专题2.13 交点零点有没有,极最符号异与否-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品(原卷版)

专题13 交点零点有没有，极最符号异与否

【题型综述】

导数研究函数图象交点及零点问题

利用导数来探讨函数)(x f y =的图象与函数)(x g y =的图象的交点问题，有以下几个步骤：

①构造函数)()()(x g x f x h -=； ②求导)('x h ；

③研究函数)(x h 的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）； ④画出函数)(x h 的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式； ⑤解不等式得解.

探讨函数)(x f y =的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.

【典例指引】

例1．已知函数()1

ln f x a x x

=-

，a R ∈． （I ）若曲线()y f x =在点（1，()1f ）处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；

（II ）当1a =时，试问曲线()y f x =与直线23y x =-是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．

例2．已知函数f(x)=lnx ，h(x)=ax(a 为实数)

（1）函数f(x)的图象与h(x)的图象没有公共点，求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数m ，使得对任意的1,2x ??

∈+∞ ???都有函数()m y f x x =+的图象在函数()x e g x x =

图象的下方？若存在，请求出整数m ln2

1.992

≈）

例3．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}．

(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数()()4ln f x g x x x

=-的零点个数．

例4．已知函数()ln f x x =()()ln 1g x x t x =--．

（Ⅰ）求证：当0x >时，()0f x <；

（Ⅱ）若函数()g x 在（1，+∞）上有唯一零点，求实数t 的取值范围．

【同步训练】

1．已知函数()()2

2

ln ,f x x a x a R x

=+

-∈． （Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值，求()f x 在点()()

1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，求证：0 1.x >

2．已知函数()ln b

f x a x x =+ ()0a ≠．

（1）当2b =时，若函数()f x 恰有一个零点，求实数a 的取值范围；

（2）当0a b +=，0b >时，对任意121,,e e x x ??∈????

，有()()12e 2f x f x -≤-成立，求实数b 的取值范

围．

3．已知函数()()0.x

f x e ax a a R a =+-∈≠且

(I)若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]

21f x -在，上的最大值； (Ⅱ)若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围；

4．已知函数()()e x

f x x a =+，其中e 是自然数的底数， a R ∈．

（Ⅰ）求实数()f x 的单调区间．

（Ⅱ）当1a <时，试确定函数()()2

g x f x a x =--的零点个数，并说明理由．

5．已知函数()2ln 2x f x x =-， ()2

2

x g x x =

-．

（Ⅰ）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程． （Ⅱ）求()f x 的单调区间．

（Ⅲ）设()()()()1h x af x a g x =++，其中01a <≤，证明：函数()h x 仅有一个零点．

6．设函数()ln ,R m

f x x m x

=+

∈ （Ⅰ）当e m =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （Ⅱ）若函数()()3

x

g x f x -'=存在唯一零点，求m 的取值范围．

7．已知函数()()2

112

x

f x xe a x =-

+． （1）若a e =，求函数()f x 的极值；

（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．

8．已知()2

1ln 2

f x x a x =

-， a R ∈． （1）求函数()f x 的增区间；

（2）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围，并说明理由； （3）设正实数1λ，

2λ满足当0a >时，求证：对任意的两个正实数1x ，2x 总有

()()()112211

22f x x f x f x λλλλ+≤+． (参考求导公式： ()()'

[]f ax b af ax b +=+')

9．已知函数()2

1ln 2

f x x ax x =-

+，1a <．

（1）当0a =时，求函数()f x 在()()

1,1f 处的切线方程； （2）令()()()1g x f x ax =--，讨论函数()g x 的零点的个数；

（3）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=

，证明12x x +≥

10．已知函数()ln a

f x x x

=+

（a R ∈）． （1）判断函数()f x 在区间)

2

,e -?+∞?上零点的个数；

（2）当1a =-时，若在[]

1,e （ 2.71828e =?）上存在一点0x ，使得()000

1

x mf x x +<成立，求实数m 的取值范围．

11．已知函数()2

13ln 2

f x x x =

-． （1）求()f x 在()()

1,1f 处的切线方程；

（2）试判断()f x 在区间()1,e 上有没有零点？若有则判断零点的个数．

12．已知函数()ln ,x a

f x x e

a R +=-∈，其中 2.718,e e = 为自然对数的底数．

（1）当1a =-时，求函数()f x 的极值；

（2）当2a ≥-时，讨论函数()f x 的定义域内的零点个数．

13．已知函数()()22x

x f x ae

a e x =+--．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．

14．已知函数()()()3211

1323

a f x x a x x a R =

-++-∈． （1）若1a >，求函数()f x 的极值；

（2）当01a << 时，判断函数()f x 在区间[]

0,2上零点的个数．

15．已知函数()2

1ln 2

f x x m x =

-． （1）求函数()f x 的极值；

（2）若1m ≥，试讨论关于x 的方程()()2

1f x x m x =-+的解的个数，并说明理由．