例析“两点之间,线段最短”的建模应用方法

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例析“两点之间，线段最短”的建模应用方法作者：葛莹

来源：《理科考试研究·初中》2015年第05期

《初中数学课程标准》指出：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.”根据《课标》编写的苏科版数学教材设计了一些“数学建模”活动，我们要充分开展和利用这些活动，并以此来调动学生学习数学的积极性，激发他们学习数学的热情.

当然，关于“两点之间，线段最短”的建模应用，很多老师、专家学者都写了大量的文章来论述.笔者不揣固陋，也想谈谈“两点之间，线段最短”的建模应用，请初中数学教学同行和专家学者不吝赐教.

众所周知，关于“两点之间线段最短”的定律在历史上有一个故事.古希腊有一位将军问学者海伦：“从A地出发到河边饮马，然后再回到B地，怎样走路线最短？”海伦直截了当地回

答：“两点之间，线段最短.”这就是数学上著名的“将军饮马问题”.但是，在将军问的问题中，

马走的是一条折线.将军该如何指挥他的千军万马先到河边饮水，然后再走到B点而所走的路程最短，从而为他最大限度地节省时间而赢得战斗的胜利呢？如下图所示：

我们知道，在河边MN饮马的地点可以有很多处，我们在河边MN任选两个点，然后把这两个点与A、B分别连接起来，这样就构成了两条线段，这两条线段之和就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和.

但是，问题的关键不在这里，而是如何确定使两条线段长度之和为最短的那个点.如图，

我们可以尝试在图上过B点作河边MN的垂线，垂足为C，延长BC到B′，B′是B地关于河边MN的对称点；再连结AB′，交河边MN于P，那么P点就是将军所要求的饮马地点，即在P 点饮马所走的路程最短.

为什么在P点饮马所走的路程最短呢？如图，因为BP=B′P，AP与BP的长度之和就是

AP与PB′的长度之和，即是AB′的长度；而选择河边MN的任何其他点，如D，路程

AD+DB=AD+DB′，由于A、B′两点的连线中，线段AB′是最短的（两点之间，线段最短），所以选择P点饮马路程要短于选择D点的路程.

“将军饮马问题”反映了数学中的对称性问题，据此我们可以总结出这样的规律：定直线l 同旁有两个定点AB，在直线l上存在动点P，若要使得PA+PB的值最小，可作定点A关于直线l的对称点A′，连接AB′，则AB′与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为AB′.我们可以应用上述规律来建模.

一、在几何图形中的直接建模