D．4 3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( ) 4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( ) 5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( ) A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋3 7．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1 ，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2 ①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆 8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________． 10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成． 11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？ 12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示． (1)画出该三棱锥的直观图； (2)求出侧视图的面积． 1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( ) A．23B．3C.3D．4 2．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面 ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平 面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为 2 2 .若M，N分别是线段DE，CE 上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________． 3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形． (1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图； (2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C； (3)求该多面体的表面积． [答题栏] A级1._________2._________3._________4._________5 ._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________ 答案 高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十) A级 1．A2.A3.C4.B 5．选B由斜二测画法知B正确． 6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋1 2 ×2×3＝4＋ 3. 7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤. 答案：①②③ 8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝53 3 . 答案：53 3 9.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2. 答案：2＋22 10．解：图1几何体的三视图为： 图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中， 高OS ＝3， 侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7， 在Rt △SOA 中， OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点． 连接SE ，则SE 即为斜高， 在Rt △SOE 中， ∵OE ＝1 2BC ＝2，SO ＝3， ∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5. 12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝ 42－? ?? ??23×32×232 ＝12＝23， ∴S △VBC ＝1 2 ×23×23＝6. B 级 1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3. 2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于 3 2－? ?? ??222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝2 2，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝3 3，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此 时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3. 答案：3 3．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下： (2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C. ∵OE ?平面A1C1C ，A1C ?平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C. (3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a2 2 ， S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a2 2， S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积 S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a2 8＝5a2.