初中数学一题多解题

初中数学一题多解题

例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数

方法一、

设较小的奇数为x,另外一个就是x+2

x(x+2)=323

解方程得：x1=17,x2=-19

所以，这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

方法二、

设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x

则有：x-323/x=2

解方程得：x1=19,x2=-17

同样可以得出这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

方法三、

设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：

2x-1,2x+1

(2x-1)(2x+1)=323

即4x^2-1=323

x^2=81

x1=9,x2=-9

2x1-1=17,2x1+1=19

2x2-1=-19,2x2+1=-17

所以，这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

方法四、

设两个连续奇数为x-1,x+1

则有x^2-1=323

x^2=324=4*81

x1=18,x2=-18

x1-1=17,x1+1=19

x2-1=-19,x2+1=-17

所以，这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？ 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得

135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>???..

分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。

1. 凑整法

解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.

<>+<>23，得7735().x y z ++=

∴++=x y z 105.

答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需元（下面解法后的答均省略）

解2：原方程组可变形为

134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=???

解之得：x y z ++=105.

2. 主元法

解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>

得x z =-0505..，y z =-05505..

∴++=+-+=x y z z z 05505105...

解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>

得y x z x =+=-00512.，

∴++=+-+=x y z x x x 1052105..

解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>

得x y z y =-=-00511

2..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105...

3. “消元”法

解6：令x =0，则原方程组可化为

5992543320051

y z y z y z +=+=????==???... ∴++=x y z 105.

解7：令y =0，则原方程组可化为

1399252332000511x z x z x z +=+=????=-=???

.... ∴++=x y z 105.

解8：令z =0，则原方程组可化为

1359252432005055x y x y x y +=+=????==???

.... ∴++=x y z 105.

4. 参数法

解9：设x y z k ++=，则

13599251243320

23x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>

?????.. ∴<>-<>?123，得x y -=-<>0054.

<>?-<>332，得x y k -=-<>3325.

∴由<4>、<5>得332005k -=-..

∴=k 105.

即x y z ++=105.

5. 待定系数法

解10. 设

x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()

()()()135924313254931

则比较两边对应项系数，得

1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=??????==?????

?? 将其代入<1>中，得

x y z ++=

?+?=?=12192542132121

2205105....

附练习题

1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？（答案：吨）

2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需元。问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？（答案：元）

平面几何

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；

3、减弱条件，加强结论；

4、探讨命题的推广；

5、考查命题的特例；

6、生根伸枝，图形变换；

7、接力赛，一变再变；

8、解法的多变等。

19、（增加题1的条件）AE平分∠BAC交BC于E，

求证：CE：EB=CD：CB

20、（增加题1的条件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F

求证：（1）BF·CE= BE·DF

（2）AE⊥CF

（3）设AE与CD交于Q，则FQ‖BC

21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证： CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）

22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD 为直径的圆交BC于F，

求证： EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线

23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD 为弦的圆O2，

求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）

24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，

求证：DF：CF=BC：AC

25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O，

求证：OD是两圆半径的比例中项。

题14解答：

因为CD^2=AD·DB

AC^2=AD·AB

BC^2=BD·AB

所以1/AC^2+1/BC^2

=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）

=（AD+DB）/（AD·BD·AB）

=AB/AD·BD·AB

=1/AD·BD

=1/CD^2

15题解答：

因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM

AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB

=(AD-DB)AB

=2DM*AB

26、（在19题基础上增加一条平行线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖AB交BC于点G，

求证：CE=BG

27、（在19题基础上增加一条平行线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，

求证：四边形CEGF是菱形

28、（对19题增加一个结论）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，求证：CE=CF

29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC 为直径的圆O1，

求证：过点D的圆O1的切线平分BC

30、（在19题中增加一个圆）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，求证：⊙CED平分线段AF

31、（在题1中增加一个条件）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，

求证：BD=AB/4

（沪科版八年级数学第117页第3题）

32、（在18题基础上增加一条直线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCD

P为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N

求证：PQ/PN=QM/MN

32题证明：

作NS‖CD交直线AC与点S，

则PQ/PN=CQ/SN

又∠BCE=∠BCD

∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）

∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACD

NS‖CD，∴∠NSC=∠ACD

∴∠NSC=∠NCS

∴SN=CN

∴PQ/PN=QM/MN

题33

在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·AB= AE·BE

题33证明

CB^2= BD·AB

因EB=CB

∴EB^2= BD·AB

∴EB：BD=AB：BE

又∠EBD=∠ABE

∴△EBD∽△ABE

∴EB：AB=DE：AE

∴DE·AB= AE·BE

题34

（在19题基础上增加一条垂线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，

求证：EG^2= BE·EC

证明：延长AC、GE，设交点为H，

∴△EBG∽△EHC

∴EB：EH=EG：EC

∴EH·EG= BE·EC

又HG‖CD，CF=FD

∴EH=EG

∴EG^2= BE·EC

题35（在题19中增加点F）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，

求证：2CF·FD = AF·EF

题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件）

已知，△ABC中， CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，

求证：CE/BC=CF/AC

题37

（在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC）

已知，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD

求证：AE^2= AD·AB

题38

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线

求证：PA/AD=PB/BD

题39

（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，

求证：△ADF∽△AEB

题40：

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足

求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB

题41

已知，如图，△ABC中， CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，

求∠ACB的度数。

题42

已知，CD是△ABC的AB边上的高， D为垂足，且AD/CD=CD/BD，

则∠ACB一定是90度吗？为什么？

题43：

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1，

△BDC的内切圆⊙O2，

求证：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB

题44：

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1的半径R1，△BDC 的内切圆⊙O2的半径R2，△ABC的内切圆⊙O的半径R，求证：R1+R2+R=CD

题45、

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在△ABC内交于P

求证：△PAD的面积和△PBC的面积相等

题45解：

∠CAP=∠CDP=∠DBP（圆周角、弦切角）

∴Rt△APC∽Rt△BPD

∴AP·PD= BP·PC

又∠APD和∠CPB互补（∠APC+∠BPD=180度）

S △PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD

S △PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB

∴S △PAD= S △PBD

题46（在题38的基础上变一下）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线，又CE平分∠ACB 交⊙ABC与E，交AB与D ，若PA=5，PC=10，

求CD·CE的值

题47

在题46中，求sin∠PCA

题48（由题19而变）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

AE平分∠ACB交BC于E，EG⊥AB交AB于点G，

求证：（1）AC=AG

（2）、AG^2= AD·AB

（3）、G在∠DCB的平分线上

（4）、FG‖BC

（5）、四边形CEFG是菱形

题49

题49解答：

题目50（题33再变）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD

的延长线于F，如果此时AC=EC，

求证： AF= 2FE

题50解：

过点E作EM⊥CF，M为垂足，则AD：DB=AC^2：CB^2=4：1

又DB：EM=1：2

所以，AD：EM=2：1

△ADF∽△EMF

∴AF：EF=AD：EM=2：1

∴AF=2EF

题目51（题50中连一线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD 的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，

求证：∠ABC=∠EBF

（题51的几种解法）

解法1、

作∠ACB的平分线交AB于点G，易证△ACG≌△CEF

∴CG=EF

∴证△CBG≌△EBF

∴∠ABC=∠EBF

题51解法2

作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，

则点G 为△ACE的垂心，∴GF‖CE

又∠AEC=∠GCE，

∴四边形CGFE为等腰梯形

∴CG=EF

∴再证△CBG≌△EBF

∴∠ABC=∠EBF

题51解法3

作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，则点G 为△ACE的垂心，

易证△APG≌△CPF（AAS）

∴PG=PF

又∠GPB=∠FPB，

PB=PB

∴△PBG≌△FBP（SAS）

∴∠PBG=∠FBP

∴∠ABC=∠EBF

题51解法4（原题图）

由题50得，AF=2EF

∴AF：EF=AC：BE=2

又∠CAF=∠BEF=45度

∴△ACF∽△EBF

∴∠ACF=∠EBF

又∠ACF=∠CBA

∴∠ABC=∠EBF

题51解法5

作ME⊥CE交CD的延长线于M，

证△ABC≌△CME（ASA）

∴∠ABC=∠M

再证△MEF≌△BEF（SAS）

∴∠EBM=∠M

∴∠ABC=∠EBF

题51解法6

作点B关于点C的对称点N，连结AN，

则NB=2BE，又由题50，AF=2EF，

∴BF‖AN

∴∠EBM=∠N

又∠ABC=∠N（对称点）

∴∠ABC=∠EBF

题51解法7

过点C作CH‖BF交AB于M，

∵B为CE的中点，

∴ F为HE的中点

又由题50，AF=2EF，

∴H为AF的中点

又CH‖BF

∴M为AB的中点

∴∠MCB=∠MBC

又∠EBM=∠MCB

∴∠ABC=∠EBF

题目52（题50、51结论的引伸）

已知，△ABE中，AC=EC，∠ACE=90度，CD⊥AB交斜边AB于F，D为垂足，

B为CE的中点，连结FB，

求证：

（1）、AF=2EF

（2）、∠ABC=∠EBF

（3）、∠EBF= ∠E+∠BAE

（4）、∠ABF=2∠DAC

（5）、AB：BF=AE：EF

（6）、CD：DF=AE：AF

（7）、AD：DB=2AF：EF

（8）、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1

题目53 （题52的一部分）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

⑤、AF=2EF

⑥、∠ABC=∠EBF

（题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明）题目54（题53的逆命题1）

已知如图，

⑤、AF=2EF

②、AC⊥CE

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

⑥、∠ABC=∠EBF

平面几何一题多变

题目55（题53的逆命题2）已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

②、AC⊥CE

⑥、∠ABC=∠EBF

题目56（题53的逆命题3）已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

求证：

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

题目57（题53的逆命题4）已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

求证：

④、CF⊥AB

⑥、∠ABC=∠EBF

题目58（题53的逆命题5）已知如图，

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

②、AC⊥CE

④、CF⊥AB

求证：

⑤、AF=2EF

①、AC=CE

题目59（题53的逆命题6）已知如图，

①、AC=CE

④、CF⊥AB

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

⑤、AF=2EF

②、AC⊥CE

题目60（题53的逆命题7）已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑥、∠ABC=∠EBF

④、CF⊥AB

求证：

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

题目61（题53的逆命题8）已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

题目62（题53的逆命题9）已知如图，

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

①、AC=CE

②、AC⊥CE

题目63（题53的逆命题10）已知如图，

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

①、AC=CE

③、CB=BE

题目64（题53的逆命题11）已知如图，

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

求证：

①、AC=CE

④、CF⊥AB

题目65（题53的逆命题12）已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

②、AC⊥CE

③、CB=BE

题目66（题53的逆命题13）已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

②、AC⊥CE

④、CF⊥AB

题目67（题53的逆命题14）已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF